Lista Calculo - Derivadas, L'Hopital, Maximo e Minimo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS 
CENTRO DE ENGENHARIAS 
CÁLCULO 1 
LISTA 2 – FUNÇÕES CONTÍNUAS E DERIVADAS 
 
FUNÇÕES CONTÍNUAS 
I. Esboce o gráfico da função, informe os pontos de descontinuidades e as assíntotas (verticais ou horizontais) se 
houver: 
a) 










31
3
3
3
)(
xse
xse
x
x
xf
 
b) 
3
9
)(
2



x
x
xf
 c) 
2)1(
1
)(


x
xf
 
d)
x
xx
xf
24
)(


 e) 
2
)(
2 

xx
x
xf
 f) 









1,12
1,2
1,
)(
xsex
xse
xsex
xf
 
 
g) 
2)10(
8
)(


x
xf
 h) 
)1(2
1
)(


x
xf
 i) 
1
1
)(
2
2



x
x
xf
 
 
j) 
4
82
)(
2
2



x
xx
xf
 k)
2
3
1)(


x
xf
 l)
 






01
01
)(
2 xsex
xsex
xf
 
DERIVADAS 
II. a) Calcule 
)(xf 
a partir da definição de derivada, sendo
xxf )(
. Então, determine a declividade do gráfico de 
)(xf
 nos pontos (1,1) e (4,2). 
 
 
II. b) Se 
)(tss 
é a função posição de um objeto movendo sobre uma linha reta, a velocidade do objeto no tempo t 
é dada por: 
)(
)()(
lim)(
0
ts
t
tstts
tv
t





 
quando, 
00
2
2
1
)( stvgtts 
onde g é a aceleração da gravidade,
 
0v
 a velocidade inicial do objeto e 
0s
a altura inicial do 
objeto. Assim, a partir dos dados acima, use a derivada para resolver o problema abaixo:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. Utilizando regras de derivação, calcule a derivada das seguintes funções abaixo: 
1) 
3 22
1
x
y 
 2) 
23
7


x
y
 3)
 2)3(
7


x
y
 4) 
xx
x
xg 23
2
)( 3
4

 
5) 
x
xx
xf
23 34
)(


 6) 
36)( xxxf  
7) 
1
25
2 


x
x
y 
8)
x
xx
y
7
)23(3 2
 
9)
1
)(
3 

x
x
xh 
 
10) 
)1()( 2ttth 
 
11) 
)45)(23()( 2 xxxxh  
 
12) 
7
3 1)(
x
xxf   
13) 







4
1
2)63()( 2 xxxg
 
14)
 )92(3
1
)( 7  xxxf
 15) 
xxy cos
 16) 
xy tan
 
 
17) 
xxy sec
 
18) 
senx
x
y
cos1

 
 
19)
senxxxy 2cos2  
 20) 
senxxy 23 
21)
3ln xy  
22)
xxy ln3 
23)
)ln(senxy  
24)
52
10 )23(log  xy 
25) 
xxexf )( 
26)
12  xey 
27)
xey
3

 28)
xey x ln 
29)
xx ee
y


2 
 
 
IV. Utilize a regra da cadeia para resolver as derivadas das funções dadas abaixo: 
1) 
4)85(  xy
 2) 
1
1


x
y
 3) 
73  xy
 4) 
4)94(3)( xxg 
 
5) 
3 2 16  xy
 6) 
4 292 xy 
 7) 
42 )2()(  xxxf
 8) 2
2 2
5
)( 








x
x
xg
 
9)
252 ))3(()( xxxf 
 10) 
32 )23()( xxxf 
 11) 
2)32(
7
)(



t
tg
 12) 
xseney 
 
 
V. Resolva as seguintes indeterminações, utilizando a regra de L’Hôpital: 
1) 
)2/(1
0
)31(lim x
x
x

 2) 
x
senx
x 2
lim
0
 3) 
675
252
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
 
4) 
43
12
lim
2
2
4 

 xx
xx
x
 5) 
23
ln1
lim
31 

 xx
xx
x
 6) 
xx
x
lnlim
0
 
7) 
30
lim
x
senxx
x


 8)
 x
x
x 2
ln
lim
 
9)
 2
lim
x
e x
x 
 
 
No tempo t=0, um esportista de salto ornamental está sobre uma 
plataforma a 32 pés acima da superfície da água, conforme a figura 
ao lado. A posição do saltador é dada por 
 
321616)( 2  ttts
 
onde s é medido em pés e t em segundos. 
 
a) Quanto tempo levará o saltador para tocar a água? 
b) Qual a velocidade do saltador no momento do impacto? 
 
 
 
 
 
VI. A partir da f(x) dada abaixo, analise os pontos de inflexão, máximos e mínimos e discuta sobre a concavidade do 
gráfico da função. 
 1)
 
5)( 2  xxxf
 
2)
2
)(
2 

x
x
xf
 
3)
5)(  xxxf
 
 
 
RESPOSTAS 
I. a) contínua b)não contínua em x=3 c)não contínua em x=1 d)não contínua em x=0 e) contínua 
f)descontínua em x=1 g)10(vertical) h)-1(vertical) i)-1 e 1(verticais) j)-2(vertical) e não contínua 
em x=2 k)-1(horizontal) e 2(vertical) l)contínua 
II.
 a) 
0,
2
1
)(  x
x
xf
 
2
1
)1( f 
4
1
)4( f
 
II. b) 
,1632)()(  ttstv
 
,2st 
 
sfeets /48)2( 
 
III. 1) 
3/53
1
x
y 
 2)
 3
14x
y 
 3)
 
xy 126
 4)
 
292)( 23  xxxg
 5)
 
38)(  xxf
 
6)
 3/2
2
2
1
)(
xx
xf 
 7)
  22
2
1
545



x
xx
y
 8)
 7
6
y
 9)
 
 
  23
3
12
51
)(



xx
x
th
 
 10)
 
 
t
t
th
2
51
)(
2

 11)
 
15424)( 2  xxxh
 12)
 84 73   xx
 13)
 12
2
3
18 2  xx 
 
14)
 )27(
3
1 6  x
 15)
 
senxy  1
 16)
 
xy 2sec
 17)
 
  xxxy tan1sec 
 
18) 
xsen
x
y
2
cos1

 19) 
senxx2
 20)
 )2cos(3 senxxxx 
 21)
 x
y
3

 22)
 
)ln31(2 xxy 
 
23)
 
gxy cot
 24)
   10ln23
30
2 

x
x
y
 25) 
)1()(  xexf x
 26)
 122  xey
 
27)
 
2
/33
x
e
y
x

 28) 






 x
x
ey x ln
1
 29)
  
 2
2
xx
xx
ee
ee
y





 
IV. 1) 
3)85(20 x
 2)
 3)1(
2
1
 x
 3) 
72
3
3
2
x
x
 4)
 3)94(108 x 
 5)
 
3 22 )16(
4
x
x
 6)
 
4 32 )9( x
x


 
7)
 )23()2(2 3  xxx
 8)
 
32
2
)2(
)210)(5(2


x
xxx
 9)
 xxxxxx 2)3(20)3(2)3(20 4225292 
 
10) 
)43()23(3 22 xxx 
 11) 
3)32(
28
t
 12)
 
xe xsen cos
 
 
V. 1) 3/2 2) 1/23) 3/13 4) 7/5 5) -1/6 6) 0 7)1/6 8)0 9)
 

 
 
 
 
 
 
 
VI. 1) 
12)(  xxf
 
2/1: xMínímo
 
;),2/1(;)2/1,( crescenteedecrescent 
 
 2) 
22
2
)2(
2
)(



x
x
xf
 
2: xMínímoeMáximo
 
edecrescentcrescenteedecrescent  ),2(;)2,2(;)2,(
 
 3) 52
2
)(



x
x
xf
 
3/10: xMáximo
 
;)5,3/10(;)3/10,( edecrescentcrescente 