Lista de exercícios de Cálculo I

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1. O proprietátio de um estacionamento de veículos verificou que o preço por dia de
estacionamento está relacionado com o número de carros que estacionam por dia pela
expressão 10 p + 3x = 300. Sabendo que p é o preço por dia de estacionamento e x é o
número de veículos que estacionam por dia podemos afirmar que a receita máxima obtida no
dia é de. respotsa: R$ 750,00
2. Derive a expressão y=secx.cosx e marque a única alternativa correta.
respota: 0
3.f(x)=6x^2-10x-5/x^2 derivada:
resposta: 12x-10+10x^-3
4. Assinale a única resposta correta da derivada de y=arcsen(x3)
resposta: 3x21-x6
5. O valor da derivada da função: f(x)=(x²-1)/(x-1) (para x=-5) é: 
(Dado: h'(x) = [f'(x).g(x) - f(x).g'(x)]/[g(x)]² 
resposta: 1
6. Uma cisterna (reservatório inferior de água) tem a forma de um cone circular reto 
invertido com base de diâmetro 4m e altura igual a 4m. Se a cisterna está sendo 
abastecida de água a uma vazão (taxa) de 2m3 /min, encontre a taxa na qual o nível 
de água está elevando quando este está a 1m da borda da cisterna.
Obs.: Da geometria espacial sabemos que Vc = 13pr2h, sendo 
Vc = volume do cone, r = raio da base e h = altura do cone
resposta: dhdt=89p
7. Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume 350 ml 
de modo que o material gasto na confecção da lata seja mínimo. Dado 1 ml = 1 cm3.
resposta: r= 3raiz 200/pi
8. Considere um triângulo T cujos lados são o eixo dos x, a reta x=1 e a reta r tangente ao gráfico de y= x2no ponto de abcissa x=a.
Determine a de forma que o triângulo T tenha a maior área possível.
resposta: a=13
9. Podemos afirmar que taxa de variação do volume V de um cubo em relação ao comprimento x de sua aresta é igual a:
resposta: A metade da área da superfície do cubo
10. Um ponto de tangente horizontal ao gráfico de y = f(x) é tal que a derivada de f em relação a x é igual a zero, isto é, f '(x) = 0. Considerando a função
y=x+1x possivel afirmar:
resposta: Os pontos de tangente horizontal ao gráfico da função possuem coordenadas iguais a (1, 2) e (-1, -2).
11. O valor da derivada da função: f(x)=(x²-1)/(x-1) (para x=-5) é: 
(Dado: h'(x) = [f'(x).g(x) - f(x).g'(x)]/[g(x)]²
resposta: 1
12. A Regra da Cadeia para derivação de função composta nos permite que, conhecendo as derivadas de duas
funções f e g, podemos utilizá-las para encontrar a derivada da função composta fog. Se a função g for
diferenciável no ponto x e a função f for diferenciável no ponto g(x), então a função composta fog é
diferenciável no ponto x. Além disso, se f e g forem diferenciáveis e f og for a função composta definida por f
(g(x)) então esta composta é diferenciável e é dada pelo produto f´(g(x))g´(x). A partir deste conceito de regra
da cadeia, determine a derivada da função composta y=2x+1.
resposta: 12x+1
13. A derivada da função f (?) = tg-1(?2) é a função
f'(?) = 2?1+?4
14. São comuns as interpretações da derivada: geométrica e trigonométrica, isto é, geometricamente, a derivada é
a reta tangente à uma curva de uma função qualquer y = f(x), em um ponto x0 da mesma, enquanto que
trigonometricamente seu valor é igual à tangente que essa reta faz com o eixo dos x. Diante das afirmativas
assinale a alternativa Verdadeira:
resposta: A afirmativa deixa clara a importância de se definir derivada em um ponto x0 , ou seja, a taxa de variação instantânea em
qualquer ponto de um fenômeno físico variável representado por uma função matemática.
15. f(x)= ln(e^x.sen(2x)/ln(x).cos(x^2)).
resposta: ln(f(x))= e^x.sen(2x)/ln(x).cos(x^2)).
ln(f'(x))=(1 +2cos(2x)/sen(2x) -1/ln(x).x + sen(x^2)2x/cos(x^2)).((e^x.sen(2x)/ln(x).cos(x^2))
16. Na análise da figura acima, que representa um fenômeno 
físico periódico, assinale as afirmações Falsas(F) e Verdadeiras(V):
resposta: 
verdadeira: A taxa de variação de uma função em um ponto x = c é dada pela derivada da
função naquele ponto;
verdadeira: A derivada de uma função em um ponto mede não só a declividade da reta tangente
ao gráfico da função naquele ponto, como também a taxa de variação da função no
mesmo ponto;
falsa: Mesmo sendo a taxa de variação de uma função em um ponto x = c dada pela
derivada da função naquele ponto, a derivada nem sempre presta-se naturalmente
para ser uma ferramenta na determinação dos intervalos, onde uma função
diferenciável seja crescente ou decrescente.
verdadeiro: Dizemos que f é crescente em um ponto c se existe um intervalo (a , b) contendo c
tal que f é crescente em (a , b).
verdadeiro: Uma função é crescente em um intervalo (a , b) se para quaisquer dois números x1
e x2 em (a , b), f(x1 ) < que f(x2 ), sempre que x1< x2;
17. Considere a função f(x)=x. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , representado
abaixo, no ponto P( 4,2).
resposta: y=(14)x+1
18. Encontre a derivada em relação a variável x da função f(x)= x+ex , com x > 0
resposta: x2x.(ex+1) 
19. O valor da derivada da função: f(x)=(x²-1)/(x-1) (para x=-5) é: (Dado: h'(x) = 
[f'(x).g(x) - f(x).g'(x)]/[g(x)]²
resposta: 1
20. Considere a função f(x)=x. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , representado abaixo, no ponto P( 4,2).
resposta: y=(14)x+1
21. Seja f(x) = ex.sen(2x). Calcule a derivada de f(x) no ponto onde x = 0.
resposta: 2
22. Encontre a derivada da função g (x) = x + 2.sen x
resposta: 1+2.cosx
23. Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu 
volume cresce a uma taxa de 100 cm3/seg. Quão rápido o raio do balão 
está crescendo quando o diâmetro é 50 cm?
resposta: (25Pi)^-1 cm/seg
24. Uma escada com 10 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/seg. Quão 
rápido o topo da escada está escorrendo para baixo na parede quando a base da 
escada está a 6 metros da parede?
resposta: -3/4 m/seg
25. Calcule a derivada de primeira ordem da função: y=x.sen3 x - (8x)/5 
resposta: y' = sen^3 x + 3x . sen^2 x cosx- 8/5 
26. A reta 8x - y + 3 = 0 é paralela a reta (r) tangente ao gráfico da curva 
y = 2x2 + 3. Podemos, então, afirmar que a equação da reta (r) é dada por:
resposta: y=8x+5
27. Um tanque com tampa em forma de cilindro tem um volume de 250 m3 . Se o raio da base do cilindro é r ,pergunta-se qual é a altura h desse tanque para que seja mínima sua área total . 
(Lembrete: Volume do cilindro V = p.r2.h
 Área total = 2p.r2+2pr.h)
resposta: h=10 pi 3
28. No instante t = 0, um tanque contém 4 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. Suponha que a água salgada contendo duas libras de sal por galão é acrescentada ao tanque a uma taxa de 5 galões por minuto, 
e que a solução misturada é drenada do tanque à mesma taxa. Ache a quantidade de sal no tanque após 10 minutos.
resposta: 81,1
29. che as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior possível.
resposta: x= 25 e y = 25 
30. Um psiculturista tem 120m de rede para cercar um criadouro de peixes em cativeiro de base retangular que está na margem de um rio reto, com 100m de largura . A margem será um dos lados do criadouro, não sendo necessário colocar rede ao longo desta margem e pretende-se que o criadouro tenha a maior área possível.
Marque a alternativa com as dimensões da base retangular do criadouro que satisfaz a condição acima.
resposta: 30mx60m, sendo utilizados 60m da margem do rio como um lados do criadouro. 
31. Um problema típico do Cálculo é a determinação da equação da reta tangente a uma função
dada. Assim, determine a equação da reta tangente à função y = x2 + 1, no ponto onde x = 1.
resposta: y=2x
32. Encontre a derivada da função g(t)=(t-22t+1)9
resposta: 45.(t-2)8(2t+1)10
33. Ache a derivada em relação a x da função f(x) = x^1/2
resposta: (1/2)x^(-1/2) 
34. A função x3 + y3 = 6xy é conhecida como fólio de Descartes. Encontre a equação da reta tangente à função no
ponto (3, 3). 
resposta:x + y = 6
35. Baseando-se no gráfico abaixo da função f, pode-se afirmar:
 1)A derivada da função f no intervalo ]2,oo[ é positiva.
 2)A derivada da função f no intervalo ]2,oo[ é negativa.
 3) Como a função f no ponto x = 2 é descontínua então a função f não é derivável em x = 2.
 4) A derivada da função f em x = 0 é nula.
 5) A derivada da função f no intervalo ]-oo,1[ é positiva.
 6) A derivada da função f no intervalo ]-oo,1[ é negativa.
As seguintes afirmações são verdadeiras:
respostas: 2,3,5 
36. Conhecendo as derivadas das funções f e g , podemos usá-las para encontrar a derivada da composição fog
, através de um teorema denominado
resposta: Regra da Cadeia
37. Se f(x) = x2
e g(x) = (x + 1). Encontre a derivada da função composta f ( g(1) ).
resposta: 4
38. A população de uma determinada região daqui a t anos é dada pela seguinte expressão: P(x)= (10t+4)/t mil
pessoas. A taxa de variação da população dessa região daqui a 2 anos é:
resposta: -1000 pessoas/ano
39. A única resposta correta para a derivação implíta da função 2y=x+y é;
resposta: y'=y1-y
40. O coeficiente angular da reta tangente à curva y = x1-x no ponto ( 0, 0) é dado por
resposta: f'(0)=1
41. Ache a área da região compreendida pelas curvas x = y2 e y = x-2
resposta: 9/2
42. Determine y´ na função y^2 - cos(3y2) = -4x
resposta: y´=-2y+3ysen(3y2)
43. Calcule a derivada da função f(x) = 5x^10 - 3x^8 + x^4.
resposta: f(x)=50x^9 - 24x^7 + 4x^3
44. A posição de uma partícula é dada pela equação s(t) = t3 - 6t2 + 9t. Encontre a distância total percorrida pela partícula durante os primeiros cinco segundos.
resposta: 28m
45. Uma escada com 10 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/seg. Quão rápido o topo da escada está escorrendo para baixo na parede quando a base da escada está a 6 metros da parede?
RESPOSTA: -3/4 m/s
46. Considere as funções f(x) = lnx/ex e g(x) = ( ln x )3
Calcule a derivada da soma f(x) + g(x) no ponto x = 1. 
RESPOSTA: 1/e
47. Encontre a derivada (dy/dx) da função x3 - 3 x y = y3.
RESPOSTA: y' = (x2 - y) / (x + y2 ) 
48. Sabendo-se que a variável y é uma função da variável x, considere a função implícita de x descrita pela expressão a seguir
x3+y3=6·x·y
Pode-se então afirmar que o valor da derivada de y em relação a x é dada por
RESPOSTA: y'(x)=x2-2·y2·x-y2 
49. Uma noção intuitiva para determinar o que é comprimento de uma curva seria o de colocar um barbante sobre a curva e medir então o comprimento do barbante. Se f´ for continua em [a,b], então o comprimento da curva y=f(x),a=x=b é L=?ab1+[f´(x)]2dx. Calcule o comprimento da curva y=2-3x,-2=x=1
RESPOSTA: 310
50. Calcule as inclinações da curva y 2 - x + 1 = 0 nos pontos A ( 2, -1 ) e B ( 2 , 1 ), respectivamente.
RESPOSTA: mA = -12 e mB = 12 
51. Resolva a integral indefinida I=?(e-4x + 4x)dx e marque a única resposta correta. 
RESPOSTA: - e-4x / 4 + 4x / ln 4 + C
52. A técnica de completar quadrados torna-se muito útil quando se deseja, de imediato, saber as coordenadas do vértice de uma parábola. É, também, utilizada como um dos métodos de integração. A forma canônica conhecida é : f(x) = a(x - xv )² - yv , onde xv e yv são as coordenadas do vértice. Portanto, aplicando a técnica de completar quadrados, determine as coordenadas da parábola: f(x) = 2x - x². 
RESPOSTA: xv = 1 e yv = 1