Apostila de Resistencia dos Materiais (Prof. Marco Lucio Bittencourt - UNICAMP)

Prévia do material em texto

Universidade Estadual de Campinas 
Faculdade de Engenharia Mecânica 
Departamento de Projeto Mecânico 
 
 
 
EM406 D - Resistência dos Materiais I 
 
 
 
Seg: 19:10/20:50 - Sex: 21:00/22:50 
 
Professores: 
 
Msc.Rosley Anholon - DEF 
rosley@fem.unicamp.br 
Dr. Auteliano dos Santos - DPM 
aute@fem.unicamp.br 
 
 
Autor: Dr. Marco Lúcio Bittencourt - DPM 
mlb@fem.unicamp.br 
 
PREFA´CIO
Esta e´ a segunda versa˜o do texto que foi preparado para o ensino das disciplinas de Resisteˆncia dos
Materiais I e II da Faculdade de Engenharia Mecaˆnica da UNICAMP. O texto tambe´m tem sido usado
em cursos de po´s-graduac¸a˜o.
A principal proposta e´ abordar problemas de mecaˆnica dos so´lidos utilizando conceitos de mecaˆnica
do cont´ınuo e formulac¸a˜o variacional. A forma tradicional de ensinar Resisteˆncia dos Materiais esta´
baseada em modelos unidimensionais de barra e viga. Apesar do relativo sucesso desta abordagem para o
tratamento destes tipos espec´ıficos de problemas, a mesma na˜o e´ suficiente para o tratamento de problemas
muito comuns de engenharia tais como estado plano, estruturas axissime´tricas, placas e so´lidos.
Um outro ponto esta´ relacionado ao fato que os estudantes de engenharia atendem cursos de Mecaˆnica
dos So´lidos e dos Fluidos como se fossem assuntos completamente dissociados. Este na˜o e´ o caso e o
elemento de ligac¸a˜o entres estas disciplinas esta´ dado pela formulac¸a˜o usada no presente texto.
Esta versa˜o pretende enderec¸ar uma nova proposta de ensino problemas de mecaˆnica utilizando uma
abordagem baseada em mecaˆnica do cont´ınuo e formulac¸a˜o variacional. Para isso, sa˜o necessa´rios va´rios
conceitos de ana´lise tensorial (i.e., vetores, tensores, diferenciac¸a˜o, autovalores, etc). Deve-se observar
que a maioria destes conceitos sa˜o tratados nos cursos de ca´lculo e a´lgebra linear presentes nos curr´ıculos
de graduac¸a˜o em engenharia. Com estes conceitos ba´sicos, pode-se apresentar definic¸o˜es gerais de de-
formac¸a˜o e tensa˜o va´lidos para qualquer meio cont´ınuo (i.e, so´lidos, fluidos, gases). As equac¸o˜es consti-
tutivas relacionam tensa˜o e deformac¸a˜o para va´rios tipos de materiais. Apenas neste ponto, definem-se
as hipo´teses para o comportamento de materiais tais como o so´lido ela´stico linear e o fluido newtoniano.
Utilizando conceitos como poteˆncia e o Princ´ıpio das Poteˆncias Virtuais (PPV), a formulac¸a˜o variacio-
nal pode ser empregada para deduzir as equac¸o˜es diferenciais de equil´ıbrio de problemas tais como barras,
vigas, estado plano e so´lidos.
A formulac¸a˜o variacional e´ a maneira mais formal e natural para tratar problemas de mecaˆnica.
Ale´m disso, esta formulac¸a˜o induz naturalmente os me´todos variacionais de soluc¸a˜o tais como o Me´todo
de Elementos Finitos. Observa-se que a formulac¸a˜o variacional na˜o parte do conceito de forc¸a como a
Mecaˆnica Newtoniana.
A organizac¸a˜o do texto procurou seguir a ementa do curso de Resisteˆncia dos Materiais I. O Cap´ıtulo
1 apresenta uma breve introduc¸a˜o sobre a formulac¸a˜o de problemas de mecaˆnica. O Cap´ıtulo 2 trata do
problema de equil´ıbrio de part´ıculas e corpos r´ıgidos utilizando as abordagens newtoniana e variacional. O
Cap´ıtulo 3 apresenta de forma bem geral os principais aspectos da formulac¸a˜o variacional e esta´ baseado
no texto R.A. Feijo´o, N.Z. Pereira, E. Taroco, Principios Variacionales en Mecanica. Os Cap´ıtulos 4 a
6 apresentam, respectivamente, as formulac¸o˜es dos problemas de barra em trac¸a˜o/compressa˜o, torc¸ ao
em sec¸o˜es circulares e gene´ricas e flexa˜o pura e com cisalhamento em vigas. O Cap´ıtulo 7 apresenta o
conceito de notac¸a˜o em func¸a˜o de singularidade para representar o carregamento e foi desenvolvido em
conjunto com o Prof. Euclides Mesquita Neto (DMC/FEM/UNICAMP). O Cap´ıtulo trata da formulac¸a˜o
geral de um so´lido ela´stico linear sem a utilizac¸a˜o de tensores. Posteriormente, refaz-se a formulac¸a˜o do
so´lido introduzindo o conceito de tensor. Finalmente, o Cap´ıtulo 9 discute alguns problemas de mecaˆnica
como casos particulares de corpos so´lidos.
Os Apeˆndices A a F apresentam definic¸o˜es gerais cla´ssicas de Mecaˆnica do Cont´ınuo, tais como
notac¸a˜o indicial, vetores, func¸o˜es, ana´lise tensorial, deformac¸a˜o e equac¸o˜es constitutivas. Foram baseados
nos livros M.C. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics e W.M. Lai, D. Rubin, E. Krempl,
Introduction to Continuum Mechanics. Devem ser usados como material de aux´ılio. O Apeˆndice G
apresenta uma revisa˜o de propriedades geome´tricas de figuras planas.
0-ii
O autor agradece o interesse neste material e gostaria de receber opinio˜es e sugesto˜es dos leitores.
O autor gostaria de agradecer as seguintes pessoas pela colaborac¸a˜o efetiva na preperac¸a˜o desta notas:
Cla´udio A. C. Silva, Alberto Costa Nogueira Jr., Luciano Santos Driemeier e Wallace Gusma˜o Ferreira.
Em especial fica o agradecimento ao Prof. Ra´ul Feijo´o pelo incentivo e inestima´vel colaborac¸a˜o.
Atenciosamente,
Prof. Marco Lu´cio Bittencourt (mlb@fem.unicamp.br)
DPM/FEM/UNICAMP
Conteu´do 0-iii
Conteu´do
1 INTRODUC¸A˜O 1
1.1 Barras em Trac¸a˜o e Compressa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Torc¸a˜o em Eixos Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Vigas em Flexa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Problemas Bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Placas e Cascas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 So´lidos Tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Fluidos Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Exemplos de Aplicac¸o˜es Atuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 EQUILI´BRIO 1
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.2 Objetivos da Mecaˆnica do Cont´ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2.3 Definic¸a˜o de Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.4 Abordagens Newtoniana e Anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.5 Convenc¸o˜es Diagrama´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5.1 Suportes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5.2 Carregamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Equil´ıbrio de Part´ıculas e Corpos R´ıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6.1 Mecaˆnica anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6.2 Princ´ıpio das poteˆnciais virtuais (PPV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6.3 Mecaˆnica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 FORMULAC¸A˜O VARIACIONAL DE PROBLEMAS DE MECAˆNICA 1
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3.2 Poteˆncia Externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 Poteˆncia Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Princ´ıpio da Poteˆncia Virtual (PPV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 BARRA 1
4.1 Formulac¸a˜o Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1
4.1.1 Definic¸a˜o da Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4.1.2 Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4.1.3 Movimentos R´ıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.1.4 Poteˆncia Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.1.5 Aplicac¸a˜o do PPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Conteu´do 0-iv
4.1.6 Caracterizac¸a˜o dos Esforc¸os Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.1.7 Diagramas de Ensaio de Trac¸a˜o e Compressa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1.8 Coeficiente de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.9 Lei de Hooke para Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1.10 Aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o Constitutiva ao Problema de Barra . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.11 Verificac¸a˜o e Dimensionamento de Barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.12 Barras Submetida a Variac¸a˜o de Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 TORC¸A˜O 1
5.1 Sec¸o˜es Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
5.1.1 Definic¸a˜o da Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
5.1.2 Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.1.3 Movimentos R´ıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.1.4 Poteˆncia Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.1.5 Aplicac¸a˜o do PPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.1.6 Caracterizac¸a˜o dos Esforc¸os Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.1.7 Ensaio de Torc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.1.8 Aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1.9 Verificac¸a˜o e Dimensionamento de Eixos Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.1.10 Exerc´ıcio Resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2 Torc¸a˜o de Sec¸o˜es Gene´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2.1 Definic¸a˜o da Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2.2 Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2.3 Movimentos R´ıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2.4 Poteˆncia Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.5 Aplicac¸a˜o do PPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.6 Caracterizac¸a˜o dos Esforc¸os Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.7 Aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2.8 Distribuic¸a˜o da Tensa˜o de Cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2.9 Verificac¸a˜o e Dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 VIGA 1
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6.2 Modelo de Euler-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6.2.1 Definic¸a˜o da Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.2.2 Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.2.3 Movimentos R´ıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.2.4 Poteˆncia Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6.2.5 Aplicac¸a˜o do PPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
6.2.6 Caracterizac¸a˜o dos Esforc¸os Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.2.7 Aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2.8 Dimensionamento e Verificac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2.9 Exerc´ıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.3 Modelo de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3.1 Definic¸a˜o da Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3.2 Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Conteu´do 0-v
6.3.3 Movimentos R´ıgidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.3.4 Poteˆncia Interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3.5 Aplicac¸a˜o do PPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3.6 Caracterizac¸a˜o dos Esforc¸os Externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3.7 Aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.8 Distribuic¸a˜o da Tensa˜o de Cisalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4 Perfis Padronizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.4.1 Exerc´ıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7 FUNC¸O˜ES DE SINGULARIDADE 1
7.0.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7.0.3 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
8 SO´LIDOS 1
8.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
8.2 Definic¸a˜o da Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
8.3 Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
8.4 Movimento de Corpo R´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8.5 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8.6 Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais (PTV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8.7 Lei de Hooke Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
8.8 Aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8.9 Formulac¸a˜o Empregando Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8.9.1 Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8.9.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.9.3 Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.9.4 Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8.9.5 Movimentos de Corpo R´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8.9.6 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.9.7 Aplicac¸a˜o do PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8.9.8 Aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9 CASOS PARTICULARES DE UM SO´LIDO 36
9.1 Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 36
9.1.1 Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.1.2 Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.1.3 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.1.4 PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.1.5 Aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.2 Flexa˜o Pura em Vigas Prisma´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.2.1 Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.2.2 Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
9.2.3 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.2.4 PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.2.5 Aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9.3 Torc¸a˜o de Eixos Circulares Prisma´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9.3.1 Cinema´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9.3.2 Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Conteu´do 0-vi
9.3.3 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.3.4 PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9.3.5 Aplicac¸a˜o da Equac¸a˜o Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.4 Estado Plano de Tenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.5 Estado Plano de Deformac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A NOTAC¸A˜O INDICIAL 1
A.1 Definic¸a˜o de Notac¸a˜o Indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
A.2 Convenc¸a˜o de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
A.3 Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
A.4 S´ımbolo de Permutac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
A.5 Operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
A.5.1 Substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
A.5.2 Multiplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A.5.3 Fatorac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.5.4 Contrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.6 Notac¸o˜es de diferenciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.7 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A.8 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
B VETORES 1
B.1 Espac¸os Pontuais e Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
B.2 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
B.3 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
C FUNC¸O˜ES 1
C.1 Definic¸a˜o de Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
C.2 Func¸o˜es Compostas e Func¸o˜es Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
C.3 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
C.4 Diferenciac¸a˜o e Integrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
C.4.1 Caso Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
C.4.2 Caso Multidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
C.5 Gradiente, Divergente e Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
C.6 Teoremas de Integrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
D ANA´LISE TENSORIAL 1
D.1 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
D.1.1 Componentes de um tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
D.1.2 Tensor nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
D.1.3 Tensor identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
D.1.4 Soma de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
D.1.5 Produto de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
D.1.6 Tensor transposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
D.1.7 Tensores sime´trico e antissime´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
D.1.8 Produto tensorial de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
D.1.9 Trac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
D.1.10 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
D.1.11 Tensor ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
D.1.12 Tensor positivo-definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Conteu´do 0-vii
D.1.13 Vetor axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
D.1.14 Leis de transformac¸a˜o para vetores e tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
D.1.15 Autovetores e autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
D.1.16 Valores e direc¸o˜es principais de tensores sime´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
E DEFORMAC¸A˜O 1
E.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
E.2 Caracterizac¸a˜o da Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
E.3 Descric¸o˜es Material e Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
E.4 Descric¸a˜o Material da Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
E.5 Descric¸a˜o Espacial da Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
E.6 Deformac¸a˜o Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
E.7 Interpretac¸a˜o das Componentes de Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
E.8 Deformac¸o˜es Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
E.9 Dilatac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
E.10 Taxa de Deformac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
E.11 Exerc´ıcio Resolvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
E.12 Exerc´ıcios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
F EQUAC¸O˜ES CONSTITUTIVAS 1
F.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
F.2 So´lido Ela´stico Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
F.2.1 So´lido Ela´stico Linear Isotro´pico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
F.3 Fluido Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 6
F.3.1 Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
F.3.2 Fluidos compress´ıveis e incompress´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
F.3.3 Equac¸a˜o da hidrosta´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
F.3.4 Fluido em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
F.3.5 Fluido newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
F.3.6 Fluido newtoniano incompress´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
G Propriedades Geome´tricas de Sec¸o˜es Transversais 1
G.1 Momento Esta´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
G.2 Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
G.3 Momento de Ine´rcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
G.3.1 Teorema dos Eixos Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Lista de Figuras 0-viii
Lista de Figuras
1.1 Barra de comprimento L juntamente com sistema de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Cinema´tica do modelo de barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Estrutura trelic¸ada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Cinema´tica de troc¸a˜o circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Esforc¸os externos compat´ıveis com a viga de Euler-Bernouilli. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Passarela de pedestres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Exemplo de problema modelado como estado plano de tensa˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Exemplo de uma malha de elementos finitos para um so´lido ela´stico tridimensional. . . . . 9
1.9 Problema de escoamento num duto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.10 Otimizac¸a˜o de forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.11 Exemplos de problemas multidisciplinares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Configurac¸a˜o de refereˆncia B e seu contorno ∂B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Avaliac¸a˜o do peso de um objeto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Avaliac¸a˜o da tensa˜o na correia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Suportes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Restric¸o˜es cinema´ticas e reac¸o˜es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Restric¸a˜o unilateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.7 Carregamento concentrado numa viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.8 Forc¸as distribu´ıdas constante e linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.9 Momento concentrado numa viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.10 Part´ıcula livre de restric¸a˜o com ac¸a˜o de movimento v. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.11 Relac¸a˜o de dualidade entre ac¸o˜es de movimento e forc¸as numa part´ıcula. . . . . . . . . . . 10
2.12 Ac¸a˜o de movimento de um corpo r´ıgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.13 Movimentos de um corpo r´ıgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.14 Corpo sujeito a` ac¸a˜o de um conjunto de forc¸as. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.15 Poteˆncia das forc¸as internas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.16 Alavanca articulada com forc¸a F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.17 Deslocamento virtual para o ca´lculo de RBx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.18 Deslocamento virtual para o ca´lculo de reac¸a˜o de apoio RBy. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.19 Forc¸as sobre um ponto material. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.20 Movimentos de corpo r´ıgido num plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.21 Exerc´ıcios resolvidos 2.1 e 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.22 Exerc´ıcio resolvido 2.1: deslocamentos virtuais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.23 Exerc´ıcio resolvido 2.1: deslocamento virtual na direc¸a˜o de RAx. . . . . . . . . . . . . . . 22
2.24 Exerc´ıcios resolvidos 2.3 e 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.25 Exerc´ıcio resolvido 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.26 Exerc´ıcio resolvido 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Lista de Figuras 0-ix
2.27 Exerc´ıcio resolvido 2.3: deslocamento virtual na direc¸a˜o de RAx. . . . . . . . . . . . . . . 26
2.28 Exerc´ıcios resolvidos 2.5 e 2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.29 Exerc´ıcio 2.5: deslocamentos virtuais.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.30 Exerc´ıcio resolvido 2.5: deslocamento virtual na direc¸a˜o de RAx. . . . . . . . . . . . . . . 28
2.31 Exerc´ıcios propostos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Formulac¸a˜o variacional de problemas de mecaˆnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Espac¸os V, V ′, W e W ′ e as poteˆncias externa e interna associadas. . . . . . . . . . . . . . 3
3.3 Modelo unidimensional de viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4 Modelo bidimensional de viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.5 Modelo tridimensional de viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.6 Ac¸a˜o de movimento virtual Γ”705Ev(x) na viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1 Barra de comprimento L juntamente com sistema de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . 1
4.2 Cinema´tica do modelo de barra: sec¸o˜es transversais perpendiculares ao eixo x antes e
depois dadeformac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4.3 Estiramento na barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.4 Movimento de corpo r´ıgido na barra: translac¸a˜o u ao longo do eixo x. . . . . . . . . . . . 4
4.5 Relac¸a˜o entre os espac¸os de ac¸o˜es de movimento V e das taxas de deformac¸a˜o W. . . . . . 4
4.6 Distribuic¸a˜o de tensa˜o na sec¸a˜o transversal da barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.7 Esforc¸os externos e convenc¸a˜o de sinais na barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.8 Formulac¸a˜o variacional do problema de barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.9 Exemplo 4.1 (barra submetida a uma carga distribu´ıda constante p0). . . . . . . . . . . . 9
4.10 Exemplo 4.2 (barra submetida a uma carga distribu´ıda constante p0. . . . . . . . . . . . . 10
4.11 Exemplo 4.3 (barra submetida a uma carga distribu´ıda variando linearmente). . . . . . . . 11
4.12 Barra submetida a uma forc¸a axial P na extremidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.13 Corpo de prova e ma´quina de teste para ensaio de trac¸a˜o/compressa˜o. . . . . . . . . . . . 14
4.14 Diagramas de ensaio de trac¸a˜o/compressa˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.15 Fases num diagrama de ensaio de trac¸a˜o e compressa˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.16 Diagrama de ensaio t´ıpico para material fra´gil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.17 Comportamento do ensaio de trac¸a˜o para diferente ac¸os. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.18 Deformac¸a˜o transversal numa barra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.19 Comportamento do coeficiente de Poisson no ensaio de trac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.20 Condic¸o˜es de contorno em termos de deslocamento numa barra. . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.21 Exerc´ıcio resolvido 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.22 Exerc´ıcio resolvido 4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.23 Exerc´ıcio resolvido 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.24 Exerc´ıcio resolvido 4.3: esforc¸os nas sec¸o˜es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1 Cinema´tica de torc¸a˜o circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.2 Componentes tranversais de deslocamento na torc¸a˜o circular. . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.3 Comportamento do deslocamento tangencial na sec¸a˜o transversal do eixo. . . . . . . . . . 5
5.4 Ana´lise da deformac¸a˜o na torc¸a˜o circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.5 Componentes de deformac¸a˜o γxy, γxz e γt num eixo circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.6 Movimento r´ıgido na torc¸a˜o circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.7 Resultante em termos de momento torc¸or na sec¸a˜o transversal do eixo. . . . . . . . . . . . 10
5.8 Esforc¸os internos e externos e convenc¸a˜o de sinais na torc¸a˜o circular. . . . . . . . . . . . . 12
5.9 Formulac¸a˜o variacional do problema de torc¸a˜o circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.10 Corpo de prova submetido a ensaio de torc¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Lista de Figuras 0-x
5.11 Diagrama de ensaio de torc¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.12 Condic¸o˜es de contorno em termos do aˆngulo de torc¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.13 Distribuic¸a˜o da tensa˜o de cisalhamento na sec¸a˜o de um eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.14 Eixo com sec¸o˜es circulares cheia e vazada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.15 Empenamento da sec¸a˜o num eixo de sec¸a˜o quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.16 Cinema´tica da torc¸a˜o em sec¸o˜es gene´ricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.17 Efeito do aˆngulo de torc¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.18 Deformac¸a˜o angular na torc¸a˜o em sec¸o˜es gene´ricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.19 Exemplo de movimento r´ıgido na torc¸a˜o gene´rica (rotac¸a˜o de 90 graus e translac¸a˜o em x). 28
5.20 Elemento de a´rea em torno do ponto P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.21 Formulac¸a˜o variacional do problema de torc¸a˜o de sec¸o˜es gene´ricas. . . . . . . . . . . . . . 32
5.22 Sec¸a˜o transversal el´ıptica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.23 Distribuic¸a˜o de tensa˜o em sec¸a˜o transversal el´ıptica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.24 Func¸a˜o de empenamento em sec¸o˜es el´ıpticas (Mx = 1000, G = 1, a = 2, b = 1). . . . . . . 37
5.25 Analogia da membrana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.26 Eixo de sec¸a˜o retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.27 Analogia da membrana com sec¸o˜es retangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.1 Sistema de coordenadas da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
6.2 Exemplo de viga em flexa˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.3 Cinema´tica da viga de Euler-Bernouilli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.4 Deslocamento longitudinal u(x) variando linearmente na sec¸a˜o transversal AB da viga. . . 4
6.5 Deformac¸a˜o na viga de Euler-Bernouilli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6.6 Movimento de corpo r´ıgido na viga: rotac¸a˜o em torno do eixo z. . . . . . . . . . . . . . . 7
6.7 Momento fletor na sec¸a˜o transversal da viga de Euler-Bernouilli. . . . . . . . . . . . . . . 8
6.8 Esforc¸os internos e externos na viga de Euler-Bernouilli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6.9 Formulac¸a˜o do modelo de viga de Euler-Bernouilli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.10 Condic¸o˜es de contorno na viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.11 Tenso˜es de trac¸a˜o e compressa˜o na sec¸a˜o transversal da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6.12 Linha e superf´ıcie neutras na viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.13 Equac¸a˜o diferencial: viga submetida a carga distribu´ıda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6.14 Equac¸a˜o diferencial: carga distribu´ıda linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.15 Equac¸a˜o diferencial: viga com ro´tula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6.16 Viga bi-engastada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.17 Viga constitu´ıda de dois trechos distintos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.18 Viga da questa˜o 2: a) trecho AB; b) equil´ıbrio entre os dois trechos; c) trecho BC. . . . . 22
6.19 Vigas a) sem ro´tula; b) com ro´tula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.20 Rotac¸o˜es θ1 e θ2; descontinuidade ∆θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.21 Passarela de pedestres: a) e b) vista geral; c) detalhe da ro´tula; d) apoio na rampa. . . . . 27
6.22 Modelos para a passarela: a) sem ro´tula; b) com ro´tula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.23 Passarela sem ro´tula: gra´ficos da cortante, momento fletor, rotac¸a˜o e deflexa˜o. . . . . . . 29
6.24 Passarela com ro´tula: gra´ficos da cortante, momento fletor, rotac¸a˜o e deflexa˜o. . . . . . . 30
6.25 Passarela com ro´tula nos pontos de ma´ximo momento: gra´ficos da cortante, momento
fletor, rotac¸a˜o e deflexa˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.26 Cinema´tica da viga de Timoshenko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.27 Empenamento de sec¸a˜o na viga de Timoshenko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.28 Ana´lise do empenamento na extremidade da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.29 Elemento de viga distorcido no plano xy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Lista de Figuras 0-xi
6.30 Esforc¸os internos e externos no modelo de Timoshenko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.31 Formulac¸a˜o variacional da viga de Timoshenko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.32 Comportamento constante da tensa˜o de cisalhamento na viga de Timoshenko. . . . . . . . 41
6.33 Viga com carregemento distribu´ıdo do Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.34 Viga com carregamento distribu´ıdo do Exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.35 Distribuic¸a˜o da tensa˜o de cisalhamento na sec¸a˜o retangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.36 Tensa˜o parabo´lica na sec¸a˜o retangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.37 Momento esta´tico na sec¸a˜o retangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.38 Tensa˜o de cisalhamento numa sec¸a˜o circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.39 Perfil I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.40 Cortes no perfil I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.41 Distribuic¸a˜o de tensa˜ono perfil I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.42 Perfis laminados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.43 Efeito do peso pro´prio devido ao peso da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.44 Questa˜o 2: a) sec¸a˜o transversal; b) viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.45 a) sec¸a˜o transversal; b) momento esta´tico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.46 a) ponte rolante; b) sec¸a˜o transversal da viga central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.47 Aplicac¸a˜o do carregamento em va´rios pontos e respectivos esforc¸os. . . . . . . . . . . . . . 62
6.48 Sec¸o˜es transversais: a) estimativa inicial; b) perfil completo; c) perfil reforc¸ado. . . . . . . 63
6.49 Carregamento original e efeito do peso pro´prio da viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.50 Forc¸a cortante ma´xima na viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.51 a) ca´lculo dos momentos esta´ticos; b) distribuic¸a˜o das tenso˜es de cisalhamento. . . . . . . 66
6.52 Esquema da solda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.1 Viga submetida a forc¸as e momentos concentrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
7.2 Notac¸a˜o simbo´lica para < x− a >n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
7.3 Gra´ficos de hn(x) para n = 1, 5, 10, 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7.4 Func¸a˜o de Heaviside: a) H(x); b) H(x− a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7.5 Delta de Dirac: a) δ(x); b) δ(x− xo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
7.6 Derivadas de hn(x) para va´rios valores de n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7.7 Gra´ficos de d
2
dx2hn(x) para n = 1, 5, 10, 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
7.8 Func¸o˜es de singularidade: viga do exerc´ıcio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
7.9 Func¸o˜es de singularidade: viga do exerc´ıcio 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7.10 Func¸o˜es de singularidade: viga do exerc´ıcio 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.11 Func¸o˜es de singularidade: viga do exerc´ıcio 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.12 Func¸o˜es de singularidade: viga do exerc´ıcio 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.13 Func¸o˜es de singularidade: viga do exerc´ıcio 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.14 Func¸o˜es de singularidade: barra do exerc´ıcio 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.15 Func¸o˜es de singularidade: viga do exerc´ıcio 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8.1 Cinema´tica de um Corpo So´lido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
8.2 Deformac¸a˜o de um Corpo So´lido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
8.3 Elementos Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
8.4 Deformac¸o˜es no plano xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
8.5 Integrac¸a˜o por partes tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
8.6 Carregmentos atuando sobre um corpo tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8.7 Definic¸a˜o de Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.8 Definic¸a˜o de Vetores e Sistemas de Refereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Lista de Figuras 0-xii
8.9 Rotac¸o˜es de Corpo R´ıgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.10 Interpretac¸a˜o da rotac¸a˜o r´ıgida de uma viga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.11 Deformac¸a˜o de um Corpo So´lido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8.12 Rotac¸a˜o R´ıgida Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9.1 Estado Plano de Tenso˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9.2 Estado Plano de Deformac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.1 I´ndices livre e repetido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
A.2 S´ımbolo de permutac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
B.1 Pontos e vetores numa regia˜o B do espac¸o euclidiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
B.2 Sistema de coordenadas cartesiano associado a B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
B.3 Produtos entre vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
C.1 Func¸a˜o do exemplo C.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
C.2 Relac¸a˜o do exemplo C.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
C.3 Classificac¸a˜o de func¸o˜es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
C.4 Func¸a˜o inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
C.5 Conceitos de limite e continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
C.6 Corpo r´ıgido e os sistemas de refereˆncia inercial e mo´vel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
C.7 Interpretac¸a˜o geome´trica de ∇ϕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
D.1 Espelhamento de vetores em torno de e1 atrave´s de T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
D.2 Rotac¸o˜es no sentido anti-hora´rio: a) 90o¯ em torno de e3; b) 90
o
¯ em torno de e1. . . . . . 5
D.3 Sistemas cartesianos retangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
E.1 Deformac¸o˜es numa a) barra; b) viga; c) e d) eixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
E.2 Configurac¸a˜o de refereˆncia B e seu contorno ∂B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
E.3 Campos vetoriais ut(X) e ut(x) caracterizando, respectivamente, a deformac¸a˜o ft(X) e
sua inversa f−1t (X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
E.4 Barra alongada de um comprimento L0 para L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
E.5 Descric¸o˜es material (ut(X)) e espacial (ut(x)) da deformac¸a˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . 6
E.6 Quadrado unita´rio OABC deformado para OAB’C’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
E.7 Interpretac¸a˜o da componente de deformac¸a˜o εxx: a)
∂u1
∂X1
> 0, b)
∂u1
∂X1
< 0. . . . . . . . . . 11
E.8 Interpretac¸a˜o da deformac¸a˜o de cisalhamento γxy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
E.9 Deformac¸a˜o dos elementos dX1 e dX2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
E.10 Deformac¸a˜o da diagonal AB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
E.11 Alongamentos nas direc¸o˜es principais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
G.1 Elemento de a´rea dA numa a´rea plana A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
G.2 Elementos de a´rea numa sec¸a˜o retangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
G.3 Centro de gravidade de uma a´rea plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
G.4 Ca´lculo do momento esta´tico a partir da definic¸a˜o do centor de gravidade. . . . . . . . . . 4
G.5 Centro de gravidade de uma a´rea plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
G.6 Perfil T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
G.7 Perfil L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
G.8 Perfil U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
G.9 Teorema dos eixos paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Lista de Figuras 0-xiii
G.10 Ca´lculo de momento de ine´rcia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1-1
Cap´ıtulo 1
INTRODUC¸A˜O
A descric¸a˜o e a ana´lise de fenoˆmenos f´ısicos da natureza sempre foram de interesse da humanidade.
Va´rios cientistas famosos ao longo dos u´ltimos se´culos estudaram o movimento e a deformac¸a˜o dos
corpos. Neste u´ltimo caso, o objetivo principal e´ o estudo do comportamento de corpos submetidos a
solicitac¸o˜es quaisquer, determinando-se os esforc¸os internos e os estados de deformac¸a˜o e tensa˜o.
Atrave´s de simplificac¸o˜es sobre o caso geral de um corpo so´lido, desenvolveu-se a disciplina de re-
sisteˆncia dos materiais, a qual considera basicamente o estudo de problemas unidimensionais com mate-
riais ela´sticos. De forma geral, na resisteˆncia dos materiais estudam-se os esforc¸os internos e a deformac¸a˜o
em elementos estruturais como barras, vigas e eixos. Para isso, assume-se que toda solicitac¸a˜o aplicada
ao corpo causa apenas deformac¸a˜o, na˜o ocorrendo nenhuma ac¸a˜o de movimento (deve ser observado que
o estado de repouso de um corpo e´ um caso particular de uma ac¸a˜o de movimento geral). Neste contexto,
uma se´rie de expresso˜es e´ deduzida para o ca´lculo das deformac¸o˜es e tenso˜es em estruturas compostas
por barras e vigas. Desta forma, considera-se a resisteˆncia dos materiais como uma descric¸a˜o te´cnica
unidimensional de conceitos gerais de mecaˆnica.
Observa-se que ao se deparar com a denominac¸a˜o resisteˆncia dos materiais, o aluno naturalmente
espera aprender o comportamento de estruturas constitu´idas por diferentes tipos de materiais. No entan-
to, os textos cla´ssicos de resisteˆncia tratam apenas modelos unidimensionais com a hipo´tese de material
ela´stico. Assim, tem-se apenas um tipo espec´ifico de material ao inve´s de va´rios modelos constitutivos
de materiais. Ao se considerar apenas modelos unidimensionais, conceitos gerais de mecaˆnica, tais como
deformac¸a˜o e tensa˜o, sa˜o apresentados de forma espec´ifica sem nenhuma relac¸a˜o com o caso geral de um
corpo so´lido.
Atualmente, os problemas de engenharia teˆm apresentado um cara´ter multidisciplinar. Isto pode ser
justificado em parte pela pro´pria evoluc¸a˜o do conhecimento humano e pela disponibilidade de recursos
computacionais eficientes para a simulac¸a˜o de problemas. Desta forma, torna-se essencial ao engenheiro
dominar os conceitos fundamentais de mecaˆnica, sendo capaz de lidar com va´rios tipos diferentes de
problemas. Do ponto de vista do ensino de engenharia, este fato demonstra a necessidade de se adotar
uma abordagem que enfatize estes conceitos ba´sicos e fundamentais de mecaˆnica. Tal abordagem devera´
oferecer ao engenheiro uma visa˜o ampla dos problemas de mecaˆnica no que se refere a`s formulac¸o˜es, sendo
capaz de tratar problemas de so´lidos e fluidos atrave´s de uma mesma base conceitual. Tal fato constitui-
se no ponto de partida para a aplicac¸a˜o do computador na soluc¸a˜o de problemas reais de engenharia. O
desconhecimento da formulac¸a˜o de um problema resulta na impossibilidade de se compreender, de forma
clara, as hipo´teses fundamentais e as limitac¸o˜es do modelo mecaˆnico considerado, o que torna altamente
prova´vel a obtenc¸a˜o de soluc¸o˜es computacionais que na˜o representem o comportamento real do problema.
Assim, conhecer o modelo mecaˆnico e´ o ponto fundamental para a aplicac¸a˜o de te´cnicas de simulac¸a˜o
computacional.
Este enfoque mais abrangente de se estudar a formulac¸a˜o de problemas de mecaˆnica toma por base os
1.1. Barras em Trac¸a˜o e Compressa˜o 1-2
conceitos desenvolvidos na disciplina de Mecaˆnica do Cont´inuo, a qual esta´ fundamentada na noc¸a˜o de
meios cont´inuos e consequentemente no conceito de infinitesimal. E´ exatamente por este motivo que os
cursos de engenharia em geral possuem nos seus curr´iculos disciplinas de ca´lculo diferencial. No entanto,
a forma usual de se ministrar os cursos espec´ificos de engenharia, tais como resisteˆncia dos materiais
e mecaˆnica dos fluidos, na˜o costuma fazer a devida ligac¸a˜o entre o ca´lculo diferencial e a mecaˆnica do
cont´inuo. Em geral, apresentam-se conceitos particulares obtidos a partir dos princ´ipios fundamentais
da mecaˆnica do cont´inuo com aplicac¸o˜es a problemas relativamente simples. Isto cria uma lacuna na
formac¸a˜o do engenheiro pois o mesmo, ao se deparar com problemas complexos de engenharia, na˜o
sera´ capaz de identificar em que pontos as hipo´teses que resultaram nas teorias simplificadas dos cursos
tradicionais de engenharia devem ser alteradas para tratar os problemas reais. Observa-se que este
me´todo tradicional de ensino esta´ totalmente desvinculada dos problemas de engenharia contemporaˆneos
e do uso da simulac¸a˜o computacional.
Nesse sentido, este texto procura se reestruturar o ensino de mecaˆnica partindo-se essencialmente de
suas bases conceituais. Assim como na teoria cla´ssica de resisteˆncia dos materiais, pretende-se introduzir
os rudimentos de mecaˆnica atrave´s de modelos unidimensionais, enfatizando-se no entanto, os aspectos
simplificadores que resultaram nas suas formulac¸o˜es. Posteriormente, outros tipos de modelos mecaˆnicos
sera˜o introduzidos tais como placas, cascas, so´lidos, estado plano e problemas axissime´tricos. Atrave´s
destes elementos, o estudante sera´ capaz de tratar outros tipos de problemas na˜o considerados pela
resisteˆncia dos materiais cla´ssica.
A presente introduc¸a˜o pretende motivar o estudo desta disciplina pela apresentac¸a˜o de alguns modelos
mecaˆnicos, suas hipo´teses e algumas de suas aplicac¸o˜es. Os exemplos sa˜o colocados em ordem crescente de
complexidade com o intuito de estimular a noc¸a˜o de aplicabilidade dos modelos mecaˆnicos considerados.
A ferramenta ba´sica para a formulac¸a˜o dos problemas e´ o ca´lculo diferencial complementado com outros
conceitos matema´ticos tal como tensores. Os modelos aqui considerados sera˜o tratados em detalhes
posteriormente ao longo deste texto.
1.1 Barras em Trac¸a˜o e Compressa˜o
Barra e´ um elemento estrutural cuja principal caracter´ıstica geome´trica e´ possuir o comprimento bem
maior que as dimenso˜es da sec¸a˜o transversal. Assim, considera-se uma barra como um elemento unidi-
mensional, analisando-se o seu comportamento ao longo da direc¸a˜o paralela a` dimensa˜o longitudinal, ou
seja, o eixo x do sistema de refereˆncia mostrado na Figura 1.1.
Figura 1.1: Barra de comprimento L juntamente com sistema de coordenadas.
A cinema´tica do modelo de barra consiste de ac¸o˜es de movimento axiais, ou seja, as sec¸o˜es transversais
permanecem perpendiculares ao eixo da barra como ilustrado na Figura 1.2. Desta forma, no caso de
deformac¸a˜o tem-se apenas ac¸o˜es de estiramento e encurtamento da barra. As ac¸o˜es de movimento r´ıgido
correspondem a` translac¸o˜es na direc¸a˜o do eixo x. Os esforc¸os internos e externos compat´ıveis com a
cinema´tica adotada sa˜o forc¸as axiais.
1.1. Barras em Trac¸a˜o e Compressa˜o 1-3
(a) Configurac¸a˜o inicial (sec¸o˜es transversais per-
pendiculares ao eixo da barra).
(b) Configurac¸a˜o deformada ( sec¸o˜es transversais per-
manecem perpendiculares ao eixo da barra).
Figura 1.2: Cinema´tica do modelo de barra.
A equac¸a˜o ba´sica para o caso da barra pode ser escrita da seguinte forma
dNx
dx
= −p(x). (1.1)
sendo Nx a forc¸a normal ao longo da barra e p(x), o carregamento axial distribu´ıdo ao longo da mesma.
Integrando-se esta equac¸a˜o vem
Nx(x) = −
∫ x
0
p(x)dx+ C1,
sendo x uma sec¸a˜o arbitra´ria e C1 uma constante de integrac¸a˜o arbitra´ria determinada a partir das
condic¸o˜es de contorno. Assim, a partir da integrac¸a˜o da equac¸a˜o diferencial, obte´m-se uma func¸a˜o Nx(x)
descrevendo o comportamentoda forc¸a normal ao longo de toda a barra.
A forc¸a normal Nx(x) numa sec¸a˜o transversal x e´ dada de forma geral como uma integral ao longo
da a´rea A da barra
Nx(x) =
∫
A
σxx(x) dydz = σxx(x)
∫
A
dydz = σxx(x)A(x), (1.2)
sendo σxx a componente de tensa˜o normal na direc¸a˜o do eixo x. Logo, devido a cinema´tica adotada no
modelo de barra, tem-se um estado uniaxial de tensa˜o dado pela tensa˜o normal σxx, a qual e´ constante
para todos os pontos de uma sec¸a˜o transversal.
Para material ela´stico linear isotro´pico, a lei de Hooke no caso de barra em trac¸a˜o e compressa˜o se
reduz a
σxx = E# = E(#xx − #0), (1.3)
#yy = #zz = − ν
E
σxx, (1.4)
sendo #xx a componente de deformac¸a˜o normal; #yy e #zz, as componentes de deformac¸a˜o transversais nas
direc¸o˜es y e z; E e ν sa˜o, respectivamente, o mo´dulo de elasticidade longitudinal e o coeficiente de Poisson
do material; #0 representa a deformac¸a˜o inicial da barra existente em casos em que se tem um gradiente
de temperatura ou quando a barra e´ montada com interfereˆncia. As equac¸o˜es 1.3 sa˜o conhecidas como
as equac¸o˜es constitutivas de material ela´stico linear isotro´pico para o problema de barra.
Substituindo (1.3) em (1.2), tem-se a expressa˜o da forc¸a normal em termos da deformac¸a˜o ε, ou seja,
Nx(x) = E(x)A(x)(#xx − #0). (1.5)
1.2. Torc¸a˜o em Eixos Circulares 1-4
A componente de deformac¸a˜o normal #xx e´ dada em func¸a˜o do deslocamento axial da barra u = u(x)
como
εxx =
du
dx
. (1.6)
A partir de (1.5) e de (1.6) vem que
Nx(x) = E(x)A(x)
[
du
dx
− #0
]
. (1.7)
Supondo #0 = 0 para efeitos de simplificac¸a˜o e substituindo relac¸a˜o anterior em (1.1), tem-se a forma
forte do problema ou equac¸a˜o diferencial de barra em termos do deslocamento axial u = u(x)
d
dx
(
E(x)A(x)
du
dx
)
+ p(x) = 0, para x ∈ (0, L) . (1.8)
Para o caso em que o mo´dulo de elasticidade e a a´rea da sec¸a˜o sa˜o constantes (E(x) = E e A(x) = A),
obte´m-se
EA
d2u
dx2
+ p(x) = 0, em x ∈ (0, L) . (1.9)
Figura 1.3: Estrutura trelic¸ada.
Como exemplo de aplicac¸a˜o de barras, tem-se estruturas trelic¸adas constitu´ıdas por barras unidas por
articulac¸o˜es perfeitas como ilustrado na Figura 1.3. A transmissa˜o das cargas aplicadas da estrutura ate´
os apoios e´ realizada exclusivamente pela resisteˆncia das barras a trac¸a˜o e compressa˜o.
1.2 Torc¸a˜o em Eixos Circulares
Como no caso das barras, o eixo tambe´m e´ um elemento estrutural com dimensa˜o longitudinal predo-
minante. A cinema´tica do modelo de eixo circular consiste apenas de ac¸o˜es de movimento que originam
torc¸a˜o nas sec¸o˜es perpendiculares a` dimensa˜o longitudinal como mostrado na Figura 1.4.
De forma completamente ana´loga ao caso de barras, pode-se obter a seguinte equac¸a˜o de equil´ıbrio
para eixos circulares
dMx
dx
= −t(x), (1.10)
1.3. Vigas em Flexa˜o 1-5
(a) Rotac¸a˜o da sec¸a˜o transversal. (b) Efeito da torc¸a˜o no plano longitu-
dinal imagina´rio DO1O2C.
Figura 1.4: Cinema´tica de troc¸a˜o circular.
sendo M(x) o momento torc¸or ao longo do eixo e t(x) o torque distribu´ıdo aplicado ao mesmo.
Empregando-se as equac¸o˜es constitutivas desse modelo, chega-se a
Mx = µIp
dθ
dx
. (1.11)
Substituindo-se esta u´ltima equac¸a˜o na anterior obte´m-se
d
dx
(
µIp
dθ(x)
dx
)
+ t(x) = 0, (1.12)
sendo θ(x) o aˆngulo de rotac¸a˜o do eixo submetido ao torque t(x), µ, um dos coeficientes de Lame´ e Ip, o
momento de ine´rcia polar da sec¸a˜o transversal do eixo.
Para um eixo de sec¸a˜o transversal constante e constitu´ıdo de um u´nico material (µ = cte; Ip(x) = Ip)
tem-se
µIp
d2θ(x)
dx2
+ t(x) = 0. (1.13)
1.3 Vigas em Flexa˜o
O modelo que representa vigas em flexa˜o pura consiste em supor que as ac¸o˜es de movimento poss´ıveis
devam ser tais que as sec¸o˜es transversais permanec¸am planas, na˜o-deformadas e ortogonais ao eixo da
viga. Logo, as forc¸as transversais e os momentos puros sa˜o os esforc¸os compat´ıveis com a cinema´tica
adotada para esse modelo como ilustrado na Figura 1.5.
Assim como no caso de barras, e´ poss´ıvel estabelecer uma relac¸a˜o de equil´ıbrio para forc¸as e momentos
em vigas resultando na seguintes equac¸o˜es diferenciais:
dVy
dx
= q(x), (1.14)
dMz
dx
= Vy, (1.15)
1.4. Problemas Bidimensionais 1-6
(a) Esforc¸os externos. (b) Convenc¸a˜o de sinais.
Figura 1.5: Esforc¸os externos compat´ıveis com a viga de Euler-Bernouilli.
ou ainda
d2Mz
dx2
= q(x), (1.16)
sendo Vy(x) e Mz(x) a forc¸a cortante e o momento fletor ao longo da viga, respectivamente, e q(x) o
carregamento distribu´ıdo transversal sobre a mesma.
Mais uma vez, empregando-se as equac¸o˜es constitutivas desse modelo, chega-se a
Mz = EIz
d2v
dx2
(1.17)
e substituindo-se esta u´ltima equac¸a˜o na anterior obte´m-se
d2
dx2
(
E(x)Iz(x)
d2v(x)
dx2
)
− q(x) = 0, (1.18)
sendo v(x) a deflexa˜o ao longo da viga submetida ao carregamento transversal q(x), E, o modulo de
elasticidade longitudinal e Iz, o momento de ine´rcia de a´rea da sec¸a˜o transversal x em relac¸a˜o ao eixo z.
Para um eixo de sec¸a˜o transversal constante e constitu´ıdo de um u´nico material (E(x) = E; Iz(x) =
Iz), tem-se
EIz
d4v(x)
dx4
− q(x) = 0. (1.19)
Como exemplo de uma aplicac¸a˜o de viga, a Figura 1.6 ilustra uma passarela de pedestres.
Os elementos estruturais de barra, eixo e viga sa˜o usualmente abordados na teoria cla´ssica de re-
sisteˆncia dos materiais. No entanto, a abordagem tradicional de resisteˆncia deduz um conjunto de ex-
presso˜es espec´ıficas para o problema considerado. Muitas vezes na˜o se deixa claro, por exemplo, quais
sa˜o as hipo´teses cinema´ticas destes problemas assim como as suas limitac¸o˜es.
1.4 Problemas Bidimensionais
Para ilustrar um caso de grande importaˆncia pra´tica na˜o tratado pela abordagem cla´ssica de resisteˆncia
dos materiais, considere o problema de estado plano de tensa˜o. Em geral, os problemas bidimensionais em
1.5. Placas e Cascas 1-7
Figura 1.6: Passarela de pedestres.
elasticidade linear sa˜o situac¸o˜es simplificadas de problemas originalmente tridimensionais. A formulac¸a˜o
de tais problemas e´ comumente organizada em treˆs categorias: estado plano de tensa˜o, estado plano de
deformac¸a˜o e so´lidos axisime´tricos. As hipo´teses ba´sicas e as equac¸o˜es de equil´ıbrio para o caso de estado
plano de tensa˜o sera˜o descritas a seguir.
Para o caso de estado plano de tensa˜o tem-se
• a espessura do corpo e´ pequena se comparada a`s suas dimenso˜es nas direc¸o˜es x e y,
• na˜o ha´ forc¸as agindo nas faces normais ao eixo z,
• as componentes das forc¸as de volume agem somente no plano xy e sa˜o independentes do eixo z,
• todas as forc¸as agindo no corpo sa˜o planas e independentes de z.
As equac¸o˜es de equil´ıbrio esta´tico para o estado plano sa˜o escritas como
divT+ b = 0 =⇒


∂T11(x,y)
∂x +
∂T12(x,y)
∂y + bx(x, y) = 0
∂T12(x,y)
∂x +
∂T22(x,y)
∂y + by(x, y) = 0
(1.20)
sendo T o tensor de tenso˜es e b, o vetor das forc¸as de corpo. Para um material ela´stico isotro´pico linear,
chega-se a partir de 1.20 a
µ
(
∂2u
∂x2 +
∂2u
∂y2
)
+ (µ+ λ)
(
∂2u
∂x2 +
∂2v
∂x∂y
)
+ bx(x, y) = 0
µ
(
∂2v
∂x2
+ ∂
2v
∂y2
)
+ (µ+ λ)
(
∂2u
∂x∂y +
∂2v
∂y2
)
+ by(x, y) = 0
, (1.21)
sendo u, v os deslocamentos nas direc¸o˜es x e y, respectivamente, bx, by, as componentes da forc¸a de corpo
e µ ,λ os coeficientes de Lame´.
Existem inu´meras aplicac¸o˜es em mecaˆnica que podem ser reduzidas ao caso bidimensional, como por
exemplo estruturas em chapa. A Figura 1.7 ilustra um gancho tratado como um modelo de estado plano
de tensa˜o.
1.5 Placas e Cascas
As placas e as cascas sa˜o componentes estruturais respectivamente planos e curvos que apresentam sua
espessura muito menor que qualquer outrade suas dimenso˜es. Essa caracter´ıstica ba´sica permite tratar
1.6. So´lidos Tridimensionais 1-8
Figura 1.7: Exemplo de problema modelado como estado plano de tensa˜o.
tais elementos a partir de sua superf´ıcie me´dia reduzindo assim um problema originalmente tridimensional
ao caso bidimensional. Os modelos cla´ssicos que descrevem problemas de placa e casca compreendem
frequentemente as formulac¸o˜es de Kirchhoff ou Reissner-Mindlin. A seguir sa˜o apresentadas as hipo´teses
ba´sicas para o tratamento do modelo placa deKirchhoff bem como a equac¸a˜o resultante dessa formulac¸a˜o.
A hipo´tese simplificadora na formulac¸a˜o de Kirchhoff para o modelo de placa consiste em negligenciar
as deformac¸o˜es espec´ıficas na direc¸a˜o perpendicular a` superf´ıcie me´dia da placa. De forma equivalente,
esta considerac¸a˜o pode ser reescrita da seguinte maneira: Linhas retas normais a` superficie me´dia da
placa antes da deformac¸a˜o permanecem retas e normais a esta superf´ıcie apo´s a deformac¸a˜o da placa.
A equac¸a˜o de equil´ıbrio de uma placa retangular submetida a pequenas deflexo˜es para o caso de
material ela´stico isotro´poico linear e´ dada por
∂4w
∂x4
+ 2
∂4w
∂x2∂y2
+
∂4w
∂y4
=
q
D
, (1.22)
sendo w a deflexa˜o normal ao plano me´dio da placa, q, a carga distribu´ıda normal a esse mesmo plano e
D, uma constante dada pela seguinte equac¸a˜o:
D =
Ed3
12(1 − ν2) , (1.23)
sendo E o mo´dulo de elasticidade longitudinal, ν, o coeficiente de Poisson e d, a espessura da placa.
1.6 So´lidos Tridimensionais
Todos os corpos esta˜o sujeitos a deformac¸o˜es quando submetidos a esforc¸os externos. Quando o compor-
tamento do material que constitui um corpo e´ tal que a deformac¸a˜o desaparece totalmente ao se remover
o carregamento sobre ele, este material e´ denominado ela´stico. Da mesma forma, quando os valores das
propriedades mecaˆnicas do material que constitui um corpo sa˜o independentes da direc¸a˜o em que estas
sa˜o analisadas, este material e´ denominado isotro´pico. A seguir sa˜o apresentadas as hipo´teses ba´sicas e as
equac¸o˜es de equil´ıbrio inerentes ao tratamento de problemas tridimensionais envolvendo uma tal classe
de materiais.
1.6. So´lidos Tridimensionais 1-9
No caso da deformac¸a˜o de so´lidos na˜o se faz nenhuma hipo´tese simplificadora sobre a forma funcional
das ac¸o˜es cinematicamente poss´ıveis ale´m da sua suavidade (existeˆncia de derivadas parciais cont´ınuas).
Assim, uma ac¸a˜o de movimento poss´ıvel v, para o tratamento de um problema so´lido tridimensional, e´
a seguinte:
u =


u(x, y, z)
v(x, y, z)
w(x, y, z)

 , (1.24)
com v1, v2 e v3 sendo func¸o˜es escalares suaves de x, y e z.
Figura 1.8: Exemplo de uma malha de elementos finitos para um so´lido ela´stico tridimensional.
As equac¸o˜es gerais que descrevem a deformac¸a˜o de um so´lido tridimensional, no caso de material
ela´stico isotro´pico linear, sa˜o dadas por
divT+ b = 0
T = 2µE+ λ(trE)I
E = 12(∇u+∇uT )
, (1.25)
sendo T o tensor de tenso˜es, b o vetor das forc¸as de corpo, µ e λ, os coeficientes de Lame´ e E, o tensor
de deformac¸o˜es de Green dado por
E =


∂u
∂x
1
2
(
∂u
∂y +
∂v
∂x
)
1
2
(
∂u
∂z +
∂w
∂x
)
1
2
(
∂u
∂y +
∂v
∂x
)
∂v
∂y
1
2
(
∂v
∂z +
∂w
∂y
)
1
2
(
∂u
∂z +
∂w
∂x
)
1
2
(
∂v
∂z +
∂w
∂y
)
∂w
∂z

 . (1.26)
A primeira das equac¸o˜es em 1.25 descreve formalmente o equil´ıbrio para qualquer meio cont´ınuo e a
segunda, denominada equac¸a˜o constitutiva, caracteriza o comportamento particular de um corpo so´lido
relativamente ao tipo de material que o constitui.
1.7. Fluidos Newtonianos 1-10
Observa-se que a soluc¸a˜o anal´ıtica do sistema de equac¸o˜es em (1.25) pode ser obtida apenas em
alguns casos muito particulares. Nestes casos, empregam-se te´cnicas nume´ricas tais como o Me´todo de
Elementos Finitos. A Figura 1.8 ilustra uma malha de elementos finitos para uma bomba.
1.7 Fluidos Newtonianos
A principal caracter´ıstica de um fluido e´ apresentar uma deformac¸a˜o cont´ınua quando submetido a tenso˜es
cisalhantes. Dessa forma, e´ comum definir um fluido como uma classe de materias idealizados os quais
na˜o resistem a qualquer esforc¸o cisalhante. Quando a densidade de um fluido permanece constante inde-
pendentemente do estado de tensa˜o a que este esta´ submetido, denomina-se este fluido de incompress´ıvel.
As hipo´teses ba´sicas que caracterizam os fluidos do tipo newtoniano (ou fluidos viscosos lineares) sa˜o
descritas a seguir.
Quando um fluido e´ isotro´pico em qualquer configurac¸a˜o e sua resposta a aplicac¸a˜o de um estado de
tensa˜o depende linearmente das taxas de deformac¸a˜o e somente destas, estabelece-se as hipo´teses ba´sicas
que regem o comportamento dos fluidos denominados newtonianos.
(a) Escoamento laminar. (b) Escoamento turbulento.
Figura 1.9: Problema de escoamento num duto.
As equac¸o˜es que descrevem o comportamento desse tipo de fluido sa˜o basicamente as mesmas que
descrevem o comportamento de so´lidos ela´sticos lineares, a menos da equac¸a˜o constitutiva que descreve
o tensor de tenso˜es para essa classe de fluidos e do termo de acelerac¸a˜o na equac¸a˜o de equil´ıbrio para
meios cont´ınuos. Dessa forma tem-se
divT+ ρb = ρa,
T = −pI+ 2µD,
D = 12(∇v +∇vT ),
(1.27)
sendo T e b o tensor de tenso˜es e a forc¸a de corpo agindo no fluido, respectivamente, a a acelerc¸a˜o do
fluido, ρ, a sua densidade, p, a pressa˜o hidrosta´tica , I e D, os tensores identidade e taxa de deformac¸a˜o,
respectivamente, µ, um dos coeficientes de Lame´ e v, a velocidade do fluido.
A Figura 1.9 ilustra dois problemas de escoamento resolvidos pela te´cnica de elementos finitos. O
primeiro deles considera um escoamento laminar (Figura 1.9(a)) e o segundo um escoamento turbulento
1.8. Exemplos de Aplicac¸o˜es Atuais 1-11
(Figura 1.9(b)). Observa-se que o primeiro caso pode ser tratado integralmente pelas equac¸o˜es descritas
em 1.27, ja´ o segundo na˜o poderia ser descrito pelo mesmo conjunto de equac¸o˜es necessitando de algumas
mudanc¸as na sua parte constitutiva.
1.8 Exemplos de Aplicac¸o˜es Atuais
A Figura 1.10 ilustra um problema t´ıpico de engenharia moderna envolvendo o projeto o´timo de uma
ferramenta tridimensional. Este problema e´ conhecido como um problema de otimizac¸a˜o o qual consiste
na minimizac¸a˜o de um funcional (energia de deformac¸a˜o, tensa˜o de Von Mises, etc.) submetido a um
conjunto de restric¸o˜es (deslocamentos, tenso˜es, economia de material,etc.).
(a) Projeto inicial. (b) Projeto o´timo.
Figura 1.10: Otimizac¸a˜o de forma.
(a) Carotida. (b) Dispersa˜o de contaminantes.
Figura 1.11: Exemplos de problemas multidisciplinares.
Um outro exemplo interessante se refere a simulac¸a˜o do sistema cardiovascular humano. A partir de
uma tomografia computadorizada, identifica-se por exemplo a geometria da caro´tida e gera-se uma malha
de elementos finitos para simular o fluxo sangu´ıneo. A Figura 1.11(a) ilustra a geometria recuperada da
caro´tida e a malha de elementos finitos. A Figura 1.11(b) ilustra o resultado da simulac¸a˜o da dispersa˜o
de contaminantes no solo. Estes dois problemas sa˜o de extrema relevaˆncia social. As doenc¸as card´ıacas
1.8. Exemplos de Aplicac¸o˜es Atuais 1-12
sa˜o as que mais causam v´ıtimas fatais atualmente no mundo. Boa parte da a´gua consumida no Brasil
vem de aqu´ıferos e na˜o ha´ o menor controle sobre a qualidade da a´gua.
2-1
Cap´ıtulo 2
EQUILI´BRIO
2.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo, faz-se uma apresentac¸a˜o das abordagens newtoniana e anal´ıtica para o tratamento de
problemas de mecaˆnica. Posteriormente, consideram-se convenc¸o˜es diagrama´ticas para suportes e car-
regamentos. Finalmente, estuda-se o equil´ıbrio de part´ıculas e corpos segundo o Princ´ıpio da Poteˆncia
Virtual (PPV), comparando-se com ascondic¸o˜es de equil´ıbrio dadas pelas lei de Newton. Antes de ini-
ciar o conteu´do deste cap´ıtulo, torna-se essencial estudar notac¸a˜o inidicial e revisar o conceito de vetor
abordados, respectivamente, nos Apeˆndices A e B.
2.2 Objetivos da Mecaˆnica do Cont´ınuo
Como se sabe a mate´ria na˜o e´ cont´ınua, sendo formada de mole´culas as quais sa˜o constitu´ıdas de
part´ıculas. No entanto, va´rios fenoˆmenos f´ısicos podem ser analisados sem se preocupar com a estrutura
molecular dos materiais. Para isso, aplica-se a teoria dos meios cont´ınuos, a qual trata da descric¸a˜o dos
fenoˆmenos f´ısicos como um todo, negligenciando o comportamento do material em menor escala.
A teoria do cont´ınuo considera a mate´ria como indefinidamente divis´ıvel, sendo aceita a ide´ia de um
volume infinitesimal de material, o qual e´ denominado part´ıcula. Desta maneira, em qualquer vizinhanc¸a
de uma part´ıcula, existe sempre material presente. A validade desta hipo´tese depende da situac¸a˜o con-
siderada e deve ser comprovada atrave´s de testes e ensaios. No entanto, a aplicac¸a˜o dos conceitos de
mecaˆnica do cont´ınuo e´ plenamente justifica´vel para va´rios casos, como, por exemplo, os problemas que
sera˜o analisados neste texto.
Basicamente, a mecaˆnica do cont´ınuo estuda a resposta de materiais para diferentes condic¸o˜es de
carregamento. Esta teoria pode ser dividida em duas partes principais [?, ?]:
• princ´ıpios gerais comuns aos va´rios meios,
• equac¸o˜es constitutivas para materiais idealizados.
Os princ´ıpios gerais sa˜o axiomas obtidos a partir da observac¸a˜o dos fenoˆmenos f´ısicos, podendo-se
citar a conservac¸a˜o de massa e energia, assim como os princ´ıpios da quantidade de momento linear e
angular. Na segunda parte da teoria, tem-se as equac¸o˜es constitutivas, as quais sa˜o empregadas para
definir o comportamento de materiais idealizados, tais como os casos de um so´lido ela´stico linear e de
fluidos.
2.3. Definic¸a˜o de Corpos 2-2
2.3 Definic¸a˜o de Corpos
Todo corpo tem como caracter´ıstica f´ısica o fato de ocupar regio˜es do espac¸o euclidiano pontual, o
qual e´ denotado por E . Assim, um corpo qualquer pode ocupar diferentes regio˜es em tempos distintos.
Embora nenhuma destas regio˜es possa ser associada ao corpo, torna-se conveniente selecionar uma delas,
denominada configurac¸a˜o de refereˆncia B, identificando pontos do corpo com as suas posic¸o˜es em B.
Desta maneira, um corpo B passa a ser uma regia˜o regular de E , sendo os pontos X ∈ B denominados
pontos materiais. Qualquer subregia˜o regular limitada de B e´ chamada parte, a qual e´ indicada por P.
Os contornos co corpo B e da parte P sa˜o indicados, respectivamente, por ∂B e ∂P. Estes conceitos esta˜o
ilustrados na Figura 2.1.
Figura 2.1: Configurac¸a˜o de refereˆncia B e seu contorno ∂B.
Como um corpo pode ocupar diferentes regio˜es ao longo de um movimento, torna-se necessa´rio a
introduc¸a˜o de um paraˆmetro t ∈ [t0, tf ], designando uma certa configurac¸a˜o Bt do corpo. Observa-se que
em va´rios problemas t na˜o representa necessariamente o tempo.
2.4 Abordagens Newtoniana e Anal´ıtica
Uma das maiores dificuldades ao longo da histo´ria da Mecaˆnica tem sido encontrar uma representac¸a˜o
f´ısico-matema´tica satisfato´ria para o conceito de ac¸a˜o de um determinado corpo sobre a configurac¸a˜o
(estado) de outro.
A partir dos postulados de movimento estabelecidos por Newton, a mecaˆnica desenvolveu-se ao longo
de duas linhas principais. A primeira, denominada mecaˆnica vetorial, parte diretamente das leis de
Newton e representa a ac¸a˜o atrave´s de forc¸as, dadas por vetores segundo um certo sistema de refereˆncia.
Desta forma, o conceito de forc¸a surge como um ente abstrato, definido de forma totalmente desvinculada
da cinema´tica adotada para modelar o problema. Essa abordagem e´ aplicada no desenvolvimento da f´ısica
newtoniana, sendo a ana´lise e s´ıntese de forc¸as e momentos a sua principal preocupac¸a˜o.
Leibniz, um contemporaˆneo de Newton, introduziu uma segunda linha de abordagem denominada
mecaˆnica ana´ıtica, a qual baseia o estudo do equil´ıbrio e do movimento em duas grandezas escalares
ba´sicas, ou seja, as energias cine´tica e potencial. Aparentemente mais abstrato, este tratamento traduz
a experieˆncia concreta dia´ria. Adotam-se como elementos principais da caracterizac¸a˜o de ac¸a˜o entre
corpos, o movimento e a poteˆncia (trabalho) dispendida para efetua´-lo. A partir da´ı, o conceito de forc¸a
surge naturalmente, na˜o como uma definic¸a˜o abstrata a-priori , mas como um elemento de ligac¸a˜o entre
a ac¸a˜o de movimento do corpo e a poteˆncia dispendida para realiza´-la.
Esta segunda descric¸a˜o e´, ao contra´rio do que possa parecer, ta˜o antiga quanto a pro´pria Mecaˆnica.
De fato, desde os primeiros passos no sentido de dar uma estrutura matema´tica formal a` Mecaˆnica, o
conceito de poteˆncia surgiu como algo ba´sico e fundamental. Neste sentido, destacam-se os trabalhos de
2.4. Abordagens Newtoniana e AnalI´tica 2-3
pioneiros como J. Bernoulli (1717), definitivamente consagrados por D’Alembert (1743). Essa descric¸a˜o
e´ tambe´m mais natural, pois representa, na verdade, o enunciado matema´tico de uma experieˆncia f´ısica
bastante comum. Por exemplo,
• quando se deseja conhecer o peso de um objeto, levanta-se o mesmo ligeiramente, avaliando-se o
seu peso pela poteˆncia (ou trabalho) para efetuar tal movimento. Em outras palavras, introduz-se
um movimento virtual tirando o objeto do movimento natural (repouso) em que se encontrava (ver
Figura 2.2);
• de uma maneira similar, para se conhecer a tensa˜o numa correia, desloca-se a mesma de sua
configurac¸a˜o natural introduzindo um pequeno movimento com os dedos. Logo, efetua-se uma
ac¸a˜o de movimento virtual e atrave´s da poteˆncia dispendida para realiza´-la, avalia-se a tensa˜o da
correia (ver Figura 2.3).
(a) Objeto em repouso. (b) Ac¸a˜o de movimento verti-
cal (permite avaliar o peso do
objeto).
(c) Ac¸a˜o de movimento hori-
zontal (na˜o permite avaliar o
peso do objeto).
Figura 2.2: Avaliac¸a˜o do peso de um objeto.
Verifica-se que esta u´ltima abordagem difere consideravelmente na sua metodologia em relac¸a˜o a`
mecaˆnica vetorial. O peso do objeto ou a tensa˜o na correia sa˜o determinados introduzindo uma ac¸a˜o
de movimento apropriada para cada caso. Baseado na poteˆncia ou trabalho dispendidos para realizar a
respectiva ac¸a˜o de movimento e´ poss´ıvel avaliar o peso do objeto ou a tensa˜o na correia. A denominac¸a˜o
virtual significa qua a ac¸a˜o de movimento na˜o e´ uma ac¸a˜o de movimento natural do corpo em estudo.
Uma ac¸a˜o virtual adequada e´ introduzida apenas para avaliar o estado de forc¸as internas ou externas do
objeto. Como ilustrado na Figura 2.2(b), a ac¸a˜o de movimento adequada para avaliar o peso do objeto
deve ser na direc¸a˜o vertical. Um movimento horizontal na˜o permite determinar o peso do objeto. No
caso da correia, uma ac¸a˜o de movimento normal a` correia permite avaliar a tensa˜o como mostrado na
Figura 2.3(c). Ja´ uma ac¸a˜o tangencial, na˜o determina o n´ıvel de tensa˜o na correia.
A lei fundamental de movimento estabelecida por Newton, ou seja, massa vezes acelerac¸a˜o e´ igual
a forc¸a, e´ va´lida em primeira instaˆncia apenas para uma u´nica part´ıcula. Esta lei foi deduzida para o
movimento de uma part´ıcula no campo gravitacional da Terra e aplicada ao movimento de planetas sob
a ac¸a˜o do sol. Nestes dois problemas, o corpo em movimento pode ser idealizado como uma part´ıcula, ou
seja, um ponto simples no qual associa-se uma massa. A lei de Newton fornece uma equac¸a˜o diferencial
de movimento e atrave´s da sua integrac¸a˜o e´ poss´ıvel resolver o problema dinaˆmico.
Entretanto, no caso de um corpo so´lido ou fluido, as part´ıculas esta˜o associadas entre si, devendo-
se tomar algumas precauc¸o˜es para aplicar a lei de Newton. Deve-se isolar uma part´ıcula das demais
e determinar