ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS

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Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
EMENTA DA DISCIPLINA DE ESTABILIDADE TECNICO INTEGRADO 
 
1 – ELEMENTOS DE FÍSICA E MATEMÁTICA 
APLICADOS ÀS ESTRUTURAS 
Grandezas fundamentais: força, momento e 
sistema binário; 
Condições de equilíbrio; 
φ Centro de gravidade e momento de inércia; 
φ Deformação estrutural: lei de Hooke, diagrama 
tensão deformação, tensões normais e de corte, 
tensão normal na flexão. 
2 – ANÁLISE ESTRUTURAL 
φ Elementos estruturais: lajes, vigas, pilares, 
fundações; 
φ Vínculos: tipos, simbologia; 
φ Tipos de carregamento: cargas concentradas e 
distribuídas; 
φ Reações de apoio: vigas e lajes; 
φ Esforços seccionais: esforço cortante, esforço 
normal e momento fletor em uma viga isostática; 
φ Diagrama de esforços cortante, normal e 
momento fletor. 
3 – DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL 
φ Dimensionamento de lajes à flexão; 
φ Dimensionamento de vigas à flexão e ao 
cisalhamento; 
φ Dimensionamento de pilares curtos e médios; 
φ Dimensionamento de fundações diretas. 
4 – DESENHO ESTRUTURAL 
φ Planta de Fundação; 
φ Planta de Lajes; 
φ Detalhamento de Fundação; 
φ Detalhamento de Pilares; 
φ Detalhamento de Vigas; 
φ Detalhamento de Lajes; 
φ Detalhamento de Escadas e Reservatórios; 
φ Quantitativos de armaduras e quadros de ferragem. 
 
 
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Parte I – Conceitos Fundamentais 
 
Forças no plano 
 
De maneira intuitiva associamos o termo “força” a qualquer ato de puxar ou 
empurrar algo. Em geral tal termo representa a ação de um corpo sobre o outro (força 
de contato). No ambiente da construção civil temos a força de contato que uma viga 
faz na outra, a força de reação normal que o chão faz na viga além da força peso. Na 
física newtoniana força é uma grandeza vetorial de forma que ao expressa-la, 
devemos fazer não apenas com um valor numérico (módulo), mas também por meio 
de sua direção e sentido. A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no 
Sistema Internacional de Unidades (SI). 
A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao 
longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que a mesma forma com 
algum eixo de referência, como indicado na Figura 2.1 abaixo. Por conveniência 
costuma-se descrever a força por meio de suas componentes em algum sistema de 
coordenadas. As direções mais comuns são a vertical e horizontal. Na parte direita da 
Figura 2.1 temos um exemplo da decomposição do vetor A em termos de suas 
componentes, paralela e perpendicular ao segmento de reta aa’. 
 
 
 
 Figura 2.1 – Vetor Força (R.C.Hibbeler) 
 
O sentido da força indica a orientação do vetor ao longo de uma direção 
(esquerda, direita, cima, baixo). 
Na grande maioria das situações reais, um corpo está sujeito a mais de uma 
força. Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único 
ponto de um corpo. Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas 
simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo. Em boa parte dos 
problemas estaremos interessados no vetor força que representa a superposição 
(soma) de todas as forças (ou parte delas) que atuam em um corpo. Esse vetor se 
chama vetor resultante que está representado na Figura 2.2 juntamente com um 
exemplo de Grupos de força e Sistema de forças. 
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Figura 2.2 – Da esquerda para direita, grupo de força e Sistema de Forças 
(R.C.Hibbeler) 
 
Momento de uma força 
 
Quando se estuda a segunda lei de Newton, verifica-se que uma força 
resultante aplicada a um corpo produz uma aceleração que é capaz de alterar o seu 
estado, seja ele de movimento ou de repouso (movimento de translação). Em 
determinadas condições a aplicação de uma força em um corpo pode determinar um 
movimento giratório ou de torção. Define-se Momento como a tendência de uma força 
F fazer girar um corpo rígido em torno de um eixo fixo. O Momento depende do 
módulo de F e da distância “d” de F em relação ao eixo fixo. 
Considere uma força F que atua em um corpo rígido fixo no ponto 0, como 
indicado na Figura 2.3. A força F é representada por um vetor que define seu módulo, 
direção e sentido. O vetor d é a distância perpendicular de 0 à linha de ação de F. 
Note que na Figura 2.3 (a) quanto mais na extremidade do punho da chave a força F 
for aplicada (maior d) maior será a sua eficiência. Note ainda que conforme a direção 
de aplicação da força o momento provocará rotação em torno de eixos diferentes 
Figura 2.3 (b) ou não provocará nenhuma rotação Figura 2.3 (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 – Momento de uma Força (R.C.Hibbeler) 
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Figura 2.3 – Momento de uma Força (R.C.Hibbeler) 
 
 
 
Define-se o momento escalar do vetor F em relação a 0, como sendo, 
M0 = ± |F| . d 
Onde: 
M0 = momento escalar do vetor F em relação ao ponto 0 
0 = pólo ou centro de rotação 
d = distância perpendicular de 0 à linha de ação de F, também chamada de braço de 
alavanca ou braço de força 
Se analisarmos o momento vetorialmente (M0 = F × d) percebemos que M0 é sempre 
perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido de M0 é definido pelo sentido 
de rotação imposto pelo vetor F. Convenciona-se momento positivo se a força F tender 
a girar o corpo no sentido anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido 
horário. 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 – Convenção dos Sentidos dos Momentos 
 
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No SI, como a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m), 
temos o momento expresso em newtons × metros (N.m). 
 
2.1 Momento de um binário 
 
Um caso especial ocorre quando um corpo está sujeito a duas forças, F e –F, 
que têm o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formando um 
binário ou conjugado. A soma das componentes das duas forças em qualquer direção 
é zero. Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado 
ponto não é zero. Apesar das duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, 
tendem a fazê-lo girar. A distância d mostrada na Figura 2.5 chama-se braço binário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 – Momento Binário (R.C.Hibbeler) 
 
Exemplo 1: A força F, de módulo 20 N, e os pontos A, B e C estão todos 
no plano do papel. Os pontos representam as intersecções entre 
o plano do papel e três eixos perpendiculares a ele. 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando a convenção dos sinais dos momentos, calcule o momento 
escalar de F em relação a A, B e C. 
 Resolução: 
 Em relação a A, a força F dá tendência de rotação no sentido horário. 
 Sendo F = 20 N e b = 3 m, temos: 
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 M = -F. b = 20. 3 ⇒ M = - 60 N m 
Em relação a B, a força F dá tendência de rotação no sentido anti- 
 -horário. Sendo F = 20 N e b = 2 m, temos: 
 M = +F. b = –20. 2 ⇒ M = +40 N m 
 Em relação a C, a força F não dá tendência de rotação, pois b = 0: 
 M = F. b = 20. 0 ⇒ M = 0 
Exercícios 
1. Considerando positivos os momentos anti-horários, calcule os 
momentos das forças paralelas , e em relação ao ponto O. 
Dados: = 200 N; = 250 N; = 50 N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcule o momento resultante em torno de um ponto O para as duas 
forças aplicadas mostradas na figura abaixo. A barra e as forças estão 
sobre o plano da página. 
 
 
 
1F
r
2F
r
3F
r
1F
r
2F
r
3F
r
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3. Uma pequena bola de massa 0,75 Kg está presa a uma das 
extremidades de uma barra de 1,25 mde comprimento e massa 
desprezível. A outra extremidade da barra está pendurada em um eixo, 
conforme a figura abaixo. Quando o pêndulo assim formado faz um 
ângulo de 30o a vertical, qual é o módulo do momento exercido pela 
força gravitacional em relação ao eixo? 
 
 
 
 
4. O comprimento do braço do pedal de uma bicicleta é de 0,152 m e uma 
força de 111 N é aplicada ao pedal pelo ciclista. Qual o módulo do 
momento em relação eixo do braço do pedal quando o braço faz um 
ângulo de (a) 30o, (b) 90o e (c) 180o com a vertical? 
 
 
3. Centro de Gravidade 
 
A definição de centro de gravidade é importante para se entender a 
estabilidade de um corpo. Analogamente ao centro de massa, que corresponde a uma 
média ponderada das massas das partículas que formam um determinado corpo, o 
centro de gravidade é um ponto de aplicação do peso total de um corpo. Entenda-se 
peso total como sendo a soma vetorial de todas as forças gravitacionais que agem em 
cada partícula constituinte do corpo. O cálculo do centro de gravidade (xCG) de um 
corpo é feito de maneira simples quando consideramos que a aceleração da gravidade 
que atua em um corpo é constante em todos os pontos do mesmo. Nesta situação o 
centro de gravidade coincide como o próprio centro de massa (xCM) com segue a 
baixo: 
 
 
 
 
 
onde xi e mi são a coordenada e massa de cada partícula do corpo. É importante notar 
que a rigor a aceleração da gravidade varia com a altitude, mas para objetos comuns 
com essa variação é bem sutil podemos despreza-la. 
∑
∑
=
=
=
+++
+++
== N
i
i
N
i
ii
N
NN
CMCG
m
mx
mmm
mxmxmx
xx
1
1
21
2211
.
...
......
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Outra consideração importante a se fazer é que dependendo da simetria do 
corpo o centro de gravidade coincide com o centro geométrico do corpo. Para corpo 
com geometrias mais complexas podemos determinar o centro de gravidade do corpo 
suspendendo o mesmo por pontos diferentes e a cada suspensão são traçadas linhas 
verticais de forma que a interseção entre essas linhas determina o centro de gravidade 
(figura 3.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 – Centro de gravidade de corpos irregulares 
(http://www.infoescola.com/fisica/centro-de-gravidade/) 
 
O centro de gravidade é importante também na estabilidade dos corpos. Nos 
automóvel quanto mais baixo for o seu centro de massa e quanto maior for a área de 
apoio do carro em relação ao chão, maior é sua estabilidade. Isso permite o carro 
percorrer curvas com uma determinada inclinação sem que o mesmo tombe. Para que 
isso ocorra a reta vertical que passa pelo centro de massa do um corpo deve sempre 
passar pela base de apoio (figura 3.2). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 – Centro de gravidade e estabilidade 
(http://www.mecatronicaatual.com.br/secoes/leitura/66) 
 
Exemplo 1. Uma viga uniforme de comprimento L e massa M repousa 
sobre dois apoios deparados por uma distância D, localizados em 
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pontos equidistantes do centro de gravidade da viga. Roberto quer ficar 
em pé na extremidade direita da viga. Qual deve ser a sua massa m 
para que a viga permaneça em repouso? 
 
Na figura a baixo temos o esquema do problema. Vamos considerar a 
origem do sistema como sendo o ponto C (centro geométrico da viga). 
Para que a viga permaneça em equilíbrio o centro de massa do sistema 
deve ficar delimitado pelas bases de apoios. Na situação mais extrema 
de equilíbrio o centro de massa deve ficar exatamente na vertical que 
passa pelo apoio da direita (D/2 em relação à origem). Temos então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DL
DM
m
DMDmmL
mMDmL
L
mM
mD
L
mM
m
mM
LmM
m
mx
x
sistemadogravidadedecentrodocoordenadaDx
vigadamassadecentrodocoordenadax
RobertodemassadecentrodocoordenadaLx
N
i
i
N
i
ii
cg
cg
V
R
−
=
=−
+=
+
=
+
=
+
+
==
=
=
=
∑
∑
=
=
)(
22
2
)2/()0(.
)(2/
)(0
)(2/
1
1
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3.1. Momento de Inércia 
 
A primeira lei de Newton afirma que todos os corpos devem permanecer em 
movimento ou em repouso a menos que uma força altere esse estado do corpo 
(princípio da inércia). Isto é válido para qual quer corpo, seja ele uma partícula ou um 
corpo rígido de dimensões não desprezíveis. O princípio da inércia é válido ainda para 
os corpos em rotação, um corpo que gira em torno de um eixo deve permanecer 
girando a menos que uma força atue sobre ele, costuma-se chamar essa propriedade 
de inércia rotacional. Da mesma forma que em um movimento linear a inércia do corpo 
depende de sua massa, no movimento de rotação ela dependerá da massa e também 
de como essa massa se distribui no corpo em relação ao eixo de rotação. 
Um corpo rígido em rotação possui associado a ele uma energia cinética K em 
razão da velocidade vi de cada partícula de massa mi que forma esse corpo: 
 
 
A grande dificuldade de se trabalhar com a equação acima é que para cada 
partícula temos uma velocidade diferente de forma que é mais conveniente substituir 
vi=ωri uma vez que a velocidade angular de cada partícula é mesma, senão o corpo 
não seria rígido. A grandeza ri representa a distância entre cada partícula e o eixo de 
rotação do corpo. Portanto: 
 
 
 
Essa grandeza entre parênteses é o que se define como momento de inércia 
(Ι): 
 
 
Note que quanto maior o momento de inércia do corpo maior será sua energia 
cinética de rotação, ou seja, maior será o trabalho realizado para desacelerar ou 
acelerar esse corpo caso ele esteja em repouso. É importante notar ainda que um 
corpo pode ter um número infinito de momentos de inércia já que pode existir um 
número infinito de eixos de rotação. Desta forma é conveniente conhecer um teorema 
chamada de Teorema dos eixos paralelos que afirma mostra uma relação entre o 
momento de inércia em relação ao centro de massa Icm de um corpo de massa m e o 
∑=+++=
22
33
2
22
2
11 2
1
...
2
1
2
1
2
1
iivmvmvmvmK
222 )(
2
1)(
2
1
ωω iiii rmrmK ∑∑ ==
2
iirmI ∑=
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momento de inércia Ip em relação a um eixo paralelo ao primeiro e a uma distância d 
do mesmo. 
 
 
OBS: Para o cálculo do momento de inércia é necessário o conhecimento do 
cálculo integral que não é do objetivo do curso. Abaixo segue uma tabela com 
momentos de inércia de alguns corpos (Figura extraída do livro Física I, Sears e 
Zemansky 12a edição). 
 
 
Exemplo 2. Três massas esféricas (A = 200 g, B = 400 g e C = 450 g) são colocadas 
nos vértices de um triangulo isósceles de lados AB = 30 cm, BC = 40 cm e CA = 50 
cm. Determine o momento de inércia em relação ao um eixo imaginário que passa 
pelo centro da esfera A e seja perpendicular ao plano do desenho. 
 
 
 
 
2mdII cmp +=
2
2222222
.17,0
11,006,0
5,0.45,04,0.4,00.2,0
mKgI
I
rmrmrmrmI CCBBAAii
=
+=
++=++==∑
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Exercícios 
1. Um aluno de edificações colocando em prática seus conhecimentos sobre centro de 
gravidade deseja equilibra um pedaço de madeira uniforme de massa 3,2 kg e 60 cm 
de comprimento e dois objetos presos às suas extremidades sobre uma base de 
apoio. O objeto da esquerda tem massa de 1,2 kg e o da outra extremidade tem 
massa de 3,0 kg. A que distância da extremidade esquerda deve ser posicionado o 
apoio para que o sistema fique equilibrado horizontalmente? 
 
2. Para melhorar a eficiência de seu número, um malabarespercebeu que o seu 
fabricante da clava piroutte deve deslocar em 3 cm para esquerda o centro de 
gravidade (CG). O fabricante deve adicionar internamente uma massa de 30 g. Em 
qual posição deve ser colocada a massa adicional? Dado que a massa original da 
clava é de 220 g. 
 
 
 
 
3. Uma caixa de massa desprezível está em repouso na extremidade esquerda de 
uma prancha de 2,0 m e 25,0 kg. A largura da caixa é de 75,0 cm e areia deve ser 
uniformemente distribuída dentro dela. O centro de gravidade da prancha está a 
50,0 cm da extremidade direita. Qual massa de areia deve ser colocada dentro da 
caixa de modo que a prancha se equilibre horizontalmente sobre o sustentáculo 
colocado abaixo do seu ponto médio? 
 
4. Uma barra uniforme de 1,5 m e 3 kg possui duas esferas de 0,7 kg presas às suas 
extremidades. Determine o momento de inércia do sistema em relação a um eixo 
que passa pelas duas esferas simultaneamente, em relação a um eixo 
perpendicular que passa apenas por uma delas e em seguida por um eixo 
perpendicular que passa no centro da barra. 
 
 
5. Determine o momento de inércia de um aro de bicicleta de 60 cm de diâmetro, 
massa M = 400 g e 32 raios de m = 6 g, em relação a um eixo perpendicular ao 
plano do aro que passa no centro do mesmo. 
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6. Qual o momento de inércia necessário para que um volante de um motor transfira 
650 J de energia cinética para a caixa de câmbio de um veículo para que sua 
velocidade angular diminua de 720 rev/min para 650 rev/min. 
 
7. Utilizando o teorema dos eixos paralelos e uma placa retangular uniforme de 
massa M e arestas de comprimentos a, b e c semelhante à figura (c) da tabela de 
momentos de inércia de diversos corpos. Determine o momento de inércia desta 
placa em relação a um eixo que passe por um vértice e seja perpendicular à face 
ab. 
 
4. Deformação estrutural 
 
Por conveniência os corpos têm sido trados de maneira idealizada, corpos 
indeformáveis. Entretanto, na prática, quando os corpos são submetidos à ação de 
alguma força essa rigidez dá espaço às dilatações, compressões, torções ou 
simplesmente deformação. O agente causador de tal deformação é grandeza tensão 
que representa a distribuição de forças por unidade de área. A deformação na 
dilatação e compressão pode ser representada pelo cociente da variação do 
comprimento pelo comprimento original. Existe uma lei que relaciona essas duas 
grandezas, entretanto sua validade é restrita aos casos onde as tensões e 
deformações são pequenas. É a chamada Lei de Hooke. Essa lei afirma que a 
deformação que um corpo sofre é diretamente proporcional a tensão aplicada á ele, a 
constante de proporcionalidade é conhecida como módulo de elasticidade. Podemos 
resumir em três equações o que foi dito acima: 
 
 
 
 
 
 
Deve-se ressaltar que neste caso a força aplicada na deformação de dilatação 
é uma força perpendicular à superfície de seção reta do corpo (tensão normal). Para 
ilustrar temos o corte transversal de um cubo de área A (figura 4.1) que é tensionado 
nas suas extremidades de forma a garantir que o cabo não se mova para um lado ou 
para o outro. É interessante notar que o tratamento dado à deformação de dilatação é 
semelhante a deformação de compressão, basta pensar que uma é relacionada a 
0
0
0
;
);()(
)()(
l
ll
l
l
A
F
HookedeLei
Deformação
TensãoEdeelasticidadeMódulo
−
=
∆
==
=
εσ
ε
σ
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puxar e a outra a empurrar, respectivamente. Desta forma para muitos materiais o 
módulo de elasticidade, também chamado de módulo de Young, é o mesmo tanto para 
a tensão de deformação quanto para a tensão de compressão, com exceção dos 
materiais que são formados por dois ou mais componentes diferentes (materiais 
compósitos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 – Corpo sujeito a uma tensão normal 
 
 
Existe ainda a chamada tensão e deformação de cisalhamento, que para 
pequenos valores da força também obedece a lei de Hook. Neste caso a costante de 
proporcionalidade é conhecida por módulo de cisalhamento (S). Diferentemente da 
tensão normal a força aplicada ao corpo é tangencial às superfícies das extremidades 
opostas do objeto conforme figura 4.2. A deformação é dada pela razão entre o 
deslocamento x e a dimensão transversal h. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 – Corpo sujeito a uma tensão de cisalhamento 
 
 
 
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Matematicamente temos tensão e deformação de cisalhamento da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
É importante notar que esta relação de proporcionalidade que existe entre 
tensão e deformação deixa de existir depois de um limite. A figura 4.3 abaixo indica os 
limites de tal relação por meio do diagrama tensão versus deformação. Do início da 
curva até o ponto P temos a região onde é válida a lei de Hooke, ou seja, o ponto P 
representa o limite de proporcionalidade válido para essas duas grandezas. A partir do 
ponto P, se a tensão continuar a ser aplicada tal a lei deixe de ser válida. Até o ponto 
B qualquer tipo de deformação sofrida pelo material pode ser reversível se a tensão 
for removida gradualmente. O Ponto B é o chamado limite de elasticidade. Se 
aumentarmos a tensão do ponto B até o ponto Y a deformação aumentará, entretanto 
o material não retornará mais ao seu tamanho original e apresentará uma deformação 
permanente. Entre os pontos B e D o material apresenta um comportamento chamado 
de escoamento plástico. A deformação plástica é aquela que é irreversível. O ponto U 
representa a máxima tensão atingida pelo material, ou limite de resistência. O ponto R 
corresponde à tensão que o material sofre ruptura, também chamado de limite de 
ruptura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3 – Diagrama Tensão versus deformação 
 
 
 
 
 
 
h
x
A
F
HookedeLei
Deformação
TensãoStocisalhamendeMódulo
==
=
εσ
ε
σ
;
);()(
)()(
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Exemplo 1: Um cabo de aço de um guindaste têm 6 metros de comprimento 
com seção reta de 0,35 cm2. O cabo está sustentando uma carga de 670 kg. 
Determine a tensão e a deformação no cabo. Considere o módulo de Young do 
aço 20 x 1010 Pa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Para um determinado experimento um cabo de aço circular de 2,5 m não pode se 
distender além de 0,35 cm quando sujeito a uma tensão de 430 N. Qual o menor 
diâmetro do cabo para que ele atenda o experimento?Considere o módulo de 
Young do aço 20 x 1010 Pa. 
2. Uma corda de Nylon usada em escaladas tem o módulo de Young de 6,8 x 108 Pa. 
Um escalador de 75 kg que fique pendurado em uma corda de 50 m e de diâmetro 
igual a 70 mm provocará uma dilatação de quantos centímetros? 
3. Dois objetos de massas mA = 8 kg e mB = 12 kg são presos no teto de uma casa. O 
objeto A é preso por um cabo de aço de 0,6 m de comprimento fixo no teto. O 
objeto B por sua vez é preso ao objeto A por um cabo semelhante que prende o 
objeto A ao teto. Considere que o cabo possui seção reta de 3 mm e que o o 
módulo de Young do aço 20 x 1010 Pa. Determine a deformação e o alongamento 
do cabo. 
4. Determine a tensão de cisalhamento resultante quando uma força de módulo 5.104 
N é aplicada, paralelamente a um dos quatro lados de uma placa quadrada de 
cobre. Considere o lado da placa de 12 cm, a espessura igual a 0,6 cm e o módulo 
de Cisalhamento do cobre 4,4 x 1010 Pa. Em seguida determine qual foi o 
deslocamento x. 
 
 
 
 
4
10
8
0
8
4
10.55,9
10.20
10.91,1
10.91,1
10.35,0
10.670.
−
−
=
=
Υ
=
∆
=
=
===
ε
σ
ε
σ
σ
l
l
PaA
gm
A
F
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5. Equilíbrio 
 
Em geral o estudo da física se inicia pelo movimento, no intuito de se entender o 
deslocamento, a velocidade e aceleração dos corpos como consequência de forças 
aplicadas aos mesmos. Outra parte da física já tem o interesse em garantir que esses 
corpos permaneçam em repouso. Para que isso ocorra as forças que atuam em um 
corpo, devem obedecer a certas condições que chamamos de condições de equilíbrio. 
Condições essas que garantem que a sala que você estuda ou a casa que você mora 
não desmorone. 
 
5.1 Equilíbrio de um ponto material 
 
Ponto material é uma pequena porção de matéria, com dimensões 
desprezíveis, que pode ser considerada como um ponto no espaço. Um corpo 
modelado desta forma encontra-se em equilíbrio quando a resultante de todas as 
forças que atuam sobre ele for nula. Podemos ainda dizer que essa é a primeira 
condição de equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: “se a 
força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em 
repouso ou move-se ao longo de uma reta com velocidade constante”. 
 
Para exprimir algebricamente a primeira condição de equilíbrio de um ponto 
material, temos: 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
A representação gráfica de todas as forças que atuam em um ponto material, 
bem como a decomposição dessas forças nos eixos x e y podem ser representadas 
por um diagrama de corpo livre, como indica a figura 3.1 (a) e (b) respectivamente. 
 
 
 
 
;0
;0
;0
0
==Σ
==Σ
==Σ
=Σ
zz
yy
xx
RF
RF
RF
F
;z ey x,direções nas atuantes forças das sresultante as são ;;
;z ey x,direções nas atuantes forças as são ;;
zyx
zyx
RRR
FFF
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Figura 4.1 – Forças atuantes em um ponto material. (R.C.Hibbeler) 
 
Exemplo 2: Verificar se as forças que atuam na ponta da lança, figura abaixo, estão 
em equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura xx - Equilíbrio de ponto material (adaptado Hibbeler) 
 
1º - Para que a ponta da lança esteja em equilíbrio é necessário que o 
somatório de todas as forças que agem na sua ponta seja nulo, ou seja: 
 
 
 
2º - Verificação do somatório das forças no eixo X: 
 
 
 
 
 
 
3º - Verificação do somatório das forças no eixo Y: 
 
 
 
;0
;0
==Σ
==Σ
yy
xx
RF
RF
X; em equilíbrio em 0
07,10232,12215,312510
02,1036º451727º30625
5
3850
;0
=Σ
=+−−=Σ
=+⋅−⋅−⋅=Σ
=Σ
x
x
x
x
F
F
sensenF
F
Y; em equilíbrio em 0
02,12212,541680
0º45cos1727º30cos625
5
4850
;0
=Σ
=+−−=Σ
=⋅+⋅−⋅−=Σ
=Σ
y
y
y
y
F
F
F
F
xF
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
Exercícios 
1. Em cada uma das extremidades de um fio considerado ideal, que passa por duas 
pequenas polias também suposta ideal, está suspenso um corpo de massa igual a 
m. Um terceiro corpo de massa m é suspenso do ponto médio M do fio e baixado 
até a posição de equilíbrio. Determine, em função de l (ver figura), quanto desceu o 
terceiro corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Na figura, um corpo de peso 120 N encontra-se em equilíbrio, suspenso por um 
conjunto de três fios ideais A, B e C. Calcule as intensidades das trações TA, TB e 
TC, respectivamente nos fios A, B e C. Considere ainda sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Calcule a intensidade da tração no cordel, que mantém em equilíbrio um 
ornamento de peso 80 N como indica a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
4. Uma pedra de 664 N de peso encontra-se em repouso, suspensa por três cordas 
leves A, B e C, como representa a figura. Calcule as intensidades das trações 
nessas cordas (TA, Tb e Tc). Use: sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,87; sen 53° = 0,80; 
cos 53° = 0,60. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2 Equilíbrio de um corpo rígido 
 
Para que um corpo, cujas dimensões não são desprezíveis, esteja em 
equilíbrio quando submetido a diferentes forças, devemos ter ainda uma segunda 
condição de equilíbrio. Devemos garantir que as forças não provoquem tendência à 
rotação, ou seja, o somatório dos momentos das forças externas que atuam no corpo 
deve ser igual a zero. Obviamente tendo sido atendida a primeira condição. 
Uma vez que a segunda condição de equilíbrio é atendida, o somatório dos 
momentos das forças que atuam sobre o corpo é zero, ou seja, o corpo não gira. 
Algebricamente temos: 
 
 
 
 
• Logo, têm-se as seis equações fundamentais da estática, que devem ser 
satisfeitas para que um corpo esteja em equilíbrio estático. As equações da 
coluna da esquerda se referem à translação do corpo e as da esquerda à 
rotação. 
 
 
 
 
 
;0
;0
;0
=Σ
=Σ
=Σ
z
y
x
M
M
M
;0
;0
;0
=Σ
=Σ
=Σ
z
y
x
F
F
F
;0
;0
;0
=Σ
=Σ
=Σ
z
y
x
M
M
M
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
Exemplo: Uma barra cilíndrica homogênea, de peso 200 N e 10,0 m de comprimento, 
encontra-se em equilíbrio, apoiada nos suportes A e B, como representa a figura. 
 
 
 
a) Calcule as intensidades RA e RB das reações dos apoios A e B sobre 
a barra. 
Solução: 
a) Representando as forças que atuam na barra, temos: 
Em relação a A: 
MRA + MP + MRB = 0 
-(RA · 0) – (200 · 5,0) + RB · 8,0 = 0 
RB = 125 N 
Como RA + RB = P: 
RA + 125 = 200 ⇒ RA = 75 N 
Exercícios 
5. Sobre duas estacas A e B, distantes 2,0 m uma da outra, apóia uma 
viga prismática e homogênea de comprimento 6,0 m e massa 72 kg. 
Um pedreiro de massa 60 kg encontra-se em repouso na posição 
indicada, a 50 cm da estaca A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a. Calcule as intensidades das forças que a viga recebe das 
estacas (g = 10 m/s2). 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
b. O pedreiro começa a caminhar lentamente para a direita. 
Qual o máximo afastamento dele em relação ao ponto de 
apoio da viga na estaca B sem que ela tombe? 
6. Uma barra homogênea de comprimento l = 1,0 m está em equilíbrio 
na posição horizontal, sustentada por uma única corda fixada no 
ponto C, como mostra a figura. Em suas extremidades A e B estão 
pendentes duas massas, m1 = 100 g e m2 = 150 g. 
 
 
 
 
 
Considerando a massa da barra 100 g e a aceleração da gravidade 
local g = 10 m/s2, determine: 
a. A tensão na corda fixa à barra no ponto C; 
b. A distância do ponto C até o ponto A. 
 
7. Uma barra rígida e homogênea, de peso 20 N e 2,0 m de 
comprimento, articula-se no eixo lubrificado O. Nela, está suspensa 
uma carga C, de peso 100 N, a 1,5 m do eixo O. A força vertical F 
mantém o sistema em equilíbrio. 
 
 
 
 
 
Calcule a intensidade: 
a) da força F 
b) da força que a barra recebe do eixo. 
8. Suponha que, para arrancar um mourão fincado no chão, um homem, 
puxando-o diretamente com as mãos, tivesse de exercer nele uma força 
de intensidade 1 800 N, no mínimo. Usando uma viga amarrada no 
mourão e apoiada em uma tora, como sugere a figura, determine a 
mínima intensidade da força que o homem precisa exercer na viga para 
arrancar o mourão. Para simplificar, desconsidere o peso da viga e 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
suponha que a força total exercida nela pelo homem esteja aplicada no 
ponto médio entre suas mãos. 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que, para arrancar um mourão fincado no chão, um homem, 
puxando-o diretamente com as mãos, tivesse de exercer nele uma força 
de intensidade 1800 N, no mínimo. Usando uma viga amarrada no 
mourão e apoiada em uma tora, comosugere a figura, determine a 
mínima intensidade da força que o homem precisa exercer na viga para 
arrancar o mourão. Para simplificar, desconsidere o peso da viga e 
suponha que a força total exercida nela pelo homem esteja aplicada no 
ponto médio entre suas mãos. 
9. Duas pessoas transportam uma prancha de madeira uniforme com 3 
m de comprimento e peso de 160 N. Se uma das pessoas aplica em 
uma extremidade uma força de baixo para cima de 60 N, em qual 
ponto a outra pessoa deve suspender a prancha? 
10. Uma barra uniforme de 350 N e 1,5 m é suspensa horizontalmente 
por dois cabos verticais presos em cada extremidade. O cabo A 
pode suportar uma tensão máxima de 500 N e o cabo B pode 
suportar até 400 N. Você deseja colocar um pequeno peso sobre 
essa barra. 
a. Qual é o peso máximo que você pode colocar sem romper 
qualquer um dos dois cabos? 
b. Em que ponto você deve colocar esse peso? 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
Parte II - Análise Estrutural 
 
Cargas Atuantes nas Estruturas 
 
Cargas Externas 
 
Uma estrutura pode estar sujeita à ação de diferentes tipos de carga, tais como 
pressão do vento, reação de um pilar ou viga, as rodas de um veículo, o peso de 
mercadorias, etc. Estas cargas podem ser classificadas quanto à ocorrência em 
relação ao tempo e quanto às leis de distribuição. 
 
Quanto à ocorrência em relação ao tempo: 
Cargas Permanentes: 
Atuam constantemente na estrutura ao longo do tempo e são devidas ao seu 
peso próprio, dos revestimentos e materiais que a estrutura suporta. Tratam-se de 
cargas com posição e valor conhecidos e invariáveis. 
 
 
 
 
Figura 4.1 – Exemplo de carga permanente 
 
Cargas Acidentais: 
São aquelas que podem ou não ocorrer na estrutura e são provocadas por 
ventos, empuxo de terra ou água, impactos laterais, frenagem ou aceleração de 
veículos, sobrecargas em edifícios, peso de materiais que preencherão a estrutura no 
caso de reservatórios de água e silos, efeitos de terremotos, peso de neve acumulada 
(regiões frias), etc. Estas cargas são previstas pelas Normas em vigor. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 – Exemplo de carga acidental 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
4.1 Quanto às leis de distribuição: 
 
Cargas concentradas: 
São cargas distribuídas aplicadas a uma parcela reduzida da estrutura, 
podendo-se afirmar que são áreas tão pequenas em presença da dimensão da 
estrutura que podem ser consideradas pontualmente (ex.: a carga de um pilar de 
transição em uma viga, a roda de um automóvel, etc.). 
 
Cargas distribuídas: 
Podem ser classificadas em uniformemente distribuídas e uniformemente 
variáveis. 
 
Uniformemente distribuídas: 
São cargas constantes ao longo ou em trechos da estrutura (ex.: peso próprio, 
peso de uma parede sobre uma viga, pressão do vento em uma mesma altura da 
edificação, etc.). 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3 – Exemplo de carga uniformemente distribuída 
 
Uniformemente variáveis: 
São cargas triangulares (ex.: carga em paredes de reservatório de líquido, 
carga de grãos a granel, empuxo de terra ou água, vento ao longo da altura da 
edificação, etc.). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4 – Exemplo de uniformemente variável 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
Aparelhos de Apoios 
 
A função básica dos vínculos ou apoios é de restringir o grau de liberdade das 
estruturas por meio de reações nas direções dos movimentos impedidos, ou seja, 
restringir as tendências de movimento de uma estrutura. Os vínculos têm a função 
física de ligar elementos que compõem a estrutura, além da função estática de 
transmitir as cargas ou forças. 
Os vínculos ou apoios são classificados em função de número de movimentos 
impedidos. Para estruturas planas existem três tipos de vínculos: 
 
 
 Vínculos de Primeira Ordem (apoio simples): 
 
São aqueles que impedem deslocamento somente em uma direção, 
produzindo reações equivalentes a uma força com linha de ação conhecida. Apenas 
uma reação será a incógnita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 – Aparelho de Apoio do 1º Gênero (R.C.Hibbeler) 
 
O deslocamento na direção y é impedido, logo, nesta direção, tem-se uma 
reação de apoio V (vertical). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
Vínculos de Segunda Ordem (articulação plana): 
 
São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em todas as 
direções, mas não podem restringir a rotação em torno da conexão. Portanto, a reação 
produzida equivale a uma força com direção conhecida, envolvendo duas incógnitas, 
geralmente representadas pelas componentes x e y da reação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.2 – Aparelho de Apoio do 2º Gênero (R.C.Hibbeler) 
 
Os deslocamentos nas direções x e y são impedidos, logo, nestas direções, 
têm-se duas reações de apoio H (horizontal) e V (vertical). 
 
 
5.1 Vínculo de Terceira Ordem (engaste ou apoio fixo): 
 
São aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre, imobilizando-o 
completamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.3 – Aparelho de Apoio do 3º Gênero (R.C.Hibbeler) 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
Os deslocamentos nas direções x, y e a rotação em z são impedidos, logo, 
nestas direções, têm-se três reações de apoio H (horizontal), V (vertical) e M 
(momento). 
Observação: Os vínculos podem ser chamados de 1ª, 2ª e 3ª ordem ou classe 
ou gênero ou tipo. 
 
Classificação da estrutura quanto à vinculação: 
 
Isostática: Em uma estrutura isostática o número de incógnitas é igual ao 
número de equações, ou seja, bastam as equações fundamentais da estática para 
determinar as suas reações de apoio. 
 
Hipostática: Nas estruturas hipostática os apoios são em menor número que o 
necessário para restringir todos os movimentos possíveis da estrutura. Ou 
 
Hiperstática: Estrutura hiperestática tem número de vínculos maior que o 
necessário. O número de reações de apoio excede o das equações fundamentais da 
estática. 
 
Estudo das Vigas Isostáticas 
 
Reações de Apoio 
Uma estrutura para estar em equilíbrio deve atender as equações de equilíbrio 
estático vistas anteriormente, este equilíbrio e garantido pelos aparelhos de apoios da 
estrutura. De maneira que as forças que equilibrarão o sistema provem dos mesmos, 
ou seja, as reações de apoio. O cálculo dessas reações é entendido de maneira mais 
fácil através do exemplo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
• Determinação das reações nos apoios de uma viga isostática: 
 
o 1º CASO - 1 Carga concentrada horizontal e 1 carga concentrada 
vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esquema Estrutural 
 
 
 
 
1º Passo – Dar nome as apoios, isso evita confundir a posição das reações que 
por ventura aparecerão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Passo – Identificar os apoios quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo 
suas respectivas reações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
Onde, 
VA = Reação vertical do apoio A (1º gênero); 
VB = Reação vertical do apoio B (2º gênero); 
HB = Reação horizontal do apoio B (2º gênero); 
3º Passo – Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na 
horizontal (eixo X). 
 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que 
aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações 
que apontem na direção positiva de X, (� +) (- ). 
 
 
 
 
Desta forma, determinamos a reação horizontal no apoioB que garante que a viga 
não se deslocará na horizontal. 
 
4º Passo – Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na 
vertical (eixo Y). 
 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que 
aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações 
que apontem na direção positiva de Y, (+ �) (- �). 
 
 
 
 
5º Passo – Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo 
Z). 
Como pode ser observado, com apenas duas das equações não se pode 
determinar os valores de VA e VB, desta forma faz-se uso da terceira equação de 
equilíbrio. Escolhe-se um dos apoios como ponto de referência de momento e 
verificamos quais forças e reações que tendem a promover rotação neste apoio. 
Neste exemplo escolheremos o apoio B como referência. Para o momento adota-se 
como positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário, . 
Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte 
forma: 
( )
;2
02
 0
kNHB
HB
Fx
=
=−
+→=Σ
( )
;4
04
 0
kNVBVA
VBVA
FY
=+
=++−
+↑=Σ
VA
VA
VA
M B
248
0248
0648
 0
=
=−
=×−×
=Σ
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
6º Passo – Com o conhecimento do valor da reação VA, voltamos ao 4º Passo e 
determinamos o valor de VB. 
 
 
 
 
 
Se analisarmos a estrutura, observaremos que os resultados são compatíveis 
com a figura, uma vez que a força vertical, 4kN, está mais próxima do apoio A, sua 
reação deverá ser maior, pois está sendo mais solicitado que o apoio B. O resultado 
final é apresentado abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
o 2º CASO - Várias cargas concentradas na direção vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esquema Estrutural 
 
 
 
 
 
kNVB
VB
VB
kNVBVA
1
34
43
4
=
−=
=+
=+
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
1º Passo – Dar nome as apoios, isso evita confundir a posição das reações que 
por ventura aparecerão. 
 
 
 
 
 
 
 
2º Passo – Identificar os apoios quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo 
suas respectivas reações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
VA = Reação vertical do apoio A (1º gênero); 
VB = Reação vertical do apoio B (2º gênero); 
HB = Reação horizontal do apoio B (2º gênero); 
 
3º Passo – Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na 
horizontal (eixo X). 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que 
aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações 
que apontem na direção positiva de X, (� +) (- ). 
 
 
 
Como pode ser visto na figura, não existe solicitação no eixo X, desta forma, sem 
solicitação não haverá reação do apoio do 2º gênero na direção correspondente. 
 
( )
0
 0
=
+→=Σ
HB
Fx
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
4º Passo – Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na 
vertical (eixo Y). 
 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que 
aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações 
que apontem na direção positiva de Y, (+ �) (- �). 
 
 
 
 
5º Passo – Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo 
Z). 
Como pode ser observado, com apenas duas das equações não se pode 
determinar os valores de VA e VB, desta forma faz-se uso da terceira equação de 
equilíbrio. Escolhe-se um dos apoios como ponto de referência de momento e 
verificamos quais forças e reações tendem a promover rotação neste apoio. Neste 
exemplo escolheremos o apoio B como referência. Para o momento adota-se como 
positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário, . 
 
Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
6º Passo – Com o conhecimento do valor da reação VA, voltamos ao 4º Passo e 
determinamos o valor de VB. 
 
 
 
 
 
 
 
( )
;12
0444
 0
kNVBVA
VBVA
FY
=+
=++−−−
+↑=Σ
kNVA
VA
VA
VA
VA
M B
6
8
48
488
0816248
02444648
 0
=
=
=
=−−−
=×−×−×−×
=Σ
kNVB
VB
VB
kNVBVA
6
612
126
12
=
−=
=+
=+
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
o 3º CASO - Carga de momento aplicado com carga horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
Esquema Estrutural 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )←=
=+−
+→=Σ
kNHB
HB
Fx
3
03
 0 ( )
0
 0
=+
+↑=Σ
VBVA
FY
( )↓=
−=
=
−=
=+×
=Σ
kNVA
kNVA
VA
VA
VA
M B
67,0
67,0
6
4
46
046
 0
( )↑=
=+−
kNVB
VB
Calculo
67,0
067,0
VB de 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
o 4º CASO - Carga uniformemente distribuída. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esquema Estrutural 
 
 
 
 
 
 
1º Passo – Dar nome as apoios, isso evita confundir a posição das reações que 
por ventura aparecerão. 
 
 
 
 
 
 
 
2º Passo – Identificar os apoios quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo 
suas respectivas reações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
Onde, 
VA = Reação vertical do apoio A (1º gênero); 
VB = Reação vertical do apoio B (2º gênero); 
HB = Reação horizontal do apoio B (2º gênero); 
 
3º Passo – Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na 
horizontal (eixo X). 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que 
aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações 
que apontem na direção positiva de X, (� +) (- ). 
 
 
 
Como pode ser visto na figura, não existe solicitação no eixo X, desta frma, sem 
solicitação não haverá reação do apoio do 2º gênero na direção correspondente. 
 
4º Passo – Cálculo da carga resultante do carregamento distribuído. 
 
Neste momento, reduz a carga distribuída a uma carga concentrada equivalente, 
chamada carga resultante e é determinada pelo cálculo da área do carregamento e 
será aplicada no centro de gravidade da figura formada pelo carregamento. Como 
segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5º Passo – Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na 
vertical (eixo Y). 
 
Faz-se a soma algébrica da a carga resultante e das reações que aparecem na 
vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem 
na direção positiva de Y, (+ �) (- �). 
 
( )
0
 0
=
+→=Σ
HB
Fx
( )
;24
024
 0
kNVBVA
VBVA
FY
=+
=++−
+↑=Σ
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
 
 
 
6º Passo – Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo 
Z). 
Como pode ser observado, com apenas duas das equações não se pode 
determinar os valores de VA e VB, desta forma faz-se uso da terceira equação de 
equilíbrio. Escolhe-se um dos apoios como ponto de referência de momento e 
verificamos quais forças e reações tendem a promover rotação neste apoio. Neste 
exemplo escolheremos o apoio B como referência. Para o momento adota-se como 
positivo a rotação no sentido horário e negativo no caso contrário, . 
 
Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
7º Passo – Com o conhecimento do valor da reação VA, voltamos ao 4º Passo edeterminamos o valor de VB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
kNVA
VA
VA
VA
VA
M B
12
6
72
726
0726
03246
 0
=
=
=
=−
=×−×
=Σ
kNVB
VB
VB
kNVBVA
12
1224
2412
24
=
−=
=+
=+
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
o 5º CASO – Apoio do Terceiro Gênero - Cargas Concentrada e Carga 
horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esquema Estrutural 
 
 
 
 
 
1º Passo – Identificar o apoio quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas 
respectivas reações. Como só temos um apoio do terceiro gênero, ou seja, 
um engaste. Desta maneira, representamos suas três reações no mesmo 
ponto, como abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
VA = Reação vertical do apoio A; 
HA = Reação horizontal do apoio A; 
MA = Reação de momento do apoio A; 
 
2º Passo – Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na 
horizontal (eixo X). 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que 
aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações 
que apontem na direção positiva de X, (� +) (- ). 
 
 
 
 
3º Passo – Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na 
vertical (eixo Y). 
 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que 
aparecem na vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações 
que apontem na direção positiva de Y, (+ �) (- �). 
 
 
 
 
5º Passo – Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo 
Z). 
Como pode ser observado, neste apoio temos a presença de uma reação de 
momento que entrará no somatório dos momentos, pois é a reação de equilíbrio que 
estamos procurando. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido 
horário e negativo no caso contrário, . 
 
Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
kNHA
HA
Fx
3
03
 0
=
=−
+→=Σ
( )
;12
0444
 0
kNVA
VA
FY
=
=+−−−
+↑=Σ
mkNMA
MA
MA
M A
.48
81624
0244464
 0
=
+++=
=×+×+×+−
=Σ
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
o 6º CASO – Apoio do Terceiro Gênero - Carga Uniformemente 
Distribuída e Carga Horizontal. 
 
 
 
 
 
 
Esquema Estrutural 
 
 
 
 
1º Passo – Identificar o apoio quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas 
respectivas reações. Como só temos um apoio do terceiro gênero, ou seja, 
um engaste. Desta maneira, representamos suas três reações no mesmo 
ponto, como abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
VA = Reação vertical do apoio A; 
HA = Reação horizontal do apoio A; 
MA = Reação de momento do apoio A; 
 
2º Passo – Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na 
horizontal (eixo X). 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que 
aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações 
que apontem na direção positiva de X, (� +) (- ). 
 
 
 
( )
kNHA
HA
Fx
3
03
 0
=
=−
+→=Σ
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
 
3º Passo – Cálculo da carga resultante do carregamento distribuído. 
 
Neste momento, reduz-se a carga distribuída a uma carga concentrada 
equivalente, chamada carga resultante e é determinada pelo cálculo da área do 
carregamento e será aplicada no centro de gravidade da figura formada pelo 
carregamento. Como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º Passo – Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na 
vertical (eixo Y). 
 
Faz-se a soma algébrica da a carga resultante e das reações que aparecem na 
vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem 
na direção positiva de Y, (+ �) (- �). 
 
 
 
 
5º Passo – Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo 
Z). 
Como pode ser observado, neste apoio temos a presença de uma reação de 
momento que entrará no somatório dos momentos, pois é a reação de equilíbrio que 
estamos procurando. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido 
horário e negativo no caso contrário, . 
 
Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte 
forma: 
 
 
( )
;12
012
 0
kNVA
VA
FY
=
=+−
+↑=Σ
mkNMA
MA
MA
M A
.18
18
05,112
 0
=
=
=×+−
=Σ
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
o 7º CASO – Apoio do Terceiro Gênero - Carga de Momento Aplicado E 
Carga Horizontal. 
 
 
 
 
 
Esquema Estrutural 
 
 
 
 
 
 
1º Passo – Identificar o apoio quanto aos seus graus de liberdade, atribuindo suas 
respectivas reações. Como só temos um apoio do terceiro gênero, ou seja, 
um engaste. Desta maneira, representamos suas três reações no mesmo 
ponto, como abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
VA = Reação vertical do apoio A; 
HA = Reação horizontal do apoio A; 
MA = Reação de momento do apoio A; 
 
2º Passo – Utilização da primeira equação de equilíbrio, somatório das forças na 
horizontal (eixo X). 
Neste momento, faremos a soma algébrica de todas as forças e reações que 
aparecem na horizontal, eixo X, adotando como positivas todas as forças e/ou reações 
que apontem na direção positiva de X, (� +) (- ). 
 
 
 
( )
kNHA
HA
Fx
3
03
 0
=
=−
+→=Σ
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
 
3º Passo – Utilização da segunda equação de equilíbrio, somatório das forças na 
vertical (eixo Y). 
 
Faz-se a soma algébrica da a carga resultante e das reações que aparecem na 
vertical, eixo Y, adotando como positivas todas as forças e/ou reações que apontem 
na direção positiva de Y, (+ �) (- �). 
 
 
 
4º Passo – Utilização da terceira equação de equilíbrio, somatório dos momentos (eixo 
Z). 
Como pode ser observado, neste apoio temos a presença de uma reação de 
momento que entrará no somatório dos momentos, pois é a reação de equilíbrio que 
estamos procurando. Para o momento adota-se como positivo a rotação no sentido 
horário e negativo no caso contrário, . 
 
Lembrando que momento é igual a força x distância, prosseguimos da seguinte 
forma: 
 
 
 
 
Como apresentado, para toda determinação das reações de apoio, sempre 
serão utilizadas as equações de equilíbrio estático. O procedimento adotado segue 
esse padrão, o entendimento desta etapa da análise estrutural é de fundamental 
importância para o desenvolvimento dos diagramas de esforços internos, assunto que 
será abordado com maior detalhe no futuro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
0
 0
=
+↑=Σ
VA
FY
mkNMA
MA
M A
.4
04
 0
=
=+−
=Σ
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
Exercícios Propostos. 
Calcule as reações de apoio das estruturas isostáticas abaixo. 
a) 
 
 
 
Estudo das Vigas Geber ???????? 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
f) 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
Esforços internos 
 
Vimos, anteriormente, como um sistema de forças encontra seu equilíbrio, através das reações 
de apoio, quando solicitado por carregamentos que as provocam. Agora vamos conhecer os 
efeitos que essas cargas e reações imprimem em cada seção da estruturasolicitada. Em uma 
seção qualquer, para se manter o equilíbrio, as forças atuantes no lado esquerdo devem ser 
iguais às forças atuantes no lado direito, Figura XX. 
 
 
 
 
 
 
Figura XX – Esforços internos 
 
Uma seção S de uma estrutura em equilíbrio está submetida a um par de forças F e –F 
e um par de momentos M e –M aplicados no seu centro de gravidade, resultantes dos esforços 
atuantes à direita e à esquerda da seção. 
 
 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
 
 
 
Decompondo a força resultante e o momento em duas componentes, uma 
perpendicular e a outra paralela à seção, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, têm-se os seguintes esforços solicitantes: 
N = força normal (força perpendicular à seção S); 
Q = esforço cortante (força pertencente à seção S); 
T = momento torçor (momento perpendicular à seção S); 
M = momento fletor (momento pertencente à seção S). 
 
Esforço Normal (N): é a soma algébrica de todas as componentes, na direção normal 
à seção, de todas as forças atuantes de um dos lados da seção. Por convenção, o esforço 
normal é positivo quando determina tração e negativo quando determina compressão. 
 
 
 
 
Esforço Cortante (Q): é a soma vetorial das componentes sobre o plano da seção das forças 
situadas de um mesmo lado da seção. Por convenção, as projeções que se orientarem no 
sentido dos eixos serão positivas e nos sentidos opostos, negativas. 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
 
 
Momento Fletor (M): é a soma vetorial das componentes dos momentos atuantes sobre a 
seção, situados de um mesmo lado da seção em relação ao seu centro de gravidade. 
 
 
 
 
 
No caso de momento fletor, o sinal positivo ou negativo é irrelevante, importante é 
determinar o seu módulo e verificar onde ocorre compressão e tração. 
 
 
3.1. Método das seções 
 
Imagine-se uma estrutura qualquer com forças aplicadas; considerando que as partes 
do corpo têm de estar em equilíbrio quando o corpo o está, e fazendo-se um corte imaginário 
perpendicular ao eixo da viga, qualquer parte da viga poderá ser considerada como um corpo 
livre. Cada um dos segmentos da viga está em equilíbrio, cujas condições exigem a existência 
de um sistema de forças na seção de corte da viga. Em geral, na seção de uma viga, são 
necessários uma força vertical, uma horizontal e um momento para manter a parte da viga em 
equilíbrio. 
A representação gráfica dos esforços internos em qualquer ponto da viga, 
representados em função de uma distância x a partir de uma das extremidades da mesma, se 
dá através dos chamados diagramas de estado ou diagramas de esforços internos. Por meio 
desses diagramas é possível a determinação dos valores máximos absolutos do esforço 
cortante, do momento fletor e do esforço normal. 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
 
5. Vigas Biapoiadas e Diagramas de Esforços Internos 
 
o 1º CASO - 1 Carga concentrada horizontal e 1 carga concentrada 
vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Esforços 
 
Diagrama de Esforço Normal (DEN) 
 
 
 
 
Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Momento Fletor (DMF) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
 
o 2º CASO - Várias cargas concentradas na direção vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Esforço Normal (DEN) 
 
 
 
 
Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Momento Fletor (DMF) 
 
 
 
 
 
 
 
o 3º CASO - Carga de momento aplicado com carga horizontal. 
 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
 
Diagrama de Esforço Normal (DEN) 
 
 
 
 
Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 
 
 
 
 
 
Diagrama de Momento Fletor (DMF) 
 
 
 
 
 
 
 
 
o 4º CASO - Carga uniformemente distribuída. 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Esforço Normal (DEN) 
 
 
 
 
Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 
 
 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
 
 
Diagrama de Momento Fletor (DMF) 
 
 
 
 
 
 
o 5º CASO – Apoio do Terceiro Gênero - Cargas Concentrada e Carga 
horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Esforço Normal (DEN) 
 
 
 
 
 
Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Momento Fletor (DMF) 
 
 
 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
 
 
o 6º CASO – Apoio do Terceiro Gênero - Carga Uniformemente 
Distribuída e Carga Horizontal. 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Esforço Normal (DEN) 
 
 
 
 
 
Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 
 
 
 
 
 
Diagrama de Momento Fletor (DMF) 
 
 
 
 
 
 
 
o 7º CASO – Apoio do Terceiro Gênero - Carga de Momento Aplicado E 
Carga Horizontal. 
 
 
 
 
 
Estabilidade das Construções para Técnicos 
 
 
Diagrama de Esforço Normal (DEN) 
 
 
Estudo dos Quadros Isostáticos ???????? 
 
 
Diagrama de Esforço Cortante (DEC) 
 
 
 
 
Diagrama de Momento Fletor (DMF) 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos. 
Fazer os diagramas das vigas do exercicio anterior