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Lista de exerc´ıcios. Disciplina: Ca´lculo II Professor:Antoˆnio Carlos Telau 1 Regra da substituic¸a˜o ∫ f(g(x))g′(x)dx = ∫ f(u)du 1-6.Calcule a integral fazendo a substituic¸a˜o dada. 1. ∫ cos(3x)dx, u = 3x⇒ dudx = 3⇒ du3 = dx∫ cos(3x)dx = ∫ cos(u) 13du = 1 3 ∫ cos(u)du = 13sen(u) + C = 1 3sen(3x) + C 2. ∫ (4 + x2)10xdx, u = 4 + x2 ⇒ dudx = 2x⇒ du2 = xdx∫ (4 + x2)10xdx = ∫ u10 du2 = 1 2 ∫ u10du = 1 2 u11 11 + C = 1 22 (4 + x 2)11 + C ⇒∫ (4 + x2)10xdx = 122 (4 + x 2)11 + C∫ f(x)dx = F (x) + C 7-46. Calcule a integral indefinida. 7. ∫ xsen(x2)dx 8. ∫ x2(x3 + 5)9dx 9. ∫ (3x− 2)20dx 11. ∫ (x+ 1) √ 2x+ x2dx 13. ∫ 1 5−3xdx 14. ∫ exsen(ex)dx 14. ∫ sen(pit)dt 16. ∫ x x2+1dx 17. ∫ a+bx2√ 3ax+bx3 dx 19. ∫ ln(x) x dx 22. ∫ √ xsen(1 + x 3 2 )dx 26. ∫ ecos(t)sen(t)dt Dif´ıceis 42. ∫ x 1+x4 dx 43. ∫ 1+x 1+x2 dx 44. ∫ x2√ 1−xdx 45. ∫ x 4 √ x+2 dx 1 46. ∫ x3 √ x2 + 1dx Regra da substituic¸a˜o para integral definida∫ b a f(g(x))g′(x)dx = ∫ g(b) g(a) f(u)du 51-70 Calcule a integral. 51. ∫ 2 0 (x− 1)25dx, u = x− 1⇒ dudx = 1⇒ du = dx∫ 2 0 (x− 1)25dx= ∫ 1−1 u25dx= [u2626 ]1−1 = ( 126 − 126 ) = 0 53. ∫ 1 0 x2(1 + 2x3)5dx = 1829 u = 1 + 2x3 ⇒ 16du = x2dx∫ 1 0 x2(1 + 2x3)5dx = ∫ 1 0 (1 + 2x3)5x2dx = ∫ 3 1 u5 16du = 1 6 (∫ 3 1 u5du ) = = 16 [ u6 6 ]3 1 = 16 [ 36 6 − 1 6 6 ]3 1 = 1829 55. ∫ pi 0 sec2( t4 )dt = 4 u = t4 ⇒ dudt = 14 ⇒ dt = 4du∫ pi 0 sec2( t4 )dt = ∫ pi 4 0 sec2(u)4du... 57. ∫ pi 6 −pi6 tan 3(x)dx = 0 ∫ pi 6 −pi6 tan 3(x)dx = ∫ pi 6 −pi6 tan 2(x) tan(x)dx = ∫ pi 6 −pi6 (sec 2(x)− 1) tan(x)dx, u = sec2(x)− 1⇒ (u+ 1) = sec2(x)⇒ u = sec2(x) − 1 ⇒ dudx = 2 sec(x) sec(x)tg(x) = 2 sec2(x)tg(x) ⇒ du2 sec2(x) = tg(x)dx ⇒ du2(u+1) = tg(x)dx ⇒ ∫ pi6−pi6 (sec2(x)− 1) tan(x)dx = ∫ 1313 u du2(u+1) = 12 ∫ 1313 uu+1du = 0 (sec2(pi6 )− 1) = 13 (sec2(−pi6 )− 1) = 13 58. ∫ 1 0 xe−x 2 dx = 12 − 12e 2 59. ∫ 2 1 e 1 x x2 dx = e− e 1 2 75. (pg 382) Quais das seguintes a´reas sa˜o iguais? Por queˆ? (i) ∫ 1 0 e √ xdx (ii) ∫ 1 0 2xexdx (iii) ∫ pi 2 0 sen(2x)esen(x)dx u = √ x⇒ dudx = 12√x ⇒ dx = 2 √ xdu∫ 1 0 e √ xdx = ∫ 1 0 eu2 √ xdu = ∫ 1 0 eu2udu = ∫ 1 0 2ueudu = ∫ 1 0 2xexdx = 2 u = sen(x)⇒ dudx = cos(x)⇒ du = cos(x)dx∫ pi 2 0 sen(2x)esen(x)dx = ∫ 1 0 sen(2x)eudx 43-48 Encontre a derivada da func¸a˜o. 43. F (x) = ∫ x 0 t2 1+t3 dt = ∫ x 0 1 1+t3 (t 2dt) = 13 ln ( x3 + 1 ) u = 1 + t3 ⇒ dudt = 3t2 ⇒ dudt = 3t2 ⇒ 13du = (t2dt)∫ x 0 t2 1+t3 dt = ∫ x 0 1 1+t3 (t 2dt) = ∫ 1+x3 1 1 u ( 1 3du) = = 13 ∫ 1+x3 1 u−1du = 13 [ln(u)] 1+x3 1 = 1 3 [ ln(1 + x3)− ln(1)] = 13 [ ln(1 + x3)− 0] = 13 ln(1 + x 3)⇒ F (x) = 13 ln(1 + x 3)⇒ F ′(x) = 13 1 1+x3 .3x 2 ⇒ F ′(x) = x 2 1+x3 ⇒ 44. F (x) = ∫ 1 x √ t+ sen(t)dt 45. g(x) = ∫ x4 0 cos(t2)dt 46. g(x) = ∫ sen(x) 0 1−t2 1+t4 dt (Provas anteriores.) Seja g(x) = x . ∫ x 1 f(t) dt. Ache uma fo´rmula para g′(x) e para g′′(x). Se f(2) = 3 e f ′(2) = 1, calcule g′′(2). g(x) = x . ∫ x 1 f(t) dt⇒ g(x) = x . [F (t)] x 1 ⇒ g(x) = x . [F (x)− F (1)]⇒ g(x) = x .F (x)− x.F (1)⇒ 3 g′(x) = x .F ′(x) + F (x)− F (1)⇒ g′(x) = x .f(x) + F (x)− F (1)⇒ g′′(x) = x .f ′(x) + f(x) + F ′(x)⇒ g′′(x) = x .f ′(x) + f(x) + f ′(x)⇒ g′′(x) = (x+ 1) .f ′(x) + f(x)⇒ g′′(2) = (2 + 1) .f ′(2) + f(2) = 3.1 + 3⇒ g′′(2) = 6. 4
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