CargasTriangeSenoidRevMarco2011

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CTU Depto de Estruturas, 6TRU014 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim Rev. 22/03/2011 
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1
6TRU014: Mecânica II 
Prof. Roberto Buchaim 
Exercícios resolvidos, Revisão em 22/03/2011 
 
Exercícios de Vigas Isostáticas 
 
 
1º Exercício - Determinar para a viga bi-apoiada abaixo as reações de apoio, e os 
diagramas dos esforços solicitantes. Usar as equações indefinidas de equilíbrio. 
 
 
 
 
Dados 



=
=
ml
mKNq
8
/90
 
 
1º passo: Determinação da função )(xq 
 
Conforme a figura, por semelhança de triângulos tem-se x
l
q
xq
l
q
x
xq 00 )()( =∴= 
 
Ou ainda , pode-se partir da equação geral da reta baxxq +=)( , com as 
condições: 




=∴==⇒=
=∴+==⇒=
l
q
alaqlqlx
bbaqx
0
0 .)(
00.0)0(0
 donde x
l
q
xq 0)( = , como antes. 
 
 
 
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2
2
2º passo: Cálculo das reações de apoio 
 
Estas são obtidas através das equações de equilíbrio, calculando-se antes o total 
de carga aplicada na viga, bem como sua posição na viga. 
 
( )∫ ∫ =−====
l l l lql
l
qx
l
q
xdx
l
qdxxqQ
0
0220
0 0
2
00
2
0
22
)( 
 
(esta expressão também é igual à área do carregamento da viga, um triângulo de 
base l e altura 0q ). 
 
Posição da resultante Q ( igualam-se os momentos estáticos em relação ao ponto 
A da carga resultante e da carga distribuída ao longo da viga ): 
 
[ ]∫=
l
CG xdxxqxQ
0
)(. ou ∫=
l
CG dxxl
q
x
lq
0
200
2
 
 
 
 
Isolando CGx tem-se: 
 
[ ] lxl
l
ll
l
x
l
dxx
l
q
lq
x CG
ll
CG 3
2
3
2
3
20
3
2
3
22
2
3
33
2
00
3
2
20
0
=∴==−=





== ∫ 
 
(posição do centro de gravidade de um triângulo retângulo de base l e altura 0q ) 
 
Cálculo das reações de apoio 
 
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3
3
 
 
 
∑ = 0Ma lQlRB 3
2
. = 
23
2
3
2 0 lqQR B ==∴ 3
0lqRB = 
 
3º passo: Determinação da força cortante ( )xV pela equação indefinida de 
equilíbrio: 
 
l
xq
xq
dx
xdV 0)()( −=−= 
 
Integrando de 0 a x tem-se: 
 
∫ +−= 10)( Cxdxl
q
xV 1
2
0
2
)( Cx
l
q
xV +−= 
 
Cálculo do valor da constante 1C : para 0=x resulta 6
)0( 0lqRV A == 
6
0
26
0
11
00 lqCC
l
qlq
=∴+⋅−= 
 
62
)( 020 lqx
l
q
xV +⋅−= 
62
)( 0
2
2
0 lq
l
xlq
xV +⋅−= 








+





−=
3
1
2
)(
2
0
l
xlq
xV 
 
ou ainda, denominando 
l
x
=ξ a abscissa adimensional, obtém-se 
 
 




+−=
3
1
2
)( 20 ξξ lqV 
 
∑ = 0Fy QRR BA =+ 632
000 lqlqlqRA =−= 2
B
A
RR = 
 
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4
 A força cortante se anula para 
3
3
3
10
3
12
===⇒=



+−
l
xξξ 
Ou llx 577.0
3
3
≅⋅= ( um pouco além do meio do vão ). 
 
Conferindo, no apoio B : lx = ou 1==
l
xξ 
 
 BR
lqlqlqlqV −=−=





−=



+−=



+−==
33
2
23
1
3
3
23
11
2
)1( 00020ξ OK 
 
4º passo: Determinação do momento fletor ( )xM pela equação indefinida de 
equilíbrio: 
 






+−−==
3
1
2
)()( 2
2
0
l
xlq
xV
dx
xdM
 
 
Integrando os dois lados, tem-se: 
 
∫ +





+−−= 22
2
0
3
1
2
)( Cdx
l
xlq
xM 22
3
0
3
1
32
)( C
l
xlq
xM +





+−−= 
23
3
0
32
)( Cl
l
xl
l
xlq
xM +





⋅+⋅−
⋅
−= 2
32
0
6
)( C
l
x
l
xlq
xM +








+





−−= 
 
Cálculo da constante 2C : para 0=x tem-se 006
0)0( 22
2
0
=∴+×−== CClqM 
 














−=
32
0
6
)(
l
x
l
xlq
xM ou [ ]3206)( ξξζ −=
lq
M (parábola cúbica) 
 
Conferindo: para lx = 0)( =lM . OK 
O momento máximo, maxM , ocorre para 0=V . Logo, 
3
3
=ξ . Substituindo na 
equação de )(ξM , obtém-se: 
 
















−=
32
0
3
3
3
3
6
max
lq
M 385,0
6
2
0lq≅
588,15
2
0lq
= 
 
 
 
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5
5º Passo: Gráficos , com mKNq 90 = e ml 8= 
 
( )m
x
 
l
x
=ξ 
( )ll 
( ) 



−=



−=
220
3
136
3
1
2
ξξξ lqV
 
( )KN 
( ) [ ] [ ]2220 1961
6
ξξξξξ −=−= lqM 
( )mKN. 
0 0 12 0 
1 0,125 11,4375 11,8125 
2 0,25 9,75 22,5 
3 0,375 6,9375 30,9375 
4 0,5 3 36 
4.62 0,5774 0 maxM 36.9504 
5 0, -2,0625 36,5625 
6 0,75 -8,25 31,5 
7 0,875 -15,5625 19,6875 
8 1 -24 0 
 
 
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6
6
-24
-20
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
0 2 4 6 8
Abscissa (m)
Viga Isostática, Carga Triangular: Força Cortante (kN)
V(x)
 
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 2 4 6 8
Abscissa (m)
Viga Isostática, Carga Triangular: Momento Fletor (kNm)
M(x)
 
 
 
 
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2º Exercício- Determinar para a viga bi-apoiada da figura as reações de apoio e 
os diagramas dos esforços solicitantes. Usar as equações indefinidas de 
equilíbrio. (Obs.: Esta carga é usada em superestruturas de pontes). 
 
 
 
 
Dados 



=
=
ml
mKNq
8
/90
 
 
1º Passo: Determinação da função )(xq 
 
( )BlAxq sen.)( = condições de contorno: ( )

==⇒=
=⇒=
BlAlqlx
qx
sen.0)(
0)0(0
 
 
Como ( ) 0sen0 =⇒≠ BlA ou 
l
BBl pipi =∴= 
 
Para 
2
l
x = resulta ( ) 





=





==
22
.2 0
pipi Asenl
l
senAqlq . E como 012
sen qA =∴=




pi
 
Logo, 





=
l
x
senqxq pi0)( 
 
2º Passo: Cálculo das reações de apoio 
 
No caso, por causa da simetria, as reações de apoio são iguais à metade da carga 
total aplicada Q , que vale: 
 
∫ ∫ 





==
l l
dx
l
x
senqdxxqQ
0 0
0)(
pi
 
ll
l
xlq
l
xd
l
x
sen
lqQ
00
00 cos 











−=











= ∫
pi
pi
pipi
pi
 
 
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8
 A variável x está no intervalo [ ]l,0 . Mudando a variável para 
l
xpi
, esta nova 
variável estará no intervalo [ ]pipipi ,0.,0. =



l
l
l
, donde 
 
( ) ( )[ ]0coscos0 −−= pi
pi
lqQ [ ]
pipi
lqlqQ 00 211 =−−−= lqlqlqQ 000 6366,057,1
2
=≅





=
pi
 
 
Logo 
pi
lqQRR BA 02 === 
 
3º passo: Determinação da força cortante ( )xV pela equação indefinida de 
equilíbrio: 
 






−=−=
l
xqxq
dx
xdV .
sen)()( 0
pi
 
 
Integrando os dois lados tem-se: 
 
∫ +





−= 10)( Cdxl
x
senqxV pi ∫ +











−= 1
0)( C
l
xd
l
x
sen
lq
xV pipi
pi1
0 cos)( C
l
xlq
xV +











−−=
pi
pi
 1
0 cos)( C
l
xlq
xV +











=
pi
pi
 
 
Cálculo do valor da constante 1C : para 0=x tem-se pi
lq
RV A 0)0( == . 
 
( ) ( ) 00cos0 11
1
00
=∴+








== CClqlqV
876
pipi
 
Logo ( ) 





=
l
xlq
xV .cos0 pi
pi
 
 
Conferindo para 
( ) ( )
( )







=





=





=⇒=
−==−=⇒=
−
0
2
cos
2
cos22
cos
00
0
1
0
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
lql
l
lqlVlx
lqlq
RlVlx B
876
 
 
4º passo: Determinação do momento fletor ( )xM pela equação indefinida de 
equilíbrio: 
 






==
l
xlq
xV
dx
xdM pi
pi
cos)()( 0 
 
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9
Integrando os dois lados tem-se: 
 
∫ +





= 2
0 cos)( Cdx
l
xlq
xM pi
pi
 ∫ +











= 2
0 cos)( C
l
xd
l
xllq
xM pipi
pipi
 
22
2
0)( C
l
x
sen
lq
xM +





=
pi
pi
 
 
Cálculo do valor da constante 2C : para 0=x tem-se 
( ) 00sen0)0( 22
0
2
2
0
=∴+== CClqM
48476
pi
 
 
( ) 





=
l
xlq
xM .sen2
2
0 pi
pi
 
 
O máximo momento fletor, maxM , ocorre para 0=V , o que se dá na abscissa 
2
l
x = . Substituindo na equação de )(xM , vem: 
 






=
2
senmax 2
2
0 l
l
lq
M pi
pi 2
2
0
pi
lq
=
87,9
2
0lq≅ 
 
 
5º Passo: Gráficos , com mKNq 90 = e ml 8= 
 
( )m
x 8
x
l
x pipi
= 
( )rad (*) 
( ) 





=





=
8
cos
72
cos0
x
l
xlq
xV pi
pi
pi
pi
 
( )KN 
( ) 





=





=
8
361,582
2
0 xsen
l
x
sen
lq
xM pipi
pi
 
( )KNm 
0 0 22,9183 0 
0,5 0,1963 22,4779 11,3857 
1 0,3927 21,1738 22,3338 
1,5 0,5890 19,0559 32,4236 
2 0,7854 16,2057 41,2675 
2,5 0,9817 12,7237 48,5254 
3 1,1781 8,7705 53,9185 
3,5 1,3744 4,4711 57,2396 
4 1,5708 0 maxM 58,361 
5 1,9635 -8,7705 53,9185 
6 2,3562 -16,2057 41,2675 
7 2,7489 -21,1738 22,3338 
8 3,1416 -22,9183 0 
 
(*): Notar que o ângulo, na calculadora, deve ser posto em radianos. 
 
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10
10
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8
Abscissa (m)
Viga Isostática, Carga Senoidal: Força Cortante (kN)
V(x)
 
60
50
40
30
20
10
0
0 2 4 6 8
Abscissa (m)
Viga Isostática, Carga Senoidal: Momento Fletor (kNm)
M(x)
 
.