Regra da Substituição

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Lista de exerc´ıcios.
Disciplina: Ca´lculo II
Professor:Antoˆnio Carlos Telau
1 Regra da substituic¸a˜o
∫
f(g(x))g′(x)dx =
∫
f(u)du
1-6.Calcule a integral fazendo a substituic¸a˜o dada.
1.
∫
cos(3x)dx, u = 3x⇒ dudx = 3⇒ du3 = dx∫
cos(3x)dx =
∫
cos(u) 13du =
1
3
∫
cos(u)du = 13sen(u) + C =
1
3sen(3x) + C
2.
∫
(4 + x2)10xdx, u = 4 + x2 ⇒ dudx = 2x⇒ du2 = xdx∫
(4 + x2)10xdx =
∫
u10 du2 =
1
2
∫
u10du =
1
2
u11
11 + C =
1
22 (4 + x
2)11 + C ⇒∫
(4 + x2)10xdx = 122 (4 + x
2)11 + C∫
f(x)dx = F (x) + C
7-46. Calcule a integral indefinida.
7.
∫
xsen(x2)dx
8.
∫
x2(x3 + 5)9dx
9.
∫
(3x− 2)20dx
11.
∫
(x+ 1)
√
2x+ x2dx
13.
∫
1
5−3xdx
14.
∫
exsen(ex)dx
14.
∫
sen(pit)dt
16.
∫
x
x2+1dx
17.
∫
a+bx2√
3ax+bx3
dx
19.
∫ ln(x)
x dx
22.
∫ √
xsen(1 + x
3
2 )dx
26.
∫
ecos(t)sen(t)dt
Dif´ıceis
42.
∫
x
1+x4 dx
43.
∫
1+x
1+x2 dx
44.
∫
x2√
1−xdx
45.
∫
x
4
√
x+2
dx
1
46.
∫
x3
√
x2 + 1dx
Regra da substituic¸a˜o para integral definida∫ b
a
f(g(x))g′(x)dx =
∫ g(b)
g(a)
f(u)du
51-70 Calcule a integral.
51.
∫ 2
0
(x− 1)25dx, u = x− 1⇒ dudx = 1⇒ du = dx∫ 2
0
(x− 1)25dx= ∫ 1−1 u25dx= [u2626 ]1−1 = ( 126 − 126 ) = 0
53.
∫ 1
0
x2(1 + 2x3)5dx = 1829
u = 1 + 2x3 ⇒ 16du = x2dx∫ 1
0
x2(1 + 2x3)5dx =
∫ 1
0
(1 + 2x3)5x2dx =
∫ 3
1
u5 16du =
1
6
(∫ 3
1
u5du
)
=
= 16
[
u6
6
]3
1
= 16
[
36
6 − 1
6
6
]3
1
= 1829
55.
∫ pi
0
sec2( t4 )dt = 4
u = t4 ⇒ dudt = 14 ⇒ dt = 4du∫ pi
0
sec2( t4 )dt =
∫ pi
4
0
sec2(u)4du...
57.
∫ pi
6
−pi6 tan
3(x)dx = 0
∫ pi
6
−pi6 tan
3(x)dx =
∫ pi
6
−pi6 tan
2(x) tan(x)dx =
∫ pi
6
−pi6 (sec
2(x)− 1) tan(x)dx,
u = sec2(x)− 1⇒ (u+ 1) = sec2(x)⇒
u = sec2(x) − 1 ⇒ dudx = 2 sec(x) sec(x)tg(x) = 2 sec2(x)tg(x) ⇒ du2 sec2(x) =
tg(x)dx
⇒ du2(u+1) = tg(x)dx
⇒ ∫ pi6−pi6 (sec2(x)− 1) tan(x)dx = ∫ 1313 u du2(u+1) = 12 ∫ 1313 uu+1du = 0
(sec2(pi6 )− 1) = 13
(sec2(−pi6 )− 1) = 13
58.
∫ 1
0
xe−x
2
dx = 12 − 12e
2
59.
∫ 2
1
e
1
x
x2 dx = e− e
1
2
75. (pg 382) Quais das seguintes a´reas sa˜o iguais? Por queˆ?
(i)
∫ 1
0
e
√
xdx
(ii)
∫ 1
0
2xexdx
(iii)
∫ pi
2
0
sen(2x)esen(x)dx
u =
√
x⇒ dudx = 12√x ⇒ dx = 2
√
xdu∫ 1
0
e
√
xdx =
∫ 1
0
eu2
√
xdu =
∫ 1
0
eu2udu =
∫ 1
0
2ueudu
=
∫ 1
0
2xexdx = 2
u = sen(x)⇒ dudx = cos(x)⇒ du = cos(x)dx∫ pi
2
0
sen(2x)esen(x)dx =
∫ 1
0
sen(2x)eudx
43-48 Encontre a derivada da func¸a˜o.
43. F (x) =
∫ x
0
t2
1+t3 dt =
∫ x
0
1
1+t3 (t
2dt) = 13 ln
(
x3 + 1
)
u = 1 + t3 ⇒ dudt = 3t2 ⇒ dudt = 3t2 ⇒ 13du = (t2dt)∫ x
0
t2
1+t3 dt =
∫ x
0
1
1+t3 (t
2dt) =
∫ 1+x3
1
1
u (
1
3du) =
= 13
∫ 1+x3
1
u−1du = 13 [ln(u)]
1+x3
1 =
1
3
[
ln(1 + x3)− ln(1)]
= 13
[
ln(1 + x3)− 0]
= 13 ln(1 + x
3)⇒
F (x) = 13 ln(1 + x
3)⇒
F ′(x) = 13
1
1+x3 .3x
2 ⇒
F ′(x) = x
2
1+x3 ⇒
44. F (x) =
∫ 1
x
√
t+ sen(t)dt
45. g(x) =
∫ x4
0
cos(t2)dt
46. g(x) =
∫ sen(x)
0
1−t2
1+t4 dt
(Provas anteriores.) Seja g(x) = x .
∫ x
1
f(t) dt. Ache uma fo´rmula para g′(x)
e para g′′(x). Se f(2) = 3 e f ′(2) = 1, calcule g′′(2).
g(x) = x .
∫ x
1
f(t) dt⇒
g(x) = x . [F (t)]
x
1 ⇒
g(x) = x . [F (x)− F (1)]⇒
g(x) = x .F (x)− x.F (1)⇒
3
g′(x) = x .F ′(x) + F (x)− F (1)⇒
g′(x) = x .f(x) + F (x)− F (1)⇒
g′′(x) = x .f ′(x) + f(x) + F ′(x)⇒
g′′(x) = x .f ′(x) + f(x) + f ′(x)⇒
g′′(x) = (x+ 1) .f ′(x) + f(x)⇒
g′′(2) = (2 + 1) .f ′(2) + f(2) = 3.1 + 3⇒
g′′(2) = 6.
4