Lista 1 Equações Diferenciais

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Lista de exercícios de EDO's de 1
a
ordem
Equações lineares
Exercício 1. Considere a equação diferencial
y′ + 2ty = 2te−t
2
(1)
• Encontre o fator integrante µ(t) para essa EDO.
• Multiplique ambos os lados da equação por µ(t).
• Calcule a derivada do produto µ(t)y com relação à t.
• Encontre a solução geral da EDO (1).
• Resolva o PVI  y
′ + 2ty = 2te−t
2
y(0) = 3
Exercício 2. Considere a equação diferencial
ty′ − y = t2e−t (2)
• Encontre o fator integrante µ(t) para essa EDO.
• Multiplique ambos os lados da equação por µ(t).
• Calcule a derivada do produto µ(t)y com relação à t.
• Encontre a solução geral da EDO (2).
• Resolva o PVI 
ty′ − y = t2e−t
y(1) = −1
e
Equações Separáveis
Exercício 3. Considere a equação
y′ + y2 sent = 0 (3)
• Encontre a solução geral desta EDO.
• Resolva o PVI 
y′ + y2 sent = 0
y
(pi
2
)
= 1
Exercício 4. Considere a equação
y′ =
t− e−t
y + ey
(4)
1
• Encontre a solução geral desta EDO.
• Resolva o PVI 
y′ = t−e
−t
y+ey
y (0) = 0
Exercício 5. Considere a equação
y′ = 2y2 + ty2 (5)
• Encontre a solução geral desta EDO.
• Resolva o PVI 
y′ = 2y2 + ty2
y (0) = 1
Exercício 6. Considere a equação
y′ =
2− et
3 + 2y
(6)
• Encontre a solução geral desta EDO.
• Resolva o PVI 
y′ = 2−e
t
3+2y
y (0) = 0
Equações homogêneas
Exercício 7. Considere a equação
y′ =
y + t
t
(7)
• Mostre que essa equação é uma equação homogênea.
• Faça a mudança de variáveis
v =
y
t
• Calcule
v′ =
dv
dt
• Encontre a solução geral da EDO (7)
Exercício 8. Considere a equação
(ty3)y′ = 2y4 + t4 (8)
• Mostre que essa equação é uma equação homogênea.
• Faça a mudança de variáveis
v =
y
t
2
• Calcule
v′ =
dv
dt
• Encontre a solução geral da EDO (8)
Resolva o PVI 
(ty3)y′ = 2y4 + t4
y(1) = 1
Equações exatas
Exercício 9. Considere a equação
(2t+ 3) + (2y − 2)y′ = 0 (9)
• Mostre que a equação (9) é uma equação diferencial exata.
• Encontre uma função ψ(t, y) satisfazendo
∂ψ
∂t
=M(t, y)
∂ψ
∂y
= N(t, y)
• Determine a solução geral da equação (9).
• Resolva o PVI 
y + (2t− yey)y′ = 0
y(1) = 2
Exercício 10. Considere a equação
(2ty2 + 2y) + (2t2y + 2t)y′ = 0 (10)
• Mostre que a equação (10) é uma equação diferencial exata.
• Encontre uma função ψ(t, y) satisfazendo
∂ψ
∂t
=M(t, y)
∂ψ
∂y
= N(t, y)
• Determine a solução geral da equação (11).
• Resolva o PVI 
(2ty2 + 2y) + (2t2y + 2t)y′ = 0
y(1) = 1
3
Equações não exatas e fatores integrantes
Exercício 11. Considere a equação
y + (2t− yey)y′ = 0 (11)
• Mostre que a equação (11) é uma equação diferencial não-exata.
• Mostre que a função µ(t, y) = y é um fator integrante para esta equação diferencial.
• Escreva a equação exata obtida na forma
M(t, y) +N(t, y)y′ = 0
• Encontre uma função ψ(t, y) satisfazendo
∂ψ
∂t
=M(t, y)
∂ψ
∂y
= N(t, y)
• Determine a solução geral da equação (11).
• Resolva o PVI 
y + (2t− yey)y′ = 0
y(0) = 0
Exercício 12. Considere a equação
(t+ 2) sen y + (t cos y)y′ = 0 (12)
• Mostre que a equação (12) é uma equação diferencial não-exata.
• Mostre que a função µ(t, y) = tet é um fator integrante para esta equação diferencial.
• Escreva a equação exata obtida na forma
M(t, y) +N(t, y)y′ = 0
• Encontre uma função ψ(t, y) satisfazendo
∂ψ
∂t
=M(t, y)
∂ψ
∂y
= N(t, y)
• Determine a solução geral da equação (12).
• Resolva o PVI 
(t+ 2) sen y + (t cos y)y′ = 0
y(0) = 0
4
Exercício 13. Considere a equação
y′ = e2t + y − 1 (13)
• Mostre que a equação (13) é uma equação diferencial não- exata.
• Mostre que a função µ(t, y) = e−t é um fator integrante para esta equação diferencial.
• Escreva a equação exata obtida na forma
M(t, y) +N(t, y)y′ = 0
• Encontre uma função ψ(t, y) satisfazendo
∂ψ
∂t
=M(t, y)
∂ψ
∂y
= N(t, y)
• Determine a solução geral da equação (13).
• Resolva o PVI 
y′ = e2t + y − 1
y(0) = 1
Equações de Bernoulli
Exercício 14. Considere a equação
t2y′ + 2ty = y3 (14)
• Multiplique ambos os lados da equação por y−3.
• Faça a mudança de variáveis
v = y−2
• Determine quem é v′ = dv
dt
.
• Resolva a equação resultante em v.
• Determine a equação geral da equação (14).
Exercício 15. Considere a equação
y′ + ty = ty2 (15)
• Multiplique ambos os lados da equação por y−2.
• Faça a mudança de variáveis
v = y−1
• Determine quem é v′ = dv
dt
.
• Resolva a equação resultante em v.
• Determine a equação geral da equação (15).
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