Erros_e_Medidas_1

Prévia do material em texto

Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 1 
O Sistema Internacional de Unidades/ As Unidades das Grandezas Medidas 
 
Medir é comparar duas grandezas sendo uma delas previamente definida como PADRÃO e a 
outra desconhecida. 
O sistema padrão de unidades adotado atualmente na maioria dos países é o SISTEMA 
INTERNACIONAL OU SI. O início desta mudança para um sistema único de medidas (MKS metro, 
quilograma, segundo) começou na França após a revolução de 1789 com a introdução do Metro (m) 
como unidade de comprimento, do Quilograma (kg) como unidade de massa e do segundo (s) como 
unidade de tempo tendo, naquela época, uma forte colaboração de Lavoisier. O Brasil adotou o sistema 
MKS em 1862 com o imperador Pedro II. Já os Estados Unidos mesmo tendo adotado o sistema MKS 
em 1959 ainda continuam fortes as antigas unidades inglesas principalmente em seu comércio interno. 
Muitas grandezas tais como velocidade, momento, força, trabalho, energia e potência, podem ser 
expressas em função de apenas três grandezas fundamentais: de comprimento o metro (m), de massa o 
quilograma (kg) e de tempo o segundo (s). 
As três grandezas fundamentais são: 
Comprimento - metro (m); Massa - quilograma (kg); Tempo segundo (s); Temperatura (K); Mol (mol); 
Ampère (A); Candela (cd). 
Estas sete unidades fundamentais formam o SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 
ou as unidades SI. 
Medir é Comparar duas Grandezas. 
Medir é o processo de comparação de uma quantidade de uma determinada grandeza 
(comprimento, massa, tempo, temperatura etc.) com uma outra quantidade da mesma grandeza 
adotada como unidade padrão. Este processo de comparação é feito utilizando-se um instrumento de 
medida apropriado. 
Como medir? 
Você sabe usar uma régua? É claro que conhecemos e sabemos utilizar uma régua e, para 
nossas necessidades diárias, nos saímos muito bem quando a utilizamos. Para medir precisamos, antes 
de tudo, saber usar o instrumento de medida, pois toda operação de medida exige de quem mede 
conhecimento no manuseio do instrumento. Se realmente sabemos usar uma régua então como 
responder as seguintes questões: 
1- Quantos algarismos significativos têm uma medida com uma régua? 
2- Qual a incerteza (ou o erro) nessa medida? 
3- Qual a incerteza na medida do volume de um cubo? 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 2 
Veja, na Figura 1, a medida ou no caso a “comparação” entre os comprimentos de objetos (clipes) com 
as divisões de uma régua calibrada em unidades padrão de comprimento (m ou suas subdivisões cm e 
mm). O número obtido vai nos informar quantas unidades de comprimento padrão têm cada um dos 
clipes. A leitura de um mesmo clipe em qualquer outro lugar por outra pessoa utilizando uma régua 
com a mesma calibração (mm) deve obter uma medida bem próxima desse valor. 
 
As três questões acima e muitas outras que surgirão serão respondidas nos capítulos que se seguem. 
Veremos então que não basta, por exemplo, determinar o comprimento de uma barra ou de um clipe 
com uma régua, é preciso saber expressar essa medida com o número correto de algarismos 
significativos e avaliar corretamente a sua incerteza. 
Muitas vezes, para se obter um valor mais fiel de uma grandeza, efetuam-se diversas medidas 
dessa mesma grandeza e, neste caso, a melhor maneira de expressar o valor dessa grandeza será 
através do valor médio dos valores obtidos. A incerteza ou o erro associado com estas medidas será 
determinado através de um tratamento estatístico elementar. 
 Há ainda grandezas que nem sempre podem ser obtidas diretamente, como área, volume, 
densidade, etc. Assim sendo, realizam-se várias medições e através de fórmulas matemáticas ou físicas 
determina-se a grandeza desejada. É claro que, em geral, cada termo da fórmula está afetado de uma 
incerteza e que todas elas interferirão no valor final da grandeza. O processo para obtenção das 
incertezas chama-se cálculo de propagação das incertezas. 
 Pretendemos aqui dar ao aluno alguns conceitos e procedimentos básicos para que ele possa 
expressar corretamente as medidas e resultados de suas experiências, assim como analisá-los com um 
mínimo de correção e rigor tanto do ponto de vista numérico como conceitual. 
0 1 2 3 4 5 6 7 
cm 
 Na Figura temos uma pequena régua 
milimetrada (menor divisão da escala) 
com indicação de cm em cm. 
 O clipe maior tem um comprimento 
entre 3 e 3,5 cm quando comparamos 
com a escala da régua, e o clipe menor 
um comprimento entre 1,5 e 2 cm (note 
que a origem dessa medida foi em 4cm). 
 
 Esses valores quando colocamos a 
régua sobre os clipes podem ser 
estimados em 3,34cm ou 33,4mm (ver 
detalhe ampliado) e 1,90cm ou 19,0mm 
para o clipe azul. 
 
Figura 1 
0 1 2 3 4 5 6 7 
cm 
3 4 
 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 3 
Medidas, Erros e Desvios. Toda medida tem um erro! 
 Como vimos antes: medir é comparar duas grandezas. Assim, mesmo que o operador tenha 
bastante habilidade com o instrumento de medida e por mais preciso que seja este instrumento de 
medida sempre vai existir um erro ou em outras palavras: 
NÃO EXISTE UMA MEDIDA EXATA! 
Quando medimos as dimensões da nossa sala, por exemplo, não estamos preocupados se uma das 
dimensões é 5,66m ou 5,665m, não faz muita diferença para os nossos propósitos de determinar a sua 
área. Porém, em alguns casos, é extremamente importante que se tenha o valor mais próximo possível 
do valor exato. Vejamos os exemplos: 
 Um paciente não pode tomar um comprimido de 2g se foi medicado um de 1,5g, ou se 
aplicar uma injeção de 20ml ao invés de 10ml. 
 O cabo de aço de um elevador de 1,50cm de diâmetro não pode ser substituído por outro de 
1,40cm do mesmo material. 
 A rosca das porcas que apertam as rodas de um carro não pode ser muito maior ou muito 
menor que um valor predeterminado pelo fabricante para garantir a segurança do carro e 
dos passageiros. 
Em outros casos as medidas não precisam ser fornecidas com muita precisão porem é aceitável 
uma tolerância maior e, em outros casos, as medias não atingem os seus propósitos vejamos os 
exemplos: 
 Uma geladeira de 0,75m de largura não vai caber em um vão de 0,74m, como também não vai 
passar numa porta de largura menor. 
 O fabricante de copos de um determinado liquidificador tem que ter suas dimensões dentro de 
certa faixa de precisão para que ele possa ser introduzido no bocal da base. 
 Você não gostaria de comprar 1 kg de arroz com menos de 1000g ou tomar um refrigerante de 
330ml com 300ml apenas. 
 Se você calça 39 não vai comprar um tênis de numero 37 só porque é bonito. 
 Se o fusível do rádio do carro é de 10A não deve ser substituído por um de 5A nem tão pouco por 
um de 15A ou maior. Você com certeza perderia a sua carteira de habilitação se o velocímetro 
do seu carro marcasse 80km/h e na realidade o carro estivesse a 120km/h. 
 Já imaginou um dentista fazer uma prótese para um dente mais alto do que os dentes vizinhos? 
Ou o oculista receitar uma lente com o grau maior ou menor do que o necessário? 
 Se for recomendado um fio de bitola 3,0mm (diâmetro do fio) no mínimo para instalação do 
condicionador de ar não devemos usar um de 2,5mm, porém não vai fazer nenhuma diferença se 
a bitola for 3,05mm ou 2,95mm devido às flutuações da bitola no processo de fabricação. 
 
Como podemos notar, diariamente lidamos com medidas que tem seus valores dentro de certos limites 
e por NÃO SER POSSÍVEL REALIZAR UMA MEDIDA EXATA temos que admitir certa 
tolerância nos valores medidos ou fornecidos. Em outras palavras, sempre existe uma incerteza na 
definição do resultado deuma medida. Assim podemos dizer que a medida de uma grandeza m é dada 
por: 
 m = M ± M (1-1) 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 4 
onde 
 m é o resultado da medida 
 M é o valor medido 
e M é o erro associado à medida. 
 
M é uma quantidade positiva que nos informa o intervalo de validade da medida de M. 
Vejamos o exemplo do clipe vermelho da figura 1. Se lcv é o comprimento do clipe vermelho, 
podemos escrever que: 
 Lcv = Lcv  Lcv 
Vimos que Lcv = 3,34cm queremos agora estimar L. Como temos certeza dos dois primeiros 
algarismos, isto é, lcv = 3,3Xcm queremos estimar a incerteza no valor 0,04cm. Como veremos mais 
adiante a estimativa do erro numa régua milimetrada é a metade da menor divisão da régua, no caso 
Lcv = 1mm/2 = 0,5mm = 0,05cm, portanto, 
 lcv = Lcv  Lcv = 3,34  0,05 cm 
 
assim qualquer valor de lcv compreendido entre 3,34 + 0,05cm e 3,34 – 0,05cm é aceitável como 
medida do valor de lcv. Note também que se quisermos medir o clipe com um erro menor teremos que 
usar um outro equipamento de medida com maior precisão como por exemplo um paquímetro ou 
micrômetro. 
 
Exemplo 1.1: 
 O resultado da medida do comprimento do clipe azul seria: 
lca = Lca  Lca = 1,90  0,05 cm 
observe que o algarismo zero de 1,90cm é o algarismo duvidoso e deve ser escrito mesmo sendo zero. 
Note também que não devemos ter nenhum algarismo após o algarismo duvidoso cuja posição decimal 
é a mesmo do erro. No nosso caso a posição do erro e do algarismo duvidoso é a casa dos centésimos 
de cm ou 0,0Xcm. 
 
Caso o valor de uma medida tenha um número de algarismos significativos que vai alem da posição 
decimal do erro devemos arredondar este número na posição decimal do erro. Por exemplo; se 
m= 33,275523 ± 0,02g 
devemos escrever como: 
m= 33,28±0,02g, 
pois o erro de 0,02g indica que não se tem nenhuma certeza sobre os algarismos que se seguem ao 7. 
Observe que no processo de arredondamento foi acrescentado uma unidade ao algarismo truncado. 
 
OBS: Adotaremos a norma ABNT para os arredondamentos: 
 Quando o 1º algarismo a ser desprezado for inferior a 5 mantêm-se os anteriores sem 
alteração; 
Exemplo 1.2: 
a) L = 1,6745±0,08 m L= 1,67±0,08 m 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 5 
b) M= 2,45533±0,003 kg M=2,455±0,003 kg 
c) V = 0,05701±0,001 volts V= 0,057±0,001 volts 
d) I = 2451,23±3 mA I = 2451±3 mA 
 
 Quando o 1º algarismo desprezado for maior do que 5 ou for 5 seguido por algum algarismo 
diferente de zero acrescenta-se uma unidade ao algarismo anterior (algarismo duvidoso); 
Exemplo 1.3: 
d) L = 1,6755±0,08 m L = 1,68±0,08 m 
e) M = 2,455501±0,003 kg M = 2,456±0,003 kg 
f) V = 0,050509±0,001 volts V = 0,051±0,001 volts 
g) I = 2451,73±3 mA I = 2452±3 mA 
 
 Quando o 1º algarismo desprezado for 5 seguidos de zeros acrescenta-se uma unidade se o 
algarismo anterior for impar e permanece inalterado se for par; 
Exemplo 1.4: 
d) L = 1,67500±0,08 m L = 1,68±0,08 m 
e) M = 2,45650±0,003 kg M = 2,456±0,003 kg 
f) V = 0,050500±0,001 volts V = 0,050±0,001 volts 
g) I = 2451,50±3 mA I = 2452±3 mA 
 
Classificação dos erros 
 
a - Erros Sistemáticos 
Os erros sistemáticos podem ter diversas origens como as citadas a seguir: 
 Instrumentais: São aqueles provenientes do próprio instrumento, quando este apresenta algum erro 
de calibração ou alguma alteração na própria escala. Por exemplo, se utilizarmos uma régua 
graduada para trabalhar a 10° C e trabalharmos com ela a 40° C, a dilatação, sofrida por sua 
escala, acarretará um erro sistemático por toda a experiência. Um outro exemplo muito comum é 
a utilização de instrumentos com escalas não zeradas com mostra a Figura 2. Uma característica 
dos erros sistemáticos instrumentais é que eles influem sempre no mesmo sentido: sempre para 
mais ou sempre para menos do valor verdadeiro. 
 Teóricos: Tem origem no uso de fórmulas aproximadas ou no modelo associado ao fenômeno 
físico estudado. Em muitos experimentos utilizamos fórmulas onde desprezamos, por exemplo, a 
viscosidade do ar, o atrito de rolamento etc. ou utilizamos constantes com valores aproximados. 
 Ambientais: As condições ambientais onde realizamos as nossas medidas podem alterar os nossos 
resultados sejam pelo uso de valores incorretos para a região, como por exemplo: a aceleração da 
gravidade, a pressão atmosférica, ou a temperatura ambiente, etc. ou por não considerá-los ou 
desprezá-los como, por exemplo: a umidade do ar; o campo magnético da terra; as ondas 
eletromagnéticas de rádios e dos fios das instalações elétricas; as oscilações da luz ambiente 
(120Hz das lâmpadas fluorescentes). No final os nossos resultados são alterados e os erros 
encontrados, podem ser maiores ou menores do que deveriam ser. 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 6 
 Observacionais: São erros provenientes do observador e dos procedimentos de medições 
utilizados, podendo, em alguns casos, ser minimizados. Por exemplo: para acionar um botão o 
ser humano leva um tempo da ordem de 1/10 de segundos entre o estímulo e o acionamento. Se 
o acionamento do botão faz parte da medida do tempo de um experimento, teremos um erro 
sistemático dessa ordem de grandeza no resultado final, podendo alterar os resultados do 
experimento para mais ou para menos. Este tipo de erro é difícil de ser corrigido e em alguns 
casos pode ser mini minimizado. Por exemplo: na medição do período de um pêndulo, podemos 
medir o tempo total de n períodos consecutivos com um cronômetro e, no final, dividirmos o 
tempo total por n para achar o valor de um período. Veja que, neste caso acionamos o 
cronômetro apenas duas vezes, no início e no final de n período, reduzindo a influência do erro 
entre cada período. Neste caso o erro ficou diluído nas n medidas. Portanto quanto maior o 
número de medidas n menor a influência do erro de acionamento. O erro de paralaxe nos 
instrumentos de ponteiros (analógicos) é um erro sistemático comum, podendo facilmente ser 
corrigido, bastando para isto que o observador se localize frontalmente ao ponteiro. Veja, na 
Figura 3, a leitura da corrente feita num amperímetro analógico e como acontece o erro de 
paralaxe. 
b - Erros Acidentais 
 São aqueles que ocorrem durante a realização das medidas por diversas razões, por exemplo: o 
erro do experimentador ao decidir qual a melhor leitura quando ele terá que fazê-la a olho, estimando 
um valor como nós fizemos para o caso do clipe vermelho. 
Quanto mais experiência o experimentador adquire, menos e menores erros deste tipo ele 
cometerá, mas, ainda assim, toda vez que ele realizar medidas, estará cometendo erros. 
Uma característica dos erros acidentais é que eles influem aleatoriamente nos dois sentidos, 
para mais ou para menos do valor verdadeiro. 
 
c - Erros Grosseiros 
 
 Estes são causados, como o próprio nome sugere, por inexperiência do experimentador. Ele 
comete esses erros quando lê 10ml e a leitura certa seria 1,00ml, ou então, quando a unidade certa seria 
kg, ele a lê em g. 
Por displicência do experimentador esses erros passam despercebidos pois ele não tem idéia da 
ordem de grandeza do que mede. O erro grosseiro pode decorrer também da inabilidade no manuseio 
do instrumento de medida, engano de leitura, cálculos errados, etc. Em princípio, os resultados com 
erros grosseiros são devidos a falha do experimentador ou utilização de técnica deficiente, e devem ser 
eliminados. 
 
d - Erros Estatísticos (aleatórios ou casuais) 
Mesmo com equipamentos precisos e com o controlecompleto de um determinado 
experimento, as medidas realizadas estão sujeitas as variações aleatórias que fogem do nosso controle. 
Essas variações são responsáveis pelos erros estatísticos que em alguns casos são desprezíveis se 
comparados com os erros sistemáticos. Vejamos a diferença entre o erro sistemático e estatístico: 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 7 
Consideremos uma grandeza V medida n vezes com valores Vi onde Vv é o valor verdadeiro, teremos 
então os seguintes casos: 
 Para o erro sistemático - todos os n valores medidos Vi seriam iguais e a diferença para o valor 
Vv seria uma constante V. 
 Para o erro estatístico - todos os n valores medidos Vi seriam diferentes e distribuídos em torno 
do valor médio (Vmédio) dessas n medidas onde Vmédio tenderia para Vv no limite de n  . 
 Em muitos experimentos estes dois erros ocorrem simultaneamente sendo o erro total a soma 
dos dois. Vejamos os exemplos mostrados nas figuras 4 e 5. Foram feitas n (40) medidas de uma 
mesma grandeza L em cm e o primeiro conjunto de medidas foi colocado no gráfico da figura 4. 
No gráfico observamos que os pontos oscilam em torno do valor médio Vm representado pela 
reta azul. A dupla seta azul, na figura, indica a amplitude máxima de variação dos valores medidos em 
torno do valor médio. Supondo que o valor verdadeiro Vv dessa medida é conhecido e indicado seu 
valor na figura pela linha vermelha, podemos observar que o valor médio Vm das medidas está muito 
distante de Vv. Esta é uma indicação forte de que o erro sistemático é grande no processo de medida 
utilizado. 
 O segundo conjunto de medidas obtido por outro processo foi colocado no gráfico da figura 5. 
No gráfico podemos observar que o valor médio Vm das medidas está bem próximo do valor 
verdadeiro Vv como indicam as setas vermelhas, esta é uma indicação de que o erro sistemático é 
pequeno. No entanto, observando a dispersão dos pontos em torno do valor médio vemos que ele é 
bem maior que o anterior indicando que o erro estatístico é grande. 
A partir dos resultados analisados nos gráficos 4 e 5 podemos concluir que: se o erro 
sistemático é pequeno o valor mais provável da medida de uma grandeza é a média de um número 
grande de medidas. 
Chamamos de desvio a diferença entre uma medida Vi e o valor médio Vm das n medidas 
realizadas, isto é: 
i = Vm – Vi (DESVIO) (1-2) 
o desvio vai ser importante para se avaliar a dispersão das medidas quando estudarmos o tratamento 
estatístico das medidas. 
Observação: Os erros podem ser reduzidos com técnicas mais aperfeiçoadas e melhores 
instrumentos, mas nunca serão totalmente eliminados. 
 Quando um experimentador determina o valor de uma grandeza, três situações são possíveis: 
a) O valor da grandeza já é conhecido com exatidão. 
Ve = valor exato 
Existe um valor conhecido e exato Ve para a grandeza. 
Exemplos: A soma dos ângulos internos de um triângulo; a relação entre o comprimento e o diâmetro 
de uma circunferência, a velocidade da luz no vácuo, etc. 
b) O valor da grandeza não é conhecido exatamente, mas há um valor adotado como "melhor". 
Va = valor adotado 
A grandeza foi medida por processos mais precisos e esse valor Va foi adotado como melhor. 
Exemplos: A aceleração da gravidade em um determinado local, a carga do elétron, a densidade de 
uma substância, etc. 
c) O valor da grandeza não é conhecido. 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 8 
 V(grandeza) = Valor medido 
São as grandezas que fazem parte do nosso experimento, por exemplo, e que queremos 
medir com os instrumentos disponíveis. 
Exemplos: O comprimento de uma barra; o volume de uma esfera; a corrente em um circuito 
elétrico; o consumo de gasolina de um carro; o nível de ruído de um liquidificador, etc. 
Como o valor de uma grandeza física nem sempre é possível de ser medida com certeza 
absoluta, vamos admitir que exista este valor verdadeiro que denominamos de Vv. 
 Vv = Valor verdadeiro de uma medida 
Para o caso de grandezas com valores exatos devemos ter: 
Valor verdadeiro = Valor exato ou Vv = Ve 
Por exemplo à soma dos ângulos internos (Sângulos) de um triângulo qualquer 
Sângulos = 180
o
 = Vv = Ve 
 Quando uma grandeza tem um valor medido V este valor pode diferir de seu valor exato Ve, ou 
pode deferir do seu valor adotado Va ou do seu valor verdadeiro Vv, dizemos, em qualquer um dos 
casos, que ele está afetado de um erro. 
 Erro =  = módulo (valor medido – Vx) 
  = | V – Vx | (1-3) 
onde Vx é um dos valores Ve, Va ou Vv. A expressão acima mostra que, se a grandeza medida tem o 
seu valor verdadeiro desconhecido (é lógico que não se sabe também nem Ve nem Va) o erro também é 
desconhecido. Podemos definir ainda o erro relativo: 
 Erro relativo = rel = | ( Vmedido – Vx ) / Vx | = | (V – Vx) / Vx | 
 rel = | Erro / Vx | (1-4) 
Como também o erro percentual: 
 Erro percentual = % = [ rel ]  100 % 
Ou  % = [ rel ]  100 % (1-5) 
 
Exemplo 1.5: 
 Ao determinar a aceleração da gravidade em um local onde o valor adotado é Va=9,80m/s
2
, um 
experimentador obteve V=10,04m/s
2
. Determinar o erro, o erro relativo e o erro percentual. 
  =| (V – Vx) | = | 10,04 - 9,80 | = 0,24 m/s2 
  relativo = |  / Vx | = 0,24 / 9,80 = 0,024 (sem unidades) 
  percentual =  % = [ rel ]  100 % = [ 0,024  100 ] % = 2,4% (sem unidades) 
 
 Observe que, em termos de avaliação dos resultados, o Erro percentual nos dá a informação 
mais objetiva. O valor medido acima pode ser escrito da seguinte maneira: 
gmedido = 10,04 (10,042,4%) =10,04 (0,24096) = 10,04 0,2 =10,0 0,2 m/s
2
 
 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 9 
Algarismos Significativos 
Quando realizamos uma medida devemos sempre nos preocupar em apresentar o resultado com o 
número correto de algarismos significativos. Surge então a seguinte pergunta: 
Quantos são os algarismos significativos de uma medida? 
Vejamos alguns exemplos: 
Exemplo 1.4-1 
Na figura 6 temos diversos êmbolos que estão sendo medidos com duas réguas diferentes, uma 
milimetrada (B) e a outra (A) com divisões de 0,5cm. Em (A) podemos dizer que D5 é um pouco maior 
que 11cm e os dois algarismos são exatos, isto é, não temos nenhuma dúvida de seus valores. 
Poderíamos, ainda, fazer uma estimativa do valor que excede a divisão 11 e dizer que ele vale 0,1cm 
então: 
D5 = 11,1cm (A) (1-6) 
Isto é, os dois primeiros algarismos são exatos e o último, que foi feito uma estimativa, é o duvidoso. 
 Em B o valor de D5 seria: 
 D5 = 110mm (A) (1-7) 
onde os três algarismos seriam exatos. Uma aproximação para o algarismo seguinte seria 0,8mm, então 
poderíamos escrever: 
 D5 = 110,8mm (régua B) (1-8) 
Portanto os algarismos 1,1 e 0 seriam exatos e o algarismo 8 o duvidoso. 
 O valor de D3 em A seria: 
D3 = 5,5cm (régua A) (1-9) 
com os dois algarismos exatos e a estimativa para o restante seria 0,1cm portanto: 
D3 = 5,5 + 0,1 = 5,6cm (1-10) 
onde ao algarismo exato (0,5) foi somado um duvidoso (0,1), assim o algarismo resultante na posição 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 mm 
 B 
D1 D2 D3 D4 D5
 
 A 
D1 D2 D3D4 D5
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 cm 
Figura 6 
Medindo os diâmetros dos êmbolos com duas réguas diferentes. 
Em A está sendo utilizado uma régua com divisões de 0,5cm e 
em B uma outra régua com divisões de 1mm. 
 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 10 
decimal do algarismo duvidoso fica sendo duvidoso. Note que em (1-9) tínhamos dois algarismos 
exatos e em (1-10) temos apenas um. Com a régua B temos: 
 D3 = 56,3 mm 
Onde os dois primeiros algarismos são exatos e o último o duvidoso. 
 
Exemplo 1.4-2 
 Na figura 7 o cilindro A tem 
comprimento (medido na horizontal) 
LA=36,30 cm 
e diâmetro (medido na vertical) 
DA = 1,25 cm. 
Com relação aos valores lidos acima 
temos as seguintes dúvidas: 
 
 Estão corretos esses valores? 
 Em que casa decimal está o algarismo duvidoso? 
 
Como determinar os ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS (A.S.) de uma medida? 
 
OS ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS DE UMA MEDIDA SÃO 
OS ALGARISMOS EXATOS 
ACRESCIDOS DO ÚLTIMO, QUE É O DUVIDOSO. 
 (Obs. Alguns autores consideram o número de algarismos significativos apenas os números exatos 
de uma medida) 
 
Da figura 6 (A) do exemplo 1.5 temos: 
D5 = 11,1cm 1 e 1 são exatos 1 é duvidoso  3 Algarismos Significativos 
e da figura 6 (B) temos: 
D5 = 110,8mm 1, 1 e 0 são exatos 8 é duvidoso  4 Algarismos Significativos 
Para o diâmetro D3 da figura 6 temos: 
 D3 = 5,6cm = 56mm em A  2 Algarismos Significativos 
 e D3 = 56,3mm em B  3 Algarismos Significativos 
 
Podemos concluir que: 
 O número de algarismos significativos de uma medida depende do instrumento utilizado. Nas 
medidas dos diâmetros D5 e D3 dos êmbolos da figura 6 obtemos: 
Com a régua A: D5 3 AS e D3 2 AS 
Com a régua B: D5 4 AS e D3 3 AS 
Nas duas medidas realizadas com a régua milimetrada (B) obtivemos mais Algarismos 
Significativos do que a régua (A). 
 O valor do algarismo duvidoso depende do operador variando, portanto de pessoa para pessoa, e o 
melhor valor depende também da habilidade do operador no manuseio do instrumento. O valor, por 
exemplo, de D5 11,1cm=111mm obtido com a régua A e 110,8mm obtido com a régua B, mostra 
Figura 7 
25 (cm) 30 35 40 
LA 
A A 
DA 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 11 
que a avaliação do algarismo duvidoso em 11,1cm foi boa, pois está bem próxima de 11,08cm 
obtida com a régua B mais precisa. 
 
Como determinar a INCERTEZA ou o ERRO associado a uma medida? 
 
Para determinarmos a incerteza de uma medida devemos considerar os fatores que influem na 
sua avaliação: 
 a habilidade do experimentador; 
 as condições em que a medida foi realizada; 
 o próprio objeto a ser medido e 
 o instrumento utilizado. 
Quando realizamos uma medida e queremos expressar o resultado devemos informar também a 
incerteza associada à medida e, para que isso seja possível e de fácil aplicação adotaremos os 
seguintes critérios: 
 Os erros sistemáticos serão sempre expressos com apenas um algarismo 
 significativo (1 A.S.) 
 Se o instrumento NÃO PERMITIR A AVALIAÇÃO DO ALGARISMO DUVIDOSO entre 
duas divisões, este será considerado como sendo o último algarismo obtido na leitura com o 
instrumento. Se P é a menor divisão (ou a precisão) do instrumento, neste caso, a incerteza 
estimada, ou o erro  associado à medida, será: 
 (medida) = A MENOR DIVISÃO DA ESCALA DO INSTRUMENTO 
  = P 
 
Exemplo 1.4-3 
Na figura 1 a medida do clipe vermelho não permite avaliar diretamente o valor do último 
algarismo significativo entre as divisões do milímetro. Esse valor só foi possível ser estimado com a 
ampliação da imagem. Portanto na medida direta podemos dizer que o erro na medida de AB é:  = P 
= (AB) = 1mm (1 AS) então: 
Lcv = 33±1 mm (2 AS) 
Exemplo 1.4-4 
Nos instrumentos digitais (com mostrador numérico) normalmente o erro é igual a menor 
variação da medida. No caso da balança da figura 2 temos  = m = 0,01 g então a massa medida, 
corrigindo o valor indicado, seria: m= 460,42 ± 0,01 g (5 AS) 
 
 Se o instrumento PERMITIR A AVALIAÇÃO DO ALGARISMO DUVIDOSO e  é a menor 
divisão (ou a precisão) do instrumento a incerteza estimada (erro associado à medida) será: 
 
(medida) = A METADE DA MENOR DIVISÃO DA ESCALA DO INSTRUMENTO 
  = P/2 
 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 12 
Exemplo 1.4-5 
Na figura 6, utilizando a régua A cuja menor divisão foi um 0,5cm, avaliamos o diâmetro de D5 em 
11,1cm. Como foi possível avaliar o algarismo 1, a incerteza da medida será: 
  = D5 = /2 = (0,5)/2 cm = 0,25 cm (metade da menor divisão da escala da régua) ou AB = 
0,3 cm (o erro deve ter apenas um algarismo significativo) 
Conseqüentemente, devemos expressar o valor da medida do diâmetro de D5 como sendo: 
 D5 = (11,1 ± 0,3) cm (3 AS) 
ou D5 = (111 ± 3) mm (3 AS) 
 
Nota: a mudança das unidades de cm para mm ou qualquer outra unidade de comprimento não altera 
o número de algarismos significativos do resultado. 
 
Exemplo 1.4-6 
 Uma análise análoga ao exemplo anterior aplicada à figura 6, utilizando a régua B, daria 
para a medida do comprimento D5 o valor: D5 = (110,8 ± 0,5) mm 
 
Exemplo 1.4-7 
Na figura 7 podemos avaliar uma medida entre duas divisões da régua, portanto o erro na obtenção de 
LA será: LA = (0,25cm) / 2 = 0,125 cm 
como adotamos o erro com apenas um algarismo significativo temos: 
 LA = 0,1 cm 
portanto se LA = 36,30cm e DA = 1,25cm temos: 
LA = (36,3 ± 0,1) cm (3 AS) e DA = (1,3± 0,1) cm (2 AS) 
Regras práticas de operações com Algarismos Significativos 
 
Vimos que toda medida está acompanhada de uma incerteza. Podemos representar esse valor 
medido explicitamente com a incerteza ou sem a incerteza ficando essa incerteza implícita ao número 
escrito, 
 
Exemplo 1.4-8 
Os valores medidos de vários comprimentos foram: 
L1 =12,34 m (4 AS); L2 = 5,7340 cm (5 AS); L3 = 0,00345m (3 AS) 
L4 = 3422,10 mm (6 AS) e L5 = 98cm (2 AS) 
cujos valores das incertezas não foram explicitamente fornecidas como também não foi indicado o tipo 
de equipamento utilizado em cada uma das medidas. Adotaremos, nesses casos, as incertezas 
associadas às medidas como sendo o valor unitário da última posição decimal do número que 
corresponde ao algarismo duvidoso. 
Assim teremos: 
L1 = 0,01 m; L2 = 0,0001 cm; L3 = 0,00001 m; 
L4 = 0,01 mm e L5 = 1 cm 
 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 13 
Logo: 
L1 = 12,34 ± 0,01 m, L2 = 5,7340 ± 0,0001 cm, L3= 0,00345 ± 0,00001 m 
L4 = 3422,10 ± 0,01 mm e L5 = 98 ± 1 cm 
 
 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 
Considere que se quer adicionar os resultados dos comprimentos do exemplo 1.12 acima. Devemos, 
inicialmente, passar todas as parcelas para a mesma unidade, no caso metro. No nosso caso temos: 
L1 =12,34 m; L2 = 0,057340 m; L3 = 0,00345 m; 
L4 = 3,42210 m e L5 = 0,98 m 
Em seguida colocamos as parcelas, como mostramos abaixo, e somamos normalmente (a sua 
calculadora faz isto muito bem). 
L1 12,34x 
 L2 0,057341 
 L3 0,00345 
 L4 3,42510 
 L5 0,98x 
 16,805891 
Devemos agora verificar entre as parcelas aquela que possui o algarismo duvidoso na posição 
decimal mais elevada ou a parcela que possui o menor número de casas decimais (sua calculadoranão 
faz isto). 
No nosso caso verificamos que os algarismos 4 de L1 e 8 de L5 possuem a posição decimal 
mais elevada (centésimo) como também possuem apenas duas casas decimais. 
Note que, além dos algarismos duvidosos 4 de L1 e 8 de L5 onde colocamos um x, não foi 
possível obter precisão com o instrumento utilizado nessas medidas, porém outras medidas, como por 
exemplo L2 foi possível ler valores até 10
-5
 (0,057341) com precisão sendo a posição do 1 duvidoso. 
O nosso resultado deverá, portanto ser arredondado na posição anterior ao x ou, como mostra o 
resultado acima, na posição do algarismo 0. Como o algarismo depois do 0 (zero) é 5, devemos somar 
uma unidade ao algarismo 0 (zero). 
Portanto o resultado da soma é: 
L = 16,81 m. 
Esta regra é aplicada também para o caso de subtrações. 
 
 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
 
Vamos supor que queremos medir o volume do cilindro da figura 7 (exemplo 1.11), isto é, 
V = A  h = (1/4)  (DA ) 
2 LA 
Onde DA = 1,3 cm e LA = 36,3 cm, assim 
V = (1/4)  (DA ) 
2 LA = (1/4)    (1,3)
2
  36,3 = 48,181777 cm3 
com relação a essa resposta temos as seguintes questões: 
 
 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 14 
1 – Quantos AS tem ¼? 
 2 – Quantos AS deve ter ? 
 3 – E quantos AS deve ter V ? 
 
Essas questões têm as respostas nas seguintes regras que adotaremos: 
 Os números 1 e 4 de ¼ não foram obtidos através de nenhuma medida realizada e não devem 
ser considerados na determinação do número de AS na operação pois são constantes exatas 
com um número infinito de AS. 
 Uma constante como , caso não seja indicado no problema o número de AS, deve ser 
utilizada com um número de AS maior que o número de menor AS na operação. Assim 
analisando a expressão 
V = (1/4)  (DA ) 
2 LA = (1/4)    (1,3)
2
  36,3 = 48,181777 cm3 
vemos que 1,3 tem 2AS podemos utilizar  nos nossos cálculos com 3AS ou maior por exemplo: 
  = 3,14159 (a calculadora fornece  com bastantes AS) 
 O resultado de uma multiplicação (ou divisão) deve ter tantos algarismos significativos 
quanto forem aqueles do número de menor AS entre os dois números utilizados na 
operação. 
Vejamos, na operação 
V = (1/4)  (DA ) 
2 LA = (1/4)  3,14159  (1,3)
2
  36,3 = 48,181777 cm3 
 
temos a parcela 1,3 com apenas 2AS assim o resultado da operação no cálculo do volume do cilindro 
será: 
V = 48 cm
3
 (2 A.S. que vem de 1,3) 
 Obs. As regras estabelecidas acima, mesmo não sendo tão rígidas, deverão ser utilizadas nas 
experiências para um melhor entendimento das medidas realizadas e dos resultados obtidos, evitando 
também o uso de algarismos significativos desnecessários e inúteis que só fazem tomar tempo nas 
operações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 15 
Alguns Instrumentos de Medidas 
O Micrômetro 
Apresentamos na figura 1 uma ilustração simplificada de um Micrômetro. Esse instrumento é, 
essencialmente, um parafuso micrométrico que gira e desloca-se ao longo do seu próprio eixo, 
indicando em duas escalas, o deslocamento entre suas duas bases. Esse parafuso tem passo de 0,5mm 
correspondendo, assim, a um deslocamento de igual valor em cada volta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A escala horizontal (ou fixa) tem divisões de 0,5mm indicadas por traços verticais alternados 
com relação a uma linha horizontal, como mostra a figura 1. 
Na parte superior ficam as divisões dos milímetros inteiros e na inferior os meios milímetros. 
Essa linha horizontal serve também referência para medida da escala vertical (ou móvel) como 
indicado na figura 1 pela seta azul. 
A escala móvel é cilíndrica e dividida em 50 partes ficando na extremidade esquerda da manga. 
Essa linha limite a esquerda da escala móvel serve de referência para medida da escala 
horizontal, como mostra a seta vermelha vertical. 
Quando giramos a manga de uma divisão da escala móvel deslocamos a base móvel de uma 
distância: 
d= (1/50) x 0,5mm = 0,01mm 
que corresponde a precisão do instrumento. 
Na figura podemos ver que a medida do diâmetro da esfera é; 
D = Dfixa + Dmóvel (valores lidos nas escalas fixa e móvel) 
Dfixa = 11,500mm (valor exato) 
Dmóvel = 0,47X mm 
onde X é o algarismo que pode ser estimado na escala móvel e portanto duvidoso. O valor de X pode ser avaliado através 
da direção da linha horizontal sobre a escala móvel onde obtemos X8, assim: 
 Dmóvel = 0,478 mm 
0 5 10 15 
Espera 
Fixa 
Espera 
Móvel 
Manga 
Catraca 
Escala 
Horizontal 
ou fixa 
Escala 
Vertical 
ou móvel 
FIGURA 1 – O MICRÔMETRO 
Leitura D = 11,978 mm 
Erro D =  0,005 mm 
SEGURE-O AQUI 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 16 
logo D = 11,5 + 0,478 = 11,978mm 
e o erro será: 
 D = 0,01 / 2 = 0,005 mm 
Portanto, podemos escrever: 
 D = 11,978  0,005 mm 
 Na figura 2 temos um desenho simplificado de uma segunda medição feita com o micrômetro onde foi obtido um 
comprimento 
 L = 16,032  0,005 mm 
Confira o resultado! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outros exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
 
Leitura 16,000 + 0,083 = 16,083mm 
Erro L =  0,005 mm 
 
0 5 10 15 
Leituras 
 
L = 16,000 + 0,032 = 16,032mm 
 
 
Erro L =  0,005 mm (para todas) 
 
 
 
L = 14,500 + 0,483 = 14,983mm 
 
 
 
 
 
 
L = 13,500 + 0,431 = 13,931mm 
 
 
 
 
 
L = 16,500 + 0,029 = 16,529mm 
 
0 5 10 15 
0 5 10 15 
0 5 10 15 
0 5 10 15 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 17 
O Paquímetro 
 
Na Figura 1, apresentamos uma ilustração de um Paquímetro. Esse instrumento é 
utilizado para medir pequenas dimensões (o nosso de 6’ mede até 15cm) sendo, no entanto, 
sua maior aplicação em medidas de diâmetros internos e externos comprimentos de objetos 
profundida de um furo ou de uma depressão etc. Todos esses tipos de medidas podem ser 
lidas em duas escalas diferentes: uma inferior, em centímetro, e a outra superior, em 
polegadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para ter uma precisão melhor do que 1mm, numa escala milimetrada, o paquímetro faz 
uso de uma escala auxiliar denominada de NÔNIO ou VERNIER que pode fornecer uma 
precisão melhor do que 0,1mm. Vejamos como funciona essa escala auxiliar que facilita a 
leitura de frações da escala principal: 
Considere que o VERNIER tem n divisões de amplitude u. O comprimento do 
VERNIER será então nu. Construindo a escala do VERNIER de forma que ela tenha um 
número inteiro N de divisões da escala principal de unidade U, temos: 
 NU=nu (1) 
Na figura 2 escolhemos, por exemplo, N=9 e n=10, veja que 10u=9U como pode ser 
verificado no confronto das duas escalas. Na figura 3 estamos colocando uma esfera de 
diâmetro D para ser medida. Note que, como indicado pela posição 0 (zero) da escala do 
VERNIER, seu diâmetro é maior do que 2U (duas unidades da escala principal), isto é: 
D = 2U + (fração de 1U) (2) 
 
O que queremos, agora, é encontrar essa fração de 1U. 
 
 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 u (unidade) 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U (unidade) 
Figura 2. 
Escala Principal e VERNIER. Veja que NU=nu onde 
N=9 e n=10, U e u são as unidadesde cada escala. 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 
Trava 
Manter sempre 
Destravada. 
Mandíbulas 
 para Medida 
Interna 
Mandíbulas 
para 
 Medida 
Externa 
Mede 
Profundidade 
A Escala Superior, em 
Polegadas, não foi desenhada. 
Pressione o polegar aqui para 
mover o cursor 
 
Figura 01. Ilustração simplificada 
do paquímetro. 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 18 
 Normalmente, 1U é maior que 1u, como mostrado no exemplo da figura 2. Além 
disso, a diferença entre 1U e 1u é pequena e se, por exemplo, escolhermos n=10 então essa 
diferença seria d=1U/n onde 1U foi a divisão da escala principal escolhida para ser estimada 
em n partes. Note que, na figura 2, o pedacinho que falta para que 1u seja igual a 1U é 
exatamente 1U/n ou 0,1U. Em alguns casos, podemos escolher 2U para ser estimado em n 
partes, onde 2U>u e a diferença entre 2U e 1u é 2U/n. Assim, para incluir casos como esses 
vamos considerar que: 
 d = mU – u 
onde m é um inteiro que, dependendo das duas escalas, pode ser 1, 2 etc. Então: 
 d = mU – U N/n = U(m – N/n) = U(mn-N)/n (3) 
onde, na equação acima, substituímos u pelo valor obtido a partir da equação (1). Para o nosso 
exemplo da figura 2, tem-se: 
 
 d = U(1x10 – 9) /10 = 0,1U (4) 
 
Consideremos os seguintes pontos: 
 p a posição da escala principal 
que fica à esquerda do ponto 0 
(zero) da escala do VERNIER 
 q a posição do VERNIER que 
está alinhada com uma posição 
qualquer da escala principal. 
 p a diferença entre o zero do 
VERNIER e o ponto p a sua esquerda. 
 
 
Na figura 3, por exemplo, teríamos p=2 (em unidades U) e q=4 (em unidades u). O valor de p está 
indicado pelas duas setas. 
Na figura 4, mostramos o caso em que o VERNIER tem sua posição zero (onde se lê na escala o 
valor medido de um comprimento) entre as 
posições p=1 e p=2 da escala principal. A 
posição q=1 coincide com a posição p=2 da 
escala principal. 
Então a diferença p entre a posição p=1 e 
o zero da escala do VERNIER será exatamente 
d; assim podemos escrever: 
 
 p = (q) d = d (5) 
 
como mostra a figura 4. No nosso exemplo, caso estejamos medindo um comprimento L, devemos ter: 
 L = p + p = p + d =1U + 0,1U = 1,1 U (6) 
 
 0 q=1 q=2 q=3 VERNIER 
 p=1 p=2 p=3 p=4 U 
p = d 
 Figura 4 Note que dividimos a 
unidade U em 10 partes como obtido 
pela eq. (4) onde d=0,1U. 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 u (unidade) 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U (unidade) 
Figura 3. 
Montagem simplificada de um Paquímetro com a 
Escala Principal e o VERNIER e a medição do 
diâmetro de uma esfera. 
 D 
p 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 19 
Na figura 5, mostramos um caso semelhante ao anterior, porem com uma diferença: é a 
posição q=2 que coincide com uma das posições da escala principal no caso p=3. 
A diferença entre a posição p=1 e o zero da escala do VERNIER, como mostra a figura 
5 nas subdivisões da escala principal é exatamente 2d, logo: 
 p = (q) d=2d (7) 
O valor do comprimento L medido seria: 
 L = p + p = 1U + 2d = 1U + 0,2U = 1,2U (8) 
 
Podemos, então, dizer que: se a posição da 
escala do VERNIER q coincide com uma 
das posições (p qualquer) da escala 
principal, então a diferença entre a posição 0 
(zero) do VERNIER e a posição p da 
ESCALA PRINCIPAL a sua esquerda é: 
 
 p = (q) d (9) 
Portanto, o valor L de uma grandeza medida será a soma do valor da escala principal p (a esquerda do 
zero do VERNIER) mais p, isto é: 
 L = p(U) + p = pU + (q) d = pU + qU(mn-N)/n = U[ p + q (mn-N)/n] (10) 
Utilizando os valores do exemplo da figura 3, temos: 
 p=2; valor da divisão da ESCALA PRINCIPAL a esquerda do zero do VERNIER 
 q=4; valor da escala do VERNIER que coincide com uma das divisões da ESCALA 
PRINCIPAL. 
 N=9 número de divisões da escala principal cuja comprimento NU=nu. 
 n=10 número de divisões do VERNIER. 
 m=1 Observe, na figura 3, que U>u e d=U – u assume um valor mínimo. 
Portanto, o diâmetro da esfera é; 
 D = U[ p + q (mn-N)/n] = U[2+4(1x10-9)/10]=U[2+0,4] 
 D = 2,4U 
Observe que, para esses valores de N e n, podemos escrever: 
 D = (p + q/10) U 
logo D = (2+0,4) U = 2,4 U isto é, a escala do VERNIER já está em décimos de milímetros. 
 Na figura 6, mostramos parte de paquímetro com um VERNIER de 10 divisões, isto é: n=10 e 
N=9 como no exemplo da figura 2. Agora temos como menor unidade ou divisão da escala principal o 
milímetro, logo U=1mm. Na figura 6, obtemos p=87(mm) e q=8 (que coincide com p=95 na escala 
principal). Substituindo esses valores na equação 10 temos: 
 L = [ 87 + 8 (1x109) /10 ] mm= (87+0,8) mm 
L = 87,8 mm 
E o erro cometido na leitura de L? Veja 
que a menor variação que temos na 
medida de L é L= 0,1mm e não temos 
 0 q=1 q=2 q=3 VERNIER 
 p=1 p=2 p=3 p=4 U(unidade) 
p = 2d 
 
Figura 5 - 
A posição q=2 coincide agora com p=3U 
indicando p = 2d = 0,2U como pode ser 
visto nas subdivisões de U. 
Figura 6 
p = 87(mm) e 
q = 8 
 70 80 90 100 (mm) 
0 5 10 
 VERNIER 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 20 
como avaliar um valor menor. Portanto, esse é o erro cometido na leitura de L, portanto: 
 L = 87,8  0,1 mm 
Na figura 7, temos um VERNIER de 20 divisões ou n=20 e N=19. Da escala principal temos U=1mm 
e da figura obtemos p=76(mm) e q=17 (que coincide com p=93 na escala principal). Da equação 10, 
obtemos: 
 L = [76+17(1x2019)/20] = (76+17/2) = (76 + 0,85)mm 
 L = 76,85 mm 
Observe que colocamos duas escalas no 
VERNIER. A superior fornece o valor de q o 
qual é aplicado na equação (10) para o cálculo 
de L. Já a escala inferior, que tem os valores da 
superior divididos por 2, facilita a leitura, pois o 
valor lido já está em centésimos de milímetros. 
Na leitura de L teríamos L=76mm + 0,85mm = 
76,85mm. 
O erro de L nessa escala, da mesma forma que 
a anterior, será a menor variação na leitura L, isto é, L= 0,05mm, temos então: 
 L = 76,85  0,05 mm 
Medidas Indiretas e Propagação de Incertezas 
 Nem sempre é possível determinar certas grandezas por medição direta, para se determinar a 
densidade de um objeto, por exemplo, é preciso medir a sua massa e o seu volume, que por sua vez é 
determinado pela medida de suas dimensões. Todas estas medidas estarão afetadas de incertezas, que 
na determinação da densidade se propagarão e darão origem a uma incerteza na densidade. 
 Inicialmente, vamos uniformizar a nossa linguagem: ao invés de erros, desvios, incertezas, 
utilizaremos apenas incertezas que é um termo mais abrangente. Quanto à representação matemática, 
para grandezas tais comox, t, T, v, Tc, representaremos suas incertezas (ou incertezas absolutas) por 
x, t, T, v, Tc, e, conseqüentemente, suas incertezas relativas por x/x, t/t, T/T, v/v, etc. 
 
i) Incerteza em uma soma ou diferença. 
Suponha que vamos determinar a grandeza S = A – B + C + ....... 
e foram feitas as medidas A ± A, B ± B, C ± C,...... 
Como determinar a incerteza S associada a uma soma? 
Para simplificar, adotaremos o critério mais desfavorável, isto é, vamos supor que todas as 
incertezas A, B, C, etc. contribuam para S no mesmo sentido, em outras palavras, tenham o 
mesmo sinal. 
 S = A + B + C + ... (1) 
 
 
 
 70 80 90 100 (mm) 
Figura 7 Temos p = 76(mm) e q = 17 
(0,85) 
 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 VERNIER 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 21 
Na diferença as incertezas também se somam. Note que o sinal de B é positivo. Portanto, 
nas expressões com diferença de parcelas ou soma os erros sempre se somam. 
 Utilizando critérios mais rigorosos obtêm-se uma expressão para a incerteza associada com 
operações de soma e/ou subtração de grandezas medidas dada por: 
 
 
      ...CBAS 222E 
 (2) 
essa expressão, logicamente, vai fornecer um valor diferente (SE ≤ S) daquele obtido com a 
expressão da equação (1-13), porém, para os nossos objetivos e praticidade das nossas atividades e 
considerando que estamos adotando o critério mais desfavorável à utilização da equação (1) não vai, 
de modo algum, distorcer ou modificar os conceitos dos erros associados às medidas, apenas os 
valores seriam, na maioria dos casos, ligeiramente diferentes. 
Aplicação 1 
Na determinação do perímetro de um quadrilátero, mediram-se os seus lados a, b, c, e d com 
instrumentos diferentes obtendo-se 
 a = ( 5,03 ± 0,05 ) cm, b = ( 6,8 ± 0,5 ) cm 
 c = ( 0,673 ± 0,001) cm d = ( 2,36 ± 0,05 ) cm 
Na calculadora obtém-se que o perímetro 
p = 5,03 + 6,8 + 0,673 + 2,36 = 14,863 cm 
e a incerteza 
p = a + b + c + d = 0,05 + 0,5 + 0,001 + 0,05 = 0,601cm 
Como devemos ter apenas um algarismo significativo para o erro escrevemos 
p = 0,6 cm 
conseqüentemente, utilizando nosso critério de aproximação, podemos escrever: 
p = ( 14,9 ± 0,6 ) cm 
 
ii) Incerteza em uma multiplicação, potenciação e divisão 
 Para calcular a incerteza numa expressão envolvendo multiplicação, divisão e potenciação, 
como em 
 Y = K a
p  bq  cr (3) 
 
 
onde K é uma constante, p, q, r são expoentes positivos ou negativos e a, b, c são variáveis, usaremos 
a seguinte expressão: 
 
c
Δc
r
b
Δb
q
a
Δa
p
Y
ΔY

 (4) 
 
 
Para verificar esta equação basta lembrar que a diferencial de uma função do tipo 
y = y(a,b,c) 
é dada por: 
dc
c
y
db
b
y
da
a
y
dy 






 (5) 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 22 
 
a qual, após ser dividida em ambos os lados por y e tomando-se os módulos (lembre-se que estamos 
utilizando o critério mais desfavorável) dá origem à expressão para a incerteza estimada. 
É importante não esquecer que esta expressão só é válida se y = y(a,b,c). Se for necessário 
calcularmos a incerteza de uma variável em função das outras, por exemplo, a em função de y, b e 
c, necessitaremos expressar esta variável "a" como função de y, b e c. Isto é, a = a(y,b,c) e só então 
utilizar a expressão (5). 
 A expressão (5), utilizando critérios mais rigorosos, teria uma forma do tipo: 
 
y
2
 = 
2








a
y
a
2
 +
2








b
y
 b
2
 + 
2








c
y
c
2
+ ... (6) 
onde y é o erro de y=f(a,b,c,...) e a, b, c etc. são os erros associados as medidas de a, b e c etc. Se y 
é dado por (1-15) podemos obter uma expressão para o cálculo do erro equivalente a expressão (1-16), 
isto é: 
2
c
Δc2
2
b
Δb2
2
a
Δa2
Y
ΔY
























 rqp
 (7) 
 
 Note que para o caso de uma variável apenas esta expressão é idêntica a (4) 
 
Aplicação 2 
Na determinação do volume de um cilindro foram feitas as seguintes medidas: 
 raio r = (2,02 ± 0,03)cm, e 
altura h = (8,432 ± 0,005)cm. 
Determine o volume deste cilindro. 
Solução: Sabemos que V =  r2 h, então V = 3,14  (2,02)2  8,432 = 108,0346 cm3. 
Para o cálculo de V, utilizamos a expressão (1-16) e obtemos: 
 V = V x ( 2x (r/r) + [(h/h)) 
 V = 108,0346 x (2x (r/r) + (h/h)) 
 V = 3,2730 cm3 (a) 
ou V = 3 cm3 
portanto podemos escrever o volume do cilindro como: 
 V = (1083) cm3. (b) 
 
Caso utilizássemos a equação (6) teríamos duas variáveis r e h (grandezas medidas) portanto: 
 V
2
 = 
2








r
V

r
2
 +
2








h
V
 
h
2
 (c) 
de V =  r
2
 h 
obtemos 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 23 
 








r
V
= h (2r) e 








h
V
=  r
2
 (d) 
substituindo em (1-22) vem: 
 
 V
2
 = (2 h r)2 r
2 + (r
2
)
2
 h
2
 (e) 
 
dividindo a equação (e) por V
2
 obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
h222
22
2
r22
2
2
h22
22
2
r22
22
V ε
hπr
r π
ε
rπrh
πrh2
ε
hπr
r π
ε
hπr
hr 2π
V
ε






 
que simplificando toma a forma: 
2
h
2
r
2
V
h
ε
r
2ε
V
ε


















 
ou 
2
h
2
r
V
h
ε
r
2ε
ε 











V
 (f) 
esta equação pode ser obtida mais facilmente utilizando-se a equação (7) onde: 
V = Y, V = Y 
r =a, r = a, p=2 
h =b, h = b q=1 
e (c=0) obtemos: 
22
h
h
r
r2
V 




 





 
 V
 (g) 
que é equivalente a equação (f). Substituindo os valores dos erros, h, r e de V na equação (1-26) 
obtemos: 
3
22
V 3,2096cm
8,432
0,005
2,02
0,032
108,0346ε 










 

 (h) 

V = 3 cm
3
 (i) 
que é o mesmo valor, V = 3 cm3 calculado anteriormente. 
Note que o valor V = 3,2096 cm
3
 de (a) e V = 3,2730 cm3 de (h) antes do arredondamento tem uma 
diferença menor do que 2%, portanto a utilização da equação (4) para obtenção do erro é bastante 
satisfatória e bem mais fácil de ser calculada. 
 
Aplicação 3 
Calcule o volume de um sólido constituído por dois cubos de lados: 
 L1=(7,65 ± 0,05) cm e L2=(3,25±0,05) cm. 
 
Solução: V = V1 + V2 = L1
3
 + L2
3
 = 7,65
3
 + 3,25
3
 = 482,02 cm
3
 
 V = V1 + V2 
V1 = L1
3
 logo V1 / V1 = 3 L1 / L1 e V1 = 3 L1 L1
2
 
 V2 = L2
3
 logo V2 / V2 = 3 L2 / L2 e V2 = 3 L2 L2
2
 
Centro Universitário Maurício de Nassau 
Básico das Engenharias 
 24 
Assim V = 3 L1 L1
2
 + 3 L2 L2
2
 = 10,362 cm; 
conseqüentemente, V = 1101 cm3 
 
Finalmente, V = (48 ± 1) 101 cm3 
 
Questão 1.5-1Na função Z = 4XY
2
 + 2X
2
/Y
3
 dados X, Y, X e Y, calcule o desvio de Z, isto é, calcule Z.