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Geogebra_ Lista de exercícios sobre Geometria Analítica e Soluções

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21/09/2015 Geogebra: Lista de exercícios sobre Geometria Analítica e Soluções
http://geogebristas.blogspot.com.br/p/lista­de­exercicios­sobre­geometria.html 1/20
Geogebra
Lista de exercícios sobre Geometria Analítica e
Soluções
Solução da Lista de Atividades
1)  Determine o ponto médio entre A=(­4,1) e B=(­2,5).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A e B. 
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida,
no ponto B (pode ser em B e depois em A).
Verifique que aparecerá na Janela de Visualização e na Janela de Álgebra a seguinte
solução: C=(­3,3).
2)  Divida o segmento AB em 5 partes iguais, dados A=(­3,5) e B=(2,­5).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A e B.
No 9º ícone da barra de ferramentas, escolha "Homotetia dados Centro e Razão".
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21/09/2015 Geogebra: Lista de exercícios sobre Geometria Analítica e Soluções
http://geogebristas.blogspot.com.br/p/lista­de­exercicios­sobre­geometria.html 2/20
Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B (a ordem aqui é muito importante).
Aparecerá uma caixa para digitar a fração em que os pontos que dividirão AB
aparecerão a partir do último ponto clicado (neste caso foi B). Digite 1/5 e tecle
<ENTER>.
Repita o procedimento para os próximos pontos. Assim:  
­ Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Digite 2/5.
­ Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Digite 3/5.
­ Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Digite 4/5.
Verifique que aparecerá na Janela de Visualização a solução, que são os pontos:
(1,­3); (0,­1); (­1,1); (­2,3).
3)  Encontre o ponto de interseção entre as retas (r) 3x­2y=7 e (s) 2x+5y=11.
Solução:
Na caixa de entrada, digite as equações da retas r e s (para nomear, digite r:3x­
2y=7..., ou então, após digitar a equação na caixa de Entrada, clique com o botão
direito e escolha "renomear" r, porque o default é a)
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Interseção de Dois Objetos". Clique na
reta r e em seguida na reta s. Ou então, na Janela de Visualização, aponte o cursor
para o ponto de interseção e verifique que as duas retas ficarão mais escuras. Clique
neste ponto e ele aparecerá.
Verifique que aparecerá na Janela de Visualização e na Janela de Álgebra a seguinte
solução: A=(3,1).
21/09/2015 Geogebra: Lista de exercícios sobre Geometria Analítica e Soluções
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4)  Determine a equação reduzida da reta (s) 2x+y=5.
Solução:
Na caixa de entrada, digite a equação da reta s. 
Na janela de álgebra, clique com o botão direito em cima da equação da reta s e
escolha "Equação y=ax+b".
Verifique que aparecerá na Janela de Álgebra a equação reduzida: s: y=­2x+5.
5)  Determine a inclinação da reta formada pelos pontos A=(0,1) e B=(­3,4).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A e B. 
Na caixa de entrada, digite "reta[A,B]", ou no 4º ícone da barra de ferramentas,
escolha "Reta definida por Dois Pontos".
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Na Janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique no ponto A e, em seguida,
no ponto B.
No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Inclinação".
Verifique que aparecerá na Janela de Álgebra a seguinte solução: a1=­1 e na Janela
de Visualização:
6)  Determine a distância entre os pontos A=(2,4) e B=(6,1).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A e B. 
No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Distância, Comprimento ou
Perímetro".
Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de
Visualização: d=5 (distânciaAB=5).
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7)  Determine a distância entre o ponto A=(­2,3) e a reta (t) 2x+3y=­4.
Solução: 
Na caixa de entrada, digite os pontos A e a equação da reta t.
No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Distância, Comprimento ou
Perímetro".
Na Janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique no ponto A e, em seguida,
na reta t.
Verifique  que  aparecerá  a  solução  na  Janela  de  Álgebra  e  também  na  Janela  de
Visualização: d=2,5 (distânciaAt=2.5).
8)  Determine a área do ∆ABC, em que A=(­1,4), B=(1,0) e C=(3,6).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".
Na janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique nos pontos A, B, C e A
(qualquer que seja o polígono, é sempre necessário voltar ao primeiro ponto para
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fechar o polígono).
Verifique que aparecerá automaticamente a solução na Janela de Álgebra: Area=10
(pol1=10).
9)  Verifique se os pontos A=(1,5), B=(3,2) e C=(6,­2) estão alinhados.
Solução:Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".
Na janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique no ponto A, B, C e A
novamente.
Verifique que, na janela de Álgebra, aparece uma área diferente de zero, o que mostra
que os pontos não estão alinhados (pol1=0.5).
10)   Dado ∆ABC, em que A=(­3,1), B=(1,6) e C=(4,­2), determine a altura relativa ao
vértice A.
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 3º ícone da barra de ferramentas, escolha "Segmento definido por Dois Pontos" e
clique em B e, em seguida, em C, ou digite "segmento[B,C]" na caixa de Entrada.
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No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Distância, Comprimento ou
Perímetro".
Clique no ponto A e, em seguida, no segmento BC.
Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de
Visualização: d=5,5 (distânciaAa=5.5).
11)   Determine a área do triângulo formado pelos pontos A=(2,3), B=(4,5) e C=(6,2).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".
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Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A, B, C e A
novamente.
Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de
Visualização: Área=5 (pol1=5).
12)   Dados os pontos A=(­1,3), B=(2,1) e C=(­1,­2), determine a equação geral da reta
s que passa por C e é paralela à reta AB.
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 3º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta definida por Dois Pontos", ou
digite "reta[A,B]"na caixa de entrada.
No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta Paralela".
Clique na reta AB e, em seguida, no ponto C.
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Na Janela de Álgebra, verifique a resposta: s: ­2x­3y=8​
13)   Dado o ponto P=(3,2) e a reta (r) 3x+6y=1, encontre a equação reduzida da reta t
que passa por P e é perpendicular a r.
Solução:
Na caixa de entrada, digite o Ponto P e a equação da reta r.
No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta Perpendicular".
Clique no ponto P e, em seguida, na reta r.
Na Janela de Álgebra, clique com o botão direito na equação da reta t ou na Janela
de Visualização, clique em cima da reta e escolha: "Equação y=ax+b".
Na Janela de Álgebra, verifique que aparecerá a resposta: t: y=2x­4.
14)   Determine o ângulo agudo formado pelas retas (r) 7x+2y=7 e (t) 2x­7y=5.
Solução:
Na caixa de entrada, digite as equações das retas r e s.
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No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ângulo".
Na Janela de Álgebra ou na Janela de Visualização, clique na reta r e, em seguida,
na reta s.
Verifique que o Geogebra dá o ângulo obtuso. Tirando 270º de 360º, obtemos a
solução: 90º.
15)   Determine a medida da mediana do ∆ABC, em que A=(­3,­2), B=(1,6) e C=(4,­2),
em relação ao vértice C.
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
Sabendo a definição de mediana, não é necessário desenhar o triângulo para dar a
resposta.
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro". 
Clique no ponto A e, em seguida, no ponto B. Verifique que aparecerá o ponto médio
D.
No 8º ícone da barra de ferramentas, escolha "Distância, Comprimento ou
Perímetro".
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Clique no ponto C e, em seguida, no ponto D.
Verifique que aparecerá a solução na Janela de Álgebra e também na Janela de
Visualização: d=6,4 (distânciaCD=6.4). 
16)   Dado ∆ABC, em que A=(3,2), B=(­3,0) e C=(1,4), determine a equação reduzida
da mediatriz t do lado  AB.
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A, B, C e A
novamente.
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro". 
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida,
no ponto B.
No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta Perpendicular".
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Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no segmento AB e, em
seguida, no ponto D.
Clique na equação da reta t na Janela de Álgebra ou na Janela de Visualização com o
botão direito.
Na janela de Álgebra, verifique a resposta: t: y=­3x+1.
17)   Determine o baricentro do ∆ABC, em que A=(­3,6), B=(­3,­4) e C=(3,4).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Ponto Médio ou Centro". 
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida,
no ponto B. Verifique que aparecerá o ponto médio D.
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida,
no ponto C. Verifique que aparecerá o ponto médio E.
No 3º ícone da barra de ferramentas, escolha "Segmento definido por Dois Pontos" e
clique em C e D, ou digite "segmento[C,D]" na caixa de entrada.
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No 3º ícone da barra de ferramentas, escolha "Segmento definido por Dois Pontos" e
clique em B e E, ou digite "segmento[B,E]" na caixa de entrada.
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Interseção de Dois Objetos". Clique no
segmento CD e no segmento BE. Ou então, na Janela de Visualização, aponte o
cursor para o ponto de interseção e verifique que os dois segmentos ficarão mais
escuros. Clique neste ponto e ele aparecerá.
Verifique que aparecerá na Janela de Visualização e na Janela de Álgebra a seguinte
solução: F=(­1,2).
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
OBS.: Sabendo a definição de baricentro, não é necessário desenhar o triângulo para
dar a resposta. Basta acharmos os pontos médios de dois lados, traçarmos dois
segmentos unindo um vértice ao ponto médio do lado oposto (mediana) e acharmos a
interseção (com apenas duas medianas).
18)   Determine o circuncentro do ∆ABC, em que A=(3,2), B=(­3,0) e C=(1,4).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Mediatriz".
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Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A e, em seguida,
no ponto B.
Repita o procedimento anterior para os pontos A e C.
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Interseção de Dois Objetos".
Clique nas duas mediatrizes. 
Verifique que o circuncentro é o ponto D(0,1).
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­
OBS.: Sabendo a definição de circuncentro, não é necessário desenhar o triângulo
para dar a resposta.
19)   Determine o incentro do ∆ABC, em que A=(­3,­3), B=(­3,0) e C=(1,0).
21/09/2015 Geogebra: Lista de exercícios sobre Geometria Analítica e Soluções
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Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".
Na  Janela  de  Visualização  ou  na  Janela  de  Álgebra,  clique  no  ponto  A,  B,  C  e  A
novamente.
No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Bissetriz".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique nos lados AB e AC.
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique nos lados AC e BC.
No 2º ícone da barra de ferramentas, escolha "Interseção de Dois Objetos". Clique na
bissetriz do vértice A e na bissetriz do vértice C.
Verifique que o incentro é o ponto D(­2,­1). 
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20)   Determine o ortocentro do ∆ABC, em que A=(1,2), B=(­3,0) e C=(­3,4).
Solução:
Na caixa de entrada, digite os pontos A, B e C.
No 5º ícone da barra de ferramentas, escolha "Polígono".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique no ponto A, B, C e A
novamente.
No 4º ícone da barra de ferramentas, escolha "Reta Perpendicular".
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique na reta AC e, em seguida,
no ponto B.
Na Janela de Visualização ou na Janela de Álgebra, clique na reta BC e, em seguida,
no ponto A.
Verifique que o ortocentro é o ponto D(­2,2).
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21)   Seja (c) (x­2)2+(y­2)2=4, determine a equação da reta secante s que passa pelo
ponto P=(3,y) e pelo centro de c.
Solução:
Na caixade entrada, digite o ponto P e a equação da circunferência c.
Digite a equação da circunferência assim: c:(x­2)^2+(y­2)^2=4 ou então na caixa de
entrada de comandos digite as informações da circunferência neste formato:
Círculo[<Centro>, <Medida do Raio> ] que fica assim: Círculo[(2,2),2].
Verifique que são duas as secantes e suas equações estão na Janela de Álgebra.
22)   Determine as equações das retas r e s tangentes à circunferência (c) (x+1)2+(y­
1)2=4 nos pontos de interseção de c com o eixo das ordenadas.
Solução:
Na caixa de entrada, digite a equação da circunferência c.
Verifique as equações na Janela de Álgebra.
23)   Verifique a posição entre as circunferências c1 e c2, sabendo que (c1)  (x­1)2+(y­
3)2=4 e (c2) (x­4)2+(y­3)2=9.
Solução:
Na caixa de entrada, digite as equações das circunferências c1 e c2.
Verifique que as circunferências são secantes.
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24)   Determine a equação da circunferência c1 com centro C1=(­1,1) tangente à 
(c2) (x+2)2+(y­1)2=4.
Solução:
Na caixa de entrada, digite a equação da circunferência c2.
Verifique que há duas possibilidades de circunferências tangentes: uma interna e
outra externa. Na Janela de Álgebra, verifique as soluções:
c11:(x+1)2+(y­1)2=9 e c12:(x+1)2+(y­1)2=1.
25)     Verifique  a  posição  entre  as  circunferências c1  e c2,  sabendo  que  (c1)  x2+(y­
1)2=4 e 
(c2) (x+3)2+(y+1)2=1.
Solução:
Na caixa de entrada, digite as equações das circunferências c1 e c2.
Verifique a solução na Janela de Visualização: exteriores.
26)      Verifique  a  posição  entre  as  circunferências  c1  e  c2,  sabendo  que  (c1)
(x+2)2+y2=9 e 
(c2) (x+2)2+y2=1.
Solução:
Na caixa de entrada, digite as equações das circunferências c1 e c2.
Verifique a solução na Janela de Visualização: Concêntricas (uma dentro da outra).
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27)   Verifique a posição entre as circunferências c1 e c2, sabendo que (c1)  (x­1)2+(y­
2)2=9 e (c2) x2+(y­2)2=1.
Solução:
Na caixa de entrada, digite as equações das circunferências c1 e c2.
Verifique a solução na Janela de Visualização: uma dentro da outra.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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