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Capítulo 1 Trigonometria 1.1 Conceitos preliminares O número pi Dada uma circunferência de raio r, diâmetro d = 2r, o número pi é definido como a razão do comprimento C da circunfeência pelo seu diâmetro d, isto é, pi = C d = C 2r (1.1) O comprimento de uma circunferência Pela definição do número pi na equação (1.1) observamos que o comprimento da circunferência é dado por C = pi d = 2pi r (1.2) Medida de ângulos Existem 3 unidades para a medida de ângulos. • Grado: 1 grado é um ângulo correspondente a 1400 de uma volta completa da circunferência. Conseqüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 400 grados - Figura 1.1(a). • Grau: 1 grau, denotado 1o, é um ângulo correspondente a 1360 de uma volta completa da circunferência. Conse- qüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 360o - Figura 1.1(b). • Radiano: 1 radiano, denotado 1 rad, é um ângulo correspondente a um arco de mesmo comprimento do raio da circunferência - Figura 1.1(c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... ........................ ..... ..... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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(a) A definição de grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... ........................ ..... ..... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Logo um ângulo de θ radianos compreende um arco de comprimento s - Figura 1.2(a). O valor s é dado por 1 rad r = θ rad s ∴ s = r θ Conversão grau-radiano De modo análogo, um arco de comprimento r compreende um ângulo de 1 radiano. A circunferência completa, um arco de comprimento 2pi r, compreende um ângulo θ dado por r 1 rad = 2pi r θ rad ∴ θ = 2pi rad Isto é, uma volta completana circunferência corresponde a um ângulo de medida 2pi radianos - Figura 1.2(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... .......................... ..... ..... ..... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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135o Exemplo 1.2 Determine a medida do ângulo 155o em radianos. pi rad 180o = x rad 155o ∴ x = 155 180 pi = 31 35 pi rad Classificação de triângulos Triângulo é um polígono com 3 ângulos internos, logo 3 lados. Podemos classificá-los de duas maneiras: • quanto aos tamanhos dos lados: � equilátero - 3 lados de mesmo comprimento, � isóceles - 2 lados de mesmo comprimento, � escaleno - 3 lados de comprimentos diferentes; 2 • quanto às medidas dos ângulos: � acutângulo - 3 ângulos agudos (menores que 90o graus), � retângulo - 1 ângulo reto (90o graus), � obtusângulo - 1 ângulo obtuso (maior que 90o graus). 1.2 Triângulo retângulo 1.2.1 Teorema de Pitágoras Em um triângulo retângulo, Figura 1.3(a), os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2. (1.3) ©© ©© ©© ©© © b c a (a) Um triângulo retângulo. ©© ©© ©© © A A A A A A A ©© ©© ©© ©A A A A A A A c c c c b b b b a a a a (b) O Teorema de Pitágo- ras. Figura 1.3: Triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras. Uma prova bastante simples do Teorema de Pitágoras pode ser obtida através da Figura 1.3(b): a área do quadrado externo é igual à soma da área do quadrado interno mais a área dos 4 triângulos retângulos, isto é: a2 + 4 bc 2 = (b+ c)2 ∴ a2 + 2bc = b2 + 2bc+ c2 ∴ a2 = b2 + c2. 1.2.2 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Para cada ângulo agudo de um triângulo retângulo define-se 6 razões trigonométricas (conhecidas como seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante) da seguinte maneira • seno = cateto oposto hipotenusa • cosseno = cateto adjacente hipotenusa • tangente = cateto oposto cateto adjacente • cotangente = cateto adjacente cateto oposto • secante = hipotenusa cateto adjacente • cossecante = hipotenusa cateto oposto A Figura 1.4 ilustra as 6 razões trigonométricas para os ângulos α e β de um triângulo retângulo. 3 ©© ©© ©© ©© ©© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b c a α β cossecante: secante: cotangente: tangente: cosseno: seno: csc(α) = ac sec(α) = ab ctg(α) = bc tg(α) = cb cos(α) = ba sen(α) = ca csc(β)= ab sec(β) = ac ctg(β) = cb tg(β) = bc cos(β) = ca sen(β) = ba Figura 1.4: As razões trigonométricas. Razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis Na Figura 1.5(a) traçamos a diagonal de um quadrado de lado a e então determinamos as razões trigonométricas para o ângulo de 45o obtido: cos(45o) = a a √ 2 = 1√ 2 = √ 2 2 , sen(45o) = a a √ 2 = 1√ 2 = √ 2 2 , tg(45o) = a a = 1. Na Figura 1.5(b) traçamos a altura de um triângulo equilátero de lado a e então determinamos as razões trigonométricas para os ângulos de 30o e 60o obtidos: cos(30o) = a √ 3/2 a = √ 3 2 , sen(30o) = a/2 a = 1 2 , tg(30o) = a/2 a √ 3/2 = 1√ 3 = √ 3 3 . cos(60o) = a/2 a = 1 2 , sen(60o) = a √ 3/2 a = √ 3 2 , tg(60o) = a √ 3/2 a/2 = √ 3. A tabela 1.1 resume estes resutados. ângulo 30o 45o 60o sen 1 2 √ 2 2 √ 3 2 cos √ 3 2 √ 2 2 1 2 tg √ 3 3 1 √ 3 Tabela 1.1: Valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30o, 45o e 60o. 1.3 Algumas identidades trigonométricas Na Figura 1.4 temos que b = a cos(α) e c = a sen(α); obtemos então as seguintes identidades: tg(α) = c b = a sen(α) a cos(α) ∴ tg(α) = sen(α) cos(α) (1.4a) cotg(α) = b c = a cos(α) a sen(α) ∴ cotg(α) = cos(α) sen(α) (1.4b) sec(α) = a b = a a cos(α) ∴ sec(α) = 1 cos(α) (1.4c) csc(α) = a c = a a sen(α) ∴ csc(α) = 1 sen(α) (1.4d) 4 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡¡ a a a √ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45o (a) Ângulo de 45o. ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ A A A A A A A A A AA a a √ 3 2 a/2 a/2 c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60o . ............ .......... . . . . . . . . . . . . . . 30o (b) Ângulos de 30o e 60o. Figura 1.5: Ângulos notáveis. Usando o Teorema de Pitágoras obtemos b2 + c2 = a2 ∴ a2 cos2(α) + a2 sen2(α) = a2 ∴ a2 [ cos2(α) + sen2(α) ] = a2 donde cos2(α) + sen2(α) = 1 (1.4e) A identidade (1.4e) é chamada de identidade fundamental: o quadrado do cosseno mais o quadrado do seno de qualquer ângulo é sempre igual a um. A partir da identidade fundamental obtemos outras duas importantes identidades: cos2(α) + sen2(α) cos2(α) = 1 cos2(α) ∴ 1 + sen 2(α) cos2(α) = 1 cos2(α) ∴ 1 + tg2(α) = sec2(α) (1.4f) cos2(α) + sen2(α) sen2(α) = 1 sen2(α) ∴ cos 2(α) sen2(α) + 1 = 1 sen2(α) ∴ cotg2(α) + 1 = csc2(α) (1.4g) Exemplo 1.3 Para um dado ângulo θ sabe-se que cos(θ) = 15 . Determine as outras razões trigonométricas para θ. Da identidade fundamental obtemos( 1 5 )2 + sen2(θ) = 1 ∴ sen2(θ) = 1− 1 25 ∴ sen(θ) = √ 24 25 = 2 √ 6 5 . Logo: • pela identidade (1.4a): tg(θ) = 2 √ 6/5 1/5 = 2 √ 6 5 5 1 = 2 √ 6; • pela identidade (1.4b): cotg(θ) = 1/5 2 √ 6/5 = 15 5 2 √ 6 = √ 6 12 ; • pela identidade (1.4c): sec(θ) = 11/5 = 5; • pela identidade (1.4d): csc(θ) = 1 2 √ 6/5 = 5 2 √ 6 . 1.4 Triângulos quaisquer 1.4.1 A Lei dos Cossenos Vimos que para triângulos retângulos as medidas dos lados estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras. Para triângulos quaisquer os comprimentos dos lados estão relacionados pela Lei dos Cossenos (Figura 1.6). 5 @ @ @ @©© ©© ©© ©©a b c Para o ângulo γ: c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) Para o ângulo β: b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β) Para o ângulo α: a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . γ . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . ... ... . ....... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .α Figura 1.6: A Lei dos Cossenos. A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo γ pode ser obtida a partir da Figura 1.7. No triângulo retângulo da esquerda temos cos(γ) = x a ∴ x = acos(γ) (1.5a) a2 = x2 +H2 ∴ H2 = a2 − x2. (1.5b) No triângulo retângulo da direita temos c2 = H2 + (b− x)2 = H2 + b2 − 2bx+ x2 (1.5c) Substituindo (1.5a) e (1.5b) em (1.5c) obtemos c2 = a2 − x2 + b2 − 2ab cos(γ) + x2 c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) que é a Lei dos Cossenos para o ângulo γ. @ @ @ @©© ©© ©© ©©a b c x H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . γ Figura 1.7: A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo γ. 1.4.2 A Lei dos Senos Outra relação entre os comprimentos dos lados e os ângulos de um triângulo qualquer é a Lei dos Senos (Figura 1.8), cuja demonstração fica a cargo do leitor (Problema Teórico 1.1). @ @ @ @@© ©© ©© ©© © a b c sen(β) b = sen(α) a = sen(γ) c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . γ . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . ... ... . ....... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .α Figura 1.8: A Lei dos Senos. 1.5 Círculo Trigonométrico e Funções Circulares Círculo trigonométrico é o circulo 1 de raio unitário e centro na origem do sistema cartesiano - Figura 1.9(a). 1 Um termo mais apropriado seria circunferência trigonométrica, mas o termo círculo trigonométrico é tradicionalmente utilizado na literatura e vamos mantê-lo. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . ..................... .......................... ..... ..... ..... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ..... ..... ..... ..... . ..................... ..................... . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . q- x 6y (1, 0) (a) O circulo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . ..................... .......................... ..... ..... ..... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ..... ..... ..... ..... . ..................... ..................... . .. . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6 ¡ ¡ ¡ ¡ q O qP (x, y) q Q qR θ (b) Seno e cosseno Figura 1.9: O seno e o cosseno no círculo trigonométrico No triângulo OPQ da Figura 1.9(b) (lembrando que OP = 1 ) observamos que cos(θ) = OQ/OP = x/1 = x e sen(θ) = PQ/OP = OR/OP = y/1 = y, de modo que as coordenadas cartesianas do ponto P são dadas por P = (x, y) = ( cos(θ), sen(θ) ) . Raciocinando no sentido inverso, seja P (x, y) um ponto qualquer sobre o círculo unitário e θ o ângulo correspon- dente, medido no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo das abscissas. Definimos o cosseno deste ângulo como o valor da abscissa de P e seu seno como o valor da ordenada de P . Esta definição do seno e cosseno no círculo trigonométrico nos permite calcular os valores das razões trigonométricas para ângulos dados por qualquer número real, e não apenas para ângulos agudos como no caso de triângulos retângulos. A Figura 1.10 ilustra este raciocínio para ângulos no segundo, terceiro e quarto quadrantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ..................... ........................... ..... ...... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ..... ..... ..... ..... . ..................... ..................... . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ................. ... .... .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6 @ @ @ @ q O qP (x, y) q Q qR θ (a) Ângulo no 2o quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ..................... ........................... ..... ...... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ..... ..... ..... ..... . ..................... ..................... . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ................. ... .... .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6 ¡ ¡ ¡ ¡ q O q P (x, y) qQ qR θ (b) Ângulo no 3o quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ..................... ........................... ..... ...... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ..... ..... ..... ..... . ..................... ..................... . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ................. ... .... .. . .. . .. . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . .. . .. . .. ... .... ... ... ............. .. ... ... ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 6 @ @ @ @ q O q P (x, y) qQ qR θ (c) Ângulo no 4o quadrante Figura 1.10: cos(θ) = OQ = x e sen(θ) = OR = y. Sinal do seno e cosseno • se 0 < θ < pi2 então sen(θ) > 0 e cos(θ) > 0 - Figura 1.9(b); • se pi2 < θ < pi então sen(θ) > 0 e cos(θ) < 0 - Figura 1.10(a); 7 • se pi < θ < 3pi2 então sen(θ) < 0 e cos(θ) < 0 - Figura 1.10(b); • se 3pi2 < θ < 2pi então sen(θ) < 0 e cos(θ) > 0 - Figura 1.10(c). 1.5.1 As funções circulares A função seno Seja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x associamos um único valor para seu seno, denotado sen(x). Definimos então a função f(x) = sen(x), cujo gráfico, chamado senóide, é mostrado na Figura 1.11. A Figura 1.11 exibe duas propriedades importantes da função sen(x): • é periódica de período T = 2pi; isto significa que suas imagens se repetem de 2pi em 2pi radianos, isto é, ∀x ∈ R temos que sen(x) = sen(x+ 2pi); • é limitada entre −1 e 1, isto é, ∀x ∈ R temos que −1 ≤ sen(x) ≤ 1. - 6 0 pi 2pi 3pi 4pi−pi−2pi−3pi−4pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . x sen(x) 1 -1 Figura 1.11: Senóide sen(x) A função cosseno De modo análogo ao seno, seja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x associamos um único valor para seu cosseno, denotado cos(x). Definimos então a função f(x) = cos(x), cujo gráfico é mostrado na Figura 1.12. A Figura 1.12 exibe duas propriedades importantes da função cos(x): • é periódica de período T = 2pi; isto significa que suas imagens se repetem de 2pi em 2pi radianos, isto é, ∀x ∈ R temos que cos(x) = cos(x+ 2pi); • é limitada entre −1 e 1, isto é, ∀x ∈ R temos que −1 ≤ cos(x) ≤ 1. 1.6 Mais identidades trigonométricas Simetrias As identidades de simetria estabelecem o efeito da substituição de α por −α. Pela Figura 1.13 temos sen(α) = QR = −QS = −sen(−α) ∴ sen(α) = −sen(−α). (1.6a) cos(α) = OQ = cos(−α) ∴ cos(α) = cos(−α). (1.6b) Estas identidades também podem ser facilmente observadas nas Figuras 1.11 e 1.12 respectivamente. Finalmente tg(α) = sen(α) cos(α) = −sen(−α) cos(−α) = −tg(−α) ∴ tg(α) = −tg(−α). (1.6c) 8 - 6 0 pi 2pi 3pi 4pi−pi−2pi−3pi−4pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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