Lista 01 Funções e Limite de Várias Variáveis

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Professor: Éwerton Veríssimo 
 
 
 
1. Determine e faça o esboço do domínio das funções. 
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦 
b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln⁡(9 − 𝑥2−9𝑦2) 
c. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √36 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 
d. 𝑓(𝑥, 𝑦) =
√𝑦−𝑥²
1−𝑥²
 
 
2. Determine o domínio e imagem das funções. 
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
𝑥2+𝑦2−1
 
b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 − 3𝑦2 + 9 
c. 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥4−𝑦4
𝑥2−𝑦2
 
d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln⁡(𝑥𝑦 − 1) 
e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 8 − 𝑥2 − 𝑦² 
f. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑦2 − 2𝑥2 
g. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √2𝑥2 + 3𝑦² 
h. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥 
 
 
3. Esboçe as curvas de nível das funções. 
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥2 − 𝑦² 
b. 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
√16−𝑥2−𝑦²
 
c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 + 9𝑦² 
d. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦 
e. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 9𝑦2 
 
4. Encontre uma equação para a curva de nível da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 16 − 𝑥2 − 𝑦2 
que passa pelo ponto (2√2,√2). Identifique a curva de nível obtida. 
 
5. Esboçe uma superfície de nível para as funções. 
a. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥2
4
+
𝑦2
4
+
𝑧2
4
 
b. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 
c. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥2
25
+
𝑦2
16
+
𝑧2
9
 
 
6. Encontre uma equação para a superfície de nível da função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) que passa pelo ponto (-1,2,1). Identifique a superfície de 
nível obtida. 
 
Lista 01 - Cálculo Vetorial 
Funções e Limites de Várias Variáveis; 
 
 
 
Professor: Éwerton Veríssimo 
7. Determine o resultado do limite das funções. 
a. lim(𝑥,𝑦)→(𝜋
2
,0)
𝑐𝑜𝑠𝑦+1
𝑦−𝑠𝑒𝑛𝑥
 
b. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑒𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
 
c. lim(𝑥,𝑦)→(0,𝑙𝑛2) 𝑒
𝑥−𝑦 
d. lim(𝑥,𝑦)→(1,1)
𝑥𝑦−𝑦−2𝑥+2
𝑥−1
 
e. lim(𝑥,𝑦)→(1,1)
𝑦+4
𝑥2𝑦−𝑥𝑦+4𝑥2−4𝑥
 
f. lim(𝑥,𝑦)→(2,2)
𝑥+𝑦−4
√𝑥+𝑦−2
 
g. lim(𝑥,𝑦)→(4,3)
√𝑥−√𝑦+1
𝑥−𝑦−1
 
h. lim(𝑥,𝑦)→(5,1)
𝑥2−10𝑥𝑦+25𝑦²
𝑥−5𝑦
 
i. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑠𝑒𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠²𝑦
𝑒2𝑥+𝑒2𝑦
 
j. lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(3,3,0)(𝑠𝑒𝑛
2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦 +
𝑠𝑒𝑐²𝑧) 
k. lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(𝜋 3⁄ ,1,𝜋)
𝑠𝑒𝑐𝑥𝑦+𝑠𝑒𝑐𝑦𝑧
𝑦−𝑠𝑒𝑐𝑧
 
l. lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(𝜋,0,3) 𝑧𝑒
−2𝑦𝑐𝑜𝑠2𝑥 
 
8. Verifique a não-existência dos limites. 
a. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥−𝑦
2𝑥+𝑦
 
b. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
3𝑥𝑦
4𝑥2+5𝑦²
 
c. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3
𝑥3+𝑦2
 
d. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑦4+3𝑥2𝑦2+2𝑦𝑥3
(𝑦2+𝑥2)2
 
e. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
2𝑥
√𝑥2+𝑦2
 
f. lim(𝑥,𝑦)→(1,0)
(𝑥−1)2𝑦
(𝑥−1)4+𝑦2
 
g. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2+𝑦
𝑦
 
h. lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4𝑦4
(𝑥2+𝑦4)3
 
 
9. Verifique a continuidade das funções. 
a. 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑥2−𝑦𝑥
𝑥2−𝑦²
, 𝑠𝑒⁡𝑥 ≠ ±𝑦
⁡⁡
1
4
(𝑥 + 𝑦), 𝑠𝑒⁡𝑥 = ±𝑦
⁡, 𝑃(1,1) 
 
b. 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
𝑦2+2𝑥
𝑦2−2𝑥
, 𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0,⁡⁡⁡⁡𝑠𝑒⁡(𝑥, 𝑦) = (0,0)
 
 
c. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦 − 4⁡⁡, 𝑃(1,2)