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Transformacao de Tensoes

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1
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS
CAPITULO
Notas de Aula: 
Prof. Gilfran Milfont
As anotações, ábacos, tabelas, fotos e
gráficos contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros:
-RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-
Beer, Johnston, DeWolf- Ed. McGraw
Hill-4ª edição-2006
- RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-R.
C. Hibbeler-Ed. PEARSON -5ª edição-
2004
-MECÂNICA DOS MATERIAIS-James
M. Gere-Ed. THOMSON -5ª edição-2003
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Ansel
C. Ugural-Ed. LTC-1ª edição-2009
-MECÂNICA DOS MATERIAIS- Riley,
Sturges, Morris-Ed. LTC-5ª edição-2003
7 Transformação das 
Tensões e das 
Deformações.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Introdução
1 - 2
• O estado mais geral de tensões em um ponto
pode ser representado por 6 componente:
),,:(Note que
tensão tangencial,,
tensão normal,,
xzzxzyyzyxxy
zxyzxy
zyx
tttttt
ttt
sss
===
• O mesmo estado de tensão é representado por
um cunjunto diferente de componentes, se os
eixos são rotacionados.
• Nosso objetivo aqui é verificar as transformações
de tensão no elemento, a partir de uma rotação
nos eixos coordenados e em seguida, fazer a
mesma análise para a transformação das
deformações.
2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Estado Plano de Tensões
1 - 3
• Estado Plano de Tensões – é a situação onde duas
das faces do cubo elementar estão isentas de
tensões. Cosideremos o eixo z como perpendicular
a estas faces, temos:
em consequência:
.0=== zyzxz tts
,, xyyx tss
• Existem vários exemplos de estado plano de
tensões. Ocorre, por exemplo, na superfície livre
de um elemento estrutural ou elemento de
máquina, como mostrado na figura.
.0== yzxz tt
restam então as tensões:
Por conveniência, este estado de tensão é
representado pelo elemento bi-dimensional da
figura ao lado.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Transformações do Estado Plano de Tensões





cos22
2
2cos1
2
2cos1
cos
:
2
2
sensen
sen
queLembrar
=

=

=
1 - 4
   
   
   
    ts
tst
ts
tss
sinsincossin
coscossincos0
cossinsinsin
sincoscoscos0
AA
AAAF
AA
AAAF
xyy
xyxyxy
xyy
xyxxx

==

==


• Considere as condições de equilíbrio do
elemento prismático da figura, com as faces
perpendiculares aos eixos x, y, e x’ .
)(22cos
22
´ Isenxy
yxyx
x tsssss =
)(2cos2
2
´´ IIsen xy
yx
yx tsst =
• As equações podem ser escritas em função do ângulo duplo e nos dão a
tensão normal e de cisalhamento sobre qualquer plano, cuja normal para fora,
forma um ângulo com o eixo x.

3
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Transformações do Estado Plano de Tensões
)(22cos
22
´ IIIsenxy
yxyx
y tsssss =
)(´´ IVyxyx ssss =
1 - 5
Para encontrarmos σy´, vamos substituir na exp. para σx´ o ângulo por θ+90. 
Como cos (2θ+180)= -cos2θ e sen(2θ+180)= -sen2θ, encontramos:
Somando membro a membro as expressões (I) e (III), encontramos:
O que nos mostra que a soma das tensões normais em um elemento em estado
plano de tensões, independe da orientação deste elemento.
As tensões aqui, devem ser tratadas de forma algébrica, ou seja, tensão de
tração é positiva e de compressão negativa. Para a tensão de cisalhamento, se
convencionou que serão positivas as tensões em cujas faces do elemento se
está estudando e que tendem a girá-lo no sentido anti-horário.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensões Principais
)(2
)(
2
2cos
2
02cos22)(0´ Vtg
sen
sen
d
d
p
yx
xy
xyyx
x ss ttsss ====
)(
22
)(
22
2
2
min
2
2
VII
VI
xy
yxyx
xy
yxyx
máx
t
ssss
s
t
ssss
s





 


=





 


=
yxmáx ssss = min
1 - 6
Os valores máximos e mínimos de σx´ ocorrerão para valores de θ nos quais:
Verifica-se que a tensão tangencial é nula sobre planos que experimentam
valores máximos e mínimos de tensão normal. Estes planos são conhecidos
como Planos Principais e as tensões normais nesses planos são conhecidas
como Tensões Principais e são dadas pela seguinte expressão:
Observe que se somarmos membro a membro as expressões (VI) e (VII), vamos
encontrar:
4
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Tensão de Cisalhamento Máxima
)(2
2
)(
2cos
2
0222cos)(0
´´
VIIItg
sen
sen
d
d
s
xy
yx
xyyx
yx t sstsst ====
)(
2
min XImáxmáx
sst =
1 - 7
A tesão de cisalhamento máxima se dá onde:
:
Observa-se que tg2θs é a inversa negativa de tg2θp.
Portanto, estes dois ângulos diferem de 90º. Logo,
θp e θs estão afastados de 45º. Isto significa que os
planos onde ocorrem as tensões tangenciais
máximas estão a 45º dos planos principais.
Nos planos onde ocorrem a tensão de cisalhamento máxima, a tensão normal é
dada por:
2
2
2
max xy
yx t
ss
t 




 
= (IX)
2
yx
med
ss
ss

== (X)
Uma relação usual é dada por:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 7.1
1 - 8
Para o estado plano de tensões 
mostrado, determine: 
(a) Os planos principais,
(b) As tensões principais,
(c) A tensão máxima de 
cisalhamento e a tensão normal 
correspondente nestes planos.
5
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 7.1
1 - 9
SOLUÇÃO:
• a) Determine os planos principais:
 
 
=
=


=

=
1.233,1.532
333.1
1050
4022
2tan
p
yx
xy
p

ss
t

= 6.116,6.26p
• b) Determine as tensões principais:
   22
2
2
minmax,
403020
22
=





 


= xy
yxyx t
ssss
s
MPa30
MPa70
min
max
=
=
s
s
MPa10
MPa40MPa50
=
==
x
xyx
s
ts
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 7.1
1 - 10
MPa10
MPa40MPa50
=
==
x
xyx
s
ts
2
1050
2

=

== yxmed
ss
ss
• A correspondente tensão normal 
nestes planos é:
MPa20=s
• c) Calcule a tensão de cisalhamento máxima 
e os planos onde ocorrem:
   22
2
2
max
4030
2
=





 
= xy
yx t
ss
t
MPa50max =t
45= ps  = 6.71,4.18s=>
6
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema 7.1
1 - 11
Uma força horizontal P de 670N é 
aplicada na extremidade D da 
alavanca ABD. Determine:
(a) As tensões normal e de 
cisalhamento em um elemento 
localizado no ponto H de lados 
paralelos aos eixos x e y, 
(b) Os planos principais e as 
tensões principais no ponto H.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema 7.1
1 - 12
SOLUÇÃO:
• Determine um sistema de força-
momento equivalentes, no centro da 
seção transversal que passa por H.
  
   mNmNM
mNmNT
NP
x .5,16725,0670
.2,30846,0670
670
==
==
=
• a) Calcule a tensão normal e de 
cisalhamento no ponto H.
  
 
  
 4
2
1
4
4
1
015,0
015,0.2,308
015,0
015,0.5,167
m
mmN
J
Tc
m
mmN
I
Mc
xy
y

t

s
==
==
MpaMPa xyyx 1,582,630 === tss
7
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Problema 7.1
1 - 13
• b) Determine os planos e as tensões 
principais para o ponto.
 
=
=

=

=
5.612
84.1
2,630
1,5822
2tan
p
yx
xy
p

ss
t

== 5.597.30 pp e 
 2
2
2
2
min,
1,58
2
2,630
2
2,620
22





 


=





 


= xy
yxyx
máx t
ssss
s
MPa
MPamáx
5,34
7,97
min =
=
s
s
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões
1 - 14
• Passos para a construção do círculo de Mohr:
1. Retire um elemento do ponto que se deseja estudar, no qual as tensões
normais e de cisalhamento são conhecidas, indicando o sentido correto
dessas tensões;
2. Num sistema de eixos coordenados marque os pontos X(σx;-τxy ) e Y(σy;τxy )
e interligue-os com uma reta, encontrando o centro C (σmed;τmax ). Com
centro em C e raio CX, trace o círculo, encontrando os pontos A, B, D e E.
3. Os pontos A de coordenadas (σmax, 0) e B (σmin ; 0) representam as tensões
principais. O ângulo CAX é o ângulo 2 p.
• Asequações anteriores podem ser combinadas encontrando-se a equação de um
círculo, chamado de cículo de Mohr para as tensões.
  222 yxmedx Rtss = 
8
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões
1 - 15
• Após desenhado o círculo, os demais valores
são encontrados geometricamente ou
calculados.
• As tensões principais são encontradas em A e B.
A direção de rotação de Ox para Oa é a mesma
que de CX para CA.
2
yx
med
ss
s

=OC=
2
2
2
xy
yx
R t
ss





 
=CX=
• Os planos principais são dados por:
t2
yx
xy
ss 
=p2tan
XF
CF
=
med Rs =s min =OB=OC-CX
med Rs =s max =OA=OC+CX
RCD ==maxt
D
F
E
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensões
1 - 16
• Com o círculo de Mohr definido, o estado de
tensão para qualquer outra orientação pode ser
encontrado.
• Para um estado de tensão a um ângulo  em
relação aos eixos xy, construa um novo
diâmetro X’Y’ com um ângulo 2 relativo ao
diâmetro XY.
• As tensões normal e a tensão de
cisalhamento para esta nova orientação, são
conseguidas pelas coordenadas de X’Y’.
9
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Círculo de Mohr Para Tensões Planas
1 - 17
• Círculo de Mohr para carga axial centrada:
0, === xyyx
A
P tss
A
P
xyyx
2
=== tss
• Círculo de Mohr para torção pura:
J
Tc
xyyx === tss 0 0=== xyyx J
Tc tss
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 7.02
1 - 18
Para o estado plano de tensões mostrado, (a) construa
o círculo de Mohr’s, determine (b) as tensões
principais, (c) os planos principais, (d) a tensão de
cisalhamento máxima e a correspondente tensão
normal.
SOLUÇÃO:
• a) Construção do círculo de Mohr:
   
    MPa504030
MPa40MPa302050
MPa20
2
1050
2
22 ===
===
=

=

=
CXR
FXCF
yx
med
ss
s
10
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 7.02
1 - 19
• b) Tensões principais
5020max === CAOCOAs
=
==
1.532
30
40
2tan
p
p
CP
FX


= 6.26p
c) Planos principais
MPa70max =s
5020min === BCOCOBs
MPa30min =s
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 7.02
1 - 20
• d) Tensão de cisalhamento máxima e tensão normal neste plano:
= 45ps 
= 6.71s
R=maxt
MPa 50max =t
medss =
MPa 20 =s
11
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 7.2
1 - 21
Para o estado de tensão mostrado, determine (a) as
tensões e os planos principais, (b) as componentes de
tensão para um elemento girado de 30º no sentido anti-
horário.
SOLUÇÃO:
• Construa o círculo de Mohr:
        MPa524820
MPa80
2
60100
2
2222 ===
=

=

=
FXCFR
yx
med
ss
s
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 7.2
1 - 22
• a) Planos e tensões principais:
=
===
4.672
4.2
20
48
2tan
p
p
CF
XF


oráriop h7.33 =
5280
max
=
== CAOCOAs
5280
max
=
== BCOCOAs
MPa132max =s MPa28min =s
12
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Exemplo 7.2
1 - 23
==
===
===
==



6.52sin52
6.52cos5280
6.52cos5280
6.524.6760180
XK
CLOCOL
KCOCOK
yx
y
x
t
s
s

• b) Componentes de tensão para o
elemento girado de 30o
Os pontos X’ e Y’ correspondem as 
componetes de tensão para o elemento 
girado.
= 602
MPa3.41
MPa6.111
MPa4.48
=
=
=



yx
y
x
t
s
s
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Estado Geral de Tensões
1 - 24
• O estado de tensão em Q é definido por:
zxyzxyzyx tttsss ,,,,,
• Considere o etado geral de tensões em um ponto Q,
representado pelo elemento tridimensional
• Considere o tetrahedro com face perpendicular à
linha QN e cossenos diretores:
zyx  ,,
• A exigência que: leva a,
 = 0nF
xzzxzyyzyxxy
zzyyxxn
ttt
ssss
222
222

=
• A forma da equação garante que pode ser encontrado
um elemento cuja orientação é:
222
ccbbaan ssss =
Estes são os eixos principais que define os planos
principais e, a tensão normal, é uma tensão
principal.
13
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Aplicação do Círculo de Mohr à Análise 
Tridimensional de Tensões
1 - 25
• As transformações de tensão para um
elemento girado em torno de um eixo
principal pode ser representado pelo
círculo de Mohr.
• Os três círculos representam as
tensões normais e de cisalhamento
para rotação do elemento em torno
de cada um dos eixos principais.
• Os pontos A, B, e C representam as
tensões principais nos planos principais
(tensão tangencial é nula)
minmaxmax
2
1 sst =
• O raio do círculo maior é a tensão de
cisalhamento máxima no elemento.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Aplicação do Círculo de Mohr à Análise 
Tridimensional de Tensões
1 - 26
• No caso de estado plano de tensões, o eixo
perpendicular às faces isentas de tensões, é
um eixo principal.
b) a tensão máxima de cisalhamento no
elemento é a tensão máxima de
cisalhamento no plano das tensões
a) as correspondentes tensões principais
para o elemento são a tensão máxima
e minima
• Se os pontos A e B (representando as
tensões principais) estão em lados opostos
da origem, então:
c) Os planos de tensão de cisalhamento
máxima estão a 45o dos planos
principais.
14
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
1 - 27
Aplicação do Círculo de Mohr à Análise
Tridimensional de Tensões
• Se A e B estão do mesmo lado, (isto é,
têm o mesmo sinal), então:
c) os planos de cisalhamento máximo,
formam 45º com os planos das tensões.
b) a máxima tensão de cisalhamento é
igual a metade da tensão normal
máxima
a) o cículo que define as tensõs no
elemento smax, smin, etmax não
correspondem as transformação no
plano das tensões
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Critérios de Ruptura Para Materiais Dúcteis
1 - 28
• A falha de um componente de máquina
sujeito a uma carga axial pode ser
prevista por um simples ensaio de tração
• A falha de um componente de máquina
sujeito a um estado plano de tensões não
pode ser prevista diretamente de um
ensaio de tração do material.
• È conveniente determinar as tensões
principais e utilizar um critério de falha
para o tipo de material.
• Os critérios de falha são determinados a
partir dos mecanismos de falha de cada
tipo de material.
15
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Critérios de Ruptura Para Materiais Dúcteis
1 - 29
Critèrio da Máxima Tensão de Cisalhamento:
Também chamado de Critério de Tresca, por este critério, é dito que um
componente estrutural estará seguro enquanto a tensão de cisalhamento
máxima no elemento for menor que a tensão de cisalhamento no escoamento de
um corpo de provas do material, isto é:
2
max
Y
Y
stt =
Para sa esb com o mesmo sinal,
222
oumax
Yba ssst =
Para sa e sb com sinais opostos,
22
max
Yba ssst =
Hexágono de Tresca
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Critérios de Ruptura Para Materiais Dúcteis
1 - 30
Critério da Máxima Energia de Distorção:
Também chamado de Critério de Von Mises, por
este critério, é considerado seguro um componente
estrutural cuja energia de distorção por unidade de
volume é menor que a energia por unidade de
volume de um corpo de provas submetido ao
ensaio de tração que inicia seu escoamento.
   
222
2222 00
6
1
6
1
Ybbaa
YYbbaa
Yd
GG
uu
sssss
ssssss



Comparação entre os dois critérios:
Observamos que o critério de Tresca é mais
conservador que o critério de Von Mises.
16
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Critérios de Ruptura Para Materiais Frágeis
1 - 31
Critério da Máxima Tensão Normal:
Um componente estrutural é considerado seguro
enquanto as tensões normais máximas não
ultrapassarem a tensão última atingida em um ensaio
de tração de um corpo de provas do material, isto é:Ub
Ua
ss
ss


Materiais frágeisfalham repentinamente em ensaios de
tração. As condições de falha são caracterizadas pela
tensão última sU.
O critério de Coulomb apresenta uma séria deficiência, que é considerar
a resistência do material a tração a mesma que a compressão, o que não
é verdade, em função das imperfeições do material.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Critérios de Ruptura Para Materiais Frágeis
UCaUCaba
UTbUTaba
eNegativase
ePositivase
ssssss
ssssss


1 - 32
Critério de Mohr: É feito o ensaio do material a tração e a
compressão, encontrando-se σUT e σUC, respectivamente.
Faz-se um ensaio de torção, encontrando-se τU. Com estes
dados, traça-se o círculo de Mohr para cada uma destas
condições. Por este critério, o material estará seguro se:
Para σa e σb com sinais contrários, o elemento estará
seguro para qualquer estado de tensão contido no círculo
de Mohr determinado para torção, ou atenda a condição:
Quando não é feito o ensaio de torção, e só se conhece
σUT e σUC, o esquema gráfico pode ser simplificado,
conforme ao lado.
1
UC
b
UT
a
s
s
s
s
17
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Vasos de Pressão de Paredes Finas-Cilindricos
1 - 33
• Vasos Cilindricos:
s1 = σc = tensão circunferencial
s2 = σ= tensão longitudinal
   
t
pr
xrpxtFz
=
==
1
1 220
s
s
• Tensão Circunferencial:
   
21
2
2
2
2
2
20
ss
s
s
=
=
==
t
pr
rprtFx• Tensão Longitudinal:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Vasos de Pressão de Paredes Finas-Cilindricos
1 - 34
• Os pontos A e B correspondem a tensão
circunferencial, s1, e a tensão longitudinal, s2,
respectivamente.
• Tensão de cisalhamento máxima no plano:
pr1
t42
2)planonomax(
== st
• A tensão de cisalhamento máxima no vaso
encontra-se em um plano que forma 45o com
o plano das tensões, sendo seu valor:
t
pr
2
2max ==st
18
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Vasos de Pressão de Paredes Finas-Esféricos
1 - 35
• Vasos Esféricos:
• O círculo de Mohr para o plano das
tensões se degenera em um ponto.
• Tensão de cisalhamento máxima no
vaso (fora do plano das tensões):
t
pr
4
12
1
max == st
t
pr
2
21 ==ss =σ
0
constante
plano)-max(no
21
=
===
t
sss
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Projeto de Vasos de Pressão de Paredes Finas - Projeto
3
2
3
4
6,02
:
6,12,1
6,0
:
rV
pEf
rp
tEsférico
DHDHrV
pEf
rp
tCilindrico
adm
adm
s
s
=


=
=


=
1 - 36
O projeto de vasos de pressão baseia-se em normas técnicas tal como a ABNT
NR-13. Uma das mais conceituadas é a ASME, Sec. VIII – Div. 1 e 2. Segundo
a ASME:
Para o projeto de vasos de pressão, são 
necessárias as seguintes informações:
1. Fluido;
2. Volume;
3. Pressão de Trabalho;
4. Temperatura de Trabalho.
Pressão de Projeto:
PP=1,1PT
Teste hidrostático e de
estanqueidade.
Atenção: cuidado com 
os vasos sob pressão 
externa.
19
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Estado Plano de Deformações
1 - 37
• Estados Planos de Deformação – situações
nas quais as deformações dos materiais
ocorrem em planos paralelos, e são as
mesmas em cada um desses planos.
• Exemplo: Considere uma barra longa,
submetida a um carregamento transversal
uniformemente distribuído. Existe um
estado plano de deformação em qualquer
seção transversal, localizada não muito
peróximo das extremidades da barra.
• Supondo que o eixo “z” é perpendicular aos
planos onde ocorrem as deformações,
temos:
E as únicas componentes de deformação que
Restam são:
 0=== zyzxz gge
x xyy gee
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Estado Plano de Deformações
1 - 38
• O estado de deformação em um ponto Q
varia com relação aos eixos
coordenados: xy e x’y’ .
 
   
 yxOBxy
xyyxOB
xyyx
eeeg
geeee
geee
=
==
=
2
45
cossinsincos
2
1
22

g

eeg

g

eeee
e

g

eeee
e
2cos
2
2sin
22
2sin
2
2cos
22
2sin
2
2cos
22
xyyxyx
xyyxyx
y
xyyxyx
x


=




=




=



• Aplicando as relações trigonométricas
usadas para o estado plano de tensões,
20
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Deformação
1 - 39
• Da mesma forma que construimos o círculo
para as tensões, usamos o mesmo método
para as deformações:
• Centro C e raio R ,
22
222 











 
=

==
xyyxyx
med ROC
geeeee
• Planos principais e deformações principais,
RR medmed
yx
xy
p
==

=
eeee
ee
g

minmax
2tan
  22max 2 xyyxR geeg ==
• Deformação de cisalhamento máxima, no
plano:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Análise Tridimensional de Deformação
1 - 40
• Vimos que, no caso mais geral de tensão,
podemos determinar três eixos de
coordenadas: a, b e c, chamados de eixos
principais, onde a tensão é nula.
• Estes eixos principais de tensão, também
são eixos principais de deformação
específica, ou seja, nos planos
perpendiculares a estes eixos, as
deformações de cisalhamento também são
nulas.
• Podemos então, representar este estado de
deformação através do Círculo de Mohr,
para uma rotação do elemento em torno
dos seus eixos principais.
21
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Análise Tridimensional das Deformações
1 - 41
• Para o caso de deformação plana, onde os
eixos x e y estão no estado plano de
deformações,
- O eixo z também é um eixo principal,
cujo ponto é representado por: Z = 0, na
origem “O”.
• Se os pontos A e B estiverem em lados
opostos da origem, a deformação de
cisalhamento máxima absoluta é igual a
deformação de cisahamento máxima no
plano, representada pelos pontos: D e E.
• Se os pontos A e B estiverem do mesmo lado
da origem, a deformação de cisalhamento
máxima absoluta é representada pelo
diâmetro do círculo “OA”, ou seja, pontos:
D’ e E’.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Análise Tridimensional das Deformações
1 - 42
• Considere o caso de tensões planas:
0=== zbyax sssss
• Correspondendo as deformações:
   babac
ba
b
ba
a
E
EE
EE
ee


ss

e
ss
e
ss
e


==
=
=
1
• Se o ponto B está localizado entre A e C no
circulo de Mohr, a deformação de
cisalhamento máxima é igual ao diâmetro
do cículo: CA.
• Observe que a deformação no eixo
perpendicular ao plano de tensão nula, não
é zero.
22
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Medidas das Deformações
1 - 43
• As deformações específicas normais podem
ser determinadas em qualquer direção, na
superfície de um elemento estrutural. Um
método para sua obtenção, é a utilização de
sensores de medição, também chamados de
extensômetros elétricos.
 yxOBxy eeeg = 2
• Com uma roseta 45o, ex e ey são medidas
diretamente. A deformação de
cisalhamento, gxy, é obitida por:
• O arranjo de sensores, usados na medição
de três deformações específicas normais, é
chamado de roseta de deformação. Os
tipos mais comuns de arranjos, são as
rosetas 45º e 60º.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT
Medidas das Deformações
1 - 44
333
2
3
2
3
222
2
2
2
2
111
2
1
2
1
cossinsincos
cossinsincos
cossinsincos
geee
geee
geee
xyyx
xyyx
xyyx
=
=
=
• Deve-se observar que as componentes de deformação ex, ey e gxy em um
dado ponto, poderiam ser obtidas a partir das medidas de deformação
normal feitas ao longo de quaisquer três linhas traçadas através daquele
ponto e usando as equações abaixo:

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