A dinâmica de uma partícula

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A dinâmica de uma partícula 
 Mecânica Newtoniana 
Ronai Lisboa 
Introdução à Física Clássica I • Escola de Ciências e Tecnologia • 2015-1
 
Ronai Lisboa • email: ronailsb@gmail.com • 	 1
 
Leis Fundamentais da Mecânica 
A contextualização história 
ARISTÓTELES . GALILEU . TYCHO BRAHE . JOHANNES KEPPLER . 
RENÉ DESCARTES . PIERRE DE FERMAT . GOTTFRIED LEIBNITIZ . 
ISAAC NEWTON . 
 
Introdução 
A mecânica newtoniana. A estruturação dessa ciência deve-se ao célebre físico inglês Isaac 
Newton (1642-1727) e está descrita em sua obra monumental Princípios Matemáticos da 
Filosofia Natural (1687). Tal obra, frequentemente referida simplesmente por Principia, 
contém também, entre outras coisas, a formulação da lei do inverso do quadrado para a 
atração entre as massas, conhecida como lei da gravitação de Newton, e a descrição do 
movimento dos planetas. A mecânica newtoniana e a lei da gravitação teriam sido concebidas 
no curto período de 18 meses, em 1655-1666, em que Newton se retirou na fazenda da família 
fugindo da peste negra, logo após graduar-se na Universidade de Cambridge. A elaboração 
das consequências das leis da mecânica newtoniana e da lei da gravitação requeria uma 
matemática que não se limitasse a operações com elementos discretos. Para isso, Newton, 
com base no conceito de derivada, criado anteriormente por Pierre de Fermat (1601-1665), 
desenvolveu também o cálculo integral e diferencial, que é a maneira adequada de se 
manipularem matematicamente elementos contínuos. A invenção do cálculo foi feita também 
independentemente pelo filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibnitz 
(1646-1716). A obra de Newton foi a culminância de uma revolução filosófico-científica que se 
desenvolveu em um período de quase um século. 
O pensamento de Aristóteles 
Para se entender o âmbito e o espírito da revolução que levou à mecânica 
newtoniana, é importante fazer uma breve apresentação da física de 
Aristóteles, principalmente no que se refere ao movimento e suas 
causas. Aristóteles se apoiava fortemente na teleologia, ou determinismo 
teleológico, ou seja, no conceito de que os fenômenos são determinados 
por algum objetivo final. Assim, os corpos pesados, ricos nos elementos 
água e terra, caíam em busca do seu lugar natural, que era o centro do universo, 
coincidentemente também o centro da Terra. Já os corpos leves, ricos nos elementos ar e 
fogo, ascendiam também em busca do seu lugar natural, o espaço entre a Terra e a Lua. Tal 
tipo de movimento teleologicamente determinado era por ele denominado movimento 
natural. Assim, em relação a esse ponto os movimentos dos corpos já discutidos seriam 
centrífugos (para longe do centro) ou centrípeto (para perto do centro). 
 A teleologia era obviamente insuficiente para explicar todos os movimentos 
observados, isto é, os movimento que não fossem centrífugos ou centrípetos seriam 
movimentos não naturais. Uma pedra levantada por uma mão ou arrastada sobre um superfície 
horizontal apresentava um movimento não natural, isto é, um movimento forçado. Assim, 
Aristóteles de alguma maneira também reconhecia o determinismo causal, ou seja, um 
fenômeno determinado por um agente causador, uma causa. O movimento forçado cessaria 
tão logo se interrompesse a ação da força, seu agente causador. Corpos diferentes 
responderiam de maneiras distintas a uma força igual, mas para um dado corpo a velocidade 
do movimento seria proporcional à intensidade da força. Essas ideias aristotélicas sobre o 
movimento forçado são em parte consistentes com nossa intuição. Na ausência de 
experiências de caráter quantitativo, parece razoável pensar que uma pedra levantada por uma 
força se mova para cima a uma velocidade constante e proporcional à força. Analogamente, ao 
arrastarmos uma caixa sobre um piso horizontal, pode nos parecer que ela se mova a uma 
velocidade constante e proporcional à força que lhe aplicamos. É verdade que qualquer 
análise mais cuidadosa desse fenômenos irá revelar inconsistências nesse tipo de visão. Por 
exemplo, uma vez posto em movimento sobre uma superfície polida, um corpo também 
polido tende a preservar seu movimento por tempo apreciável, e para que possamos freá-lo 
mais rapidamente temos de lhe aplicar uma força oposta à sua velocidade. Tomando um 
exemplo mais atual, para que um carro que se move em uma pista plana pare rapidamente não 
basta que lhe desliguemos o motor; temos também que pisar no freio. Entretanto é fato 
notório que o ser humano convive de modo surpreendentemente pacífico com contradições, 
sempre que ideias salvadoras não lhe ocorram. Na atualidade, o método científico costuma 
expor as eventuais contradições de nossas ideias de maneira tão clara que fica difícil continuar 
ignorando-as, e por isso nossa capacidade de adaptação ao paradoxo se tornou menos 
evidente. 
 Outro tipo de movimento visto como natural por Aristóteles era os dos planetas e das 
estrelas, que diariamente faziam, admitia-se então, seu circuito em torno da Terra. O 
movimento natural dos corpos celestes seria o círculo, a mais perfeita das curvas. Corpos 
celestes poderiam realizar trajetórias circulares, ou até movimentos resultantes da 
combinação de várias trajetórias circulares, sem que qualquer força lhes fosse aplicada, o que 
obviamente não é possível para os corpos terrestres. Assim, as leis naturais que regem o 
movimento dos corpos celestes eram, segundo atestava Aristóteles, distintas daquelas que 
regem o movimento dos corpos terrestres. Essa é a oposição entre o céu e a terra. 
Os pensamentos de Galileu a René Descartes 
 Apesar da sua obra revolucionária e seminal para o desenvolvimento 
da mecânica, Galileu preservou em parte os conceitos aristotélicos. Ele foi 
incapaz de definir-se inteiramente acerca da questão do determinismo 
teleológico e afirmou que “O presente não parece o momento próprio para 
se investigar a causa da aceleração natural...”. Suas experiências o 
convenceram de que na ausência de quaisquer interações o movimento natural dos corpos 
próximos da superfície da Terra é o estado de repouso ou do movimento retilíneo e uniforme. 
Em parte, as ideias se opunham as concepções de Aristóteles. Na situação ideal contemplada 
por Galileu (a ausência de interações entre os corpos), uma esfera perfeitamente polida 
lançada sobre um plano horizontal perfeitamente polido (sem atrito), desprezando a 
resistência do ar (sem arraste), o movimento não seria nem acelerado (como a descida de um 
corpo num plano inclinado) nem retardado (como a subida do mesmo corpo num plano 
inclinado): não havendo interações na direção horizontal, teria um movimento retilíneo 
uniforme. Portanto, não haveria necessidade da interação com o corpo que se move para 
manter um movimento retilíneo uniforme. Essa capacidade do corpo de se manter no 
movimento natural é a inércia: 
A situação imaginada por Galileu traz o conceito de partícula livre (sem interações) e, isto 
somente era possível quando as partículas estavam infinitamente afastadas ou as interações 
com partículas vizinhas se cancelavam. Quanto isto ocorria o movimento era tido como 
natural, isto é, o repouso ou o movimento retilíneo uniforme. Nesse caso, a aceleração nula 
(velocidade constante) estaria necessariamente associada à ausência de interações resultantes 
sobre a partícula. Entretanto, Galileu não estendeu tal conclusão aos corpos celestes, que 
para ele poderiam permanecer em movimento circular sem a necessidade de qualquer força. 
 Destaca-se naquele período efervescente os trabalhos de Tycho 
Brahe (1546-1601), que dedicou parte da sua vida a medir diariamente a 
posição dos cinco planetas visíveis a olho nu em relação às estrelas fixas, e 
os de Johannes Kepler (1571-1630), que, após dedicar grandeesforço à 
análise dos dados de Brahe, formulou as leis cinemáticas que regem os 
movimentos dos planetas, conhecidas como leis de Kepler. As leis de Kepler foram 
absolutamente indispensáveis para que Newton fizesse a sua grande 
síntese, pela sua capacidade de discriminar hipóteses alternativas sobre 
as causas do movimento, principalmente do movimento dos corpos 
celestes. Qualquer teoria correta sobre o assunto teria de dar uma 
explicação para as leis de Kepler. 
 René Descartes (1596-1650) teve uma influência na evolução das 
idéias correntes cuja importância merece destaque. Para Descartes, os 
mesmos princípios deveriam explicar o comportamento de todo o 
Universo, não apenas no que se refere ao movimento, mas no âmbito de 
todos os fenômenos. Portanto, as leis dos céus teriam de ser as mesmas 
leis da terra. Assim, Descartes generalizou a descoberta de Galileu para 
concluir que qualquer corpo livre de interações deveria permanecer em repouso ou em 
movimento retilíneo uniforme. Nesse caso, alguma força teria de atuar para que os planetas e 
a Terra realizassem suas órbitas em torno do Sol, e aí está a semente da lei da gravitação. Na 
verdade, Descartes também se equivocou sobre o assunto porque a ideia de uma forca de 
A inércia é a capacidade de um corpo livre manter o seu movimento natural.
atuação à distância parecia, não só a ele mas também a outros que cogitaram da gravitação, era 
pejorativamente qualificada como força oculta. Descartes, postulou a existência de vórtices 
que forçavam os astros a realizarem trajetórias curvas. Foi preciso um Newton para render-se 
às evidências e postular a existência de forças de atuação a distância, adiando para a 
posteridade a elucidação desse aparente mistério. 
As leis de Newton 
As Leis foram enunciadas por Isaac Newton (1642-1727) nos livros 
Principias que começam pelos três célebres “axiomas ou leis do 
movimento”, sobre os quais repousa toda a mecânica newtoniana ou 
mecânica clássica. Talvez o grande mérito de Newton não tenha sido o 
enunciado destes três axiomas, mas as suas aplicação a quaisquer 
corpos estejam eles nas proximidades da Terra ou no Universo. 
Portanto, Newton levou as observações empíricas de Galileu dos movimentos próximos a 
superfície da Terra para o Universo se utilizando dos dados de Kepler dos movimentos dos 
planetas e muito provavelmente as ideias de René Descartes sobre a universalidade das leis. 
Daí, o dizer de Newton: “Se enxerguei longe, foi porque me apoiei nos ombros de gigantes”. 
Mas estamos interessado nas três leis, por enquanto. 
A lei da inércia 
 Newton fundamentou sua mecânica em três leis de caráter matemático. A primeira 
delas é a lei da inércia. Inércia é a resistência que os corpos oferecem a qualquer alteração na 
sua velocidade. Como já vimos, Galileu foi quem primeiro reconheceu a inércia, ao enunciar a 
hipótese de que, se uma bola apoiada sobre um plano horizontal recebesse um impulso inicial 
em uma direção qualquer, e não houvesse atrito (interação) entre a bola e a superfície do 
plano, ela se moveria em movimento retilíneo uniforme. Tal hipótese foi obtida por 
extrapolação, a partir de experiências feitas pelo próprio Galileu sobre o movimento de 
esferas rígidas e polidas apoiadas em planos inclinados de superfícies também rígidas e 
polidas. Havendo um declive, a bola rola em movimento uniformemente acelerado em que a 
aceleração é proporcional ao declive do plano. Havendo um aclive, a bola apresenta uma 
aceleração negativa também proporcional ao aclive do plano. Os dados sugerem que em um 
plano horizontal, na ausência de atrito, a bola rolaria com aceleração nula. As experiências de 
Galileu envolviam condições incomuns na vida diária. Nesta, o atrito é sempre uma força 
muito signficativa que leva os corpos a cessarem rapidamente o movimento obtido com um 
impulso inicial. Por isto, a lei da inércia é contrária à intuição. Newton formulou a lei da 
inércia na forma já reconhecida por Descartes: 
A primeira lei, na formulação acima dada por Newton, apresenta deficiências lógicas que 
merecem uma discussão mais cuidadosa. A primeira é que essa lei parece puramente 
tautológica, ou seja, parece não dizer nada de novo. A menos que se tenha uma definição 
prévia e independente do que seja força, ela parece estar simplesmente definindo força como 
aquilo que altera o estado de repouso ou movimento retilíneo uniforme dos corpos. Visto 
assim, outra leitura da primeira lei seria:
Essa crítica é frequentemente feita, mas se apóia na maneira sucinta pela qual Newton 
formulou algumas de suas ideias. Força sobre um corpo pressupõe algum agente 
externo atuando sobre ele, o qual em princípio pode ser identificado. Existem algumas 
classificações para as forças, entre elas as de contato, gravitacional e nucleares: fraca e 
forte, por exemplo. Em todos os casos, o aparecimento de uma força sobre um corpo 
exige a presença de outros corpos em suas imediações, cuja atuação pode ser 
identificada. Newton não julgou necessário fazer essas considerações, achando talvez 
óbvio que a existência de forças atuando sobre o corpo poderia ser reconhecida 
independentemente da observação do movimento. Em outras palavras, o movimento 
natural é alterado para um movimento forçado quando se observa um movimento acelerado 
das partículas devido a sua interação com outras partículas. 
 A segunda deficiência da formulação da primeira lei é o fato de ela não dizer em 
relação a que referencial o corpo tem aceleração nula quando livre da ação de outros corpos. 
Newton acreditava no espaço absoluto, em relação ao qual os corpos se moveriam ou ficariam 
parados. Um referencial em relação ao qual valeriam as leis de Newton, incluindo a primeira 
Lei da inércia 
Todo corpo persiste em seu estado de repouso, ou de movimento retilíneo uniforme, a menos 
que seja compelido a modificar seu estado pela ação de forças a ele impressas.
Lei da inércia 
Todo corpo persiste em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, exceto quando não 
permanece em nenhum desses estados.
lei, estaria parado ou em movimento retilíneo uniforme em relação ao espaço absoluto. Tal 
tipo de referencial foi por ele denominado referencial inercial. 
 Hoje, se sabe que não existe espaço absoluto, e portanto também não existe 
movimento absoluto. Só tem sentido falar de movimento relativo de um corpo (em relação a 
outro ou a outros corpos). Como o movimento é relativo é necessário indicar a que ou a quem 
é referido o movimento da partícula livre. Admitimos que o movimento da partícula é relativo 
a um observador que seja ele próprio uma partícula ou sistema livre, isto é, não sujeito a 
interações com o resto do universo. Este observador designa-se observador inercial, e o 
sistema de referência que utiliza designa-se referencial inercial. Diferentes observadores 
inerciais podem encontrar-se em movimento relativo. Assim, uma partícula que está em 
repouso em relação a um observador inercial pode parecer em movimento com velocidade 
constante em relação a outros observadores inerciais. A enorme experiência acumulada desde 
a época de Newton demonstrou que realmente existe uma classe de referenciais inerciais, ou 
seja, referenciais nos quais vale a lei da inércia e também as outras leis de Newton. Tais 
referenciais estariam em repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação ao espaço 
absoluto. Para Newton, as estrelas estariam em repouso em relação ao espaço absoluto, e 
portanto um referencial inercial estaria em repouso ou me movimento retilíneo uniforme em 
relação às estrelas. Um observador inercial sabe que uma partícula não é livre quando observa 
que a velocidade da partícula varia uniformemente. Quer dizer, para se acelerar em relação a 
um referencial inercial, qualquer corpo tem que estar sob a ação de outro corpo. Contudo, 
podeaté existir uma interação entre a partícula com partículas vizinhas e com aceleração nula, 
mas neste caso está ocorrendo um cancelamento das interações e o sistema ( partícula + 
partículas vizinhas ) se move com o movimento natural. Configura-se assim uma questão de 
grande e até hoje insolúvel mistério: por um lado, não existe movimento absoluto; mas, por 
outro, existe uma classe de referenciais privilegiados, os referenciais inerciais. 

 Enfim, uma partícula livre é aquela que não está sujeita a nenhuma interação, isto é, 
não tem aceleração. Uma implicação conclusiva é que a variação da velocidade de uma 
partícula em relação a um referencial inercial, ou seja, qualquer aceleração, deve estar 
associada a ação de interações. Conclui-se que aquilo que se chama de força é a interação 
responsável pela movimento acelerado da partícula. Não é sem motivo: movimento forçado. 
Isto sugere procurar uma relação entre a interação e aceleração, isto é, a causa do movimento 
não natural. 
A segunda lei de Newton 
 Agora, nós sabemos que força é a interação que provoca a aceleração da partícula, mas 
se não tivéssemos feito toda a discussão anterior à primeira lei, a palavra força, seria 
desprovida de significado. Afinal, sabemos todos por experiência que o movimento é afetado 
pela ação do que costumamos chamar de forças e somos capazes de colocar objetos em 
movimento ou, mais geralmente, alterar seu estado de movimento. Então, a partir da primeira 
lei somos obrigados a procurar uma relação entre força e aceleração. 
 A segunda lei de Newton. A relação entre força (causa) e aceleração (efeito). 
 Ao ler este enunciado podemos reconhecer que a mudança de movimento se refere a 
aceleração, isto é, a variação da velocidade da partícula em relação ao referencial inercial. A 
primeira novidade está na proporcionalidade entre a aceleração e a força, isto é, a existência 
da relação causa (força) e efeito (aceleração). A segunda novidade está no trecho “...é 
produzida na direção da linha reta na qual aquela força é imprimida”, que significa dizer que a 
aceleração e a força têm a mesma direção. Daí, a aceleração e força são grandezas vetoriais. 
 Para achar a relação entre força e aceleração vamos partir do pressuposto da existência de 
um movimento forçado, isto é, que um par de partículas interagem entre si e daí se observam 
acelerações em relação a um referencial inercial. Na figura abaixo, a antes da interação 
partícula A tem uma velocidade vA e a partícula B tem uma velocidade vB. Após a interação, a 
partícula A tem uma v’A e a partícula B tem uma velocidade v’B. 
A 
variação da velocidade da partícula A em resultado da interação com B é 
e a variação da velocidade da partícula B devido a interação com A é 
A segunda lei de Newton 
A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na 
direção da linha reta na qual aquela força é imprimida.
�~vBA = ~v
0
A � ~vA
�~vAB = ~v
0
B � ~vB
 A primeira observação experimental é que as variações das velocidades ∆vA e ∆vB, 
produzidas pela interação, têm sempre a mesma direção e sentidos opostos. 
como pode ser visto pela análise da soma vetorial da figura . 
 O segundo resultado experimental é que o quociente dos módulos das variações de 
velocidade é uma constante positiva, 
onde mAB depende apenas do par de partículas e independe do movimento relativo entre elas. 
Assim, num outro experimento, para um segundo par de partículas A e C, tem-se o seguinte 
resultado experimental: 
e para um terceiro experimento com partículas B e C, tem-se 
Ainda, a partir da observação a seguinte relação entre as variações das velocidades das 
partículas também é válida 
ou em termo das constantes 
Adotando a partícula C como um corpo de prova , isto é, como um padrão unitário, então, 
�~vBA = ��~vAB
|�~vBA|
|�~vAB | = mAB
|�~vCA|
|�~vAC | = mAC
|�~vCB |
|�~vBC | = mBC
|�~vCB |/|�~vBC |
|�~vCA|/|�~vAC | =
|�~vBA|
|�~vAB |
mBC
mAC
= mAB
mC = 1
consequentemente 
Segue, do resultado inicial da razão entre as variações das velocidades das partículas A e B, 
que 
ou na forma vetorial, 
Ainda 
As constantes mA e mB são chamadas de massas inerciais das partículas A e B e conclui-se que 
 Em outras palavras, conhecida a massa mA da partícula A, podemos determinar a 
massa mB da partícula B fazendo que esta interaja com a partícula A e medindo a variação de 
velocidades correspondentes. 
 Nesse sentido, a massa é uma propriedade fundamental da matéria. 
 Sabemos que relativamente aos referenciais inerciais já sabemos que diferentes 
observadores inerciais medirão diferentes velocidades, mas medirão a mesma aceleração para 
cada uma das partículas. Aqui, convém dividir as grandezas da equação anterior em relação ao 
tempo de modo que, obtemos 
onde a razão que multiplica a massa em cada membro é a aceleração da partícula, como 
resultado da sua interação com a outra, 
mB
mA
= mAB
|�~vBA|
|�~vAB | =
mB
mA
�~vBA
�~vAB
= �mB
mA
mA�~vBA = �mB�~vAB
A massa inercial de uma partícula é uma propriedade que determina como varia a sua velocidade 
quando interage com outros corpos.
mA
�~vBA
�t
= �mB�~vAB
�t
mA~aBA = �mB~aAB
Visto que a razão entre as massas é uma constante, esta equação estabelece que num par 
isolado, quanto maior for a massa de uma partícula menor será o módulo da sua aceleração, 
Diz-se então que, quanto maior a massa de uma partícula maior é a sua inércia. É por este 
motivo que na figura 1 as acelerações têm módulos diferentes. 
 Finalmente, podemos obter a relação entre a força e a aceleração. 
A relação entre a força e a aceleração é a massa inercial da partícula. Assim, 
é a força em A devido a sua interação com B. Do mesmo modo, 
é a força em B devido sua interação com A. Observe que com os índices das forças queremos 
apenas enfatizar que a força se deve a interação com a outra partícula. Não faz sentido fazer a 
força de uma partícula! 
 Segue da relatividade Galileana para este par isolado de partículas que dois 
observadores inerciais medem a mesma força para cada uma das partículas. Isto sugere que as 
leis do movimento são as mesmas para todos os observadores inerciais que se movem com 
velocidade relativa constante, quando comparam as suas observações usando a transformação 
de Galileu. 
 A cada instante, o produto da massa pela aceleração de uma partícula fica 
completamente determinada pela sua posição e velocidade e pelas posições e velocidades das 
partículas vizinhas. Diz, que 
é a equação de movimento para uma partícula quando as velocidades são pequenas em 
comparação a velocidade da luz e a massa é uma constante. Com esta equação podemos 
O produto da massa inercial da partícula pela sua aceleração devido a interação com a 
partícula vizinha é o que se chama de força.
mA~aBA = ~FBA
mB~aAB = ~FAB
~F = m~a
determinar a massa das partículas se medirmos a aceleração produzida por uma força 
conhecida . No sistema internacional de unidades a massa inercial é dada em quilogramas, a 
aceleração em metros por segundo quadrado. Consequentemente, a força é dada em 
quilogramas veze metro e dividido por segundo ao quadrado. Chama-se, esta unidade de 
Newton. Assim, 
1 N = 1 kg . m / s2. 
Para ter uma idéia desta unidade, basta utilizar a igualdade entre a massa inercial e a massa 
gravitacional. Quando seguramos uma batata de 100 g ( 0,1 kg ) próximo da superfície da 
Terra estamos exercendo uma força sobre a batata de valor igual a 1 N considerando que a 
aceleração da gravidade é cerca de 10 m/s2.
A terceira lei de Newton 
 A terceira lei de Newton, também denominada lei da ação e reação, estabelece uma 
importante relação que envolve a interação entre dois corpos e que pode ser expressa da 
seguinte maneira:Ilustrações da lei de ação e reação podem ser vistas na figura a seguir. Na figura 3a, dois 
corpos A e B interagem com as forças iguais e opostas FBA e FAB, e na figura 3B os três corpos 
Se o corpo A exerce sobre o corpo B uma força FBA, o corpo B exerce sobre o corpo A 
uma força FAB. Essas duas forças são iguais e opostas, ou seja, FBA = -FAB. Além disso, 
as duas forças estão sobre a mesma linha de ação.
A, B e C interagem com pares de forças opostas. Qualquer que seja o número de corpos 
mutuamente interagentes, as forças de interação sempre aparecerão aos pares. 
 O passo inovador e audaz de Newton foi entender tal conceito também às outas 
forças, como, por exemplo, a gravitação. Não há evidências de que a maça que cai sob a ação 
do seu peso também esteja puxando a Terra para cima. Talvez as únicas evidências 
experimentais disponíveis naquela época sobre o aparecimento de uma força de reação para a 
atração gravitacional fossem as marés e uma anomalia existente na rotação da Terra em torno 
do seu eixo, denominada precessão dos equinócios. A causa principal tanto das marés quanto 
da precessão dos equinócios é a força de atração da Lua sobre a Terra. Entretanto, a conexão 
desses fenômenos com suas causas não é nada simples, e na verdade foi estabelecida pelo 
próprio Newton no Principia. 
 A lei da ação e reação garante que, sempre que um corpo sobre uma força, ele também 
exerce outra força de reação. Entretanto, é importante frisar que somente forças atuantes 
sobre o corpo são capazes de lhe imprimir aceleração. Em outros termos, ao calcularmos a 
força resultante sobre um corpo, somamos apenas as forças que atuam sobre ele. Por 
exemplo, a força resultante sobre o corpo A da figura 3B é 
e a forma correta de aplicar a segunda lei de Newton ao movimento desse corpo é 
em que mA é a sua massa. 
 Para finalizar esta discussão das leis de Newton deve ficar claro que F = m.a não é uma 
definição de força. A força é de fato proporcional a aceleração da partícula, mas a forma 
funcional do lado esquerdo da igualdade pode ser exprimida não apenas como uma função dos 
vetores posição e velocidade, mas também de outros parâmetros como massa e carga 
característicos das partículas. 
 Devido à natureza vetorial da força verifica-se experimentalmente ainda que esta 
expressão da força se aplica não só a duas partículas específicas, mas a todas as partículas 
sujeitas ao mesmo tipo de interação. A determinação da força para as diversas interações 
encontradas na natureza é um dos problemas mais importantes da física. É pelo fato dos 
físicos poderem associar formas funcionais específicas para a força as diferentes interações 
verificadas na natureza que o conceito de força foi tão útil para a análise do movimento das 
partículas em interações dadas.
~FAR = ~FAC + ~FAB
~FAC + ~FAB = mA~a
Apêndice
A transformação de Galileu
O movimento é relativo. Vamos trabalhar com este conceito da relatividade dos 
movimentos clássicos e perceber porque a escolha de uma classe especial de referenciais são 
importantes. Podemos representar matematicamente um referencial utilizando um sistema de 
coordenados cartesianos. Seja um referencial fixo em relação à Terra e um segundo 
referencial que se move paralelamente a um dos eixos coordenados em relação ao primeiro 
com uma velocidade V. Cada um deles possui um observador em repouso em relação ao seu 
próprio referencial que podem fazer observações do movimento de uma partícula. Deseja-se 
saber como se relacionam as observações destes observadores. Esta configuração se aplica, 
como exemplo, ao movimento de um pássaro observado por uma pessoa sentada no banco de 
uma praça e de outra que viaja com uma velocidade V em relação ao observador em repouso 
no banco da praça. Um outro exemplo, um observador se encontra na plataforma de uma 
estação de ônibus e o outro num ônibus que passa em linha reta; ambos observam um avião 
que passa diretamente sobre eles. Como se relacionam as observações destes observadores? 
 A simplificação do movimento 
relativo entre os referenciais com os eixos 
paralelos é um caso particular do 
movimento, pois há somente translação. 
Então, o vetor velocidade V é paralelo ao 
eixo x, por exemplo. Vamos chamar o 
referencial fixo em relação a Terra de S e o 
referencial móvel em relação a Terra de S’. 
Assim, R é o vetor posição de S’ em relação 
a S. Na figura, r e r’ são os vetores de 
posição de uma partícula P em relação aos 
observadores em S e S’, respectivamente. A 
relação vetorial que se obtém é a soma: 
 
ou 
 
que é preferível porque do lado esquerdo da igualdade há a posição em relação ao referencial 
S’ e do lado direito as posições em relação ao referencial S. Esta expressão dá a regra que 
permite comparar a posição de P medida por S e S’. Devemos supor que os observadores S e 
S’ utilizam o mesmo tempo, de modo que t = t’; isto é, admitimos que as medidas de tempo 
são independentes do movimento relativo dos observadores. 
 Tomando a derivada em relação ao tempo da equação das posições relativas, temos 
que 
(T ). Resumindo, graças a sua rotação diária e a sua orbita elíptica, a Terra não é um 
sistema de referencial inercial. Entretanto, em muitos casos, o efeito de movimento 
terrestre é desprezível. Assim, na maior parte dos casos, os sistemas de referência 
situados nos laboratórios terrestres podem, sem grande erro, ser considerados inerciais. 
O Sol também não é um referencial inercial pois, graças as suas interações com outros 
corpos da Galáxia, descreve uma órbita curva em torno do centro desta. Porém, a 
aceleração orbital do Sol é 150 milhões de vezes menor que a da Terra, pelo que a 
semelhança do Sol com um sistema de referência inercial é muito maior.
! Terminamos enfatizando que a classe de referenciais inerciais devem estar em 
repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação a outros referenciais inerciais. E 
esta restrição trás simplificações no estudo dos movimentos dos corpos como veremos 
mais adiante.
!
Transformações de Galileu
! Dissemos a pouco que o movimento é relativo. Vamos trabalhar com este conceito 
da relatividade dos movimentos clássicos e perceber porque a escolha de referenciais 
inerciais são importantes. Podemos representar matematicamente um referencial inercial 
utilizando um sistema de coordenados cartesianos. Seja um referencial inercial fixo em 
relação à Terra e um segundo referencial que se move paralelamente a um dos eixos 
coordenados em relação ao primeiro com uma velocidade V. Cada um deles possui um 
observador em repouso em relação ao seu próprio referencial que podem fazer 
observações do movimento de uma partícula. Deseja-se saber como se relacionam as 
observações destes observadores. Esta configuração se aplica, como exemplo, ao 
movimento de um pássaro observado por uma pessoa sentada no banco de uma praça e 
de outra que viaja com uma velocidade V em relação ao observador em repouso no 
banco da praça. Um outro exemplo, um observador se encontra na plataforma de uma 
estação de ônibus e o outro num ônibus que passa em linha reta; ambos observam um 
avião que passa diretamente sobre eles. Como se relacionam as observações destes 
observadores? 
! A simplificação do movimento relativo entre os referenciais com um dos eixos 
paralelas é um caso particular do movimento, pois há somente translação. Então, o vetor 
velocidade V é paralelo ao eixo x, por exemplo. 
Vamos chamar o referencial fixo em 
relação a Terra de S e o referencial 
móvel em relação a Terra de S’. 
Assim, R é o vetor posição de S’ 
em relação a S. Na figura, r e r’ são 
os vetores de posição de uma 
par t ícu la P em re lação aos 
observadores em S e S’, respec- 
tivamente. A relação vetorial que se 
obtém é a soma: 
~R+~r 0 =~r
~r 0 =~r� ~Rou
(T ). Resumindo, graças a sua rotação diária e a sua orbita elíptica, aTerra não é um 
sistema de referencial inercial. Entretanto, em muitos casos, o efeito de movimento 
terrestre é desprezível. Assim, na maior parte dos casos, os sistemas de referência 
situados nos laboratórios terrestres podem, sem grande erro, ser considerados inerciais. 
O Sol também não é um referencial inercial pois, graças as suas interações com outros 
corpos da Galáxia, descreve uma órbita curva em torno do centro desta. Porém, a 
aceleração orbital do Sol é 150 milhões de vezes menor que a da Terra, pelo que a 
semelhança do Sol com um sistema de referência inercial é muito maior.
! Terminamos enfatizando que a classe de referenciais inerciais devem estar em 
repouso ou em movimento retilíneo uniforme em relação a outros referenciais inerciais. E 
esta restrição trás simplificações no estudo dos movimentos dos corpos como veremos 
mais adiante.
!
Transformações de Galileu
! Dissemos a pouco que o movimento é relativo. Vamos trabalhar com este conceito 
da relatividade dos movimentos clássicos e perceber porque a escolha de referenciais 
inerciais são importantes. Podemos representar matematicamente um referencial inercial 
utilizando um sistema de coordenados cartesianos. Seja um referencial inercial fixo em 
relação à Terra e um segundo referencial que se move paralelamente a um dos eixos 
coordenados em relação ao primeiro com uma velocidade V. Cada um deles possui um 
observador em repouso em relação ao seu próprio referencial que podem fazer 
observações do movimento de uma partícula. Deseja-se saber como se relacionam as 
observações destes observadores. Esta configuração se aplica, como exemplo, ao 
movimento de um pássaro observado por uma pessoa sentada no banco de uma praça e 
de outra que viaja com uma velocidade V em relação ao observador em repouso no 
banco da praça. Um outro exemplo, um observador se encontra na plataforma de uma 
estação de ônibus e o outro num ônibus que passa em linha reta; ambos observam um 
avião que passa diretamente sobre eles. Como se relacionam as observações destes 
observadores? 
! A simplificação do movimento relativo entre os referenciais com um dos eixos 
paralelas é um caso particular do movimento, pois há somente translação. Então, o vetor 
velocidade V é paralelo ao eixo x, por exemplo. 
Vamos chamar o referencial fixo em 
relação a Terra de S e o referencial 
móvel em relação a Terra de S’. 
Assim, R é o vetor posição de S’ 
em relação a S. Na figura, r e r’ são 
os vetores de posição de uma 
par t ícu la P em re lação aos 
observadores em S e S’, respec- 
tivamente. A relação vetorial que se 
obtém é a soma: 
~R+~r 0 =~r
~r 0 =~r� ~Rou
que é preferível porque do lado esquerdo da igualdade há a posição em relação ao 
referencial S’ e do lado direito as posições em relação ao referencial S. Esta expressão dá 
a regra que permite comparar a posição de P medida por S e S’. Devemos supor que os 
observadores S e S’ utilizam o mesmo tempo, de modo que t = t’; isto é, admitimos que as 
medidas de tempo são independentes do movimento relativo dos observadores. 
! Tomando a derivada em relação ao tempo da equação das posições relativas, 
temos que
Mas v = dr /dt e v’ = dr’ / dt são as velocidades de P medidas pelos observadores S e S’. 
Também, temos que V = dR / dt é a velocidade de S’ relativamente a S. Portanto, 
podemos escrever, analogamente, 
Esta é a regra para comparar a velocidade de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Derivando a expressão anterior em relação ao tempo, obtém-se que
onde a = dv /dt e a’ = dv’ / dt são as acelerações de P medidas pelos observadores S e S’ 
e A = dV / dt é a aceleração relativa entre os referenciais. Portanto,
esta é a regra para comparar a aceleração de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Interessa particularmente o caso de dois observadores que se encontram em 
movimento de translação relativo uniforme. Neste caso, V é um vetor constante, a 
aceleração relativa é nula e podemos dizer que a posição R do referencial S’ 
relativamente a S, é
daí, as equações vetoriais já obtidas são simplificadas para
d~r 0
dt
=
d~r
dt
� d
~R
dt
~v 0 = ~v� ~V
d~v 0
dt
=
d~v
dt
� d
~V
dt
~a 0 = ~a� ~A
~R = ~V t
~r 0 =~r� ~V t
~v 0 = ~v� ~V
Dinâmica de uma partícula
• O movimento é relativo.
S
x
y
z
S’
x’
y’
z’
~V
~R
~r
~r 0
~r 0
~r
~R
M
quarta-feira, 14 de setembro de 11
Mas v = dr/dt e v’ = dr’/dt são as velocidades de P medidas pelos observadores S e S’. 
Também, temos que V = dR/dt é a velocidade de S’ relativamente a S. Portanto, podemos 
escrever, analogamente, 
Esta é a regra para comparar a velocidade de um corpo medida por dois observadores em 
movimento de translação um relativamente ao outro.

 Derivando a expressão anterior em relação ao tempo, obtém-se que 
onde a = dv /dt e a’ = dv’ / dt são as acelerações de P medidas pelos observadores S e S’ e A = 
dV / dt é a aceleração relativa entre os referenciais. Portanto,
esta é a regra para comparar a aceleração de um corpo medida por dois observadores em 
movimento de translação um relativamente ao outro.

 Interessa particularmente o caso de dois observadores que se encontram em 
movimento de translação relativo uniforme. Neste caso, V é um vetor constante, a aceleração 
relativa é nula e podemos dizer que a posição R do referencial S’ relativamente a S, é 
daí, as equações vetoriais já obtidas são simplificadas para
���
���
Este conjunto de relações constitui a transformação de Galileu de coordenadas, 
velocidades e acelerações. 
 Uma característica importante das transformações de Galileu é que ambos os 
observadores medem a mesma aceleração da partícula. Ou seja, 
que é preferível porque do lado esquerdo da igualdade há a posição em relação ao 
referencial S’ e do lado direito as posições em relação ao referencial S. Esta expressão dá 
a regra que permite comparar a posição de P medida por S e S’. Devemos supor que os 
observadores S e S’ utilizam o mesmo tempo, de modo que t = t’; isto é, admitimos que as 
medidas de tempo são independentes do movimento relativo dos observadores. 
! Tomando a derivada em relação ao tempo da equação das posições relativas, 
temos que
Mas v = dr /dt e v’ = dr’ / dt são as velocidades de P medidas pelos observadores S e S’. 
Também, temos que V = dR / dt é a velocidade de S’ relativamente a S. Portanto, 
podemos escrever, analogamente, 
Esta é a regra para comparar a velocidade de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Derivando a expressão anterior em relação ao tempo, obtém-se que
onde a = dv /dt e a’ = dv’ / dt são as acelerações de P medidas pelos observadores S e S’ 
e A = dV / dt é a aceleração relativa entre os referenciais. Portanto,
esta é a regra para comparar a aceleração de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Interessa particularmente o caso de dois observadores que se encontram em 
movimento de translação relativo uniforme. Neste caso, V é um vetor constante, a 
aceleração relativa é nula e podemos dizer que a posição R do referencial S’ 
relativamente a S, é
daí, as equações vetoriais já obtidas são simplificadas para
d~r 0
dt
=
d~r
dt
� d
~R
dt
~v 0 = ~v� ~V
d~v 0
dt
=
d~v
dt
� d
~V
dt
~a 0 = ~a� ~A
~R = ~V t
~r 0 =~r� ~V t
~v 0 = ~v� ~V
que é preferível porque do lado esquerdo da igualdade há a posição em relação ao 
referencial S’ e do lado direito as posições em relação ao referencial S. Esta expressão dá 
a regra que permite comparar a posição de P medida por S e S’. Devemos supor que os 
observadores S e S’ utilizam o mesmo tempo, de modo que t = t’; isto é,admitimos que as 
medidas de tempo são independentes do movimento relativo dos observadores. 
! Tomando a derivada em relação ao tempo da equação das posições relativas, 
temos que
Mas v = dr /dt e v’ = dr’ / dt são as velocidades de P medidas pelos observadores S e S’. 
Também, temos que V = dR / dt é a velocidade de S’ relativamente a S. Portanto, 
podemos escrever, analogamente, 
Esta é a regra para comparar a velocidade de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Derivando a expressão anterior em relação ao tempo, obtém-se que
onde a = dv /dt e a’ = dv’ / dt são as acelerações de P medidas pelos observadores S e S’ 
e A = dV / dt é a aceleração relativa entre os referenciais. Portanto,
esta é a regra para comparar a aceleração de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Interessa particularmente o caso de dois observadores que se encontram em 
movimento de translação relativo uniforme. Neste caso, V é um vetor constante, a 
aceleração relativa é nula e podemos dizer que a posição R do referencial S’ 
relativamente a S, é
daí, as equações vetoriais já obtidas são simplificadas para
d~r 0
dt
=
d~r
dt
� d
~R
dt
~v 0 = ~v� ~V
d~v 0
dt
=
d~v
dt
� d
~V
dt
~a 0 = ~a� ~A
~R = ~V t
~r 0 =~r� ~V t
~v 0 = ~v� ~V
que é preferível porque do lado esquerdo da igualdade há a posição em relação ao 
referencial S’ e do lado direito as posições em relação ao referencial S. Esta expressão dá 
a regra que permite comparar a posição de P medida por S e S’. Devemos supor que os 
observadores S e S’ utilizam o mesmo tempo, de modo que t = t’; isto é, admitimos que as 
medidas de tempo são independentes do movimento relativo dos observadores. 
! Tomando a derivada em relação ao tempo da equação das posições relativas, 
temos que
Mas v = dr /dt e v’ = dr’ / dt são as velocidades de P medidas pelos observadores S e S’. 
Também, temos que V = dR / dt é a velocidade de S’ relativamente a S. Portanto, 
podemos escrever, analogamente, 
Esta é a regra para comparar a velocidade de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Derivando a expressão anterior em relação ao tempo, obtém-se que
onde a = dv /dt e a’ = dv’ / dt são as acelerações de P medidas pelos observadores S e S’ 
e A = dV / dt é a aceleração relativa entre os referenciais. Portanto,
esta é a regra para comparar a aceleração de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Interessa particularmente o caso de dois observadores que se encontram em 
movimento de translação relativo uniforme. Neste caso, V é um vetor constante, a 
aceleração relativa é nula e podemos dizer que a posição R do referencial S’ 
relativamente a S, é
daí, as equações vetoriais já obtidas são simplificadas para
d~r 0
dt
=
d~r
dt
� d
~R
dt
~v 0 = ~v� ~V
d~v 0
dt
=
d~v
dt
� d
~V
dt
~a 0 = ~a� ~A
~R = ~V t
~r 0 =~r� ~V t
~v 0 = ~v� ~V
que é preferível porque do lado esquerdo da igualdade há a posição em relação ao 
referencial S’ e do lado direito as posições em relação ao referencial S. Esta expressão dá 
a regra que permite comparar a posição de P medida por S e S’. Devemos supor que os 
observadores S e S’ utilizam o mesmo tempo, de modo que t = t’; isto é, admitimos que as 
medidas de tempo são independentes do movimento relativo dos observadores. 
! Tomando a derivada em relação ao tempo da equação das posições relativas, 
temos que
Mas v = dr /dt e v’ = dr’ / dt são as velocidades de P medidas pelos observadores S e S’. 
Também, temos que V = dR / dt é a velocidade de S’ relativamente a S. Portanto, 
podemos escrever, analogamente, 
Esta é a regra para comparar a velocidade de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Derivando a expressão anterior em relação ao tempo, obtém-se que
onde a = dv /dt e a’ = dv’ / dt são as acelerações de P medidas pelos observadores S e S’ 
e A = dV / dt é a aceleração relativa entre os referenciais. Portanto,
esta é a regra para comparar a aceleração de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Interessa particularmente o caso de dois observadores que se encontram em 
movimento de translação relativo uniforme. Neste caso, V é um vetor constante, a 
aceleração relativa é nula e podemos dizer que a posição R do referencial S’ 
relativamente a S, é
daí, as equações vetoriais já obtidas são simplificadas para
d~r 0
dt
=
d~r
dt
� d
~R
dt
~v 0 = ~v� ~V
d~v 0
dt
=
d~v
dt
� d
~V
dt
~a 0 = ~a� ~A
~R = ~V t
~r 0 =~r� ~V t
~v 0 = ~v� ~V
que é preferível porque do lado esquerdo da igualdade há a posição em relação ao 
referencial S’ e do lado direito as posições em relação ao referencial S. Esta expressão dá 
a regra que permite comparar a posição de P medida por S e S’. Devemos supor que os 
observadores S e S’ utilizam o mesmo tempo, de modo que t = t’; isto é, admitimos que as 
medidas de tempo são independentes do movimento relativo dos observadores. 
! Tomando a derivada em relação ao tempo da equação das posições relativas, 
temos que
Mas v = dr /dt e v’ = dr’ / dt são as velocidades de P medidas pelos observadores S e S’. 
Também, temos que V = dR / dt é a velocidade de S’ relativamente a S. Portanto, 
podemos escrever, analogamente, 
Esta é a regra para comparar a velocidade de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Derivando a expressão anterior em relação ao tempo, obtém-se que
onde a = dv /dt e a’ = dv’ / dt são as acelerações de P medidas pelos observadores S e S’ 
e A = dV / dt é a aceleração relativa entre os referenciais. Portanto,
esta é a regra para comparar a aceleração de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Interessa particularmente o caso de dois observadores que se encontram em 
movimento de translação relativo uniforme. Neste caso, V é um vetor constante, a 
aceleração relativa é nula e podemos dizer que a posição R do referencial S’ 
relativamente a S, é
daí, as equações vetoriais já obtidas são simplificadas para
d~r 0
dt
=
d~r
dt
� d
~R
dt
~v 0 = ~v� ~V
d~v 0
dt
=
d~v
dt
� d
~V
dt
~a 0 = ~a� ~A
~R = ~V t
~r 0 =~r� ~V t
~v 0 = ~v� ~V
que é preferível porque do lado esquerdo da igualdade há a posição em relação ao 
referencial S’ e do lado direito as posições em relação ao referencial S. Esta expressão dá 
a regra que permite comparar a posição de P medida por S e S’. Devemos supor que os 
observadores S e S’ utilizam o mesmo tempo, de modo que t = t’; isto é, admitimos que as 
medidas de tempo são independentes do movimento relativo dos observadores. 
! Tomando a derivada em relação ao tempo da equação das posições relativas, 
temos que
Mas v = dr /dt e v’ = dr’ / dt são as velocidades de P medidas pelos observadores S e S’. 
Também, temos que V = dR / dt é a velocidade de S’ relativamente a S. Portanto, 
podemos escrever, analogamente, 
Esta é a regra para comparar a velocidade de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Derivando a expressão anterior em relação ao tempo, obtém-se que
onde a = dv /dt e a’ = dv’ / dt são as acelerações de P medidas pelos observadores S e S’ 
e A = dV / dt é a aceleração relativa entre os referenciais. Portanto,
esta é a regra para comparar a aceleração de um corpo medida por dois observadores 
em movimento de translação um relativamente ao outro.
! Interessa particularmente o caso de dois observadores que se encontram em 
movimento de translação relativo uniforme.Neste caso, V é um vetor constante, a 
aceleração relativa é nula e podemos dizer que a posição R do referencial S’ 
relativamente a S, é
daí, as equações vetoriais já obtidas são simplificadas para
d~r 0
dt
=
d~r
dt
� d
~R
dt
~v 0 = ~v� ~V
d~v 0
dt
=
d~v
dt
� d
~V
dt
~a 0 = ~a� ~A
~R = ~V t
~r 0 =~r� ~V t
~v 0 = ~v� ~V
Este conjunto de relações constitui a transformação de Galileu de coordenadas, 
velocidades e acelerações. 
! Uma característica importante das transformações de Galileu é que ambos os 
observadores medem a mesma aceleração da partícula. Ou seja,
! !
! Este resultado apresenta um exemplo de uma quantidade física, a aceleração de 
uma partícula que parece ser independente do movimento do observador. Em outras 
palavras
! Finalmente, a transformação de Galileu mostra também que os estados de repouso 
ou de movimentos retilíneos uniformes não são propriedades intrínsecas de um corpo, 
mas dependem da sua relação com o observador. Assim, os referenciais inerciais 
obedecem, satisfazem ou pertencem a transformação de Galileu.
Inércia
! Um passo adiante no nosso estudo é entender porque os referenciais em repouso 
ou com velocidade relativa uniforme são chamados de inerciais. Isto é, vamos estudar o 
significado de inércia.
! Segundo Aristóteles, tanto para colocar um corpo em movimento como para mantê-
lo em movimento é preciso interagir como o corpo. Outra afirmação é que o espaço era 
todo feito de regiões idênticas, exceto por um único ponto que seria singular e especial. 
Em relação a este ponto o movimento dos corpos ou seria centrífugo (para longe do 
ponto) ou centrípeto (para perto do ponto). 
~a 0 = ~a
t 0 = t
a aceleração de uma partícula é a mesma para todos os observadores em 
movimento de translação relativo uniforme.
a aceleração de um corpo é um invariante para todos os sistemas de referência 
que se encontram em movimento de translação relativo uniforme.
Este conjunto de relações constitui a transformação de Galileu de coordenadas, 
velocidades e acelerações. 
! Uma característica importante das transformações de Galileu é que ambos os 
observadores medem a mesma aceleração da partícula. Ou seja,
! !
! Este resultado apresenta um exemplo de uma quantidade física, a aceleração de 
uma partícula que parece ser independente do movimento do observador. Em outras 
palavras
! Finalmente, a transformação de Galileu mostra também que os estados de repouso 
ou de movimentos retilíneos uniformes não são propriedades intrínsecas de um corpo, 
mas dependem da sua relação com o observador. Assim, os referenciais inerciais 
obedecem, satisfazem ou pertencem a transformação de Galileu.
Inércia
! Um passo adiante no nosso estudo é entender porque os referenciais em repouso 
ou com velocidade relativa uniforme são chamados de inerciais. Isto é, vamos estudar o 
significado de inércia.
! Segundo Aristóteles, tanto para colocar um corpo em movimento como para mantê-
lo em movimento é preciso interagir como o corpo. Outra afirmação é que o espaço era 
todo feito de regiões idênticas, exceto por um único ponto que seria singular e especial. 
Em relação a este ponto o movimento dos corpos ou seria centrífugo (para longe do 
ponto) ou centrípeto (para perto do ponto). 
~a 0 = ~a
t 0 = t
a aceleração de uma partícula é a mesma para todos os observadores em 
movimento de translação relativo uniforme.
a aceleração de um corpo é um invariante para todos os sistemas de referência 
que se encontram em movimento de translação relativo uniforme.
Transformações de Galileu
Este resultado apresenta um exemplo de uma quantidade física, a aceleração de uma partícula 
que parece ser independente do movimento do observador. Em outras palavras 
 Finalmente, a transformação de Galileu mostra também que os estados de repouso ou 
de movimentos retilíneos uniformes não são propriedades intrínsecas de um corpo, mas 
dependem da sua relação com o observador. Esses são os referenciais inerciais que 
obedecem, satisfazem ou pertencem as transformações de Galileu. 
O referencial inercial
As estrelas distantes quando observadas da superfície da Terra parecem se localizar num 
plano e estáticas umas em relação as outras. Este conjunto de estrelas constituem um 
referencial inercial. Mas veja que dizemos parecem! Em primeiro lugar as estrelas se afastam 
uma das outras com velocidades aproximadamente constantes. Em segundo, porque o nosso 
tempo (até mesmo o tempo de vida!) de observação destas estrelas é ínfimo em comparação ao 
tempo que elas levam para se afastarem uma das outras.

 É bem verdade que podemos observar as estrelas aqui na Terra. Um foto instantânea 
produzirá a imagem mostrada na figura 1. Mas uma foto registrada por alguns minutos ou até 
algumas horas mostrará o rastro das estrelas, como na figura 2. 
Não são as estrelas que se movem nestas poucas horas de observação, mas a Terra e tudo o 
que está nela num movimento de translação em torno do Sol e de rotação em torno do seu 
eixo que são as noções de anos e dias/noites, respectivamente. Assim, a Terra não é um 
referencial inercial! Não porque se move somente. Mas porque se move num movimento 
curvilíneo. Está é a primeira noção do referencial inercial: as estrelas distantes parecem estar 
em repouso ou em movimento com velocidade constante umas em relação as outras e são ditas 
referenciais inerciais. Por outro lado, a Terra tem um movimento de rotação que a 
A aceleração de uma partícula é a mesma para todos os observadores em movimento de 
translação relativo uniforme.
A aceleração de um corpo é um invariante para todos os sistemas de referência que se 
encontram em movimento de translação relativo uniforme.
Princípios e Fenômenos da Mecânica - 2011-1.v0
Prof. Ronai Lisbôa
A dinâmica de uma partícula
A preocupação a partir deste momento será a determinação do tipo de movimento das 
partículas em relação a algum referencial. A causa dos movimentos será estudada tendo 
como base uma classe de referenciais específicos, os referenciais inerciais. Os corpos em 
movimento serão tomadas como partículas que estão isoladas do resto do universo ou 
acompanhadas de outras partículas vizinhas. Num caso ou no outro o movimento será 
natural ou forçado consoante a ausência ou a presença das interações que as partículas 
possam experimentar entre si. Os observadores que estudam estas partículas estão fixos 
nos seus referenciais inerciais e podem analisar os movimentos das partículas mesmo se 
estiverem num movimento relativo entre si, através das transformações de Galileu. Assim, 
com os referenciais inerciais e as transformações de Galileu o movimento das partículas é 
completamente determinado pelas três leis de Newton que serão igualmente válidas em 
todos estes referenciais com velocidade relativa retilínea e uniforme.
Percebe-se que o texto acima está repleto de informações e conceitos. Vamos explicar 
cada conceito à medida que surgirem.
Partícula.
! Em física a idéia de partícula isolada é de um conceito abstrato. Um corpo sem 
dimensões, mas curiosamente dotado de uma massa pontual. Este conceito abstrato de 
partícula pontual vem do cálculo diferencial de Newton que mostrou que qualquer 
distribuição de massa de um corpo extenso pode ser considerada como concentrada no 
centro do corpo (num ponto). Isto facilita o estudo da física principalmente quando o 
interesse é o movimento de translação. A rotação, se houver, será o giro da partícula em 
torno de algum eixo fixo ou móvel em relação a algum referencial inercial. Por outro lado, 
a presença da rotação implica que a partícula tem uma aceleração, pois o vetor 
velocidade muda continuamente de direção. Por enquanto, estudaremos apenas os 
movimentos retilíneos, logo das translações puras.
Referencial inercial.
! As estrelas distantes quando observadas da superfícieda Terra parecem se 
localizar num plano e estáticas umas em relação as outras. Este conjunto de estrelas 
constituem um referencial inercial. Mas veja que dizemos parecem! Em primeiro lugar as 
estrelas se afastam uma das outras com velocidades aproximadamente constantes. Em 
segundo, porque o nosso tempo (até mesmo o tempo de vida!) de observação destas 
estrelas é ínfimo em comparação ao tempo que elas levam para se afastarem uma das 
outras. 
! É bem verdade que podemos observar as estrelas aqui na Terra. Um foto 
instantânea produzirá a imagem mostrada na figura 1. Mas uma foto registrada por alguns 
minutos ou até algumas horas mostrará o rastro das estrelas, como na figura 2.
Princípios e Fenômenos da Mecânica - 2011-1.v0
Prof. Ronai Lisbôa
A dinâmica de uma partícula
A preocupação a partir deste momento será a determinação do tipo de movimento das 
partículas em relação a algum referencial. A causa dos movimentos será estudada tendo 
como base uma classe de referenciais específicos, os referenciais inerciais. Os corpos em 
movimento serão tomadas como partículas que estão isoladas do resto do universo ou 
acompanhadas de outras partículas vizinhas. Num caso ou no outro o movimento será 
natural ou forçado consoante a ausência ou a presença das interações que as partículas 
possam experimentar entre si. Os observadores que estudam estas partículas estão fixos 
nos seus referenciais inerciais e podem analisar os movimentos das partículas mesmo se 
estiverem num movimento relativo entre si, através das transformações de Galileu. Assim, 
com os referenciais inerciais e as transformações de Galileu o movimento das partículas é 
completamente determinado pelas três leis de Newton que serão igualmente válidas em 
todos estes referenciais com velocidade relativa retilínea e uniforme.
Percebe-se que o texto acima está repleto de informações e conceitos. Vamos explicar 
cada conceito à medida que surgirem.
Partícula.
! Em física a idéia de partícula isolada é de um conceito abstrato. Um corpo sem 
dimensões, mas curiosamente dotado de uma massa pontual. Este conceito abstrato de 
partícula pontual vem do cálculo diferencial de Newton que mostrou que qualquer 
distribuição de massa de um corpo extenso pode ser considerada como concentrada no 
centro do corpo (num ponto). Isto facilita o estudo da física principalmente quando o 
interesse é o movimento de translação. A rotação, se houver, será o giro da partícula em 
torno de algum eixo fixo ou móvel em relação a algum referencial inercial. Por outro lado, 
a presença da rotação implica que a partícula tem uma aceleração, pois o vetor 
velocidade muda continuamente de direção. Por enquanto, estudaremos apenas os 
movimentos retilíneos, logo das translações puras.
Referencial inercial.
! As estrelas distantes quando observadas da superfície da Terra parecem se 
localizar num plano e estáticas umas em relação as outras. Este conjunto de estrelas 
constituem um referencial inercial. Mas veja que dizemos parecem! Em primeiro lugar as 
estrelas se afastam uma das outras com velocidades aproximadamente constantes. Em 
segundo, porque o nosso tempo (até mesmo o tempo de vida!) de observação destas 
estrelas é ínfimo em comparação ao tempo que elas levam para se afastarem uma das 
outras. 
! É bem verdade que podemos observar as estrelas aqui na Terra. Um foto 
instantânea produzirá a imagem mostrada na figura 1. Mas uma foto registrada por alguns 
minutos ou até algumas horas mostrará o rastro das estrelas, como na figura 2.
desclassifica como um referencial inercial. Mais ainda, um observador fixo nestas estrelas 
distantes ao observar a Terra não perceberá o seu movimento devido ao grande afastamento 
ou ao próprio tempo de observação. Dizemos que qualquer observador ou referencial fixo nas 
estrelas distantes é também um observador ou referencial inercial. Agora, surge a segunda 
noção do referencial inercial: o movimento depende do referencial do observador. Um 
observador na Terra num tempo de observação de algumas horas vê a estrelas se moverem de 
modo distinto de outro observador em outro ponto sobre a superfície da Terra. A fotografia 
ilustra a observação do Sol e de outras Estrelas quando o observador se encontra no Equador. 
À esquerda figura 3 ( Pólo Sul) o rastro das estrelas é diferente do lado direito (Pólo Norte). A 
região central é justamente o Sol que se move na linha do equador. 
A partir deste momento, dizemos que o movimento é relativo. 
 Um aspecto envolvido na discussão deste último parágrafo é a escala de tempo. 
Vamos imaginar um experimento feito aqui na Terra como um jogo de ping-pong. A mesa de 
ping-pong está fixa em relação as paredes ou o mesmo que dizer em relação a Terra. Por outro 
lado, a bolinha do jogo se move de um lado para o outro em relação a mesa, a Terra e aos 
jogadores. O tempo de duração ( ∆ t ) de um único movimento da bolinha de ping-pong é 
extremamente curto em comparação ao período de rotação ( T ) da Terra, matematicamente, 
podemos dizer que 
 Neste caso, dizemos que quando esta relação acima é satisfeita, podemos considerar 
que os referenciais fixos na Terra são bons referenciais inerciais para o estudo do movimento 
dos corpos. Diferente de uma viagem de avião Brasil-Japão onde o movimento de avião em 
relação a Terra leva algumas horas e, portanto, a Terra não pode ser considerada um 
referencial inercial. Voltando ao caso das estrelas distantes podemos dizer que as acelerações 
(variações das velocidades) das estrelas fixas são aproximadamente nulas para um longo 
período de observação ( ∆ t ) em comparação ao período orbital da Terra (T). 
 Resumindo, graças a sua rotação diária e a sua orbita elíptica, a Terra não é um 
sistema de referencial inercial. Entretanto, em muitos casos, o efeito de movimento terrestre 
é desprezível. Assim, na maior parte dos casos, os sistemas de referência situados nos 
laboratórios terrestres podem, sem grande erro, ser considerados inerciais. O Sol também 
não é um referencial inercial pois, graças as suas interações com outros corpos da Galáxia, 
descreve uma órbita curva em torno do centro desta. Porém, a aceleração orbital do Sol é 150 
milhões de vezes menor que a da Terra, pelo que a semelhança do Sol com um sistema de 
referência inercial é muito maior. 
Não são as estrelas que se movem nestas poucas horas de observação, mas a Terra e 
tudo o que está nela num movimento de translação em torno do Sol e de rotação em 
torno do seu eixo que são as noções de anos e dias/noites, respectivamente. Assim, a 
Terra não é um referencial inercial! Não porque se move somente. Mas porque se move 
num movimento curvilíneo. Está é a primeira noção do referencial inercial: as estrelas 
distantes parecem estar em repouso ou em movimento com velocidade constante umas 
em relação as outras e são ditas referenciais inerciais. Por outro lado, a Terra tem um 
movimento de rotação que a desclassifica como um referencial inercial. Mais ainda, um 
observador fixo nestas estrelas distantes ao observar a Terra não perceberá o seu 
movimento devido ao grande afastamento ou ao próprio tempo de observação. Dizemos 
que qualquer observador ou referencial fixo nas estrelas distantes é também um 
observador ou referencial inercial. Agora, surge a segunda noção do referencial inercial: o 
movimento depende do referencial do observador. Um observador na Terra num tempo de 
observação de algumas horas vê a estrelas se moverem de modo distinto de outro 
observador em outro ponto sobre a superfície da Terra. A fotografia ilustra a observação 
do Sol e de outras Estrelas quando o observador se encontra no Equador. À esquerda 
figura 3 ( Pólo Sul) o rastro das estrelas é diferente do lado direito (Pólo Norte). A região 
central é justamente o Sol que se move na linha do equador. 
A partir deste momento, dizemos que o movimento é relativo.
! Um aspecto envolvidona discussão deste último parágrafo é a escala de tempo. 
Vamos imaginar um experimento feito aqui na Terra como um jogo de ping-pong. A mesa 
de ping-pong está fixa em relação as paredes ou o mesmo que dizer em relação a Terra. 
Por outro lado, a bolinha do jogo se move de um lado para o outro em relação a mesa, a 
Terra e aos jogadores. O tempo de duração ( ∆ t ) de um único movimento da bolinha de 
ping-pong é extremamente curto em comparação ao período de rotação ( T ) da Terra, 
matematicamente, podemos dizer que
 
Neste caso, dizemos que quando esta relação acima é satisfeita, podemos considerar que 
os referenciais fixos na Terra são bons referenciais inerciais para o estudo do movimento 
dos corpos. Diferente de uma viagem de avião Brasil-Japão onde o movimento de avião 
em relação a Terra leva algumas horas e, portanto, a Terra não pode ser considerada um 
referencial inercial. Voltando ao caso das estrelas distantes podemos dizer que as 
acelerações (variações das velocidades) das estrelas fixas são aproximadamente nulas 
para um longo período de observação ( ∆ t ) em comparação ao período orbital da Terra 
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Não são as estrelas que se movem nestas poucas horas de observação, mas a Terra e 
tudo o que está nela num movimento de translação em torno do Sol e de rotação em 
torno do seu eixo que são as noções de anos e dias/noites, respectivamente. Assim, a 
Terra não é um referencial inercial! Não porque se move somente. Mas porque se move 
num movimento curvilíneo. Está é a primeira noção do referencial inercial: as estrelas 
distantes parecem estar em repouso ou em movimento com velocidade constante umas 
em relação as outras e são ditas referenciais inerciais. Por outro lado, a Terra tem um 
movimento de rotação que a desclassifica como um referencial inercial. Mais ainda, um 
observador fixo nestas estrelas distantes ao observar a Terra não perceberá o seu 
movimento devido ao grande afastamento ou ao próprio tempo de observação. Dizemos 
que qualquer observador ou referencial fixo nas estrelas distantes é também um 
observador ou referencial inercial. Agora, surge a segunda noção do referencial inercial: o 
movimento depende do referencial do observador. Um observador na Terra num tempo de 
observação de algumas horas vê a estrelas se moverem de modo distinto de outro 
observador em outro ponto sobre a superfície da Terra. A fotografia ilustra a observação 
do Sol e de outras Estrelas quando o observador se encontra no Equador. À esquerda 
figura 3 ( Pólo Sul) o rastro das estrelas é diferente do lado direito (Pólo Norte). A região 
central é justamente o Sol que se move na linha do equador. 
A partir deste momento, dizemos que o movimento é relativo.
! Um aspecto envolvido na discussão deste último parágrafo é a escala de tempo. 
Vamos imaginar um experimento feito aqui na Terra como um jogo de ping-pong. A mesa 
de ping-pong está fixa em relação as paredes ou o mesmo que dizer em relação a Terra. 
Por outro lado, a bolinha do jogo se move de um lado para o outro em relação a mesa, a 
Terra e aos jogadores. O tempo de duração ( ∆ t ) de um único movimento da bolinha de 
ping-pong é extremamente curto em comparação ao período de rotação ( T ) da Terra, 
matematicamente, podemos dizer que
 
Neste caso, dizemos que quando esta relação acima é satisfeita, podemos considerar que 
os referenciais fixos na Terra são bons referenciais inerciais para o estudo do movimento 
dos corpos. Diferente de uma viagem de avião Brasil-Japão onde o movimento de avião 
em relação a Terra leva algumas horas e, portanto, a Terra não pode ser considerada um 
referencial inercial. Voltando ao caso das estrelas distantes podemos dizer que as 
acelerações (variações das velocidades) das estrelas fixas são aproximadamente nulas 
para um longo período de observação ( ∆ t ) em comparação ao período orbital da Terra 
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Bibliografia: 
Alaor Chaves - Física Básica.Mecânica - LTC - 2011 
Paul A Tipler - Física para Cientistas e Engenheiros - LTC - 2009 
David Halliday - Fundamentos da Física - LTC - 2008