Dimensão e base (2)

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1 CONTEÚDOS
• Dimensão • Mudança da Base
2 DIMENSÃO
Definição 01: Todas as bases de um espaço vetorial de dimensão finita têm o mesmo número de vetores.
Definição 02: Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e {v1,v2, . . . ,vn} uma base qualquer de V .
• Um conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente.
• Um conjunto com menos de n vetores não gera V .
Dfinição 03: A dimensão de um espaço vetorial de dimensão finita V é denotada por dim(V ) e é definida como o
número de vetores numa base de V . Além disso, definimos o espaço vetorial nulo como tendo dimensão zero.
Ou seja, a dimensão do espaço gerado por algum conjunto linearmente independente de vetores é igual ao número
de vetores naquele conjunto.
2.1 EXEMPLO:
1. Encontre uma base e a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo

2x1 +2x2 −x3 +x5 = 0
−x1 −x2 +2x3 −3x4 +x5 = 0
x1 +x2 −2x3 −x5 = 0
x3 +x4 +x5 = 0
2. Encontre uma base e a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo

x1 +3x2 −2x3 +2x5 = 0
2x1 +6x2 −5x3 −2x4 +4x5 −3x6 = 0
5x3 +10x4 +15x6 = 0
2x1 +6x2 +8x4 +4x5 +18x6 = 0
Definição 04: Sejam V um espaço vetorial de dimensão n e S um conjunto em V com exatamente n vetores. Então S
é uma base de V se, e só se, S gera V ou S é linearmente independente.
Definição 05: Seja S um conjunto finito de vetores num espaço vetorial V de dimensão finita.
• Se S gerar V , mas não for uma base de V , então S pode ser reduzido a uma base de V removendo vetores
apropriados de S.
• Se S for um conjunto linearmente independente, mas não for uma base de V, então S pode ser ampliado a uma
base de V acrescentando vetores apropriados a S.
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Definição 06: Se W for um subespaço de um espaço vetorial V de dimensão finita, então
• W tem dimensão finita.
• dim(W ) ≤ dim(V ).
• W =V se, e só se, dim(W ) = dim(V ).
3 MUDANÇA DE BASE
Se S = {v1,v2, . . . ,vn} for uma base de um espaço vetorial V de dimensão finita e se
(v)S = (c1,c2, . . . ,cn) (1)
for o vetor de coordenadas de v em relação a S, então,
v → (v)S
Figura 01
cria uma conexão (uma bijeção) entre os vetores do espaço vetorial arbitrário V e os vetores do espaço vetorial fami-
liar Rn . Dizemos que (1) é a aplicação de coordenadas de V em Rn . É conveniente expressar os vetores de coordena-
das em formato matricial
[v]S =

c1
c2
...
cn
 (2)
em que os colchetes enfatizam a notação matricial (Figura 01).
Problema da mudança de base Sev for um vetor num espaço vetorial V de dimensão finita e se mudarmos a base de V
de uma base B para uma base B ′, qual é a relação entre os vetores de coordenadas [v]B e[v]B ′ ?
Para simplificar, considere os vetores em espaços bidimensionais. A solução para espaços de dimensão n é análoga.
Sejam
B = {u1,u2} e B ′ = {
u′
1,u′
2
}
as bases velha e nova, respectivamente. Precisamos dos vetores de coordenadas dos vetores da base nova em relação à
base velha. Suponha que sejam
[
u′
1
]
B =
[
a
b
]
e
[
u′
2
]
B =
[
c
d
]
(3)
isto é,
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u′
1 = au1 +bu2
u′
2 = cu1 +du2
(4)
Seja, agora, v um vetor qualquer em V e seja
[v]B ′ =
[
k1
k2
]
(5)
o novo vetor de coordenadas, de modo que
v = k1u′
1 +k2u′
2 (6)
Para conseguir encontrar as coordenadas velhas de v, devemos expressar v em termos da base velha B . Para isso, substi-
tuímos (4) em (6). Isso fornece
v = k1 (au1 +bu2)+k2 (cu1 +du2)
ou
v = (k1a +k2c)u1 + (k1b +k2d)u2
Assim, o velho vetor de coordenadas de vé
[v]B =
[
k1a +k2c
k1b +k2d
]
que, por (5), pode ser escrito como
[v]B =
[
a c
b d
][
k1
k2
]
=
[
a c
b d
]
[v]B ′
Essa equação afirma que o velho vetor de coordenadas [v]B é o resultado da multiplicação do novo vetor de coordenadas
[v]B ′ à esquerda pela matriz
P =
[
a c
b d
]
Como as colunas dessa matriz são as coordenadas dos vetores da base nova em relação à base velha [ver (3)], temos a
solução seguinte para o problema de mudança de base.
Se mudarmos a base de um espaço vetorial V de alguma base velha B = {u1,u2, . . . ,un} para uma base nova B ′ ={
u′
1,u′
2, . . . ,u′
n
}
, então, dado qualquer vetor v em V , o velho vetor de coordenadas [v]B está relacionado com o novo
vetor de coordenadas [v]B ′ pela equação
[v]B = P [v]B ′ (7)
onde as colunas de P são os vetores de coordenadas dos vetores da base nova em relação à base velha; ou seja, os
vetores coluna de P são
[
u′
1
]
B ,
[
u′
2
]
B , . . . ,
[
u′
n
]
B (8)
A matriz P na Equação (7) é denominada matriz de transição de B ′ para B que, para enfatizar, muitas vezes denotamos
por PB ′→B B . Segue de (8) que essa matriz pode ser expressa em termos de seus vetores coluna como
PB ′→B = [[
u′
1
]
B
∣∣[u′
2
]
B
∣∣ · · · | [u′
n
]
B
]
(9)
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Analogamente, a matriz de transição de B para B ′ pode ser expressa em termos de seus vetores coluna por
PB→B ′ = [
[u1]B ′ |[u2]B ′ | · · · | [un]B ′
]
(10)
3.1 EXEMPLOS:
1. Considere as bases B = {u1,u2} e B ′ = {
u′
1,u′
2
}
de R2, onde u1 = (1,0), u2 = (0,1), u′
1 = (1,1), u′
2 = (2,1)
a) Encontre a matriz de transição PB ′→B de B ′ para B .
b) Encontre a matriz de transição PB→B ′ de B para B ′.
c) Determine as coordenada de [v]B sabendo que [v]B ′ =
[
−3
5
]
Definição: Se P for a matriz de transição de uma base B ′ para uma base B de um espaço vetorial V de dimensão
finita, então P é invertível e P−1 é a matriz de transição de B para B ′.
Um procedimento para calcular PB→B ′
• Passo 1. Montamos a matriz
[
B ′ | B
]
.
• Passo 2. Reduzimos a matriz do Passo 1 à forma escalonada reduzida usando operações elementares com
as linhas.
• Passo 3. A matriz resultante é
[
I | PB→ B′
]
.
• Passo 4. Extraímos a matriz PB→B ′ do lado direito da matriz do Passo 3.
2. Considere as bases do exemplo 1 encontre as matrizes transição B para B ′ e B ′ para B
4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Encontre uma base do espaço solução do sistema li-
near homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.
a) 
x1 +x2 −x3 = 0
−2x1 −x2 +2x3 = 0
−x1 +x3 = 0
b) 3x1 +x2 +x3 +x4 = 0
5x1 −x2 +x3 −x4 = 0
c) {
x1 −4x2 +3x3 −x4 = 0
2x1 −8x2 +6x3 −2x4 = 0
d) 
x1 −3x2 +x3 = 0
2x1 −6x2 +2x3 = 0
3x1 −9x2 +3x3 = 0
e) 
2x1 +x2 +3x3 = 0
x1 +5x3 = 0
x2 +x3 = 0
f) 
6.
x + y + z = 0
3x +2y −2z = 0
4x +3y − z = 0
6x +5y + z = 0
2) Encontre bases dos seguintes subespaços de R3.
a) O plano 3x −2y +5z = 0.
b) O plano x − y = 0.
c) A reta x = 2t , y =−t , z = 4t .
d) Todos os vetores da forma (a,b,c)comb = a + c.
3) Encontre as dimensões dos seguintes subespaços de
R4.
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a) Todos os vetores da forma (a,b,c,0).
b) Todos os vetores da forma (a,b,c,d), em que d =
a +b e c = a −b.
c) Todos os vetores da forma ( a,b,c,d ), em que
a = b = c = d .
4) 9. Encontre a dimensão de cada um dos seguintes es-
paços vetoriais.
a) O espaço vetorial de todas as matrizes n ×n dia-
gonais.
b) O espaço vetorial de todas as matrizes n×n simé-
tricas.
c) O espaço vetorial de todas as matrizes n×n trian-
gulares superiores.
5) Em cada caso, encontre um vetor da base canônica de
R3 que pode ser acrescentado ao conjunto {v1,v2} para
formar uma base de R3.
a) v1 = (−1,2,3),v2 = (1,−2,−2)
b) v1 = (1,−1,0),v2 = (3,1,−2)
6) Encontre vetores da base canônica de R4 que podem
ser acrescentados ao conjunto {v1,v2} para formar uma
base de R4
v1 = (1,−4,2,−3),v2 = (−3,8,−4,6)
7) Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de w
em relação à base S = {u1,u2} de R2.
a) u1 = (1,0), u2 = (0,1) ; w = (3,−7)
b) u1 = (2,−4), u2 = (3,8) ; w = (1,1)
c) u1 = (1,1), u2 = (0,2) ; w = (a,b)
8) Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de v
em relação à base S = {v1,v2,v3} de R3.
a) v = (2,−1,3) ; v1 = (1,0,0), v2 = (2,2,0), v3 =
(3,3,3)
b) v = (5,−12,3) ; v1 = (1,2,3), v2 = (−4,5,6)v3 =
(7,−8,9)
9) Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de p
em relação à base S = {
p1,p2,p3
}
de P2.
a) p = 4−3x +x2;p1 = 1,p2 = x,p3 = x2
b)
p = 2−x +x2;p1 = 1+x,p2 = 1+x2
p3 = x +x2
10) Encontre o vetor de coordenadas de A em relação à
base
S = {A1, A2, A3, A4} de M22.
A =
[
2 0
−1 3
]
, A1 =
[
−1 1
0 0
]
, A2 =
[
1 1
0 0
]
,
A3 =
[
0 0
1 0
]
, A4 =
[
0 0
0 1
]
11) Considere os vetores de coordenadas
[w]S =

6
−1
4
 , [q]S =

3
0
4
 , [B ]S =

−8
7
6
3

(a) Encontre w se S for a base no Exercício 6(a). (b) En-
contre q se S for a base no Exercício 7(a). (c) Encontre
B se S for a base no Exercício 10.
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