Trigonometria

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Capítulo 1
Trigonometria
1.1 Conceitos preliminares
O número pi
Dada uma circunferência de raio r, diâmetro d = 2r, o número pi é definido como a razão do comprimento C da
circunfeência pelo seu diâmetro d, isto é,
pi =
C
d
=
C
2r
(1.1)
O comprimento de uma circunferência
Pela definição do número pi na equação (1.1) observamos que o comprimento da circunferência é dado por
C = pi d = 2pi r (1.2)
Medida de ângulos
Existem 3 unidades para a medida de ângulos.
• Grado: 1 grado é um ângulo correspondente a 1400 de uma volta completa da circunferência. Conseqüentemente,
a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 400 grados - Figura 1.1(a).
• Grau: 1 grau, denotado 1o, é um ângulo correspondente a 1360 de uma volta completa da circunferência. Conse-
qüentemente, a volta completa na circunferência compreende um ângulo de 360o - Figura 1.1(b).
• Radiano: 1 radiano, denotado 1 rad, é um ângulo correspondente a um arco de mesmo comprimento do raio da
circunferência - Figura 1.1(c).
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q0 ou
400
q100
q200
q
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q0o ou
360o
q90o
q180o
q
270o
(b) A definição de grau
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s = r
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(c) A definição de radiano
Figura 1.1: Medidas de ângulo
1
O comprimentro de um arco
Em uma circunferência de raio r a definição de radiano implica que um ângulo de 1 radiano compreende um arco de
comprimento r. Logo um ângulo de θ radianos compreende um arco de comprimento s - Figura 1.2(a). O valor s é
dado por
1 rad
r
=
θ rad
s
∴ s = r θ
Conversão grau-radiano
De modo análogo, um arco de comprimento r compreende um ângulo de 1 radiano. A circunferência completa, um
arco de comprimento 2pi r, compreende um ângulo θ dado por
r
1 rad
=
2pi r
θ rad
∴ θ = 2pi rad
Isto é, uma volta completana circunferência corresponde a um ângulo de medida 2pi radianos - Figura 1.2(b).
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q 0o = 0 rad ou 360o = 2pi rad
q90o = pi2 rad
q 180o = pi rad
q
270o = 3pi2 rad
θ
(b) Conversão grau-radiano
Figura 1.2: Comprimento de arco e a conversão grau-radiano
Assim, dado um ângulo θ radianos, sua medida x em graus é dada por
pi rad
180o
=
θ rad
x
∴ x = 180
pi
θ
Exemplo 1.1 Determine a medida do ângulo
3
4pi rad em graus.
pi rad
180o
=
3
4pi rad
x
∴ x = 180
pi
3
4
pi = 135o
Exemplo 1.2 Determine a medida do ângulo 155o em radianos.
pi rad
180o
=
x rad
155o
∴ x = 155
180
pi =
31
35
pi rad
Classificação de triângulos
Triângulo é um polígono com 3 ângulos internos, logo 3 lados. Podemos classificá-los de duas maneiras:
• quanto aos tamanhos dos lados:
� equilátero - 3 lados de mesmo comprimento,
� isóceles - 2 lados de mesmo comprimento,
� escaleno - 3 lados de comprimentos diferentes;
2
• quanto às medidas dos ângulos:
� acutângulo - 3 ângulos agudos (menores que 90o graus),
� retângulo - 1 ângulo reto (90o graus),
� obtusângulo - 1 ângulo obtuso (maior que 90o graus).
1.2 Triângulo retângulo
1.2.1 Teorema de Pitágoras
Em um triângulo retângulo, Figura 1.3(a), os lados que formam o ângulo reto são denominados catetos e o lado oposto
ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os comprimentos da hipotenusa e dos catetos estão relacionados pelo Teorema
de Pitágoras
a2 = b2 + c2. (1.3)
©©
©©
©©
©©
©
b
c
a
(a) Um triângulo retângulo.
©©
©©
©©
©
A
A
A
A
A
A
A
©©
©©
©©
©A
A
A
A
A
A
A
c
c
c
c
b
b
b
b a
a
a
a
(b) O Teorema de Pitágo-
ras.
Figura 1.3: Triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras.
Uma prova bastante simples do Teorema de Pitágoras pode ser obtida através da Figura 1.3(b): a área do quadrado
externo é igual à soma da área do quadrado interno mais a área dos 4 triângulos retângulos, isto é:
a2 + 4
bc
2
= (b+ c)2 ∴ a2 + 2bc = b2 + 2bc+ c2 ∴ a2 = b2 + c2.
1.2.2 Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Para cada ângulo agudo de um triângulo retângulo define-se 6 razões trigonométricas (conhecidas como seno, cosseno,
tangente, cotangente, secante e cossecante) da seguinte maneira
• seno = cateto oposto
hipotenusa
• cosseno = cateto adjacente
hipotenusa
• tangente = cateto oposto
cateto adjacente
• cotangente = cateto adjacente
cateto oposto
• secante = hipotenusa
cateto adjacente
• cossecante = hipotenusa
cateto oposto
A Figura 1.4 ilustra as 6 razões trigonométricas para os ângulos α e β de um triângulo retângulo.
3
©©
©©
©©
©©
©©
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b
c
a
α
β
cossecante:
secante:
cotangente:
tangente:
cosseno:
seno:
csc(α) = ac
sec(α) = ab
ctg(α) = bc
tg(α) = cb
cos(α) = ba
sen(α) = ca
csc(β)= ab
sec(β) = ac
ctg(β) = cb
tg(β) = bc
cos(β) = ca
sen(β) = ba
Figura 1.4: As razões trigonométricas.
Razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis
Na Figura 1.5(a) traçamos a diagonal de um quadrado de lado a e então determinamos as razões trigonométricas para
o ângulo de 45o obtido:
cos(45o) =
a
a
√
2
=
1√
2
=
√
2
2
, sen(45o) =
a
a
√
2
=
1√
2
=
√
2
2
, tg(45o) =
a
a
= 1.
Na Figura 1.5(b) traçamos a altura de um triângulo equilátero de lado a e então determinamos as razões trigonométricas
para os ângulos de 30o e 60o obtidos:
cos(30o) =
a
√
3/2
a
=
√
3
2
, sen(30o) =
a/2
a
=
1
2
, tg(30o) =
a/2
a
√
3/2
=
1√
3
=
√
3
3
.
cos(60o) =
a/2
a
=
1
2
, sen(60o) =
a
√
3/2
a
=
√
3
2
, tg(60o) =
a
√
3/2
a/2
=
√
3.
A tabela 1.1 resume estes resutados.
ângulo 30o 45o 60o
sen
1
2
√
2
2
√
3
2
cos
√
3
2
√
2
2
1
2
tg
√
3
3
1
√
3
Tabela 1.1: Valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 30o, 45o e 60o.
1.3 Algumas identidades trigonométricas
Na Figura 1.4 temos que b = a cos(α) e c = a sen(α); obtemos então as seguintes identidades:
tg(α) =
c
b
=
a sen(α)
a cos(α)
∴ tg(α) = sen(α)
cos(α)
(1.4a)
cotg(α) =
b
c
=
a cos(α)
a sen(α)
∴ cotg(α) = cos(α)
sen(α)
(1.4b)
sec(α) =
a
b
=
a
a cos(α)
∴ sec(α) = 1
cos(α)
(1.4c)
csc(α) =
a
c
=
a
a sen(α)
∴ csc(α) = 1
sen(α)
(1.4d)
4
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡
a
a
a
√
2
.
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. 45o
(a) Ângulo de 45o.
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢¢
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AA
a a
√
3
2
a/2 a/2
c
.
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. 60o
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..........
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30o
(b) Ângulos de 30o e 60o.
Figura 1.5: Ângulos notáveis.
Usando o Teorema de Pitágoras obtemos
b2 + c2 = a2 ∴ a2 cos2(α) + a2 sen2(α) = a2 ∴ a2
[
cos2(α) + sen2(α)
]
= a2
donde
cos2(α) + sen2(α) = 1 (1.4e)
A identidade (1.4e) é chamada de identidade fundamental: o quadrado do cosseno mais o quadrado do seno de qualquer
ângulo é sempre igual a um. A partir da identidade fundamental obtemos outras duas importantes identidades:
cos2(α) + sen2(α)
cos2(α)
=
1
cos2(α)
∴ 1 + sen
2(α)
cos2(α)
=
1
cos2(α)
∴ 1 + tg2(α) = sec2(α) (1.4f)
cos2(α) + sen2(α)
sen2(α)
=
1
sen2(α)
∴ cos
2(α)
sen2(α)
+ 1 =
1
sen2(α)
∴ cotg2(α) + 1 = csc2(α) (1.4g)
Exemplo 1.3 Para um dado ângulo θ sabe-se que cos(θ) = 15 . Determine as outras razões trigonométricas para θ.
Da identidade fundamental obtemos(
1
5
)2
+ sen2(θ) = 1 ∴ sen2(θ) = 1− 1
25
∴ sen(θ) =
√
24
25
=
2
√
6
5
.
Logo:
• pela identidade (1.4a): tg(θ) = 2
√
6/5
1/5 =
2
√
6
5
5
1 = 2
√
6;
• pela identidade (1.4b): cotg(θ) = 1/5
2
√
6/5
= 15
5
2
√
6
=
√
6
12 ;
• pela identidade (1.4c): sec(θ) = 11/5 = 5;
• pela identidade (1.4d): csc(θ) = 1
2
√
6/5
= 5
2
√
6
.
1.4 Triângulos quaisquer
1.4.1 A Lei dos Cossenos
Vimos que para triângulos retângulos as medidas dos lados estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras. Para
triângulos quaisquer os comprimentos dos lados estão relacionados pela Lei dos Cossenos (Figura 1.6).
5
@
@
@
@©©
©©
©©
©©a
b
c
Para o ângulo γ: c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
Para o ângulo β: b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β)
Para o ângulo α: a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α)
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. γ
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β
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.α
Figura 1.6: A Lei dos Cossenos.
A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo γ pode ser obtida a partir da Figura 1.7. No triângulo retângulo
da esquerda temos
cos(γ) =
x
a
∴ x = acos(γ) (1.5a)
a2 = x2 +H2 ∴ H2 = a2 − x2. (1.5b)
No triângulo retângulo da direita temos
c2 = H2 + (b− x)2 = H2 + b2 − 2bx+ x2 (1.5c)
Substituindo (1.5a) e (1.5b) em (1.5c) obtemos
c2 = a2 − x2 + b2 − 2ab cos(γ) + x2
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)
que é a Lei dos Cossenos para o ângulo γ.
@
@
@
@©©
©©
©©
©©a
b
c
x
H
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. γ
Figura 1.7: A demostração da Lei dos Cossenos para o ângulo γ.
1.4.2 A Lei dos Senos
Outra relação entre os comprimentos dos lados e os ângulos de um triângulo qualquer é a Lei dos Senos (Figura 1.8),
cuja demonstração fica a cargo do leitor (Problema Teórico 1.1).
@
@
@
@@©
©©
©©
©©
©
a
b
c
sen(β)
b =
sen(α)
a =
sen(γ)
c
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. γ
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β
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.α
Figura 1.8: A Lei dos Senos.
1.5 Círculo Trigonométrico e Funções Circulares
Círculo trigonométrico é o circulo
1
de raio unitário e centro na origem do sistema cartesiano - Figura 1.9(a).
1
Um termo mais apropriado seria circunferência trigonométrica, mas o termo círculo trigonométrico é tradicionalmente utilizado na
literatura e vamos mantê-lo.
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q-
x
6y
(1, 0)
(a) O circulo trigonométrico
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q
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qP (x, y)
q
Q
qR
θ
(b) Seno e cosseno
Figura 1.9: O seno e o cosseno no círculo trigonométrico
No triângulo OPQ da Figura 1.9(b) (lembrando que OP = 1 ) observamos que
cos(θ) = OQ/OP = x/1 = x e sen(θ) = PQ/OP = OR/OP = y/1 = y,
de modo que as coordenadas cartesianas do ponto P são dadas por
P = (x, y) =
(
cos(θ), sen(θ)
)
.
Raciocinando no sentido inverso, seja P (x, y) um ponto qualquer sobre o círculo unitário e θ o ângulo correspon-
dente, medido no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo das abscissas. Definimos o cosseno deste ângulo
como o valor da abscissa de P e seu seno como o valor da ordenada de P . Esta definição do seno e cosseno no círculo
trigonométrico nos permite calcular os valores das razões trigonométricas para ângulos dados por qualquer número
real, e não apenas para ângulos agudos como no caso de triângulos retângulos. A Figura 1.10 ilustra este raciocínio
para ângulos no segundo, terceiro e quarto quadrantes.
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(a) Ângulo no 2o quadrante
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(b) Ângulo no 3o quadrante
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q
O
q
P (x, y)
qQ
qR
θ
(c) Ângulo no 4o quadrante
Figura 1.10: cos(θ) = OQ = x e sen(θ) = OR = y.
Sinal do seno e cosseno
• se 0 < θ < pi2 então sen(θ) > 0 e cos(θ) > 0 - Figura 1.9(b);
• se pi2 < θ < pi então sen(θ) > 0 e cos(θ) < 0 - Figura 1.10(a);
7
• se pi < θ < 3pi2 então sen(θ) < 0 e cos(θ) < 0 - Figura 1.10(b);
• se 3pi2 < θ < 2pi então sen(θ) < 0 e cos(θ) > 0 - Figura 1.10(c).
1.5.1 As funções circulares
A função seno
Seja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x associamos um único valor para seu seno,
denotado sen(x). Definimos então a função f(x) = sen(x), cujo gráfico, chamado senóide, é mostrado na Figura 1.11.
A Figura 1.11 exibe duas propriedades importantes da função sen(x):
• é periódica de período T = 2pi; isto significa que suas imagens se repetem de 2pi em 2pi radianos, isto é, ∀x ∈ R
temos que sen(x) = sen(x+ 2pi);
• é limitada entre −1 e 1, isto é, ∀x ∈ R temos que −1 ≤ sen(x) ≤ 1.
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0 pi 2pi 3pi 4pi−pi−2pi−3pi−4pi
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x
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Figura 1.11: Senóide sen(x)
A função cosseno
De modo análogo ao seno, seja x um ângulo variável no círculo trigonométrico. A cada valor de x associamos um
único valor para seu cosseno, denotado cos(x). Definimos então a função f(x) = cos(x), cujo gráfico é mostrado na
Figura 1.12.
A Figura 1.12 exibe duas propriedades importantes da função cos(x):
• é periódica de período T = 2pi; isto significa que suas imagens se repetem de 2pi em 2pi radianos, isto é, ∀x ∈ R
temos que cos(x) = cos(x+ 2pi);
• é limitada entre −1 e 1, isto é, ∀x ∈ R temos que −1 ≤ cos(x) ≤ 1.
1.6 Mais identidades trigonométricas
Simetrias
As identidades de simetria estabelecem o efeito da substituição de α por −α. Pela Figura 1.13 temos
sen(α) = QR = −QS = −sen(−α) ∴ sen(α) = −sen(−α). (1.6a)
cos(α) = OQ = cos(−α) ∴ cos(α) = cos(−α). (1.6b)
Estas identidades também podem ser facilmente observadas nas Figuras 1.11 e 1.12 respectivamente. Finalmente
tg(α) =
sen(α)
cos(α)
=
−sen(−α)
cos(−α) = −tg(−α) ∴ tg(α) = −tg(−α). (1.6c)
8
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6
0 pi 2pi 3pi 4pi−pi−2pi−3pi−4pi
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