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1 � NIVELAMENTO 2007/1 MATEMÁTICA BÁSICA Núcleo Básico da Primeira Fase 2 Instituto Superior Tupy Nivelamento de Matemática Básica ÍNDICE 1. Regras dos Sinais ............................................................................................................... 3 2. Operações com frações ...................................................................................................... 3 2.1 Adição e Subtração .............................................................................................. 3 2.2 Multiplicação ....................................................................................................... 3 2.3 Divisão ............................................................................................................... 4 2.4 Potenciação ........................................................................................................ 4 2.5 Radiciação .......................................................................................................... 4 3. Seqüência de Operações ..................................................................................................... 4 4. Produtos Notáveis .............................................................................................................. 4 4.1 Quadrado da soma de dois termos ....................................................................... 4 4.2 Quadrado da diferença de dois termos .................................................................. 5 4.3 Produto da soma pela diferença de dois termos ..................................................... 5 5. Fatoração .......................................................................................................................... 6 6. Equação do 1º Grau ............................................................................................................7 6.1 Resolução de uma equação do 1º grau ................................................................. 7 7. Equação do 2º Grau ............................................................................................................7 7.1 Resolução de uma equação do 2º grau ................................................................. 7 8. Equações Irracionais .......................................................................................................... 9 9. Sistemas de Equações do 1º Grau ....................................................................................... 10 9.1 Método da Substituição ........................................................................................ 10 9.2 Método da Adição ................................................................................................ 10 10. Trigonometria no Triângulo Retângulo ............................................................................... 12 10.1 Teorema de Pitágoras ........................................................................................ 12 10.2 Relações Trigonométricas ................................................................................... 13 Anotações: Acadêmico(a): _______________________________________________ Turma: _____________ 1º semestre de 2007. 3 Instituto Superior Tupy Nivelamento de Matemática Básica 1. REGRAS DOS SINAIS 1.1 Adição e Subtração Regra: Sinais iguais: Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal. Sinais diferentes: Subtraímos os algarismos e aplicamos o sinal do maior. Exemplos: 336) 336) 936) 936) −=+− =− −=−− =+ d c b a 1.2 Multiplicação e Divisão Regra: Sinais iguais: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal positivo. Sinais diferentes: Operamos os algarismos e aplicamos o sinal negativo. Exemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1836) 1836) 1836) 1836) −=+⋅− −=−⋅+ =−⋅− =+⋅+ d c b a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 236) 236) 236) 236) −=+÷− −=−÷+ =−÷− =+÷+ h g f e 2. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 2.1 Adição e Subtração Para adicionar ou subtrair frações, devemos proceder da seguinte maneira: • Reduzimos as frações ao mesmo denominador, isto é, devemos calcular o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) dos denominadores; • Adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador comum; • Simplificamos o resultado sempre que possível. Exemplos: a) 10 31 = 10 15 + 16 = 2 3 5 8 + b) 30 1 = 30 36 20 + 15 = 5 6 3 2 + 2 1 − − − c) 9 2 18 4 18 389 6 1 9 4 2 1 2 2 == +− =+− ÷ ÷ 2.2 Multiplicação Para multiplicarmos frações, procedemos da seguinte forma: • Multiplicam-se os numeradores entre si; • Multiplicam-se os denominadores entre si; • Simplifica-se a fração resultante, sempre que possível. Exemplos: a) 10 21 = 5 2 7 3 = 5 7 2 3 ⋅ ⋅ ⋅ b) ( ) ( ) 5 1 5 - = 3 15 - = 31 53- = 3 5 3 3 3 −= ⋅ ⋅ ⋅− ÷ ÷ 4 c) 27 1 3 1 1 1 9 1 6 1 7 2 9 7 6 1 7 2 9 7 27 27 += −⋅ +⋅ − = −⋅ +⋅ − = −⋅ +⋅ − ÷÷ ÷÷ Observação: Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes de efetuá-la, conforme o exemplo c. 2.3 Divisão Para dividir duas frações, procedemos da seguinte forma: • Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda fração; • Simplifica-se o resultado sempre que possível. Exemplos: a) 2 5 3 7 = 2 5 . 7 3 = 14 15 ÷ b) 16 1 = 80 5 = 20 1 . 4 5 = 20 4 5 5 5 -- ÷ ÷ −÷ − 2.4 Potenciação Para elevar uma fração a um certo expoente, eleva-se o numerador e o denominador a esse expoente. Exemplos: a) 9 4 = 3 2 = 3 2 2 22 ++ − b) 10 23 23 0 0 = 10 = 1 1 = 1 0 c) 27 8 = 3 2 = 2 3 3 33 ++ + − d) 36 25 6 5 = 6 5 = 5 6 2 22-2 +=+ − − Observações:• Elevando um número ao expoente par, o resultado será positivo, conforme o exemplo a. • Elevando um número a um expoente ímpar, o resultado terá o sinal do próprio número, conforme o exemplo c. 2.5 Radiciação Para obter a raiz de uma fração, extrai-se as raízes do numerador e do denominador. Exemplos: a) 16 25 = 16 25 = 4 5 b) 2 1 = 8 1 = 8 1 3 3 3 c) ∉− 9 4 � Observações: • Quando o índice da raiz for par não existirá a raiz de um número negativo, conforme o exemplo c. • � → conjunto dos números reais 3. SEQÜÊNCIA DE OPERAÇÕES As expressões numéricas e algébricas devem ser resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operação: 1º → Potenciação e Radiciação; 2º → Multiplicação e Divisão; 3º → Adição e Subtração. Essas operações são assim realizadas: 1º → Parênteses; 2º → Colchetes; 3º → Chaves. 4. PRODUTOS NOTÁVEIS Certos produtos aparecem com bastante freqüência no cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por exemplo. Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz, 5 significa: produto → “resultado da multiplicação”, e notável → “que se destaca”. O único problema é que, às vezes, eles aparecem e a gente nem nota! Estes Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos poderão ser calculados usando-se a propriedade distributiva (conhecida como “chuveirinho”), ou então, de forma mais direta, através de algumas regras que veremos a seguir. 4.1 Quadrado da Soma de dois Termos ( ) ( ) ( )bababa +⋅+=+ 2 22 bababa +++= Portanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. Exemplos: a) (x + y)2 = (x) 2 + [ 2 . (x) . (y) ] + (y) 2 x2 + 2xy + y2 b) (3a + 2)2 = (3a) 2 + [ 2 . (3a) . (2) ] + (2) 2 9a2 + 12a + 4 4.2 Quadrado da Diferença de dois Termos • Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser enunciado da mesma maneira que o quadrado da soma de dois termos. Então temos: ( ) ( ) ( )bababa 2 −⋅−=− 22 bababa +−−= Portanto: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do segundo termo”. Exemplos: a) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 b) (3a – 5)2 = (3a)2 – [ 2.(3a).(5) ] + (5)2 = 9a2 – 30a + 25 4.3 Produto da Soma e Diferença de dois Termos • O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores. Veja: ( ) ( )baba −⋅+ 2222 babababa −=−+−= Portanto: (a + b).(a – b) = a2 – b2 Logo podemos estabelecer a seguinte regra: “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”. Exemplos: a) (x + y).(x – y) = x2 – xy + yx – y2 Logo: (x + y).(x – y) = x2 – y2 b) (3a – 5).(3a + 5) = (3a)2 – (5)2 = 9a2 – 25 ## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Calcule os quadrados e os produtos: a) (a + 5)2 f) (x + 3).(x – 3) b) (x + 1)2 g) (2x – 1).(2x + 1) c) (2x + 3y)2 h) (7 + a).(– a + 7) d) (a – 2)2 i) (¾ – 4y).(4y + ¾) e) (x – 1)2 j) (m2 – ½).(m2 + ½) Respostas: 4 1)16 16 9)49) 14)9)12)44) 9124)12)2510) 422 2222 2222 −−− −−+−+− ++++++ mjyiah xgxfxxeaad yxyxcxxbaaa 2) Simplifique as expressões: a) (a – 2)2 – 2(a + 2) = b) (y + 5)2 – y(y + 10) = c) (a + b)2 + (a – b) 2 = d) (x – 3)2 + (x + 3) 2 = e) (x + y)(x – y) + (x + y)2 – 2xy = Primeiro termo Segundo termo Quadrado do 2º termo Quadrado do 1º termo 2 vezes o 1º pelo 2º termo 6 Respostas: 22222 2)182)22)25)6) xexdbacbaaa ++− # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # 1) Efetue as operações: a) (2x + 1)2 + (2x – 1)2 = b) 3(y2 – 1)2 + 2(2y + 2)2 = c) (2xy + 3)(x2 – 2) – (x – 1)2 = d) (2x + 1)2 + 2x(x – 1)2 = e) (ab + 1)2 + ab(ab + 2) = f) (4ay – 1)2 – 4(ay – 1)2 = Respostas: 32212)14222)1632) 7222432)11162243)228) −++++ −++−++++ yafabbaexxd xxxyyxcyyybxa 2) Nos exercícios abaixo, obtenha os produtos notáveis: a) (3m2 + 4n)2 = e) (3a2 – 2b6)2 = b) (7y2 + 3y4)2 = f) (1 + x5)2 = c) (b4 + c5)2 = g) (– x + 3)2 = d) (x2 – 3)2 = h) (– x – 2y)2 = Respostas: 2442)962) 10521)124621249)9264) 105428)89642449)21622449) yxyxhxxg xxfbbaaexxd ccbbcyyybnnmma +++− +++−+− ++++++ 3) Calcule os seguintes produtos notáveis: a) = − 2 4 12xy d) = − 2 22 6 1 4 1 yx b) = − 22 3 3 bab e) = + 22 7 4 5 1 m c) = − 2 32 2 3 1 abba Respostas: 4 49 162 35 8 25 1)4 36 122 12 14 16 1) 62443 3 424 9 1) 9 432229) 16 1224) mmeyyxxd bababacbabbabxyyxa +++− +−+−+− CURIOSIDADE: Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis para facilitar alguns cálculos específicos. Veja: Qual o produto de (41).(39)? Transformando a multiplicação para um produto notável, temos: (40 + 1).(40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599 Agora tente você! Calcule (101).(99) utilizando um produto notável. RESUMINDO: ( ) ( ) 2222 2 babababa ++=−−=+ ( ) ( ) 2222 2 babababa +−=+−=− ( )( ) ( )( ) 22.. bababababa −=+−=−+ 5. FATORAÇÃO Fatorar uma expressão é reescrevê-la em fatores (partes) que se multiplicam. Estas partes (fatores) podem apresentar números e/ou variáveis que devem ser escritas com os menores números possíveis, e, as variáveis (letras), com o menor expoente natural possível. Observe a igualdade abaixo: 5a + 5b = 5(a + b) Como 5a + 5b poder escrito 5(a + b), dizemos que expressão 5a + 5b foi fatorada, tendo como fator comum o número “5”, que foi colocado em evidência. Exemplos: a) ab + ac = a(b + c) → fator comum “a” b) 6x2 + 2x3 = 2x2(3 + x) → fator comum “2x2” c) 10m + 20m2 = 10m(1 + 2m) → fator comum “10m” ## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Fatore as expressões: a) aaa 18126 23 +− b) 432 302015 xxx −− c) 543 20125 aaa +− d) 22 93 xyyx − e) )()(2 yxxyx −−− f) )(6)(3 babax +++ Respostas: a) 6a(a2 – 2a + 3) b) 5x2(3 – 4x – 6x2) c) a3(5 – 12a + 20a2) d) 3xy(x – 3y) e) (x – y)(2 – x) f) 3(a + b)(x + 2) # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # 1) Simplifique as expressões dadas: 7 a) 4 44 ba + e) 2 23 1115 x zxyx − b) a ayax 5 2510 − f) ba baba 37 73 322 − +− c) 3 1812 yxy − g) 2 32 2 48 yx xyyx −− −− d) nm nm −− 77 Respostas: a) a + b b) 2x – 5y c) 2y(2x – 3) d) 7 e) 15xy – 11z f) a2 b g) 4xy 6. EQUAÇÃO DO 1°°°° GRAU Equação do 1° grau é toda equação que se reduz à forma ax + b = 0, onde a e b são números reais, com a ≠≠≠≠ 0. Vejamos alguns exemplos: a) ⇒+=− 13579 xx 0204013759 =−⇒=−−− xxx b) ⇒ − = − − + 2 43 6 94 3 12 xxx 0212 1299424 6 )43(3 6 )94()12(2 =+ ⇒−=+−+ ⇒ − = −−+ x xxx xxx 6.1 Resolução de uma Equação do 1°°°° Grau Resolver uma equação do 1° grau é determinar o valor de “x” (variável) que satisfaz a igualdade. Vejamos alguns exemplos: a) 13579 +=− xx 5 4 20 204 71359 =⇒= = +=− xx x xx Temos então que: { }5=S b) 2 43 6 94 3 12 xxx − = − − + ( ) ( ) ( ) 6 1 12 2 212 2991244 6 129 6 9424 6 433 6 941122 2 2 −=⇒−= −= −−=+− − = +−+ −⋅ = −⋅−+⋅ ÷ ÷ xx x xxx xxx xxx Logo, temos: −= 6 1S ## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Resolva as equações a seguir: a) ( ) ( )12424 −+=− xx b) ( )[ ] ( )1932425 +=++− xxx c) 4 1 3 2 26 1 +−=− xx d) 4 313 2 1 8 52 + = − + − mmm e) ( ) ( ) 4 235 3 12 3 14 + = + + + xxx Respostas: { } { } −− 7 6 ) 4 3 ) 2 1 )2)5) edcba 7. EQUAÇÃO DO 2°°°° GRAU Equação do 2° grau é toda equação que se apresenta na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais, com a ≠≠≠≠ 0. Vejamos alguns exemplos: a) 3x2 – 7x + 2 = 0 a = 3; b = –7; c = 2 b) 2x2 – 10x = 0 a = 2; b = 10; c = 0 c) –x2 + 5 = 0 a = –1; b = 0; c = 5 d) 4x2 = 0 a = 4; b = 0; c = 0 7.1 Resolução de uma Equação do 2°°°° Grau A resolução de uma equação do 2º grau pode ser obtida através de uma fórmula, usualmente chamada Fórmula de BHÁSKARA: 8 02 =++ cbxax a acbb x 2 42 −±− = A expressão cab ⋅⋅− 42 , chamada de discriminante da equação, é geralmente representada pela letra grega ∆∆∆∆ (lê-se: delta). Então: ac4b 2 −=∆ Logo, se 0≥∆ , podemos escrever: a b x 2 ∆±− = Observe que, quando 0<∆ , a equação não admite raízes reais. Exemplo: a) Resolva a equação 2x2 + 7x + 3 = 0 Valores: a = 2; b = 7; c = 3 Fórmula: a acbb x 2 42 −±− = Substituindo os valores, temos: 22 32477 2 ⋅ ⋅⋅−±− =x 4 24497 −±− =x 4 57 22 257 ±− = ⋅ ±− =x Então: 4 2 4 57 1 −= +− =x 2 1 1 −=∴ x 4 12 4 57 2 −= −− =x 32 −=∴ x Logo, o conjunto-solução, também chamado de conjunto-verdade é: −−= 3, 2 1V ## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Determine o conjunto-verdade das equações: a) 01522 =−+ xx b) 0103 2 =− pp c) 02012 2 =++ yy d) 0642 =−x e) 0806010 2 =+− xx f) 1 10 2 − = y y g) yy 12159 2 −=+ h) 2 51 1 = + + + x x x x i) 332122 −=− xx Respostas: { } { } { } { } { } { } { }3,33) 1,2) 3 2 )4,5)2,4) 8,8)10,2) 10 3 0)5,3) −= −=−=−== −=−−==−= Vi VhVgVfVe VdVc,VbVa # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equação do 1º Grau) 1) Determine o conjunto-solução das equações abaixo: a) ( ) ( ) 201.23.5 =−−+ xx b) ( ) ( )4.33.25 −−=+− xxx c) 8 7 8 3 2 11 +=++ x d) 3 12 2 14 +− = − xx e) ( ) x xxx 2 1 4 3 12 3.5 3 = − + − + f) ( ) ( ) xxx 5 6 112. 2 5 3 3.2 =+−+ + 2) Resolva as equações, apresentando o conjunto verdade: 9 a) 12 342 − −=− a b) xx x x 3 4 2 1 3 10 22 = − − c) 3 2 4 2 3 −= + + + xx x d) 22 9 8 18 11 nnn n =− − e) 1 2 3 4 2 = − − − xx f) 3 3 52 1 1 = − − + − + x x x x Respostas: 1a) S = {1} 1b) S = {3} 1c) S = {–1/4} 1d) S = {5/16} 1e) S = {4} 1f) S = {1/2} 2a) V = {3/4} 2b) V = {23/11} 2c) V = {–5/3} 2d) V = {2} 2e) V = {0} 2f) V = {7/3} # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equação do 2º Grau) 1) Determine o conjunto-solução das equações: a) 0654 2 =−− xx b) 01710 2 =+− xx c) 036122 =+− xx d) 0532 =+− xx e) 052 2 =−− xx f) 07 2 =+ xx g) 092 =− xx h) 0322 2 =−x i) 0624 2 =+− x j) 0273 2 =+− x l) 017,01,0 2 =+− xx m) 0422 =−+ xx n) 4 4 2 2 2 1 2 − = − + + − x x xx x o) 1 1 3 1 2 = − − + + − x x x x p) 0121762 =+− xx q) 1 1 1 1 2 2 −=+ + − xx r) 5 55 5 5 − += − + xx x s) ( ) 4 1 7 4 16 39 7 13 22 − − − = + − − xxxx Respostas: a) {2, –3/4} b) {1/2, 1/5} c) {6} d) {x ∉ �} e) {0, –5/2} f) {–1/7, 0} g) {0, 9} h) {± 4} i) { 2/62± } j) {± 3} l) {2, 5} m) { 22− , 2 } n) {3} o) {0, 5} p) {2/3, 3/4} q) {0} r) S = ∅ s) {5, 11/12} 8. EQUAÇÕES IRRACIONAIS É toda equação que apresenta, pelo menos uma, variável no radicando. Veja os exemplos: a) xx 52 =− b) 022 =+− xx Para se resolver uma equação do tipo irracional, normal– mente isolamos o termo que possui a variável no radican do e, em seguida, elevamos os 2 membros da equação a uma potência conveniente. Exemplo: Encontre o conjunto-solução da equação irracional dada por: xx =++ 51 . Resolução: Para se resolver a equação dada, deve–se observar que todas as raízes (soluções) encontradas, de– vem dar sentido a expressão 5+x , ou seja, 05 ≥+x . Pode–se dizer também que a condição de existência (CE) da equação em questão é 05 ≥+x . Logo: CE: 5−≥x Continuando: xx =++ 51 15 −=+ xx ( ) ( )22 15 −=+ xx 125 2 +−=+ xxx 0125 2 =−+−+ xxx ⇒ 0432 =++− xx .( –1) 0432 =−− xx Aplicando a fórmula de Bháskara, encontraremos: x1 = 4 e x2 = – 1 Para garantirmos a veracidade da solução, sempre devemos fazer uma verificação de todos os valores encontrados: 11 51 xx =++ 22 51 xx =++ 4541 =++ 1511 −=+−+ 491 =+ 141 −=+ 143 −= 121 −=+ 33 = 13 −= (Absurdo!) Portanto, o conjunto-solução será: S = { 4 }. 10 Observação Importante: Note que: ||2 xx = , e que: <− ≥ = 0, 0,|| xsex xsex x Como exemplo: 7772 −==∴= xouxx . ## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Determineo conjunto-verdade que satisfaz cada uma das equações: a) 1192 +=− xx b) 1332 =+− xx c) 53 −=− xx d) xx −=+ 42 e) xx −=12 f) 2 4 4 x x x − = − g) 137 =−− xx Respostas: 1a) V = {– 4, 5} 1b) V = {1, 2} 1c) V = {7} 1d) V = {2} 1e) V = {9} 1f) V = {2} 1g) V = {1, 4} # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Equações Irracionais) 1) Encontre o conjunto-solução das equações irracionais: a) 71212 =++ x b) xx 4123 −=+ c) 6)3(.)8( =++ xx d) 2225 −=+− xx e) xxx =−− 241 f) 22147 =−+ x g) 11224 3 =−− x h) 013 23 =−−+ xxx i) 4716 +=+++ xxx Respostas: 1a) S = {4} 1b) S = {9} 1c) S = {1} 1d) S = {9} 1e) S = {1} 1f) S = {1/2} 1g) S = {1} 1h) S = {±1} 1i) S = {3} 9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU Resolver um sistema de equações do 1º grau é determinar o par ordenado (x, y) para o qual, as duas equações são verdadeiras. Vamos recordar dois métodos de resolução: o método da substituição e o método da adição. 9.1 Método da Substituição Vejamos um exemplo: a) Resolva o sistema: − II3 I5 y = x x + y = Resolução: Isolando o valor de “x” em I: x + y = 5 → x = 5 – y Substituindo “x” por (5 – y) em II, temos: x – y = 3 (5 – y) – y = 3 → 5 – y – y = 3 → – y – y = 3 – 5 → – 2y = –2 → 2y = 2 → y = 2 2 → y = 1 Substituindo y = 1 em x = 5 – y , temos: x = 5 – (1) → x = 5 – 1 → x = 4 Então, encontramos o par ordenado que gera a solução: S = { (4 , 1) } 9.2 Método da Adição Vejamos um exemplo: a) Resolva o sistema: − II 5 I 9 y = x x + y = Resolução: Adicionando membro a membro as equações, de modo que a soma de uma das variáveis torne-se nula: 11 142 5 9 x = y = x y = x + − + x = 14 2 → x = 7 Substituindo x = 7 em I, temos: x + y = 9 7 + y = 9 y = 9 – 7 → y = 2 Assim, temos o par ordenado que gera a solução: S = { (7 , 2) } ## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Determine a solução para cada um dos sistemas abaixo: a) − 1323 6 y = x x + y = b) − 8 132 y = x x + y = c) y x ara p y = x = x + y x −≠ − 1 5 3 d) 0 43 5 ≠ − ypara y = x = y x e) yx ara p y = x = x + y −≠ − 1 2 33 f) yx ra pa = yx = x + y x ±≠ − − 24 3 1 g) 2 24 1 2 3 ≠−≠ − − xey x para = x + y = x y h) 0 232 2 y para y = x + = y x ≠ − i ) 3 1 5 7 3 12 −≠ − y para y = x = y + x + Respostas: ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }2,3)4,8)1,1)4,2) 2 1 , 2 3)2,10)2,3)1,7)1,5) ==−−== ===−== SiShSgSf SeSdScSbSa # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Sistemas de Equações do 1º Grau) 1) Resolva os sistemas de equações: a) =− =+ 125 832 yx yx b) =− −−=− 734 2)(2 yx yxyx c) =− =+ 1,221,3 35,05,01,0 yx yx 2) Se o par ( )ba, é a solução do sistema −=+ =+ 1252 423 yx yx , calcule o valor de ba + . 3) Resolva o sistema abaixo: ( ) −=−− + = + + − 12 2 1 3 2 6 7 3 3 2 baba baba 4) Resolva o sistema: + =+ − = + − 2 3 3 0 2 12 yxyx yx 12 5) Se o par ordenado ( )yx, é a solução do sistema abaixo, calcule o valor de 22 yx − . + + + = − − + − + = − + 1 1 82 3 13 1 1 2 4 12 y y x x y y x x Respostas: 1a) S = {(1, 2)} 1b) S = {(1, –1)} 1c) S = {(1, 1/2)} 2) S = {0} 3) S = {(2, –1)} 4) S = {(8,2)} 5) S = {45} # EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # (Problemas envolvendo Equações do 1º e 2º Graus) 1) A soma do quádruplo de um número com 63 é igual a 211. Qual é esse número? 2) Quando diminuímos 8 anos da idade de Helena, obtemos 5 3 de sua idade. Qual é a idade de Helena? 3) Se adicionarmos um número natural com o seu sucessor e multiplicarmos o resultado por 5, vamos obter 635. Qual é o número natural considerado? 4) Se do número 2 subtrairmos o quíntuplo do inverso de um número, obteremos a fração 2 3 . Qual é o número? 5) Divide-se um número pelo seu consecutivo. Soma-se ao resultado dessa divisão o dobro do inverso do número e obtém-se 1. Qual é esse número? 6) Uma sala retangular tem 3m a mais de comprimento que a largura. Se a área da sala é de 54m2, qual é o seu perímetro? 7) Juntos, dois terrenos quadrados ocupam uma área de 296 m2. O lado de um dos terrenos tem 4m a mais que o lado do outro. Qual é área de cada terreno? 8) Diminuindo 3m de cada lado de um terreno quadrado, obteremos um novo terreno de área 196m2. Qual é a área do terreno original? 9) Se do quadrado de um número subtrairmos 12, obteremos o próprio número. Qual é esse número? Respostas: 1) 37 2) 20 anos 3) 63 4) 4 15 5) – 2 6) 30 m 7) 196m2 e 100m2 8) 289 m2 9) 4 ou –3 10. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 10.1 Teorema de Pitágoras Em todo triângulo retângulo temos que: "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos". Podemos escrever: (hip)2 = (cat)2 + (cat)2 Ou ainda: a2 = b2 + c2 Observações: • Um triângulo é dito “retângulo” quando possui um ângulo reto (90º). • A hipotenusa sempre será o maior lado de um triângulo retângulo, figurando sempre à frente do ângulo reto. Exemplo: 1) Calcular o valor de “x” no triângulo retângulo abaixo: 52525 16943 2 2222 =⇒=⇒= ⇒+=⇒+= xxx xx ## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Aplicando o Teorema de Pitágoras, calcule os valores de “x” para cada caso: a) • • • 13 b) c) d) e) f) g) 2) Usando o teorema de Pitágoras, calcule: a) b) c) Respostas: 1a) 35 1b) 9 1c) 3 1d) 3 1e) 7,5 1f ) 5 1g) 38,75 2a) x = 53 , y = 52 2b) x = 6, y = 4,8 2c) x = 8, y = 4,8 10.2 Relações Trigonométricas Num triângulo retângulo ABC, reto em Â, temos: O cálculo do Seno (sen), Cosseno (cos) e Tangente(tg) de um ângulo agudo: H CO Hipotenusa OpostoCateto sen ==θ • • • • • • • • • • • • • 14 H CA Hipotenusa AdjacenteCateto ==θcos CA CO AdjacenteCateto OpostoCateto tg ==θ O que determina se o cateto é oposto ou adjacente é a sua posição em relação ao ângulo escolhido. Observações: • Num triângulo a soma dos seus ângulos internos mede 180o. • A área (superfície) do triângulo é dada por: 2 hbS 2 altura x baseS ⋅=⇒= As razões trigonométricas podem ser obtidas através de tabelas trigonométricas ou em calculadoras. ângulo seno cosseno tangente 30 o 2 1 = 0,500 2 3 ≅ 0,866 3 3 ≅ 0,577 45o 2 2 ≅ 0,707 2 2 ≅ 0,707 1 60o 2 3 ≅ 0,866 2 1 = 0,500 3 ≅ 1,732 90o 1 0 Exemplos: 1) No triângulo retângulo da figura abaixo, calcular a medida x. Dados: o30 de ângulo ao oposto cateto = x hipotenusa = 6 3 2 6 =x 62x2x = 61 6 x = 2 1 6 x = 30 30 o =⇒ ⇒=⇒⋅ ⇒⇒ = x sen H CO sen o 2) Calcular a medida da altura do prédio, sabendo que existe um observador a 3m do prédio observando sob um ângulo de 60º. Dados: o o 60 de ângulo ao oposto cateto = x 60 de ângulo ao adjacente cateto = 3m m 33x 3 x = 3 3 x = 60 tg o =⇒⇒ ou m 5,196x 3 x =,7321 3 x = 60 tg o =⇒⇒ Resposta: A altura do prédio é de .m196,5oum33 ## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 1) Em cada caso, calcule sen αααα, cos αααα e tg αααα. a) • • 15 b) c) 2) Uma pessoa de 1,70 m de altura vê o topo de um prédio segundo um ângulo de elevação de 60°. a) Qual a altura do prédio, se a distância da pessoa a ele for 30m? b) Qual a distância da pessoa a ele, no caso de um prédio ter 40m de altura? 3) A distância de uma pessoa a uma árvore é de 45m. Essa pessoa tem 1,80m de altura e o ângulo de elevação segundo o qual ela vê o topo da árvore é de 25°. Determine a altura dessa árvore. (tg 25º = 0,466; sen 25º = 0,422; cos 25º = 0,906) 4) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de depressão de 30°. Qual é a distância da torre até a praia? 5) Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 30° em relação ao plano horizontal. Quando percorrer, em linha reta, 5.000m, qual será a altura atingida pelo avião? 6) Do alto de uma torre de 50 m de altura, avista-se a praia sob um ângulo de 45° em relação ao plano horizontal. Para transportar material da praia até a torre, um carroceiro cobra R$ 0,10 por metro. Quanto ele recebe para cada transporte que faz? 7) Na construção de um telhado, foram usadas telhas francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6m de telhado e que, até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. (sen 20° = 0,342; cos 20° = 0,939; tg 20° = 0,363) • • 16 8) Determine o valor de “x” na figura abaixo: 9) Nas figuras abaixo, calcular o valor de “x” e “y”: a) b) Respostas: 1a) sen α = 0,45 / cos α = 0,89 / tg α = 0,50 1b) sen α = 0,60 / cos α = 0,80 / tg α = 0,75 1c) sen α = 0,83 / cos α = 0,55 / tg α = 1,50 2a) 53,66m 2b) 22,11m 3) 22,77m 4) 86,60m 5) h = 2500m 6) R$ 5,00 7) x = 5,05m 8) x = 3 9a) x = 2 , y = 4 9b) x = 28,39 Para refletir.... “Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula”. (Jacques Chapellon) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (comentadas) • GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática: uma nova abordagem. v.1. São Paulo: FTD, 2000. ���� Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios envolvendo trigonometria no triângulo retângulo (logo no início do livro). • GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIONVANNI JR, José Ruy. A Conquista da Matemática: teoria e aplicação. 7ª série. São Paulo: FTD, 1992. ���� Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do 1º grau e sistema de equações do 1º grau. • GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy. Aprendizagem e Educação Matemática, 7. São Paulo: FTD, 1990. ���� Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações algébricas, equação do 1º grau e sistemas de equações do 1º grau. • GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy. Aprendizagem e Educação Matemática, 8. São Paulo: FTD, 1990. ���� Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios envolvendo equações do 2º grau e trigonometria no triângulo retângulo. ANOTAÇÕES E LEMBRETES: • • •
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