AULA 1 - RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS

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Msc. Alan de Oliveira Feitosa
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
UNIDADE I
INTRODUÇÃO À MECÂNICA GERAL E 
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
João Pessoa, Agosto de 2013.
MECÂNICA GERAL
INTRODUÇÃO
Definição de Mecânica:
É o ramo das ciências físicas dedicado ao estudo do estado de
repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças.
� Mecânica dos corpos rígidos;
� Mecânica dos corpos deformáveis;
� Mecânica dos fluidos.
INTRODUÇÃO
Mecânica Geral:
Estática dos corpos rígidos, discutindo e estudando os
esforços internos (momento fletor, esforço cortante, esforço
normal e momento torsor) nas estruturas planas isostáticas
correntes na Engenharia Civil, como vigas, pórticos, grelhas e
treliças. Esses esforços internos são advindos de cargas
(esforços externos).
� Considerações importantes:
�Diagrama de corpo livre;
�Considerar todas as forças que atuam sobre o corpo;
INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Grandezas Escalares:
Uma grandeza escalar é caracterizada por um número real.
Como exemplo de escalares podem se citar: o tempo, a
massa, o volume, o comprimento, etc.
�Intensidade;
�Direção;
Grandezas Vetoriais:
�Sentido.
Na Estática
�Posição;
�Força;
�Momento.
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Grandezas Vetoriais:
Representação gráfica de dois vetores força atuando ao longo dos cabos de 
fixação de um poste.
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Lei dos Senos:
“Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do
ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da
circunferência circunscrita”.
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Lei dos Cossenos:
“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é
igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois,
menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo
cosseno do ângulo que eles formam”.
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Lei do Paralelogramo:
A resultante de duas forças concorrentes é igual à diagonal
principal do paralelogramo que tem como lados iniciais os
vetores destas forças.
R2 = F12+F22 – 2F1.F2.cosβ
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Regra do Triângulo:
Regra derivada da lei do paralelogramo.
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Exercícios:
1) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1
e F2.Determine o módulo e a direção da força resultante.
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Resolução:
Construir um esquema usando a regra do paralelogramo;
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Resolução:
A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-se construir o
triângulo de vetores;
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Resolução:
Aplicando-se a lei dos cossenos, determina-se o módulo da
força resultante FR.
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Resolução:
O ângulo α é determinado a partir da lei dos senos, utilizando-
se o valor calculado para FR.
Com relação ao eixo x positivo, o ângulo θ é dado por:
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Exercícios:
2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se
encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a
força resultante é igual a 30kN, encontre suas componentes
nas direções AC e BC.
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Resolução:
Construir um esquema usando a regra do paralelogramo;
Aplicar lei dos senos;
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Resolução:
Resolvendo para FCA tem-se que:
Resolvendo para FCB tem-se que:
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Forças Componentes:
Duas ou mais forças que atuam sobre uma partícula podem
ser substituídas por uma força única que tem o mesmo efeito
sobre a partícula. Essas forças são chamadas de componentes
da força original F.
Para cada força F existe um número infinito de possíveis
conjuntos de componentes.
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Forças Componentes:
Aplicando a lei dos senos ao triângulo ABC, tem-se:
Quando as forças F1 e F2 são perpendiculares x e y surge um
caso particular, e a fórmula acima fornece:
Rx = Rcosα; Ry = Rsenα
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Forças Componentes:
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Forças Componentes:
A determinação da resultante de um sistema de forças F
qualquer pode ser dada por:
αi – ângulo que a força Fi faz com X;
α – ângulo que a força R faz com X;
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Exercícios:
3) Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na
figura baixo. Determine a resultante das forças no parafuso.
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Resolução:
Por trigonometria determinam-se as componentes x e y de
cada força.
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Momento de uma Força em relação a um Ponto:
Definiremos momento de uma força F em relação a um ponto
fixo O, como sendo o produto vetorial de r x F de acordo com a
figura abaixo.
MO = r x F
O momento MO deve ser perpendicular ao plano que contem O
e a força F.
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Momento de uma Força em relação a um Ponto:
Regra da mão direita – convenção de
sinais:
Rotação no sentido horário » Momento negativo
Rotação no sentido anti-horário » Momento positivo
MO = rF senθ = F.d
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Momento de uma Força em relação a um Ponto:
Exemplos de momentos:
Momento no eixo z Momento no eixo x Não há momento no tubo
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Momento de uma Força em relação a um Ponto:
Teorema de Varignon
“A soma dos momentos das componentes é igual ao
momento da resultante”.
r x (F1+F2+.....) = r x F1+ r x F2+.....
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Momento de uma Força em relação a um Ponto:
Teorema de Varignon
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Exercícios:
4) Determine o momento da força em relação ao ponto O em
cada uma das barras mostradas.
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Resolução:
a)
MO = F.d MO = 100.2 = 200 Nm
b)
MO = F.d MO = 50.0,75 = 37,5 Nm
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Exercícios:
5) Determine os momentos da força de 800N em relação aos
pontos A, B, C e D.
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Resolução:
MO = F.d
MA = 2000 NmMA = 800.2,5
MB = 800.1,5 MB = 1200 Nm
MC = 800.0 MC = 0 Nm
MC = 800.0,5 MB = 400 Nm
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Binário:
Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma
intensidade, sentidos opostos e separadas por um distância d.
O efeito de um binário é proporcionar rotação ou tendência de
rotação em um determinado sentido.
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Binário:
Formulação escalar:
Formulação vetorial:
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Binários Equivalentes:
Dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo
momento.
O momento resultante de dois binários é obtido pela soma dos
binários.
Formulação escalar:
Formulação vetorial:
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Exercícios:
6) Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na
figura. Substitua esse binário por um equivalente, composto
por um par de forças que atuam nos pontos A e B.
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Resolução:
Momento do Binário:
M= 24 NmM = 40.0,6
M = F.d
Cálculo das forças:
F = M/dAB
F = 24/0,2 F = 120 N
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Momento de uma Força em Relação a um Eixo:
A força é perpendicular ao plano que contém os eixos.
(x,y) = coordenadas do ponto onde F fura o plano xy.
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Redução de um Sistema de Forças a outro
Equivalente:
Representa um sistema no qual a força e o momento
resultantes produzam na estrutura o mesmo efeito que o
carregamento original aplicado.
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Exercícios:
7) Substitua as cargas atuantes na viga por uma única força
resultante e um momento atuante no ponto A.
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Resolução:
Cálculo da força resultante:
RESULTANTE DE UM SISTEMA DE FORÇAS
Resolução:
Direção da força resultante:
Momento resultante:
Sistema equivalente: