ATPS MATEMATICA APLICADA 3

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Relatório 1 – Integral Indefinida e Integral Definida
Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas. Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa sequência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma ideia genial que deu origem ao método da exaustão. Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola. Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido. Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número p. Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um paraboloide de revolução e o volume de um hiperboloide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. Obteve-se grande contribuição para o Cálculo Integral foram de Fermat e Cavalieri. Cavalieri desenvolveu a ideia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele mostrou, usando os seus métodos, o que hoje em dia escrevemos: .
O problema do movimento estava sendo estudado desde a época de Galileo. Tanto Torricelli como Barrow consideraram o problema do movimento com velocidades variadas. Newton continuou os trabalhos de Barrow e Galileo sobre o estudo do movimento dos corpos e desenvolveu o Cálculo aproximadamente dez anos antes de Leibniz. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade. Newton representava as integrais por um acento grave acima da letra em questão, por exemplo, a integral de y era representada por `y.
Leibniz, diferentemente de Newton, usava a integração como uma soma, de uma maneira bastante parecida à de Cavalieri. Daí vem o símbolo um 's' longo - para representar summa . Segundo ele, “represento a área de uma figura pela soma das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas”.
Leibiniz acreditava que a notação era de fundamental importância e, de fato, a sua notação foi mais eficaz do que a de Newton e acabou por se consolidar, sendo utilizada até os dias de hoje, mantendo exatamente a mesma forma. 
Principalmente como consequência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais, que é chamado método das frações parciais. 
Ambos desenvolveram o Cálculo Integral separadamente, entretanto Newton via o Cálculo como geométrico, enquanto Leibniz o via mais como analítico.
Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria continuidade ao estudo de funções - ainda prematuro na época - juntamente com Cauchy, Gauss e Riemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os fundamentos da Análise.
Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.
Desafio A
Alternativa (D) 
Atribuímos o número 7 ao desafio A, pois a integral indefinida de é conforme o cálculondefinida de álise.
Desafio B
Alternativa (E) 
Atribuímos a letra A ao desafio B, pois segundo o enunciado o valor 10000 é um custo fixo, assim já eliminamos as alternativas (A) e (C) pois não convalidam com o enunciado. Podemos então dizer que a função depende da variável q, que determina a profundidade em pés, assim o custo marginal C’(q) = 1000 + 50q, sendo aplicado ao problema trazemos 1000q+25q2, fazendo com que somente uma alternativa reste e convalide com o enunciado, alternativa (E).
Desafio C
Alternativa (A) 4,99
Atribuímos a letra S ao desafio C, pois conforme o cálculo de substituição obtemos 4,99.
Relatório 2 – Técnicas de Integração
Os métodos ou técnicas de integração são muito importantes para a resolução de integrais que aparentemente não possuem uma primitiva elementar. As técnicas mais usuais são a da substituição, por partes e por frações parciais. 
A substituição em u (sendo que u pode ser qualquer outra letra que você desejar) basicamente consiste em transformar uma integral complicada em outra mais simples a qual conhecemos o resultado. Dada uma função a qual desejamos integrar na qual podemos identificar duas funções, f(x) e f(x), seguimos este algoritmo de quatro passos:
Faça uma escolha para u, digamos ;
Realize a substituição ;
Calcule a nova integral obtida (ela deve estar apenas em função de u);
Na resposta encontrada, substitua por .
Como exemplo, vamos calcular . Vamos tomar u = cos x. Logo, temos que , de onde tiramos que . O sinal de menos – o qual indica que seno de x está sendo multiplicado por -1 – pode ir para fora do símbolo de derivada e, assim, teremos que .
Perceba que em nossa integral temos exatamente o multiplicando . Desta forma, podemos fazer as substituições devidas e  se transforma em  cujo resultado é   (lembre-se de que C é a constante de integração). Daí, basta substituir u por cos x e teremos o resultado desejado, que é  .
Embora este seja o procedimento genérico e correto, nem sempre ele é suficiente. A situação mais comum ocorre quando, após a escolha de u, não termos a expressão equivalente a du na integral original, o que impede a substituição. Nestes casos, precisamos manipular a expressão original. Por exemplo: se mas só temos x dx na integral original, podemos multiplicar toda a antiderivada por 1/3 e multiplicar seu interior por 3, obtendo assim o resultado procurado.
É importante destacar, ainda, que a integral obtida através da substituição em u é uma integral comum que pode ser resolvida por quaisquer métodos existentes: dependendo da conta, você poderá precisar de, até, realizar uma segunda substituição para obter o resultado.
A Integração por Partes é, basicamente, a volta da Regra do Produto para derivadas. Assim, vamos retomá-la. Se quisermos diferenciar uma função do tipo
), fazemos .
Assim temos que f(x)g'(x)+f'(x)g(x) é uma primitivapara f(x)g(x). Assim, podemos reescrever a fórmula acima em termos de integral indefinida como . Separando a soma e reorganizando os termos obtemos
, que é a fórmula para a Integração por Partes. A constante C pode ser omitida na linha anterior, pois fica embutida na integral . Uma maneira mais usual de escrever a fórmula de Integração por partes é utilizar a notação diferencial e fazer , e , , obtemos a versão mais difundida da Integração por Partes, como mostra o quadro abaixo.
Fórmula para a Integração por Partes: 
Note que a Integração por Partes não resolve imediatamente a integral , pois é preciso calcular a integral para obter uma resposta sem integrais. O grande objetivo da Integração por Partes é trocar uma integral mais difícil de resolver por uma mais fácil. Para calcular a integral, , citada como exemplo no início deste texto, utilizando a fórmula acima, precisamos encontrar cada parte que vemos na fórmula, ou seja, u, du, v e dv. Para isso vamos seguir um passo a passo.
Passo 1: Identificar u e dv.
O primeiro passo sempre é esse, pois u e dv são sempre encontrados na integral que se quer calcular. Neste caso, e .
Passo 2: Calcular du e v.
Para calcular du, basta derivar u: 
Para calcular v, fazemos o raciocínio oposto, ou seja, integramos dv: . (A constante de integração pode ser omitida!)
Passo 3: Aplicar a fórmula de Integração por Partes e calcular a integral resultante.
Nos passos anteriores, obtemos s, , e . Aplicando a fórmula, temos .
Desafio:
Alternativa (A) – (I) é falsa e (II) é verdadeira
Assim podemos atribuir a número 4 para o desafio, pois conforme o cálculo realizado somente há semelhança no item (II).
Bibliografia
COELHO, Flavio U. Curso Básico de Cálculo. 1ª ed. São Paulo: Saraiva, 2005. 
BOULOS, Paulo. Cálculo Diferencial e Integral. 1ª ed. São Paulo: Makron Books, 2006, v.1.
NETO, Abilio Souza Costa. 2013, Disponível em: <http://www.ead.ftc.br/portal/upload/mat/4p/05-CalculoII.pdf>. Acesso em: 28 set. 2014.
USP. 2012, Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm>. Acesso em: 28 set. 2014.