Exercícios Vetores

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1a LISTA DE PROBLEMAS DE F´ISICA B ´ASICA I
Departamento de Fı´sica - UFRRJ - Prof. M. J. Neves - 2015-2
1. Se os mo´dulos de dois vetores ~a e~b sa˜o iguais, qual e´ o aˆngulo entre ~a+~b e ~a−~b ?
2. Mostre que o mo´dulo da soma de dois vetores ~a e~b esta´ sempre compreendida entre os limites
||~a| − |~b|| ≤ |~a+~b| ≤ |~a|+ |~b| . (1)
Em que situac¸o˜es sa˜o atingidos os valores extremos ?
3. Considere o vetor unita´rio
uˆ =
xˆ+ yˆ√
2
, (2)
e os vetores
~a = 10yˆ , ~b = −5
(
yˆ − xˆ√
2
)
e ~c = −10xˆ . (3)
Calcule as projec¸o˜es de ~a,~b e ~c ao longo do vetor unita´rio uˆ. Desenhe todos os vetores no plano
OXY e calcule seus respectivos aˆngulos com a direc¸a˜o do vetor unita´rio uˆ.
4. Considere o paralelepı´pedo e os treˆs vetores ( ~A, ~B, ~C) da figura abaixo.
Y
Z
X b
c
a
~A
~B
~C
(a) Calcule os aˆngulos entre ~A e ~B, ~A e ~C, ~B e ~C.
(b) Particularize os resultados do item anterior para o caso de um cubo.
(c) Calcule os seguintes produtos vetoriais ~A× ~B, ~A× ~C e ~B × ~C.
1
5. Considere a piraˆmide da figura abaixo.
Y
Z
X 1
2
3
nˆ
Obtenha o vetor unita´rio nˆ.
6. Expresse o vetor ~r da figura abaixo em termos das suas componentes cartesianas, e dos aˆngulos
(α, β). Sugesta˜o: Escreva os vetores ~r1 e ~r2, que saem da origem e va˜o ate´ os pontos P1 e P2,
respectivamente, e calcule r pela relac¸a˜o ~r = ~r1 − ~r2.
X
Y
O
~r
a
a
α
β
P1
P2
7. No sistema de eixos (x, y), o vetor ~a da figura abaixo tem componentes cartesianas ax e ay. O
sistema e´ girado de um aˆngulo θ, de modo que agora temos um outro sistema de coordenadas
(x′, y′).
(a) Obtenha as componentes do vetor ~a no novo sistema de coordenadas (x′, y′).
(b) Escreva a transformac¸a˜o das novas componentes de ~a na forma matricial e obtenha a
matriz de rotac¸a˜o.
(c) Calcule o determinante da matriz de rotac¸a˜o, e mostre que o mo´dulo do vetor~a e´ invariante
sob rotac¸o˜es.
(d) Mostre que o produto escalar entre dois vetores quaisquer, ~a e~b no plano OXY , e´ invari-
ante pela rotac¸a˜o da figura.
2
X
Y
~a X ′
Y ′
θ
8. O vetor ~a da figura abaixo tem as componentes cartesianas ax e ay. Ao ser girado de um
aˆngulo θ, ele se transforma no vetor ~a′. Obtenha as componentes do vetor ~a′ em termos das
componentes do vetor ~a, e do aˆngulo θ.
X
Y
O
~a
~a′
θ
9. (a) Obtenha as componentes de um vetor~a, transformadas sobre a translac¸a˜o das coordenadas
abaixo :
x′ = x , y′ = y − a e z′ = z , (4)
com a ∈ R.
(b) Obtenha as componentes de um vetor ~a, transformadas sobre a inversa˜o das coordenadas
abaixo :
x′ = −x , y′ = −y e z′ = −z , (5)
(c) Como o produto vetorial entre dois vetores se transforma sobre a inversa˜o do item b) ?
(d) Como o produto misto entre treˆs vetores se transforma sobre a inversa˜o do item b) ?
10. Usando as identidades vetoriais
~a ·
(
~b× ~c
)
= ~c ·
(
~a×~b
)
= ~b · (~c× ~a) e ~a×
(
~b× ~c
)
= ~b (~a · ~c)− ~c
(
~a ·~b
)
, (6)
mostre que (
~a×~b
)
·
(
~c× ~d
)
= (~a · ~c)
(
~b · ~d
)
−
(
~b · ~c
)(
~a · ~d
)
. (7)
3
Respostas dos problemas
1. 900.
2. Use a imagem da func¸a˜o cosseno na definic¸a˜o do mo´dulo |~a+~b|.
3. ~a · uˆ = −~c · uˆ = 5√2,~b · uˆ = 0.
Seja α o aˆngulo entre ~a e ˆˆu, α = 450.
Seja β o aˆngulo entre~b e uˆ, β = 900.
Seja γ o aˆngulo entre ~c e uˆ, γ = 1350.
4. a) Seja α o aˆngulo entre ~A e ~B, cosα =
√
a2+c2
a2+b2+c2
.
Seja β o aˆngulo entre ~A e ~C, cos β = c2−b2√
a2+b2+c2
√
b2+c2
.
Seja γ o aˆngulo entre ~B e ~C, cos γ = c2√
a2+c2
√
b2+c2
.
b) cosα =
√
6
3
, β = 900 e γ = 600.
c) ~A× ~B = −ac zˆ+ bc xˆ, ~A× ~C = −ab zˆ− ac yˆ + 2bc xˆ e ~B × ~C = −ab zˆ− ac yˆ + bc xˆ.
5. nˆ = 6
7
xˆ+ 3
7
yˆ + 2
7
zˆ.
6. ~r = a (cos β − cosα) xˆ+ a ( sen β − senα) yˆ.
7. a) a′x = ax cos θ + ay sen θ e a′y = ay cos θ − ax sen θ.
b)
(
a′x
a′y
)
=
(
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
)(
ax
ay
)
.
c) detR(θ) = 1, onde R(θ) =
(
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
)
e´ a matriz de rotac¸a˜o.
d) Demonstrac¸a˜o.
8. (a) As componentes do vetor sa˜o invariantes sobre as transformac¸o˜es de translac¸a˜o.
(b) As componentes teˆm o sinal negativo sobre transformac¸a˜o de inversa˜o dos eixos.
(c) O produto vetorial na˜o muda sobre inversa˜o dos eixos.
(d) O produto misto troca de sinal.
9. a′x = ax cos θ − ay sen θ e a′y = ay cos θ + ax sen θ.
10. Demonstrac¸a˜o.
4