Exercícios Cinemática

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2a LISTA DE PROBLEMAS DE F´ISICA B ´ASICA I
Departamento de Fı´sica - UFRRJ - Prof. M. J. Neves - 2015-2
1. Um carro de corrida pode ser acelerado de 0 a 100 km/h em 4 s. Compare a acelerac¸a˜o me´dia
correspondente com a acelerac¸a˜o da gravidade. Se a acelerac¸a˜o e´ constante, que distaˆncia o
carro percorre ate´ atingir 100 km/h ?
2. Um motorista percorre 10 km a 40 km/h, os 10 km seguintes a 80 km/h e mais 10 km a
30 km/h. Qual e´ a velocidade me´dia do seu percurso ? Compare-a com a me´dia aritme´tica
das velocidades.
3. O gra´fico da velocidade em func¸a˜o do tempo para uma partı´cula que parte da origem e se move
ao longo de um eixo OX esta´ representado na figura abaixo.
t(s)0
vx(m/s)
12
−12
8
1612
(a) Trace os gra´ficos da acelerac¸a˜o ax(t) e da posic¸a˜o x(t) para 0 ≤ t ≤ 16s.
(b) Obtenha o deslocamento total da partı´cula no fim de 16s.
(c) Qual a posic¸a˜o da partı´cula no instante t = 12s ?
4. A func¸a˜o velocidade de uma partı´cula que se move ao longo do eixo OX e´ dada por
vx(t) = t
2 − 4t+ 3 , (1)
onde esta´ subentendida a utilizac¸a˜o do Sistema Internacional de Unidades.
(a) Em que instantes o movimento da partı´cula muda de sentido?
(b) Determine a func¸a˜o acelerac¸a˜o da partı´cula e o instante em que ela se anula.
(c) Esboce os gra´ficos de vx versus t e ax versus t e, neles, marque os instantes encontrados
no itens anteriores.
(d) Supondo que em t = 0 a partı´cula esteja na origem, determine sua posic¸a˜o como func¸a˜o
do tempo. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de x versus t e, nele, marque os instantes em que a
partı´cula inverte o sentido de seu movimento.
1
5. A func¸a˜o acelerac¸a˜o de uma partı´cula que se movimenta ao longo do eixo OX e´ dada por
ax(t) = bt− c , (2)
onde b e c sa˜o constantes positivas. No instante inicial, t = 0, a partı´cula esta´ na origem com
velocidade nula.
(a) Determine as unidades do SI em que se expressam as constantes b e c.
(b) Calcule a velocidade da partı´cula em qualquer instante de tempo. Em que instantes a
partı´cula inverte o sentido de seu movimento?
(c) Obtenha a posic¸a˜o da partı´cula como func¸a˜o do tempo. Em que instante ela cruza a
origem?
(d) Esboce o gra´fico da posic¸a˜o x da partı´cula versus o tempo t e, nele, indique os instantes
em que vx = 0 e x = 0.
6. Uma esfera bem pequena e´ abandonada a partir do repouso no interior de um tubo vertical
no qual existe um ga´s que oferece resisteˆncia ao seu movimento. A sua queda e´ filmada e,
escolhendo-se a origem do eixo vertical OY na posic¸a˜o inicial da esfera, encontra-se que a
func¸a˜o-movimento que melhor descreve os dados registrados no filme e´ dada por
y(t) = A
(
βt+ e−βt − 1) , (3)
onde A e β sa˜o constantes positivas e o eixo OY aponta para baixo.
(a) Determine as unidades no SI em que se expressas as constantes A e β.
(b) Determine a velocidade da esfera para t ≥ 0 e sua velocidade terminal (aquela que a esfera
atingiria no limite de um tempo infinito). Esboce o gra´fico da velocidade versus tempo
indicando nele a velocidade terminal.
(c) Obtenha a acelerac¸a˜o da esfera para t ≥ 0 e esboce o gra´fico de ay versus t.
7. A func¸a˜o-acelerac¸a˜o de uma partı´cula que se move ao longo do eixo OX e´ dada por
ax(t) = a0 sen (ωt) , (4)
onde a0 e ω sa˜o constantes positivas.
(a) Sabendo que em t0 = 0 a partı´cula se encontra na origem com velocidade nula, determine
a sua func¸a˜o-velocidade e a sua func¸a˜o-movimento.
(b) Calcule a velocidade me´dia da partı´cula no intervalo [t, t + 2π/ω], onde t e´ um instante
arbitra´rio e verifique que, apesar de ter uma acelerac¸a˜o oscilante, a partı´cula se afasta da
origem com o passar do tempo.
(c) Esboce os gra´ficos de ax versus t, vx versus t e x versus t, no intervalo [0, 4π/ω].
(d) Para que voceˆ perceba a forte dependeˆncia do movimento da partı´cula nas condic¸o˜es ini-
ciais, suponha, neste item, que em t0 = 0 ela esteja na origem, mas com velocidade
vx0 = −a0/ω. Utilizando essas novas condic¸o˜es iniciais, obtenha a func¸a˜o velocidade e a
func¸a˜o-movimento da partı´cula e repita os itens (b) e (c).
2
8. Um corpo cai de uma altura h, partindo do repouso. Os tempos gastos na primeira e segunda
metades da queda sa˜o t1 e t2, respectivamente. Calcule a raza˜o t2/t1.
9. Um me´todo possı´vel para medir a acelerac¸a˜o da gravidade g consiste em lanc¸ar uma bolinha
para cima num tubo onde se faz va´cuo e medir com precisa˜o os instantes t1 e t2 de passagem
(na subida e na descida, respectivamente) por uma altura z conhecida, a partir do instante do
lanc¸amento. Mostre que
g =
2z
t1t2
. (5)
10. Um proje´til e´ lanc¸ado da origem com a velocidade ~v0 = v0 cos θ0 xˆ + v0 sen θ0 yˆ, onde v0 e´
uma constante real positiva, e 0 < θ0 < π/2. Seja t1 o instante no qual o proje´til atinge sua
altura ma´xima, e t2 o instante no qual ele volta a tocar o solo. Calcule :
(a) o vetor deslocamento entre os instantes t1 e t2.
(b) o vetor velocidade me´dia nesse intervalo.
(c) o vetor velocidade nos instantes t1 e t2.
(d) desenhe a trajeto´ria e marque com setas os vetores calculados nos itens anteriores.
11. Devido a certas inomogeneidades na Terra, numa certa regia˜o a acelerac¸a˜o da gravidade na˜o
e´ bem vertical. Ale´m de uma componente vertical para baixo de mo´dulo g, ela possui uma
componente horizontal de mo´dulo a. Em relac¸a˜o a um sistema de eixos convenientemente
escolhido, as func¸o˜es-movimento de um proje´til lanc¸ado nessa regia˜o sa˜o
x(t) = v0xt+
1
2
at2 e y(t) = v0yt− 1
2
gt2 , (6)
onde vx0 e vy0 sa˜o constantes positivas.
(a) Determine o tempo de subida do proje´til, isto e´, o tempo gasto desde o lanc¸amento ate´ que
ele chegue ao ponto mais alto da trajeto´ria.
(b) Determine o tempo de descida do proje´til, isto e´, o tempo gasto desde o instante em que
atinge o ponto mais alto da trajeto´ria ate´ o instante em que volta ao nı´vel do lanc¸amento
y = 0 e compare com o resultado do item anterior. Comente o resultado.
(c) Determine o espac¸o horizontal percorrido pelo proje´til no movimento de subida.
(d) Determine o espac¸o horizontal percorrido pelo proje´til no movimento de descida e com-
pare com o resultado do item anterior. Comente o resultado.
12. A acelerac¸a˜o de uma partı´cula que se move num plano Oxy e´ representada pelo vetor
~a = −axxˆ− ayyˆ , (7)
onde ax e ay sa˜o constantes positivas. No instante t = 0, a partı´cula esta´ na origem e tem um
vetor velocidade dado por ~v0 = v0xˆ (v0 > 0).
(a) Obtenha o vetor velocidade e o vetor posic¸a˜o da partı´cula como func¸o˜es do tempo.
(b) Determine o instante t1 no qual a coordenada x da posic¸a˜o da partı´cula e´ ma´xima.
3
(c) Determine o instante t2 no qual a velocidade da partı´cula e´ perpendicular a` sua acelerac¸a˜o.
(d) Obtenha a trajeto´ria descrita pela partı´cula, assim como, fac¸a um esboc¸o da trajeto´ria para
t > 0, e no desenho indique com setas as velocidades e acelerac¸o˜es nos instantes t1 e t2.
13. Suponha que uma partı´cula seja forc¸ada a se mover no plano OXY com acelerac¸a˜o
~a(t) = α xˆ + βt2yˆ , (8)
onde α e β sa˜o constantes positivas.
(a) Obtenha a func¸a˜o-movimento da partı´cula sabendo que ela parte da origem no instante
zero com velocidade nula.
(b) Determine o vetor-posic¸a˜o e a velocidade da partı´cula no instante t =
√
α/β.
(c) Encontre a equac¸a˜o da trajeto´ria da partı´cula em termos das coordenadas cartesianas x e
y e fac¸a um esboc¸o da curva obtida.
14. A func¸a˜o-movimento de uma partı´cula para t ≥ 0 e´ dada por
~r(t) = A t xˆ+B sen (Ct) yˆ , (9)
onde A, B e C sa˜o constantes positivas.
(a) Determine a func¸a˜o-velocidade da partı´cula para t > 0.
(b) Determine a func¸a˜o-acelerac¸a˜o da partı´cula para t > 0.
(c) Obtenha a equac¸a˜o cartesiana da trajeto´ria seguida pela partı´cula.
(d) Fac¸a um esboc¸o da trajeto´ria e, nele, marque setas correspondentes a`svelocidades e a`
acelerac¸a˜o nos instantes t1 = π/(2C), t2 = π/C e t3 = 3π/(2C).
(e) Determine as unidades das constantes A, B e C no SI e deˆ o significado das mesmas.
15. A func¸a˜o-movimento de uma partı´cula e´ dada por
~r(t) = R cos(ωt)xˆ+R sen (ωt)yˆ + h zˆ , (10)
onde R, ω e h sa˜o constantes positivas dadas.
(a) Determine o vetor velocidade e o vetor acelerac¸a˜o a da partı´cula em um instante t ar-
bitra´rio.
(b) Determine a posic¸a˜o, a velocidade e a aceleraca˜o da partı´cula no instante t = 0.
(c) Fac¸a um esboc¸o da trajeto´ria da partı´cula e, nele, marque a a sua posic¸a˜o inicial. Indique,
ainda, com o auxı´lio de setas, a velocidade e a acelerac¸a˜o da partı´cula no instante inicial.
(d) Mostre, a partir dos resultados do primeiro item, que
|~a| = |~v|
2
R
, (11)
em qualquer instante de tempo.
4
16. A func¸a˜o-movimento de uma partı´cula para t ≥ 0 e´ dada por
~r(t) = 2A sen (ωt)xˆ+ A sen (2ωt)yˆ , (12)
onde A e ω sa˜o constantes positivas.
(a) Obtenha a velocidade e a acelerac¸a˜o da partı´cula em um instante de tempo qualquer.
(b) Determine o instante t1 no qual a partı´cula atinge pela primeira vez a posic¸a˜o onde sua
coordenada y e´ ma´xima. Determine, tambe´m, o instante t2 no qual a partı´cula atinge pela
primeira veza posic¸a˜o onde sua coordenada x e´ ma´xima. Calcule suas velocidades e suas
acelerac¸o˜es nos instantes t1 e t2.
(c) Fac¸a um esboc¸o da trajeto´ria da partı´cula no intervalo [0, 2π/ω]. Marque, em seu esboc¸o,
as posic¸o˜es da partı´cula nos instantes t1 e t2 e, com setas, indique suas respectivas veloci-
dades e acelerac¸o˜es nesses instantes.
Obs.: Ao esboc¸ar a trajeto´ria, observe que a frequeˆncia com que a partı´cula oscila ao longo
da direc¸a˜o OY e´ o dobro da frequeˆncia com que ela oscila ao longo da direc¸a˜o OX .
RESPOSTAS DOS PROBLEMAS
1. am ≈ 0, 71 g.
Distaˆncia de 55, 6m.
2. Velocidade me´dia de 42, 4km/h.
Me´dia das velocidades e´ de 50 km/h.
3. (a) Fac¸a o esboc¸o.
(b) ∆x(0, 16) = 0 .
(c) x(t = 12s) = 48m .
4. (a) t = 1 s e t = 3 s.
(b) t = 2 s.
(c) Esboc¸o.
(d) x(t) = t3
3
− 2t2 + 3t.
5. (a) [b] = m/s3 e [c] = m/s2.
(b) vx(t) = 12bt2 − ct. Instantes t = 0 e t = 2c/b.
(c) x(t) = 1
6
bt3 − 1
2
ct2. Instantes t = 0 e t = 3c/b.
(d) Esboc¸o.
6. (a) [β] = s−1 e [A] = m · s .
(b) vy(t) = Aβ
(
1− e−β t) .
(c) ay(t) = Aβ2 e−β t .
5
7. (a) vx(t) = a0ω [1− cos(ω t)] .
x(t) =
a0
ω2
[ωt− sen (ω t)] .
(b) 〈vx〉 = a0/ω.
(c) Fac¸a os gra´ficos.
(d) vx(t) = a0ω [1− cos(ω t)] .
x(t) =
a0
ω2
[ωt− sen (ω t)] . 〈vx〉 = 0. Fac¸a os gra´ficos.
8. t2
t1
=
√
2.
9. Demonstrac¸a˜o.
10. (a) ∆~r = v20
g
sen θ0 cos θ0 xˆ− v
2
0
g
sen 2θ0 yˆ .
(b) ~vm(t1, t2) = v0 cos θ0 xˆ− v02 sen θ0 yˆ.
(c) ~v1 = v0 cos θ0 xˆ
~v2 = v0 cos θ0 xˆ− v0 sen θ0 yˆ .
(d) Fac¸a o desenho.
11. (a) ts = v0y/g.
(b) td = ts = v0y/g.
(c) ∆xs = v0xv0yg +
a v2
0y
2g2
.
(d) ∆xd = v0xv0yg +
3a v2
0y
2g2
.
12. (a) ~v(t) = (v0x − axt)xˆ− aytyˆ
~r(t) =
(
v0xt− 12axt2
)
xˆ− 1
2
ayt
2yˆ.
(b) t1 = v0x
ax
.
(c) t2 = v0xaxa2 , onde a2 = a2x + a2y.
13. (a) ~r(t) = α t xˆ+ βt3
3
yˆ.
(b) ~v = α2
12 β
(6 xˆ+ yˆ).
~r = 1
3
(
α3
β
)1/3
(3 xˆ+ yˆ).
(c) y = β x
2
3α2
.
14. (a) ~v(t) = A xˆ+BC cos (Ct) yˆ.
(b) ~a(t) = −BC2 sen (Ct) yˆ.
(c) y = B sen (C
A
x
)
.
(d) Esboc¸o. Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o seno do item anterior.
6
(e) A constante A tem dimensa˜o de velocidade, B tem dimensa˜o de comprimento, e C tem
dimensa˜o de inverso de tempo.
15. (a) ~v(t) = −ωR sen (ωt) xˆ+ ωR cos (ωt) yˆ.
~a(t) = −ω2R(cos(ωt) xˆ+ sen (ωt) yˆ).
(b) ~r(t = 0) = R xˆ+ h zˆ.
~v(t = 0) = ωR yˆ.
~a(t = 0) = −ω2R xˆ.
(c) Esboc¸o.
(d) Demonstrac¸a˜o.
16. (a) ~v(t) = 2Aω cos(ωt) xˆ+ 2Aω cos (2ωt) yˆ.
~a(t) = −2Aω2 sen (ωt) xˆ− 4Aω2 sen (2ωt) yˆ.
(b) t1 = π/4ω.
t2 = π/2ω.
(c) Fac¸a o esboc¸o no plano OXY .
7