UFF Provas Cálculo III -A- Rodrigo Salomão 2011.2 e 2012.2

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Rodrigo Salom�o/2011.2/VE1Calculo3A.pdf
GMA – Departamento de Matema´tica Aplicada
1a VE de Ca´lculo 3 - A – Prof. Rodrigo Saloma˜o
Turma: F1 – 22/09/2011
Nome:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativas NA˜O sera˜o aceitas.
1. (2,0 pts) Determine a massa da regia˜o D situada no primeiro quadrante e limitada
pelas curvas x2 + y2 = 9 e x2 + y2 = 25, onde a func¸a˜o densidade de massa e´ dada
por f(x, y) =
√
25− x2 − y2.
2. (2,0 pts) Seja D a regia˜o limitada pelas retas 2x− y = 0, x− y = 0, 2x− y = −2 e
x− y = 1. Calcule
∫
D
xy dxdy.
3. (2,0 pts) Calcule, usando integrais triplas, o volume do so´lido W limitado pelo cone
z =
√
x2 + y2 e pelo parabolo´ide z = x2 + y2.
4. (2,0 pts) Calcule a massa do so´lido W , limitado inferiormente pelo cone z =√
x2 + y2 e superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 4, onde a func¸a˜o densidade de
massa e´ dada por f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2.
5. Considere a curva C obtida pela intersec¸a˜o do plano x+ y = 1 com a parte superior
da superf´ıcie x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0. Calcule:
(a) (1,0 pt) Uma perametrizac¸a˜o de classe C1 para C;
(b) (1,0 pt) A integral de linha
∫
C
(x2 + y2)z ds.
Rodrigo Salom�o/2011.2/VE2Calculo3A.pdf
GMA – Departamento de Matema´tica Aplicada
VE2 de Ca´lculo 3 - A – Prof. Rodrigo Saloma˜o
Turma: F1 – 01/12/2011
Nome:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativas NA˜O sera˜o aceitas.
1. (2,0 pts) Calcule a a´rea do pedac¸o da esfera x2 + y2 + z2 = 1 compreendida no
interior do cilindro x2 + y2 = 1
4
.
2. (2,0 pts) Calcule
∫
C
ex sen(y)dx+(ex cos(y)+x)dy, onde C e´ o arco da circunfereˆncia
x2 + y2 = 1, no primeiro quadrante, orientado no sentido anti-hora´rio.
3. (2,0 pts) Considere
−→
F (x, y, z) = (y cos(xy), x cos(xy) + 2yz3, 3y2z2) um campo de
vetores.
(a)
−→
F e´ conservativo?
(b) Calcule a integral
∫
C
−→
F d−→r , onde C e´ a curva parametrizada por φ(t) =
(t sen(t3 − 1), ln(1 + t) sen(tpi), t2 + t+ 1)) com t ∈ [0, 1].
4. (2,0 pts) Calcule o fluxo do campo vetorial
−→
F (x, y, z) = (y2 tan(z3 − 2), ln(x2 + z4), z3 − 2)
atrave´s do parabolo´ide z = 1− x2 − y2 com z ≥ 0 e com orientac¸a˜o exterior.
5. (2,0 pts)Calcule o trabalho realizado pelo campo de vetores
−→
F (x, y, z) = (z + y + ex
2
, x− z + ln(1 + y2), sen(2z))
sobre uma part´ıcula que se move ao longo da curva C, que e´ parametrizada por
φ(t) = (cos(t), sen(t), sen(2t)) com t ∈ [0, 2pi].
Rodrigo Salom�o/2011.2/VRCalculo3A.pdf
GMA – Departamento de Matema´tica Aplicada
VR de Ca´lculo 3 - A – Prof. Rodrigo Saloma˜o
Turma: F1 – 08/12/2011
Nome:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativas NA˜O sera˜o aceitas.
1. (2,0 pts) Calcule o volume do so´lido limitado pelo cil´ındro x = y2 e pelos planos
z = 0 e x+ z = 1.
2. (2,0 pts) Calcule
∫
C
sen(x3−10)dx+(ey ln(y2+1)+xy)dy, onde C e´ a circunfereˆncia
x2 + y2 = 2y, orientado no sentido anti-hora´rio.
3. (2,0 pts) Calcule a integral
∫
C
−→
F d−→r , onde
−→
F (x, y, z) = (e−y − ze−x, e−z − xe−y, e−x − ye−z)
e C e´ a curva parametrizada por φ(t) =
(
ln(1+t)
ln 2
, sen( tpi
2
), 1−e
t
1−e
)
com t ∈ [0, 1].
4. (2,0 pts) Calcule o fluxo do campo vetorial
−→
F (x, y, z) =
1
x2 + y2 + z2
(x, y, z)
atrave´s da fronteira (com orientac¸a˜o exterior) do so´lido W , que e´ limitado pelas
esferas x2 + y2 + z2 = 9 e x2 + y2 + z2 = 16.
5. (2,0 pts)Calcule o trabalho realizado pelo campo de vetores
−→
F (x, y, z) = (e
−x3
3 − yz, e−y
3
3 + xz + 2x, e
−z3
3 + 5)
sobre uma part´ıcula que se move ao longo da curva C, que e´ parametrizada por
φ(t) = (cos(t), sen(t), 2) com t ∈ [0, 2pi].
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GMA – Departamento de Matema´tica Aplicada
VS de Ca´lculo 3 - A – Prof. Rodrigo Saloma˜o
Turma: F1 – 13/12/2011
Nome:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativas NA˜O sera˜o aceitas.
1. (2,0 pts) Calcule a massa do so´lido W , situado no primeiro octante e limitado pela
esfera x2 + y2 + z2 = 16 e pelos cones z =
√
3(x2 + y2) e z =
√
x2+y2
3
, cuja func¸a˜o
densidade de volume e´ dada por δ(x, y, z) = e(x
2+y2+z2)3/2 .
2. (2,0 pts) A base de uma cerca e´ uma curva C no plano xy definida por x(t) =
30 cos3 t, y(t) = 30 sen3 t, com 0 ≤ t ≤ pi/2, e a altura em cada ponto (x, y) ∈ C e´
f(x, y) = 1 + y
3
. Calcule a a´rea desta cerca.
3. (2,0 pts) Calcule
∮
C
ey
x
dx+(ey ln(x)+2x)dy, onde C e´ a fronteira da regia˜o limitada
por x = y4 + 1 e x = 2, orientado no sentido anti-hora´rio.
4. (2,0 pts) Calcule a integral
∮
C
−→
F d−→r , onde
−→
F (x, y, z) = (yz + x3, 2xz + 3y2, xy + 4)
e C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do cilindro x2+y2 = 1 e do plano x+y+z = 1,
orientada no sentido anti-hora´rio.
5. (2,0 pts) Calcule o fluxo do campo vetorial
−→
F (x, y, z) = (z arctan(y2), z3 ln(x2 + 1), z)
atrave´s da superf´ıcie S definida pelo parabolo´ide z = 2 − x2 − y2 com 1 ≤ z ≤ 2 e
com normal exterior.
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GMA – Departamento de Matema´tica Aplicada
VE1 de Ca´lculo 3 - A – Prof. Rodrigo Saloma˜o
Turma: A1 – 14/01/2013
Nome:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativas NA˜O sera˜o aceitas.
1. (2,0 pts) Determine a massa da regia˜o D situada no primeiro quadrante e limitada
pelas curvas x2+y2 = 4, x2+y2 = 16, y =
√
3x e y =
√
3
3
x, onde a func¸a˜o densidade
de massa e´ dada por f(x, y) = ex
2+y2 .
2. (2,0 pts) Calcule
∫∫
D
cos(x− y)
sen(x+ y)
dxdy, onde D e´ o trape´zio 1 ≤ x + y ≤ 2, x ≥ 0,
y ≥ 0.
3. (2,0 pts) Calcule, usando integrais triplas, o volume do so´lido W limitado inferior-
mente pelo cone z =
√
3(x2 + y2) e superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 4.
4. (2,0 pts) Calcule o momento de ine´rcia, em relac¸a˜o ao eixo z, do so´lido W limitado
pelo cone z =
√
x2 + y2, pelo cilindro 2y = x2+ y2 e pelo plano z = 0, sabendo que
a func¸a˜o de densidade e´ constante.
5. (2,0 pts) Um arame tem a forma da curva obtida como intersec¸a˜o da porc¸a˜o da
esfera x2 + y2 + z2 = 4, onde y ≥ 0, com o plano x + z = 2. Sabendo-se que a
densidade em cada ponto do arame e´ dada por f(x, y, z) = xy, calcule a massa do
arame.
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GMA – Departamento de Matema´tica Aplicada
VE2 de Ca´lculo 3 - A – Prof. Rodrigo Saloma˜o
Turma: A1 – 18/03/2013
Nome:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativas NA˜O sera˜o aceitas.
1. (2,0 pts) Calcule o trabalho realizado pelo campo de vetores
−→
F (x, y, z) = (
ey
x
+ arctan(x2 + 3), ey ln(x) + 2x2 −
√
y3 + 2)
sobre uma part´ıcula que se move ao longo da curva C, que e´ a fronteira da regia˜o
limitada por x = y4 + 1 e x = 2.
2. (2,0 pts) Calcule a a´rea do pedac¸o da esfera x2 + y2 + z2 = 12 que na˜o se encontra
no interior do parabolo´ide x2 + y2 = z.
3. (2,0 pts) Calcule o fluxo do campo
−→
F (x, y, z) = (xy2 + arccos(z4 − 1), x2y + ln(x2 + z2 + 1), y),
atrave´s da superf´ıcie S dada pela parte do cilindro x2 + y2 = 1 com −1 ≤ z ≤ 1.
4. (2,0 pts) Calcule a integral
∫
C
2xe2ydx+ 2(x2e2y + y cos z)dy − y2 sen zdz, onde C e´
a curva obtida como intersec¸a˜o da superf´ıcie z = 9 − x2 − y2, z ≥ 5, com o plano
x = 1, orientada no sentido de crescimento de y.
5. (2,0 pts) Calcule a integral
∫
C
z2dx + xzdy + 2xydz onde C e´ a curva obtida como
intersec¸a˜o da calha z = 1−y2, z ≥ 0, com o plano 2x+3z = 6, orientada no sentido
anti-hora´rio.
Rodrigo Salom�o/2012.2/VRCalculo3A.pdf
GMA – Departamento de Matema´tica Aplicada
VR de Ca´lculo 3 - A – Prof. Rodrigo Saloma˜o
Turma: A1 – 25/03/2013
Nome:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativas NA˜O sera˜o aceitas.
1. (2,0 pts) Calcule o volume do so´lido limitado pelos cilindros x2+y2 = 4 e x2+y2 = 9,
pelo plano z = 0 e pelo parabolo´ide 10− x2 − y2 = z.
2. (2,0 pts) Calcule a massa de um arame cuja forma e´ dada pela curva intersec¸a˜o da
porc¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 2y, situada no primeiro octante com o plano z = y,
supondo que a densidade em um ponto P e´ proporcional ao quadrado da distaˆncia
de P a` origem.
3. (2,0 pts) Calcule a integral∫
C
(
x2 +
y2
2
+ ln(
√
x2 + 1)
)
dx+
(
x2
2
+ y4
)
dy
onde C e´ a fronteira da regia˜o D = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.
4. (2,0 pts) Calcule o fluxo do campo vetorial
−→
F (x, y, z) = (xy2 + cos z, x2y + arctan z2, ex
2+y2)
atrave´s da superf´ıcie (com orientac¸a˜o exterior) definida pelo pedac¸o do parabolo´ide
z = x2 + y2 com z ≤ 4.
5. (2,0 pts)Calcule o trabalho realizado pelo campo de vetores
−→
F (x, y, z) = (ex sen y +
ez
2
x
, ex cos y + z2 sec2 y, 2z tan y + 2zez
2
ln x)
sobre uma part´ıcula que se move ao longo da curva C, que e´ parametrizada por
φ(t) = (1, pi
4
sen(t2 − t+ pi
2
), t2 + t
√
e− t) com t ∈ [0, 1].
Rodrigo Salom�o/2012.2/VSCalculo3A.pdf
GMA – Departamento de Matema´tica Aplicada
VS de Ca´lculo 3 - A – Prof. Rodrigo Saloma˜o
Turma: A1 – 27/03/2013
Nome:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativas NA˜O sera˜o aceitas.
1. (2,0 pts) Calcule
∮
C
(ex
3
+y2)dx+(x+y5)dy, onde C e´ a semi-circunfereˆncia x2+y2 =
1, com x ≥ 0.
2. (2,0 pts) Calcule a a´rea da superf´ıcie do cone z =
√
x2 + y2 que esta´ entre o plano
z = 0 e o plano z − y√
2
= 1.
3. (2,0 pts) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as
−→
F (x, y, z) = (x− y, ln(1 + y2), ln(1 + z2) + y)
sobre uma part´ıcula que se move ao longo da curva obtida pela intersec¸a˜o do cilindro
x2+ y2 = 16 com o plano z = 4− x, na direc¸a˜o anti-hora´rio quando vista por cima.
4. (2,0 pts) Calcule o fluxo do campo vetorial
−→
F (x, y, z) = (xy2+ey, yz2+sen2 x, zx2+5)
atrave´s da superf´ıcie S definida pelo hemisfe´rio superior z ≥ 0 da esfera z2+x2+y2 =
4 com normal exterior.
5. (2,0 pts) Calcule a massa do so´lido interior ao cone z =
√
x2 + y2, limitado superi-
ormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 4 e inferiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 1,
sendo que a func¸a˜o densidade de massa e´ dada por f(x, y, z) = 1
x2+y2+z2
.