SINAIS E SIST Cap1

Prévia do material em texto

1. SINAIS E SISTEMAS 
1.1. Definições 
 
Sinal - função que fornece informação acerca do estado ou comportamento de 
um fenómeno físico. 
 
Sinal contínuo no tempo, x(t) - quando a variável independente (tempo) é 
contínua. 
Exemplos: 
? corrente eléctrica num determinado ramo de um circuito, i(t) 
 
 
 
 
 
 
 
? tensão eléctrica entre 2 pontos de uma determinada rede, v(t) 
 
 
 
 
 
 
 
i(t) 
t
v(t) 
t
 1.2 
? energia absorvida por um sistema, ao longo do tempo, w(t) 
? temperatura de um corpo ao logo do tempo, T(t) 
? distância de um objecto a uma determina referência espacial, d(t) 
? quantidade de água armazenada num reservatório, Q(t) 
? altura média da vegetação de uma zona geográfica restrita, h(t) 
? etc ... 
 
Sinal discreto no tempo ou sequência, x[n] - quando a variável independente 
(tempo) é discreta. 
Exemplos: 
? total de alunos presentes no DEI, em cada dia, x[n] 
 
 
 
 
 
 
 
? saldo de golos (marcados - sofridos) por jornada de uma equipa, g[n] 
 
 
 
 
 
 
alunos 
n (dias) 
g[n] 
n (jornadas)
 1.3 
Reflexão de um sinal: x[−n] é a reflexão de x[n] em n = 0. 
 x(−t) é a reflexão de x(t) em t = 0. 
 
Escala dos tempos: x(t), x(2t), x(t/3) são sinais "idênticos", com escalas 
temporais diferentes. 
 
Desvio temporal: x[n] e x[n−n0] são sequências "idênticas" desfasadas no 
tempo. x[n−n0] é a versão atrasada 
 x[n+n0] é a versão adiantada 
 
Sinal par: x(t) tem simetria par, se for igual à sua reflexão x(−t). 
 
Sinal impar: x[n] tem simetria impar, se x[n] = −x[−n]. 
 
Sinal periódico: quando se verifica x[n] = x[n+N]. 
 x(t) = x(t+T). 
 
Período fundamental: é o menor dos N's. 
 é o menor dos T's. 
 
Sinal determinístico: quando é completamente caracterizado por uma regra 
matemática (função) para todo o seu domínio. 
 
Sinal aleatório: quando é descrito por uma forma probabilística (ex: ruído). 
 
 
 1.4 
Energia de um sinal 
( ) dttxE ∫+∞∞−= 2 [ ]∑+∞∞−= 2nxE 
 
Potência de um sinal 
( ) dttx
T
P
T
TT ∫+−→∞= 221lim [ ]∑
+
−=→∞
=
N
NnN
nx
N
P 2
2
1lim 
 
1.2. Sinais Básicos Contínuos no Tempo 
? Sinal exponencial complexo 
ateCtx −= .)( com C e a complexos 
Se C e a são reais: 
x(t) é uma exponencial real 
Se a for imaginário puro (a=jω0): 
x(t) é uma exponencial complexa periódica 
 
0
0
2
ω
π=T ( )000 Ttjtj ee += ωω 
 
 
 
 
 
 
 
O período será pois
 −1 1 
j 
 
 
 
 
 
 
 
−j 
Re 
Im 
tje 0ω
t0ω
tjte tj 00 sincos0 ωωω +=
 = 1 ω0t 
)(122 Zkee jkj ∈== ππ
 1.5 
Será importante relembrar as fórmulas de Euler: 
 
 
donde: 
 
 
 
? Sinal sinusoidal 
)cos(.)( 0 ϕω += tAtx 
{ } { } { }tjtjjtj eCeeeAeeAetx 000 ...)( )( ωωϕϕω ℜ=ℜ=ℜ= + 
ou, de outra forma 
tjjtjj eeAeeAtx 00
22
)( ωϕωϕ −−+= 
x(t) tem pois o mesmo período de tje 0ω : 
0
0
2
ω
π=T 
 
? Sinais harmónicos exponenciais complexos 
Zket tjkk ∈=Φ 0)( ω 
Conjunto de todos os sinais exponenciais complexos periódicos que têm 
frequências múltiplas de uma determinada frequência de base ω0. 
 
 
θθθ sincos je j +=
( )
2
cos
θθ
θ
jj ee −+= ( )
j
ee jj
2
sin
θθ
θ
−−= 
 1.6 
? Sinal "degrau unitário" 


>
<=
01
00
)(
t
t
tu 
 
 
? Sinal "impulso unitário" 
 
dt
tdut )()( =δ 
 
( )∫ ∞−= t dtu ττδ)( 
 
 
)(lim)(
0
tt ∆→∆= δδ 
 


=∞
≠=
0
00
)(
t
t
tδ 
 
 
( ) 1=∫+∞∞− dttδ 
 
Nota: )().0()().( txttx δδ = )().()().( 000 tttxtttx −=− δδ 
 
u(t) 
t
1
u∆(t) 
t
1
∆ 
δ∆(t) 
t∆ 
 1 
∆ 
δ (t) 
t
(área sob o impulso) 
 1.7 
1.3. Sinais Básicos Discretos no Tempo 
? Sequência "degrau unitário" 
[ ]


≥
<=
01
00
n
n
nu 
 
 
? Sequência "impulso unitário" 
[ ]


=
≠=
01
00
n
n
nδ 
 
[ ] [ ] [ ]1−−= nununδ 
1ª derivada ? 1ª diferença 
[ ] [ ]∑
−∞=
=
n
m
mnu δ [ ] [ ] [ ] [ ]nxnnx δδ ⋅=⋅ 0 
integral ? soma [ ] [ ] [ ] [ ]000 nnnxnnnx −⋅=−⋅ δδ 
 
 
? Sequência exponencial complexa 
[ ] naeCnx ..= com C e a complexos 
 
Se C e a são reais: x[n] é uma exponencial real 
Se a for imaginário puro (a=jΩ0): [ ] njeCnx 0. Ω= 
u[n]
n
1
δ [n] 
n
1
 1.8 
? Sequência sinusoidal 
[ ] )cos(. 0 ϕ+Ω= nAnx 
 
1.4. Periocidade das sequências sinusoidais e exp. complexas 
 
)(00 Nnjnj ee +ΩΩ = N = período fundamental (nº inteiro positivo) 
 
 )(.2.1 0
)( 000 ZmmNeee NjNnjnj ∈=Ω⇔=⇔= Ω+ΩΩ π 
 
m
mN
00
22
Ω=⋅Ω=
ππ
 lfundamentafreq.
0 =Ω
m 
 
Temos então: inteiros e com2
0 Nm
N
m=Ωπ 
racional número umser deve
2
0
π
Ω
 
 
Exemplos: 
? [ ] 

= nnx
12
2cos.31
π
 
periódico racional
12
1
212
2 0
0 ⇒=Ω→=Ω π
π
 
)1(12122
0
==⋅=⋅Ω= mmmN
π
 
 1.9 
? [ ] njenx 3152
π
= 
periódico racional
62
5
231
5 0
0 ⇒=Ω→=Ω π
π
 
)5(62
5
622
0
==⋅=⋅Ω= mmmN
π
 
 
? [ ] 

= nnx
6
1cos3 
periódico não irracional
12
1
26
1 0
0 ⇒=Ω→=Ω ππ 
 
Em resumo: 
tje 0ω nje 0Ω 
Sempre periódico 
Freq. fundamental ω0 
Sinais distintos em ω0 
Só nalguns casos 
Freq. fundamental Ω0/m (às vezes) 
Sinais idênticos de Ω0 sep. de 2π 
 
njnj ee 00 )2( Ω+Ω =π !!! 
Vejamos: 
njnjnjnjnj eeeee 0000 12)2( ΩΩΩ+Ω =⋅=⋅= ππ 
 
A exponencial complexa de freq. (Ω0 + 2π) é a mesma que a exponencial de 
freq. Ω0 , situação bem distinta do caso contínuo! 
 1.10 
Temos então que, no caso discreto, sinais com freq. Ω0 são idênticos aos sinais 
com freq(s) (Ω0 ± 2π), (Ω0 ± 4π), (Ω0 ± 6π), etc. 
Então, basta apenas considerar o intervalo de largura 2π no qual Ω0 está 
contido. Na maior parte dos casos usam-se os intervalos básicos: 
[ ] [ ]πππ <Ω≤−<Ω≤ 00 ou 20 
O sinal não tem assim um aumento contínuo no índice de oscilações, à medida 
que se aumenta Ω0: 
Ω0 de 0 a π ? índice de oscilações aumenta 
Ω0 de π a 2π ? índice de oscilações diminui 
 
Exemplo: [ ] )cos( 0nnx Ω= 
 
00 =Ω 80
π=Ω
π=Ω020
π=Ω 
40
π=Ω
2
3
0
π=Ω
4
7
0
π=Ω 
8
15
0
π=Ω π20 =Ω
 1.11 
Sinais de baixa freq. ? valores de Ω0 próximos de 0, 2π, ou qualquer 
múltiplo par de π. 
Sinais de alta freq. ? valores de Ω0 próximos de -π, π, ou qualquer 
múltiplo ímpar de π. 
 
1.5. Sistemas: propriedades e classificação 
Sistemas 
 
 
 
 
x = entrada ou excitação 
y = saída ou resposta 
 
Sistema LIT (linear e invariante no tempo) 


 +=
 linear é sistema O
)( a resposta a é )(
)( a resposta a é )(
)(.)(.)(
 Se
22
11
21
txty
txty
txbtxatx
 )(.)(.)( Então 21 tybtyaty += 
Obedece simultaneamente aos princípios da homogeneidade e da 
sobreposição. 
 


 tempono invariante é sistema O
)( a resposta a é )(
 Se
txty
 )( a resposta a é )( Então 00 ttxtty −− 
Sistema 
contínuo 
x(t) y(t) Sistema 
discreto 
x[n] y[n]
 1.12 
Resposta de um sistema LIT a uma entrada arbitrária 
Verifica-se que qualquer sinal se pode escrever na forma: 
ττδτ dtxtx ∫+∞∞− −⋅=)()()( 
 [ ] [ ] [ ]∑+∞
−∞=
−⋅=
k
knkxnx δ 
 
 
 
 
[ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }∑+∞
−∞=
−⋅==
k
knLITkxnxLITny δ 
Se a resposta impulsional (resposta a δ[n]) for h[n], a resposta a δ[n−k] será 
h[n−k] em virtude da invariância no tempo. 
Portanto: 
[ ] [ ] [ ]∑+∞
−∞=
−⋅=
k
knhkxny 
De igual modo: 
τττ dthxty ∫+∞∞− −⋅= )()()( 
 
O comportamento de um sistema LIT fica completamente 
caracterizado pela sua resposta ao impulso h 
 
 
y = x * h 
Sistema 
LIT 
x[n] y[n] 
e também 
pela linearidade do sistema 
Soma de 
convolução 
Integral de 
convolução 
h 
x y 
 1.13 
 
 
Propriedades da convolução: 
 
 
Exemplos: 
 
y = v * h2 = (x * h1) * h2 
 
 
y = w * h1 = (x * h2) * h1 
 
Os sistemas são equivalentes devido às propriedades comutativa e associativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 y = y1 + y2 = x * h1 + x * h2 y = x * (h1 + h2) 
A propriedade distributiva torna os sistemas equivalentes. 
 
 
- comutativa x * h = h * x 
- associativa x * (h1 * h2) = (x * h1) * h2 
- distributiva x * (h1 + h2) = x * h1 + x * h2(soma e integral) 
h1 
x v y 
h2 
h2 
x w y
h1 
h2 
 x y
h1 
y1 
y2 
Σ h1 + h2 
x y 
 1.14 
 
Sistema sem memória 
Se a saída for apenas função da entrada presente. 
Exemplos (s/ memória): Exemplos (c/ memória): 
[ ] [ ] [ ]nxnxny
txaty
.3
)(.)(
2 −=
=
 [ ] [ ] [ ]41
)2()(
−+−=
−=
nxnxny
txty
 
 
LIT sem memória: h[n] = k.δ[n] h(t) = k.δ(t) 
 
 
Sistema causal (fisicamente realizável) 
Se a saída for unicamente função das entradas presente e passada. 
Exemplos: 
[ ] [ ] [ ] causal 32
causal não )1(.2)(
→+−⋅=
→+=
nxnxny
txty
 
 
LIT causal: h[n] = 0 , n < 0 h(t) = 0 , t < 0 
 
 
Estabilidade 
Um sistema é estável se obedecer à seguinte condição: 
[ ] ∞<∑+∞
−∞=k
kh ( ) ∞<∫+∞
∞−
dtth