Lista 7 - Cálculo III

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7a Lista de Cálculo Diferencial e Integral III
1. Calcule a área da superfície da esfera unitária S, parametrizada por ϕ : D −→ S ⊂
R3, onde D é o retângulo 0 ≤ θ ≤ 2pi, 0 ≤ φ ≤ pi e ϕ é dada por ϕ(θ, φ) =
(cos θ sen φ, sen θ sen φ, cosφ).
2. Diga o que ocorre se no exercício anterior deixamos variar φ de −pi/2 a pi/2? de 0 a
2pi?Porque obtemos respostas diferentes?
3. Calcule a área da superfície parametrizada por ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, θ) com 0 ≤
r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2pi.
4. Seja ϕ(u, v) = (u− v, u+ v, uv) e seja D o disco unitário no plano uv. Calcule a área
de ϕ(D).
5. Calcule a área da superfície de revolução obtida ao girar em torno do eixo Oy a curva
y = x2, com 0 ≤ x ≤ 1.
6. Calcule a área da superfície definida por x+ y + z = 1, x2 + 2y2 ≤ 1.
7. Calcule a área da superfície dada por x = r cos θ, y = 2r cos θ e z = θ com 0 ≤ r ≤ 1
e 0 ≤ θ ≤ 2pi. Esboce o gráfico.
8. O cilindro x2 + y2 = x divide a esfera unitária S em duas regiões S1 e S2, onde S1 é
a porção da esfera que está no interior do cilindro e S2 é a porção da esfera exterior ao
cilindro. Determine A(S1)/A(S2).
9. Calcule
∫∫
S
xy dS, onde S é a superfície do tetraedro de lados z = 0, y = 0, x+ z = 1
e x = y.
10. Calcule
∫∫
S
z dS, onde S é o hemisfério superior da esfera de raio a com centro na
origem.
11. Calcule
∫∫
S
(x+ y + z) dS, onde S é a fronteira da bola unitária B.
12. Calcule
∫∫
S
xyz dS, onde S é o triângulo de vértices (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 1, 1).
13. Calcule
∫∫
S
z dS, onde S é a superfície z = x2 + y2, x2 + y2 ≤ 1.
14. Calcule
∫∫
S
z2 dS, onde S é a fronteira do cubo [−1, 1]× [−1, 1]× [−1, 1].
15. Uma superfície metálica S tem a forma de um hemisfério z =
√
R2 − x2 − y2, 0 ≤
x2+y2 ≤ R2. A densidade da massa no ponto (x, y, z) ∈ S é dada porm(x, y, z) = x2+y2.
Calcule a massa total de S.