Sistemas de Equações Diferenciais em Tanques

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS A - 31 de outubro de 2011
Prof. Reginaldo J. Santos
Exerc´ıcio Complementar sobre Sistemas de Equac¸o˜es Diferenciais
Lineares
A B
Considere dois tanques A e B contendo, inicialmente, no primeiro uma salmoura com
380 gramas de sal em 100 litros de a´gua e no segundo 450 gramas em 100 litros de a´gua.
Uma salmoura e´ bombeada para o primeiro tanque a uma taxa de 2 litros/minuto com
uma concentrac¸a˜o de 3 gramas/litro de sal, enquanto outra mistura e´ bombeada para o
segundo tanque a uma taxa de 2 litros/minuto com uma concentrac¸a˜o de 6 gramas/litro
de sal. Os tanques esta˜o conectados de forma que o tanque B recebe salmoura do tanque
A a uma taxa de 3 litros por minuto e o tanque A recebe salmoura do tanque B a uma
taxa de 1 litro por minuto. O tanque B tem ainda uma sa´ıda que libera a mistura a uma
taxa de 4 litros por minuto.
(a) Modele o problema de encontrar a quantidade de sal no tanque A, q1(t), e a quantidade
de sal no tanque B, q2(t), como func¸a˜o do tempo e encontre que satisfazem o sistema
de equac¸o˜es diferenciais{
q′1(t) = −3 · 10−2q1(t) + 10−2q2(t) + 6,
q′2(t) = 3 · 10−2q1(t) − 5 · 10−2q2(t) + 12.
1
(b) Encontre os valores das quantidades de sal em cada tanque, qE1 e q
E
2 , para os quais
o sistema esta´ em equil´ıbrio, isto e´, a func¸a˜o constante, (q1(t), q2(t)) = (q
E
1 , q
E
2 ) e´
soluc¸a˜o do sistema.
(c) Sejam x1(t) = q1(t) − qE1 e x2(t) = q2(t) − qE2 , os desvios dos n´ıveis de sal dos seus
respectivos valores de equil´ıbrio. Encontre que ele satisfazem o sistema de equac¸o˜es
diferenciais homogeˆneo{
x′1(t) = −3 · 10−2x1(t) + 10−2x2(t),
x′2(t) = 3 · 10−2x1(t) − 5 · 10−2x2(t).
(d) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema de equac¸o˜es diferenciais do item anterior.
(e) Encontre a quantidade de sal no tanque A, q1(t), e a quantidade de sal no tanque B,
q2(t), como func¸a˜o do tempo.
2
Soluc¸a˜o
(a) Sejam TAB a taxa com que mistura passa do tanque A para o tanque B, VA o volume
de mistura no tanque A, cA a concentrac¸a˜o de mistura no tanque A, TBA a taxa com
que mistura passa do tanque A para o tanque B, VB o volume de mistura no tanque B,
cB a concentrac¸a˜o de mistura no tanque B, TeA taxa de entrada de mistura no tanque
A, TeB taxa de entrada de mistura no tanque A, ceA a concentrac¸a˜o de sal na mistura
que entra no tanque A, ceB a concentrac¸a˜o de sal na mistura que entra no tanque B
e Ts a taxa de sa´ıda de mistura do tanque B. Como as taxas TAB, TBA, TeA, TeB e Ts
sa˜o constantes e dadas por
TeA = 2 l/min, TeB = 2 l/min, TAB = 3 l/min, TBA = 1 l/min, Ts = 4 l/min,
enta˜o
VA(t) = VA(0) + TeA · t− TAB · t+ TBA · t = VA(0) = 100,
VB(t) = VB(0) + TeB · t+ TAB · t− TBA · t− Ts · t = VA(0) = 100,
dq1
dt
= TeA · ceA − TAB · cA + TBA · cB
= TeA · ceA − TAB · q1(t)
VA(t)
+ TBA · q2(t)
VB(t)
= 6− 3 · 10−2q1(t) + 10−2q2(t),
dq2
dt
= TeB · ceB + TAB · cA − TBA · cB − Ts · cB
= TAB · q1(t)
VA(t)
− (TBA + Ts) · q2(t)
VB(t)
= 12 + 3 · 10−2q1(t)− 5 · 10−2q2(t).
(b) O sistema pode ser escrito na forma matricial como Q′ = AQ+B, em que
A = 10−2
[ −3 1
3 −5
]
, B =
[
6
12
]
e Q(t) =
[
q1(t)
q2(t)
]
.
Mas,
Q′ = 0⇔ AQ = −B.
Logo a soluc¸a˜o de equil´ıbrio e´
Q(t) = QE = −A−1B = −102
[− 5
12
− 1
12−1
4
−1
4
] [
6
12
]
=
[
350
450
]
.
Logo qE1 = 350 gramas e q
E
2 = 450 gramas de sal.
3
(c) Seja X(t) = Q(t)−QE. Enta˜o, X ′(t) = Q′(t), e como AQE = −B, enta˜o
X ′ = Q′ = A(X +QE) +B = AX + AQE +B = AX.
Ou seja, (x1(t), x2(t)) satisfaz o sistema linear homogeˆneo{
x′1(t) = −3 · 10−2x1(t) + 10−2x2(t),
x′2(t) = 3 · 10−2x1(t) − 5 · 10−2x2(t).
(d) Vamos determinar os autovalores e autovetores da matriz
A = 10−2
[ −3 1
3 −5
]
Seja
B =
[ −3 1
3 −5
]
Como
BV = λV ⇔ 10−2BV = 10−2λV ⇔ AV = 10−2λV,
enta˜o as matrizes A e B possuem os mesmos autovetores e os autovalores da matriz A
sa˜o os autovalores da matriz B multiplicados por 10−2. Para a matriz B o polinoˆmio
caracter´ıstico e´
p(t) = det(B−t I2) = det
[ −3− t 1
3 −5− t
]
= (−3−t)(−5−t)−3 = t2+8t+12.
Como os autovalores de B sa˜o as ra´ızes de p(t), temos que os autovalores de B sa˜o
λ1 = −2 e λ2 = −6.
Agora, vamos determinar os autovetores associados aos autovalores λ1 = −2 e λ2 =
−6.
(B − λ1I2)Z = 0¯ ⇔
[ −1 1
3 −3
] [
x
y
]
=
[
0
0
]
⇔
{ −x + y = 0
3x − 3y = 0
cuja soluc¸a˜o geral e´
W1 = {(α, α) | α ∈ R} = {α(1, 1) | α ∈ R}.
Este e´ o conjunto de todos os autovetores associados a λ1 = −2 acrescentado o vetor
nulo. Podemos tomar o autovetor V = (1, 1).
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Agora,
(B − λ2I2)Z = 0¯ ⇔
[
3 1
3 1
] [
x
y
]
=
[
0
0
]
⇔
{
3x + y = 0
3x + y = 0
cuja soluc¸a˜o geral e´
W2 = {(α,−3α) | α ∈ R} = {α(1,−3) | α ∈ R}.
Este e´ o conjunto de todos os autovetores associados a λ2 = −6 acrescentado o vetor
nulo. Podemos tomar o autovetor W = (1,−3).
Assim, a matriz A e´ diagonaliza´vel e as matrizes
P = [ V W ] =
[
1 1
1 −3
]
e D = 10−2
[
λ1 0
0 λ2
]
=
[ − 1
50
0
0 − 3
50
]
sa˜o tais que
A = PDP−1.
Portanto a soluc¸a˜o geral do sistema de equac¸o˜es diferenciais e´ dada por[
x1(t)
x2(t)
]
= c1 e
− 1
50
t
[
1
1
]
+ c2 e
− 3
50
t
[
1
−3
]
.
(e) A soluc¸a˜o geral do sistema{
q′1(t) = −3 · 10−2q1(t) + 10−2q2(t) + 6,
q′2(t) = 3 · 10−2q1(t) − 5 · 10−2q2(t) + 12.
e´ [
q1(t)
q2(t)
]
=
[
qE1
qE2
]
+
[
x1(t)
x2(t)
]
=
[
350
450
]
+ c1 e
− 1
50
t
[
1
1
]
+ c2 e
− 3
50
t
[
1
−3
]
.
Substituindo-se t = 0 na soluc¸a˜o geral e usando a condic¸a˜o inicial de que q1(0) = 380
gramas e q2(0) = 450 gramas, obtemos[
30
0
]
= c1
[
1
1
]
+ c2
[
1
−3
]
.
Logo c1 =
45
2
e c2 =
15
2
. Portanto[
q1(t)
q2(t)
]
=
[
350
450
]
+
45
2
e−
1
50
t
[
1
1
]
+
15
2
e−
3
50
t
[
1
−3
]
.
5
Assim a quantidade de sal nos tanques A e B como func¸a˜o do tempo sa˜o dados por
q1(t) = 350 +
45
2
e−
1
50
t +
15
2
e−
3
50
t,
q2(t) = 450− 45
2
e−
1
50
t − 45
2
e−
3
50
t,
respectivamente.
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