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FERRAMENTAS BÁSICAS E AVANÇADAS DE ESTATÍSTICA 
 
FERRAMENTA 
ESTATÍSTICA NOME 
PARÂMETRO 
(População) 
ESTATÍSTICA 
(Amostra) NOTAS 
- Total de observações 
N = ∑ 𝑓𝑗 n = ∑ 𝑓𝑗 j = 1, 2, ..., k 
001 Proporção 𝑃 = 𝑓𝑗N 𝑝 = 𝑓𝑗n j = 1, 2, ..., k 
002 Porcentagem 𝑃 (%) = 𝑓𝑗N × 100 𝑝 (%) = 𝑓𝑗N × 100 j = 1, 2, ..., k 
003 Razão 𝑅𝑎𝑧ã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑓1 𝑒 𝑓2 = 𝑓1
𝑓2 
004 Taxa 𝑇𝑎𝑥𝑎 (𝑛𝑜𝑚𝑒) = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 Exemplos: Taxa de nascimento, Taxa de 
homicídios. 
15 
Frequência simples 
relativa 𝑓𝑟𝑗 = 𝑓𝑗∑𝑓𝑗 
Frequência simples 
relativa (%) 𝑓𝑟𝑗 (%) = 100 𝑥 𝑓𝑗∑𝑓𝑗 
Frequência 
acumulada relativa 𝐹𝑟𝑗 = 𝐹𝑗∑ 𝑓𝑗 
Frequência 
acumulada relativa 
(%) 
𝐹𝑟𝑗 (%) = 100 𝑥 𝐹𝑗
∑𝑓𝑗
 
016 
(continua ) 
Número de classes 𝑘 = √𝑁 𝑘 = √𝑛 5 ≤ 𝑘 ≤ 25 
Amplitude total At = Xmáximo – Xmínimo 
Xmáximo = maior valor 
do conjunto de dados 
 
Xmínimo = menor valor 
do conjunto de dados 
Amplitude de classe h = 𝐴𝑡
𝑘
 ℎ ≥ 5 
Ponto médio 𝑥𝚥� = 𝐿𝑗𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝐿𝑗𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟2 
Ljinferiorj = Limite 
inferior da j ésima 
classe 
Ljsuperior = Limite 
superior da j ésima 
classe 
 
FERRAMENTA 
ESTATÍSTICA DESIGNAÇÃO POPULAÇÃO AMOSTRA NOTAS 
016 
(continuação) 
Frequência Simples 
Relativa 𝑓𝑟𝑗 = 𝑓𝑗∑ 𝑓𝑗 
Frequência Simples 
Relativa (%) 𝑓𝑟𝑗 (%) = 100 𝑥 𝑓𝑗∑𝑓𝑗 
Frequência 
acumulada relativa 𝐹𝑟𝑗 = 𝐹𝑗∑ 𝑓𝑗 
Frequência 
acumulada relativa 
(%) 
𝐹𝑟𝑗 (%) = 100 𝑥 𝐹𝑗
∑ 𝑓𝑗
 
019 
Média aritmética 
simples – Séries 
Homógradas 
µ = ∑𝑥𝑗
𝑁
 �̅� = ∑𝑥𝑗
𝑛
 
Média aritmética 
simples – DF/A µ = ∑𝑥𝑗𝑓𝑗∑𝑓𝑗 �̅� = ∑𝑥𝑗𝑓𝑗∑ 𝑓𝑗 
Média aritmética 
simples – DF/B µ = ∑𝑥𝚥� 𝑓𝑗∑𝑓𝑗 �̅� = ∑𝑥𝚥� 𝑓𝑗∑𝑓𝑗 Sendo �̅�j = Ponto Médio da j’ésima classe 
020 
Média aritmética 
ponderada – Séries 
Homógradas 
µ = ∑𝑥𝑗𝑝𝑗
∑𝑝𝑗
 �̅� = ∑𝑥𝑗𝑝𝑗
∑𝑝𝑗
 
Sendo pj = Peso 
atribuído a cada 
j’ésimo valor da 
variável X 
Média aritmética 
ponderada – DF/A µ = ∑𝑥𝑗𝑝𝑗∑𝑝𝑗 �̅� = ∑𝑥𝑗𝑝𝑗∑𝑝𝑗 
Média aritmética 
ponderada – DF/B µ = ∑𝑥𝚥� 𝑝𝑗∑ 𝑝𝑗 �̅� = ∑𝑥𝚥� 𝑝𝑗∑𝑝𝑗 Sendo pj = Peso atribuído a cada j’ésima classe 
 
FERRAMENTA 
ESTATÍSTICA DESIGNAÇÃO POPULAÇÃO AMOSTRA NOTAS 
021 Quartil – DF/B 
𝐸𝑄𝑖 = 𝑖 𝑥 𝑁 4 𝐸𝑄𝑖 = 𝑖 𝑥 𝑛 4 EQi = Elemento Quartílico de ordem i, onde i = 1, 2, 3 
𝑄𝑖 = 𝐿𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + ℎ𝑄𝑖 𝑥 𝐸𝑄𝑖 − 𝐹𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑓𝑄𝑖
 
Linferior = Limite 
inferior da classe que 
contém o quartil de 
ordem i 
Fanterior = 
Freqüência 
acumulada da classe 
anterior a que 
contém o quartil de 
ordem i 
fQi = Frequência 
simples absoluta da 
classe que contém o 
quartil de ordem i 
022 Decil – DF/B 
𝐸𝐷𝑖 = 𝑖 𝑥 𝑁 10 𝐸𝐷𝑖 = 𝑖 𝑥 𝑛 10 EQi = Elemento Decílico de ordem i, onde i = 1, 2, 3, ..., 9 
𝐷𝑖 = 𝐿𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + ℎ𝐷𝑖 𝑥 𝐸𝐷𝑖 − 𝐹𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑓𝐷𝑖
 
Linferior = Limite 
inferior da classe que 
contém o decil de 
ordem i 
Fanterior = 
Frequência 
acumulada da classe 
anterior a que 
contém o decil de 
ordem i 
fQi = Frequência 
simples absoluta da 
classe que contém o 
decil de ordem i 
 
FERRAMENTA 
ESTATÍSTICA DESIGNAÇÃO POPULAÇÃO AMOSTRA NOTAS 
023 Centil – DF/B 
𝐸𝐶𝑖 = 𝑖 𝑥 𝑁 100 𝐸𝐶𝑖 = 𝑖 𝑥 𝑛 100 EQi = Elemento Percentílico de ordem i, onde i = 1, 2, 
3, ..., 99 
𝐶𝑖 = 𝐿𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + ℎ𝐶𝑖 𝑥 𝐸𝐶𝑖 − 𝐹𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑓𝐶𝑖
 
Linferior = Limite 
inferior da classe que 
contém o centil de 
ordem i 
Fanterior = 
Freqüência 
acumulada da classe 
anterior a que 
contém o centil de 
ordem i 
fQi = Freqüência 
simples absoluta da 
classe que contém o 
centil de ordem i 
024 
Mediana – Série 
Homógrada ou 
Distribuição de 
Frequencias com 
dados não 
agrupados em 
classes (DF/A) 
𝐸𝑀𝑑 = 𝑁 + 12 𝐸𝑀𝑑 = 𝑛 + 12 Quando o número de observações for ímpar 
𝐸𝑀𝑑 = 𝑁2 𝐸𝑀𝑑 = 𝑛2 Quando o número de observações for par 
Mediana - Série 
Heterógrada do 
tipo DF/B 
𝑀𝑑 = 𝐿𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + ℎ𝑀𝑑 𝑥 𝐸𝑀𝑑 − 𝐹𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑓𝑀𝑑
 
Linferior = Limite 
inferior da classe que 
contém a mediana 
Fanterior = 
Freqüência 
acumulada da classe 
anterior a que 
contém a mediana 
fQi = Freqüência 
simples absoluta da 
classe que contém a 
mediana 
025 Moda para uma DF/B: Moda Bruta Mo = 𝑥𝚥� 
Onde 𝑥𝚥� = Ponto 
Médio da Classe 
Modal 
 
FERRAMENTA 
ESTATÍSTICA DESIGNAÇÃO POPULAÇÃO AMOSTRA NOTAS 
026 Valor máximo XMáximo 
XMáximo = maior 
valor do conjunto 
de dados 
 
027 Valor mínimo XMínimo 
XMínimo = menor 
valor do conjunto 
de dados 
028 
Variância – Série 
Homógrada σ2 = �∑𝑥𝑗2 − (∑𝑥𝑗)𝑁 2�
𝑁
 𝑠2 = �∑𝑥𝑗2 − (∑𝑥𝑗)𝑛 2�
𝑛 − 1 
Variância – Série 
Heterógrada DF/A σ2 = �∑ 𝑥𝑗2𝑓𝑗 − (∑𝑥𝑗 𝑓𝑗)𝑁 2�
𝑁
 𝑠2 = �∑ 𝑥𝑗2𝑓𝑗 − (∑𝑥𝑗 𝑓𝑗)𝑁 2�
𝑛 − 1 
Variância – Série 
Heterógrada DF/B σ2 = �∑ �̅�𝑗2𝑓𝑗 − (∑ �̅�𝑗 𝑓𝑗)𝑁 2�
𝑁
 𝑠2 = �∑ �̅�𝑗2𝑓𝑗 − (∑ �̅�𝑗 𝑓𝑗)𝑁 2�
𝑛 − 1 
029 Desvio padrão σ = �σ2 𝑠 = �𝑠2 
030 Desvio quartil Dq = 𝑄3 − 𝑄1
2
 
Q3 = Terceiro 
quartil 
Q1 = Primeiro 
quartil 
031 
Amplitude Total – 
Série Homógrada 
ou DF/A 
At = XMáximo – XMínimo 
Amplitude Total – 
DF/B 
At = Lsuperior – Linferior 
𝐴𝑡 = �̅�𝑘 − �̅�1 
Lsuperior = Limite 
superior da 
k’ésima classe 
Linferior = Limite 
inferior da 
k’ésima classe 
�̅�𝑘 = Ponto médio 
da k’ésima classe 
�̅�1 = Ponto médio 
da 1ª classe 
032 
Coeficiente de 
variação de 
Pearson 
CVP (%) = 100 x σ
µ
 CVP (%) = 100 x sx� 
033 Desvio quartil reduzido Dqr (%) = 100 x DqMd 
 
FERRAMENTA 
ESTATÍSTICA DESIGNAÇÃO POPULAÇÃO AMOSTRA NOTAS 
034 
1º Coeficiente de 
assimetria de 
Pearson 
𝑒1 = µ−𝑀𝑜
σ
 𝑒1 = �̅� − 𝑀𝑜
𝑠
 
e1 = 0 assimetria 
nula (curva 
simétrica) 
e1 > 0 assimetria a 
direita ou + 
e1 < 0 assimetria a 
esquerda ou - 
2º Coeficiente de 
assimetria de 
Pearson 
𝑒2 = 3(µ −𝑀𝑑)
σ
 𝑒2 = 3(�̅� − 𝑀𝑑)
𝑠
 
e1 = 0 assimetria 
nula (curva 
simétrica) 
e1 > 0 assimetria a 
direita ou + 
e1 < 0 assimetria a 
esquerda ou - 
035 
Coeficiente 
percentílico de 
Curtose 
k = 𝐷𝑞
𝐶90−𝐶10
 
k = 0 curva 
mesocúrtica 
k > 0 curva 
leptocúrtica 
k < 0 curva 
platicúrtica 
M
ÉT
RI
CA
 P
RO
BA
BI
LÍ
ST
IC
A 
Enfoque Clássico 𝑃(𝐸) = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐸
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
Enfoque 
Frequencista 𝑃(𝐸) = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐸𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 
Regras da Soma 
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) Para E1 ∩ E2 = φ 
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2) Para E1 ∩ E2 ≠ φ 
Regras do Produto 
P(E1 ∩ E2) = P(E1) x P(E2) 
Para eventos 
independentes 
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2) = 𝑃 (𝐸1 𝐸2) 𝑥 𝑃(𝐸2)⁄ Para eventos dependentes 
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2) = 𝑃 (𝐸2 𝐸1) 𝑥 𝑃(𝐸1)⁄ Para eventos dependentes 
Evento 
Complementar 𝑃
(𝐸) = 1 − 𝑃(𝐸�) 
Teorema de Bayes P(Ei/B) = P(Ei).P(B/Ei)∑[P(Ei).P(B/Ei)] 
 
Transformação de 
X (Distribuição 
Normal) em Z 
(Distribuição 
Normal Reduzida) 
𝑧 = 𝑥 − µ
σ
 𝑧 = 𝑥 − �̅�
𝑠
 
 
FERRAMENTA 
ESTATÍSTICA DESIGNAÇÃO FÓRMULA NOTAS 
37 
Estimação pontual 
da media 
populacional 
µ � = �̅� 
38 
Estimação pontual 
da proporção 
populacional 
π� = p 
 
Estimação pontual 
do desvio padrão 
populacional 
σ� = 𝑠 
39 
Estimação 
intervalar da média 
com variância 
populacional 
conhecida 
P(�̅� - Zα/2 
σ
√𝑛
 ≤ µ ≤ �̅� + Zα/2 
σ
√𝑛
 ) = 1 - α 
1 - α = nível de confiança 
α = nível de significância 
Erro padrão da média 
conhecendo-se σ: σ(�̅�) = σ
√𝑛
 
40 
Estimação 
intervalar da média 
com variância 
populacional 
desconhecida 
P(�̅� - tν; α/2 
𝑠
√𝑛
 ≤ µ ≤ �̅� + tν; α/2 
𝑠
√𝑛
 ) = 1 - α 
Erro padrão estimado da 
média (desconhecendo-se σ): 
σ�(�̅�) = 𝑠
√𝑛
 
ν = n - 1 
41 
Estimação 
intervalar da 
proporção 
populacional 
P(𝑝 - Zα/2 �
𝑝(1−𝑝)
𝑛
≤ π ≤ 𝑝 + Zα/2 �
𝑝(1−𝑝)
𝑛 
) =1 - α 
q = 1 – p 
Admitindo-se n > 30 
 
Erro padrão da proporção 
desconhecendo-se π: 
σ� (p) = �𝑝(1−𝑝)
𝑛
 
42 
Teste para a média 
com variância 
populacional 
conhecida 
Zcal = 
�̅� − µ0
σ
√𝑛
 
Erro padrão da média 
conhecendo-se σ: 
σ(�̅�) = σ
√𝑛
 
43 
Teste para a média 
com variância 
populacional 
desconhecida 
tcal = 
�̅� − µ0
𝑠
√𝑛
 
Erro padrão da média 
desconhecendo-se σ: 
 σ�(�̅�) = 𝑠
√𝑛
 
44 Teste para a proporção 
Zcal = 
𝑝 − π0
�π0(1−π0)
𝑛
 Admitindo-se n > 30 
 
45 
Teste para a 
diferença de duas 
médias 
populacionais com 
dados 
emparelhados (ou 
populações 
correlacionadas) 
tcal = 
𝑑� − Do
𝑠𝑑
√𝑛
 
�̅� = ∑ 𝑑𝑖
𝑛
 
di = xi - 𝑥𝑗 sd2 = 1𝑛−1 (∑𝑑𝑖2 – n d�2) 
 
FERRAMENTA 
ESTATÍSTICA DESIGNAÇÃO FÓRMULA NOTAS 
46 
Te
st
e 
pa
ra
 a
 d
ife
re
nç
a 
de
 d
ua
s m
éd
ia
s p
op
ul
ac
io
na
is 
co
m
 d
ad
os
 
nã
o 
em
pa
re
lh
ad
os
 (o
u 
po
pu
la
çõ
es
 n
ão
 c
or
re
la
ci
on
ad
as
) 
Variâncias populacionais conhecidas 
Zcal = 
(x�1 − x�2)− (µ1− µ2)0
�σ1
2
𝑛1
+ σ22
𝑛2
 
47 
Variâncias populacionais desconhecidas, mas supostamente 
iguais 
tcal = 
(x�1 − x�2)− (µ1− µ2)o
𝑠′�
𝑛1 + 𝑛2
𝑛1 .𝑛2 
s′2 = (n1−1)s12+ (n2−1)s22
n1+n2− 2 
ν = (n1 + n2 − 2) 
48 
Variâncias populacionais desconhecidas e distintas 
tcal = 
(x�1 − x�2)− (µ1− µ2)o
�𝑠1
2
𝑛1
+ 𝑠22
𝑛2
 ou zcal = (x�1 − x�2)− (µ1− µ2)o
�𝑠1
2
𝑛1
+ 𝑠22
𝑛2
 
Se for empregada a 
variável “t”, o 
número de graus de 
liberdade é calculado 
por 
 ν = (ν1+ν2)2
ν1
2
n1+ 1+ ν22n2+ 1 − 2, 
sendo: 
ν1= s12n1 e ν2= s22n2 
49 
Teste para a 
diferença de duas 
proporções 
populacionais 
Zcal = 
(p1− p2)−(π1− π2)o
�𝑝
′ (1−𝑝′)
𝑛1
+ 𝑝′ (1−𝑝′)
𝑛2
 sendo: p′ = n1 p1+ n2 p2
n1+ n2 
TA
BE
LA
S 
DE
 C
O
N
TI
N
GÊ
N
CI
A 
 
Estatística χ2 χ2 calc. = 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑖 𝑥 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑗
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 
Coeficiente de 
Contingência 
058 
C = �
χ2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
χ2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜+𝑛 
Sendo n = número de 
elementos da amostra 
(tamanho da amostra) 
Quanto maior o valor 
de “C” maior o grau de 
relacionamento, 
associação ou 
dependência das 
classificações estudadas