integrais

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 Matemática I Profª. Raquel Gondim 
Integrais 
 
1. Diferencial 
 
Seja y=f(x) uma função derivável. A diferencial de dx é uma variável independente. 
A diferencial dy é: dy=f’(x)dx ou 
)(' xf
dx
dy
. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
2. A INVERSA da DIFERENCIAÇÃO – ANTIDIFERENCIAÇÃO ou ANTIDERIVADA 
 
Uma função F é chamada de antiderivada de uma função f em um intervalo I se F’(x)=f(x), I. 
Por exemplo, se 
xxxfxxxFxxxF 212)(212)('54)( 2223
 é a derivada de F(x) e F(x) é 
uma antiderivada de f. 
Se 
xxxfxxxGxxxG 212)(212)('174)( 2223
, então G(x) é também antiderivada de f. 
Em geral: 
Se F é uma antiderivada de f em I se G(x)=F(x) +C G’(x)=F’(x)=f(x). 
 
Exemplos: 
 
Exercício 
 
1) Determine uma primitiva (antiderivada) para cada função. Verifique suas respostas derivando. 
a) f(x) = 6x e) 
xxf )(
 
b) 
7)( xxf
 f) 
1)( xxf
 
c) 
86)( 7 xxxf
 
d) 
43)( xxf
 
 
2. Integral 
A antidiferenciação é o processo pelo qual a antiderivada mais geral de uma função é encontrada. Denotamos 
por: 
,)()( CxFdxxf
onde F’(x)=f(x) ou d(F(x))=f(x)dx 
CxFxFd )())((
 
 
 
 2 
 
 
2.1 Integrais Indefinidas 
 
dxxf )(
, a função f é o integrando de uma integral e o x é a variável de integração. 
Temos: 
CxFdxxf )()(
, onde C é uma constante. 
Propriedades da Integral: 
1. Multiplicação por constante: 
dxxfkdxxkf )()(
 
2. k= -1 
dxxfdxxf )()(
 
3. Soma e diferença 
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
 
Exemplos: 
 
Exercício 
1) Calcule: 
a) 
dxx )14(
 
b) 
dxx 3
 
c) 
dxxsen )(
 
d) 
dxx)cos(
 
e) 
dxe x
 
f) 
dxxxx )2( 32
 
2) Encontre a função que se ajuste aos dados, os quais descrevem a temperatura mínima da superfície do solo 
f(
Co
), em determinada época do ano, com temperatura mínima do ar igual a 9°C, sendo x(g/m 2 ) o resíduo de 
planta e biomassa na superfície. 
x 10 20 30 40 50 60 70 
f(x) 7.24 7.30 7.36 7.42 7.48 7.54 7.60 
 
3) Se a renda marginal (variação da renda total) de uma fabrica é dada por 
21227 xx
, encontre a função 
renda total e equação da demanda, de acordo com o número de peça produzida. 
x é o número de unidades produzidas. 
R(x) é a função custo total 
 
5) Encontre a solução completa 
3
2
2
x
dx
yd
 
 
2.3. Integral por Substituição 
 
Algumas vezes é possível encontrarmos uma primitiva aplicando fórmulas diretamente, contudo nem 
sempre é possível. Nestes casos usamos a técnica da substituição. 
 
c
n
u
duu
n
n
1
1 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
Exercício: 
 
1) Calcule as integrais abaixo: 
a) 
dxxx 132
, u =
13x
 b) 
dx
x
x
21
2
, u =
21 x
 
c) 
dxxxsen )2( 2
, u =
22x
 d) 
dxxx
243 1
, u =
14x
 
 
Agora você descobre o u e resolve: 
 
e) 
dxx23
 f) 
1x
dx
 g) 
dxx )57cos(
 
h) 
dxxsen3(cos)
 
 
2.4 A Integral Definida 
 
Uma partição de um intervalo [a,b] da reta real é um conjunto finito de pontos {xo,x1,...,xn} em R tal que: 
a=x0 < x1 < ... < xn=b 
 
Ij=[xj,xj+1] é o j-ésimo subintervalo da partição. Dado um intervalo [a,b], podemos tomar uma partição muito 
particular, como aquela que toma pontos de modo que os subintervalos da partição tenham comprimentos iguais. 
Tomaremos apenas os primeiros pontos da partição e faremos uma análise geométrica da curva no sub-intervalo 
[xo,x1]. Para os outros sub-intervalos ocorre uma situação similar. A área sob a curva no intervalo [xo,x1] pode 
ser obtida através da área S1 do retângulo cuja base mede dx=x1-xo e a altura é a linha tracejada cuja medida é 
dada por f(c1) onde c1 é um ponto em [xo,x1]. 
 
Existe uma compensação da área "branca" que fica acima da curva e dentro do retângulo com a área "branca" 
que fica abaixo da curva e fora do retângulo. 
Em cada subintervalo Ij=[xj,xj+1] desta partição tomamos um ponto genérico qualquer cj e formamos n 
retângulos, todos com as bases de medida dx e alturas dadas por: 
f(c1), f(c2), ..., f(cn) 
Se a partição tem n subintervalos, denotamos por Sn a soma das áreas dos n retângulos: 
Sn = f(c1)dx + f(c2) dx + ... + f(cn)dx = n
j
j dxcf
1
)(
 
sendo a soma realizada sobre todos os j=1...n. 
Se essas somas forem calculadas para todos os valores de n, formaremos uma seqüência: 
{S1, S2, ..., Sn, ...} 
Se esta seqüência numérica {Sn} é convergente para um número real bem definido, diz-se que f é integrável no 
intervalo [a,b] e o valor do limite desta seqüência é denotado por: 
= 
 
 
 4 
 
 
 
A expressão da esquerda é a integral de f entre os limitantes de integração a e b e a expressão da direita é o 
limite da seqüência de somas parciais Sn. 
Onde: 
 
 
2.4.1 Propriedades da Integral definida 
 
A definição de integral é abstrata e tem pouco uso operacional. Em função disto, introduzimos mecanismos que 
facilitam certos cálculos e os principais são as propriedades das integrais. 
 
Proposição 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então f+g ou f-g é integrável no mesmo 
intervalo e além disso: 
b 
 
a 
(f+g)(x) dx = 
b 
 
a 
f(x) dx + 
b 
 
a 
g(x) dx 
Proposição 2: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c uma constante qualquer, então a função cf é 
integrável e 
b 
 
a 
(c.f)(x) dx = c 
b 
 
a 
f(x) dx 
As duas proposições acima constituem as propriedades lineares da integral definida, sendo que as 
demonstrações das mesmas são relativamente simples, com o uso da definição de integral apresentada. 
 
Proposição 3: Se f é uma função integrável nos intervalos [a,c] e [c,b], então f é integrável em [a,b] e além 
disso: 
b 
 
a 
f(x) dx = 
c 
 
a 
f(x) dx + 
b 
 
c 
f(x) dx 
Proposição 4: Se existe f(a) então: 
 a
a
dxxf 0)(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo: 
O nome Teorema Fundamental do Cálculo já diz sobre a importância do mesmo. Este teorema permite exprimir 
a integral de uma função em termos de uma outra função conhecida como primitiva e esta notável descoberta de 
Newton e Leibniz no século XVII, forneceu ao Cálculo uma ferramenta eficaz para o cálculo da maioria das 
integrais que aparecem no cotidiano. 
 Seja f uma função contínua num intervalo [a, b] e G uma primitiva de f, então, 
b 
 
a 
f(x)dx = G(b) - G(a) 
Uma Aplicação da integral definida 
Certo estudo indica que, daqui a x anos, a população de uma cidade crescerá à taxa de 117+200x pessoas por 
ano. Qual será o aumento populacional da cidade nos próximos 10 anos? 
 
Solução: Seja P=P(x) a população daqui a x anos, então: 
P'(x) = 117 + 200 x 
Uma primitiva para P'(x) é G(x)=117x+100x², logo o aumento populacional nos próximos 10 anos será dado 
por: 
 
10 
 
0 
(117+200x)dx=G(10)-G(0)=11170 
Exercício: 
 
1. Encontre as integrais definidas: 
 
a) 4
2
xdx
 b) 0
2
)52( dxx
 c) 4
0
2 )43( dxxx
 
d) 3
1
3
)
4
3( dx
x
x
 e) 2
0
2 )( dxex
 f) 
0
))cos(1( dxx
 
2. Usando as propriedades resolva as integrais, sabendo que 4
1
3/14dxx
: 
a) 1
4
dxx
 b) 4
4
dxx
 c) 4
1
3 dxx
 
 
2.5 Integração Por Partes 
A integral de um produto geralmente não é o produto das integrais individuais: 
 
dxxgdxxfdxxgxf )()()().(
 
Integração por partes é uma técnica para simplificar integrais de produto de funções. 
Fórmula: 
vduuvudv
 
Exercícios: 
1) Resolva as integrais por partes: 
a) 
dxex x)22(
 b) 
dx
x
xsen
2
 c) 
dxxx )ln(
 
 6 
 
Lista de Exercícios: 
 
1. Resolva as integrais abaixo: 
 
a) 
dxe x5
 b) 
dxx)12cos(
 c) 
dxx )14(
 
d) 
xdxx )6( 3
 e) 4
2
)3
2
( dx
x
 f) 1
0
2 )( dxxx
 
2. Calcule as integrais usando as regras de integração: 
 
a) 
dyy 1
 b) 
dttt 22 )1(
 c) 
dxxx 3
1
2 )1(
 
d)
dxxx 132
, u =
13x
 e) 
dx
x
x
21
2
, u =
21 x
 f) 
dxxsen )2(
 
g) 
dxxe x
 , 
dxedvexu x
 h) 
dxxx )cos(
 i) 
dxxx )cos(2
 
j) 
dxxx )ln(2
 
 
3. Calcule as integrais definidas, usando as regras de integração: 
 
a) 2
1
5 dxe x
 b) 4
0
)14( dxx
 c) 3
3
2 )2( dxxx
 
d) 4
0
1 dyy
 e) 0
1
1 dyy
 f) 2
1
32 1 dxxx
 
g) 1
1
dxxex
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bom Trabalho!!