CAP+II+-+VETORES

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FÍSICA I
CAP II – VETORES
Profº Msc, Antônio Carlos da F. Sarquis
profsarquis@terra.com.br
UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA
CICLO BÁSICO DAS ENGENHARIAS
Qual a definição de vetor? 
Qual a definição de vetor? 
Um vetor é um segmento de reta
 O R I E N T A D O
com três características básicas: 
Qual a definição de vetor? 
Um vetor é um segmento de reta
 O R I E N T A D O
com três características básicas: 
Módulo, Direção e Sentido
Módulo: é o tamanho (intensidade ou magnitude) do vetor.
Módulo: é o tamanho (intensidade ou magnitude) do vetor.
Direção: é a posição do vetor, segundo o espaço. Exemplo: horizontal, vertical.
Módulo: é o tamanho (intensidade ou magnitude) do vetor.
Direção: é a posição do vetor, segundo o espaço. Exemplo: horizontal, vertical.
Sentido: somente pode ser indicado sobre a direção. Exemplo: norte, sul, leste, da esquerda para direita, etc.
Módulo
Direção Horizontal
Sentido
Módulo: é o tamanho (intensidade ou magnitude) do vetor.
Direção: é a posição do vetor, segundo o espaço. Exemplo: horizontal, vertical.
Sentido: somente pode ser indicado sobre a direção. Exemplo: norte, sul, leste, da esquerda para direita, etc.
A orientação de uma grandeza sempre consistirá na indicação de sua direção e seu sentido.
Módulo
Direção Horizontal
Sentido
Seja o vetor V representado abaixo:
Pode-se afirmar que seu módulo vale 4μ
Comparação entre vetores
Mesmo Módulo
Mesma Direção
Mesmo Sentido
Comparação entre vetores
Vetores Opostos
Soma Vetorial
Através da soma vetorial encontramos o vetor resultante.
O vetor resultante traduz a idéia de que todos os vetores envolvidos na soma podem ser substituídos por um único vetor, com o mesmo efeito.
É possível somar os vetores graficamente de duas formas, a saber:
Regra do Polígono
É utilizada na adição de qualquer quantidade de vetores.
Exemplo:
Regra do Polígono
Para isto devemos posicionar cada vetor junto ao outro de forma que a extremidade de um vetor é colocado junto à origem do outro.
O vetor soma, ou vetor resultante, será o vetor que une a origem do primeiro com a extremidade do último, formando assim um polígono.
Regra do Paralelogramo
É utilizada para que possamos obter maiores informações sobre o módulo, direção e sentido do vetor resultante. Para tal, somente podemos realizar a adição de vetores, dois a dois.
Regra do Paralelogramo
Para isto devemos posicionar a origem dos dois vetores no mesmo ponto e traçar uma reta paralela a cada um passando pela extremidade do outro. 
Regra do Paralelogramo
O vetor resultante, será o vetor que une a origem dos dois vetores com o cruzamento das duas retas paralelas a cada vetor, formando assim um paralelogramo.
E o módulo, ou seja, o valor desse vetor resultante será dado por:
Regra do Paralelogramo
CASOS PARTICULARES
1º ) α = 0º
R = a + b
2º ) α = 180º
R = a - b
Qualquer que seja o ângulo entre os dois vetores o valor da resultante será:
| a – b | ≤ R ≤ a + b
Subtração Vetorial
Realizar a subtração entre dois vetores a e b, é obter o chamado “vetor diferença” (D).
Neste caso, basta somar ao vetor a um vetor de mesma intensidade, mesma direção mas de sentido oposto ao do vetor b originalmente representado.
Subtração Vetorial
Na realidade, estaremos fazendo a adição do vetor a com um vetor oposto ao vetor b, ou seja:
D = a + (-b)..
Tabela com os valores dos senos, co-senos e tangentes dos principais ângulos 
Decomposição Vetorial
A decomposição de um vetor produz projeções deste em duas direções perpendiculares. 
Usualmente utilizamos as direções do plano cartesiano, OX e OY
x
y
α
Decomposição Vetorial
x
y
α
Decomposição Vetorial
x
y
α
Decomposição Vetorial
Logo, podemos dizer que:
x
y
α
Versores 
Versores são vetores unitários utilizados para indicar direção e sentido.
î
ĵ
Versores 
a = î + 2 ĵ 
b = 3 î
c = -2 ĵ
d = -2 î – 2 ĵ
e = 2 î – 3 ĵ
î
ĵ
Versores são vetores unitários utilizados para indicar direção e sentido.
1) Determine as componentes ortogonais da força representada na figura abaixo 
y 
x 
30º 
î
ĵ
2) Some todos os vetores representados abaixo 
Versores 
a = î + 2 ĵ 
b = 3 î
c = -2 ĵ
d = -2 î – 2 ĵ
e = 2 î – 3 ĵ
î
ĵ
Versores são vetores unitários utilizados para indicar direção e sentido.
y 
x 
F=40N 
30º 
Fy 
Fy = F · senΘ
Fy = 40 · sen·30
 Fy = 40 · (0,5)
Fy = 20 N
Fx 
Fx = F · cos · Θ
Fx = 40 · cos·30
Fx = 40 · 0,867
Fx = 34,68 N 
Respostas:
Fy=20 N
Fx=34,68 N
3. Dados os vetores V1, V2 e V3 da figura a seguir, obtenha graficamente o vetor soma vetorial:
a) V1 + V2
b) V1 + V2 + V3
4. A soma de dois vetores ortogonais, isto é, perpendiculares entre si, um de módulo 12 e outro de módulo 16, terá módulo igual a:
Verifique:
202 = 122 + 162
400 = 144 + 256
Alternativas:
a) 4
b) Entre 12 e 16
c) 20
d) 28
e) Maior que 28
5. A figura a seguir representa os deslocamentos de um móvel em várias etapas. Cada vetor tem módulo igual a 20 m. A distância percorrida pelo móvel e o módulo do vetor deslocamento são, respectivamente:
A
B
Distância percorrida:
A
B
Total = 5 x 20 = 100 m
A
B
ΔS2 = 402 + 202
ΔS2 = 1600 + 400
ΔS2 = 2000
Pelo Teorema de Pitágoras:
CASOS PARTICULARES
VETORES DE MESMA DIREÇÃO E SENTIDO (α = 0º )
Vetores de mesma direção e sentidos contrários (180º)
VETORES PERPENDICULARES (90º)
Somando Vetores componente a componente
Para somarmos vetores componente a componente, usamos as regras:
Dadas suas componentes o módulo e a direção do vetor R é:
Generalizando:
VETOR
ESCALAR
MULTIPLICAÇÃO
VETOR
Existem alguns exemplos como: força e momento linear.
VETOR
ESCALAR
MULTIPLICAÇÃO
VETOR
Na física, um exemplo mais conhecido é a grandeza trabalho.
Projetamos geometricamente 
 na direção de 
e multiplicamos por B (ou vice-versa). Assim:
Note que:
Como fazer esse produto entre os vetores e ? 
 O resultado do produto escalar de 
dois vetores é um escalar. 
DEFINIÇÃO
 O produto escalar de dois vetores em termos das suas componentes cartesianas
APLICAÇÕES DO PRODUTO ESCALAR
VETOR
MULTIPLICAÇÃO
VETOR
Na física, um exemplo mais conhecido é o grandeza torque.
VETOR
Ɵ
V = P x Q
P
Q
O produto de dois vetores pode ser definido como:
V = P x Q
O produto do vetor P e Q é um vetor V que é perpendicular aos vetores P e Q, de magnitude igual a:
V = PQ sin 
PRODUTO VETORIAL
i
k
j
Da definição do produto dois vetores, temos que a o produto entre vetores unitários (i, j, k) é igual a:
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k , j x k = i , k x i = j , i x k = - j , j x i = - k , k x j = - i
P = Px i + Py j + Pz k Q = Qx i + Qy j + Qz k
Vamos agora determinar o produto vetorial entre dois vetores P e Q em função de suas componentes cartesianas. 
PRODUTO VETORIAL
P = Px i + Py j + Pz k Q = Qx i + Qy j + Qz k
V = P x Q =
i
Px
Qx
j
Py
Qy
k
Pz
Qz
= Vx i + Vy j + Vz k
onde
Vx = Py Qz - Pz Qy
Vy = Pz Qx - Px Qz
Vz = Px Qy - Py Qx
PRODUTO VETORIAL
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