Geometria Vetorial e Álgebra Linear

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UFMG – GAAL MAT038
Lista de Exerćıcios
1. Determine a equação da reta no plano que é perpendicular ao vetor −→v = (2, 3) e passa
pelo ponto P0 = (−1, 1).
2. Sejam
−→
i = (1, 0, 0),
−→
j = (0, 1, 0),
−→
k − (0, 0, 1) e −→v um vetor satisfazendo:
a) −→v é ortogonal aos vetores
−→
i + 2
−→
k e 2
−→
i + 2
−→
j ;
b) ‖−→v ‖ = 3;
c) o ângulo entre −→v e
−→
k é obtuso.
Encontre −→v .
3. Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são os pontos A = (3, 2, 1), B = (3, 2, 2)
e C = (3, 3, 2)
4. Sejam −→v um vetor não nulo qualquer e α, β e γ os ângulos que forma com os vetores
−→
i ,
−→
j e
−→
k respectivamente. Demonstre que
cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1
5. Calcule o volume do cubo determinado pelos vetores
−→
i ,
−→
j e
−→
k
6. Dados os pontos A = (2, 1,−1), B = (3, 0, 1) e C = (2,−1,−3). Determine D tal que
−−→
AD =
−−→
BC ×
−→
AC
7. Sabendo que ||−→u || = 6, ||−→v || = 4, e 30o. é o ângulo formado por −→u e −→v , calcule
a) a área do triângulo determinado por −→u e −→v
b) a área do paralelogramo formado por −→u e (−−→v )
b) a área do paralelogramo formado por −→u +−→v e −→u −−→v
8. Sabe-se que o vetor −→w é ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1), tem norma
√
3 e sendo θ o
ângulo entre −→w e
−→
j , tem-se cos θ > 0. Ache −→w .
9. Sejam −→a = 1√
6
(1, 2, 1),
−→
b = 1√
2
(−1, 0, 1), e −→c = 1√
3
(1,−1, 1). Escreva o vetor −→v =
(6, 1,−1) como combinação linear dos vetores −→a ,
−→
b e −→c
10. Determine um vetor unitário perpendicular aos vetores −→u =
−→
i − 2
−→
j + 3
−→
k e −→v =
3
−→
i −−→j + 2
−→
k
1