lista1_2007.2

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Professor: Cláudio Vivas, Elias Santiago, Érica Macedo, Fábio Rodrigues, Heliacy Sousa,
Magnus Pereira, Maurício Brandão, Reinaldo Lima
Aluno(a):
1
a Lista de Exercícios
(atualizada em 25 de julho de 2007)
Questão 1. Encontre uma primitiva para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
a)
Z
√
2 +
1
x3
‹
dx
b)
Z
x
4
dx
c)
Z
€
x
3 + sen x
Š
dx
d)
Z

1
x
+ ex
‹
dx
e)
Z
e
2x
dx
f)
Z
cos (3x) dx
g)
Z
e
−x
dx
h)
Z
1
1 + x2
dx
i)
Z
x
3 + x + 1
1 + x2
dx
Questão 2. Por uma mudança de variável conveniente encontre uma primitiva para cada função.
1.
Z
3x2
3
√
x3 − 1
dx
2.
Z
e
1
x + 2
x2
dx
3.
Z
arcsen x
2
√
1− x2
dx
4.
Z
p
5t4 + t2dt
5.
Z
e
x
e2x + 36
dx
6.
Z
dt
t ln t
7.
Z
€
e
2x + 2
Š4
· e2x dx
8.
Z
8x2 ·
p
6x3 + 5 dx
9.
Z
sen
1
2 (2x) · cos (2x) dx
10.
Z
sec 2(5x + 3) dx
11.
Z
sen x
(9− cos x)3
dx
12.
Z
sen 2x
(7 − sen 2x)3
dx
13.
Z
x
2( sen 2x3 + 5x2) dx
14.
Z
x
(1 + 4x2)2
dx
15.
Z
sen 2x · cos x dx
16.
Z
sen 2x · cos 3x dx
17.
Z
sen 3x · cos 3x dx
18.
Z
sen (2x)
p
1 + cos 2x dx
19.
Z
tg x · sec 2x dx
20.
Z
tg 3x · sec 2x dx
21.
Z
−2
p
cos 2x− sen 2x · sen (2x) dx
22.
Z
2
x− 3
dx
23.
Z
x
x + 1
dx
24.
Z
2x + 3
x + 1
dx
25.
Z
x
2
x + 1
dx
26.
Z
2
4 + x2
dx
27.
Z
1
2 + 5x2
dx
28.
Z
x
5 + x2
dx
29.
Z
3x + 2
1 + x2
dx
30.
Z
x
x2 + 2x + 3
dx
31.
Z
2x
x4 + 2x2 + 1
dx
32.
Z
1
x2 + x + 1
dx
33.
Z
x
3
1 + x8
dx
Cálculo Diferencial e Integral II: 1a Lista de Exercícios (Atualizada em 25 de julho de 2007)
Questão 3. Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
a)
Z
x sen (5x) dx
b)
Z
te
4t
dt
c)
Z
(x + 1) cos 2x dx
d)
Z
e
x cos
�
x
2
�
dx
e)
Z
ln x dx
f)
Z
ln (1− x) dx
g)
Z
x ln x dx
h)
Z
ln (ax + b)
√
ax + b
dx
i)
Z
x sec 2x dx
j)
Z
x · arctg x dx
k)
Z
sec 3x dx
l)
Z
cossec 3x dx
m)
Z √
x ln x dx
n)
Z
ln (x2 + 1) dx
o)
Z
x
2 ln x dx
p)
Z
(x− 1) sec 2x dx
q)
Z
x( ln x)2 dx
r)
Z
e
−2x sen x dx
s)
Z
x
3
e
x
2
dx
t)
Z
x
3 cos (x2) dx
u)
Z
e
−x cos 2x dx
v)
Z
x
2 sen x dx
w)
Z
x sec x tg x dx
Questão 4. Calcule as integrais das seguintes funções racionais.
a)
Z
x− 1
x3 + x2 − 4x− 4
dx
b)
Z
3x3
2x3 − x2 − 2x + 1
dx
c)
Z
1
x3 − 4x2
dx
d)
Z
x
3 + 2x2 + 4
2x2 − 2
dx
e)
Z
5
x3 + 4x
dx
f)
Z
1
x3 + 9x
dx
g)
Z
1
(x2 + 1)(x2 + 4)
dx
h)
Z
x
3 + x2 + 2x + 1
x3 − 1
dx
Questão 5. Resolva as seguintes integrais
a)
Z
15
x2 + 3x− 4
dx
b)
Z
15
x2 + 4x + 9
dx
c)
Z
1
2x2 + 6x− 2
dx
d)
Z
x
x2 + 4x− 5
dx
e)
Z
x− 3
x2 − 2x + 5
dx
f)
Z
3x3
3x2 + 18x+ 27
dx
Questão 6. Resolva as integrais abaixo que envolvem funções trigonométricas.
a)
Z
sen 2x
cos x
dx
b)
Z
sen (ωe + 8) dω
c)
Z
sen 3(2x + 1) dx
d)
Z
cos 5(3− 3x) dx
e)
Z
2x sen 4(x2 − 1) dx
f)
Z
tg 3x cos 4x dx
g)
Z
cos 4x dx
h)
Z
tg 4x dx
i)
Z
sen 2x
cos 4x
dx
j)
Z
sen 3x · cos 5x dx
k)
Z
sen (ωt) · sen (ωt + θ)dt
l)
Z
cos 3x
sen 4x
dx
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Cálculo Diferencial e Integral II: 1a Lista de Exercícios (Atualizada em 25 de julho de 2007)
Questão 7. Resolva as integrais irracionais.
a)
Z
dx
√
x(
√
x + 4 4
√
x + 3)
b)
Z
4
√
x
2 +
√
x
dx
c)
Z
√
x + 1
2 +
√
x + 1
dx
d)
Z
1
x
√
1− x
dx
e)
Z
1−
√
x
1 +
√
x
dx
f)
Z
x
x +
√
x− 1
dx
g)
Z
dx
x
√
9− x2
h)
Z
√
x2 − 16
x2
dx
i)
Z
x
2
È
1− (x− 1)2
dx
j)
Z
dx
x2
√
x2 + 9
k)
Z
1
√
x2 − 2x− 8
dx
l)
Z
1
√
x2 + 2x + 10
dx
m)
Z
1
√
−x2 − 3x + 4
dx
n)
Z
1
√
x2 − x + 2
dx
o)
Z
x + 1
√
x2 − 4x + 1
dx
p)
Z
x− 2
√
x2 − 2x + 3
dx
r)
Z
dx
x
√
x2 − 1
Questão 8. Use um método adequado e resolva as integrais abaixo:
a)
Z
sen (x2 + 4x− 6)
(x + 2)−1
dx
b)
Z
√
ln x + 1
x
dx
c)
Z
ln x2
x
dx
d)
Z √
x ln x dx
e)
Z
x
2 arctg x dx
f)
Z
ln (x +
p
1 + x2) dx
g)
Z
x sec 2x dx
h)
Z
x− 1
2x2 + 4x + 20
dx
i)
Z
dx
√
x2 + 2x
j)
Z
x + 1
x2 + 4x− 7
dx
k)
Z
dx
√
−x2 + 2x
l)
Z
4x2 + 3x + 1
x3 + x2
dx
m)
Z
arcsen x dx
n)
Z
ln (x2 + 2x− 8) dx
o)
Z
tg x ln (cosx) dx
p)
Z
ln (
p
x2 + 2x) dx
q)
Z
√
1− x2
x2
dx
r)
Z
cos x
1 + cos x
dx
s)
Z
sen 2(2x) · cos(2x) dx
Questão 9. Use a substituição trigonométrica t = tg
�
x
2
�
e resolva as integrais a seguir:
a)
Z
1 + sen x
sen x(1 + cos x)
dx
b)
Z
2
sen x + tg x
dx
c)
Z
1 + cos x
1− sen x
dx
d)
Z
1
3 + sen 2x
dx
e)
Z
dx
3 + sen x + cos x
f)
Z
e
x
4 sen (ex)− 3 cos (ex)
dx
g)
Z
cos x
1 + cos x
dx
h)
Z
dx
4− sen x + cos x
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Cálculo Diferencial e Integral II: 1a Lista de Exercícios (Atualizada em 25 de julho de 2007)
Respostas
Questão 2
1.
3
2
(x3 − 1) 23 + c
2. −e 1x − 2 1
x
+ c
3.
( arcsen x)2
4
+ c
4.
1
15
(5t
2
+ 1)
3
2 + c
5.
1
6
arctg
�
e
x
6
�
+ c
6. ln ( ln |t|) + c
7.
1
10
�
e
2x + 2
�
5
+ c
8.
8
27
�
6x3 + 5
� 3
2 + c
9.
1
3
( sen (2x))
3
2 + c
10.
1
5
tg (5x + 3) + c
11. − 1
2 (9 − cos x)2 + c
12.
1
2(7 + sen 2x)2
+ c
13. −1
6
cos (2x3) + x5 + c
14. − 1
8 · (4x2 + 1) + c
15.
sen 3x
3
+ c
16.
sen 3x
3
− sen
5
x
5
+ c
17.
sen 4x
4
− sen
6
x
6
+ c
18. − 2
3
(1 + cos 2x)
3
2 + c
19.
tg 2x
2
+ c
20.
tg 4x
4
+ c
21.
2
3
cos
3
2 (2x) + c
22. 2 ln |x− 3| + c
23. x− ln |x + 1| + c
24. 2x + ln |x + 1| + c
25.
x
2
2
− x + ln |x + 1| + c
26. arctg
€
x
2
Š
+ c
27.
√
10
10
· arctg
�
√
10x
2
�
+ c
28.
1
2
· ln |5 + x2| + c
29.
3
2
· ln |x2 + 1| + 2 arctg x + c
30.
1
2
ln |x2 + 2x + 3| − 1√
2
arctg
�
x + 1√
2
�
+ c
31. − 1
x2 + 1
+ c
32.
2
√
3
3
arctg
�
2
√
3x +
√
3
3
�
+ c
33.
1
4
arctg (x4) + c
Questão 3
a) −x cos (5x)
5
+
sen (5x)
25
+ c
b)
e
4t
4
€
t − 1
4
Š
+ c
c)
1
2
sen (2x) (x + 1) +
cos (2x)
4
+ c
d)
2
5
sen
€
x
2
Š
e
x +
4
5
e
x cos
€
x
2
Š
+ c
e) x( ln |x| − 1) + c
f) ln |x− 1| · (x− 1) − x + c
g)
x
2
2
€
ln |x| − 1
2
Š
+ c
h)
2 · √ax + b
a
( ln |ax + b| − 2) + c
i) x tg x + ln | cos x| + c
j)
x
2
2
arctg x− x
2
+
arctg x
2
+ c
k)1
2
tg x sec x +
1
2
ln | sec x + tg x| + c
l)
−1
2
cotg x cossec x +
1
2
ln | cossec x− cotg x| + c
m)
2
3
x
3
2 ln |x| − 4
9
x
3
2 + c
n) x ln (x2 + 1) − 2x + 2 arctg x + c
o)
x
3
3
€
ln x− 1
3
Š
+ c
p) (x− 1) tg x + ln | cos x|+ c
q)
x
2
2
€
( ln |x|)2 − ln |x|+ 1
2
Š
+ c
r) − e
−2x
5
( cos x + 2 sen x) + c
s)
e
x
2
2
(x2 − 1) + c
t)
1
2
(x2 sen (x2) + cos (x2)) + c
u)
e
−x
5
(2 sen (2x) − cos (2x)) + c
v) −x2 cos x + 2x sen x + 2 cos x + c
w) x sec x− ln | sec x + tg x|+ c
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Cálculo Diferencial e Integral II: 1a Lista de Exercícios (Atualizada em 25 de julho de 2007)
Questão 4
a)
1
12
ln |x− 2| + 2
3
ln |x + 1| − 3
4
ln |x + 2| + c
b)
3
2
x− 1
4
ln
�
�
�
x− 1
2
�
�
�
− 1
2
ln |x + 1|+ 3
2
ln |x− 1| + c
c)
1
16
ln
�
�
�
x− 4
x
�
�
�
+
1
4x
+ c
d)
x
2
4
+ x + ln
�
�
�
�
x− 1
x + 1
4
É
(x− 1)3
x + 1
�
�
�
�
+ c
e)
5
4
ln
�
�
�
x√
x2 + 4
�
�
�
+ c
f)
1
9
ln
�
�
�
x√
x2 + 9
�
�
�
+ c
g)
1
3
arctg x− 1
6
arctg
€
x
2
Š
+ c
h) x +
5
3
ln |x− 1| − 1
3
ln |x2 + x + 1| + c
Questão 5
a) 3 ln
�
�
�
x− 1
x + 4
�
�
�
+ c
b) 3
√
5 arctg
�
x + 2√
5
�
+ c
c)
√
13
52
ln
�
�
�
x + 3 −√13
x + 3 +
√
13
�
�
�
+ c
d)
1
6
ln |x− 1| + 5
6
ln |x + 5| + c
e)
1
2
ln |x2 − 2x + 5| − arctg
€
x− 1
2
Š
+ c
f)
x
2
2
− 6x + 27 ln |x + 3| + 27
x + 3
+ c
Questão 6
a) −2 cos x + c
b) − 1
e
cos (ωe + 8) + c
c) − 1
2
cos (2x + 1) +
1
6
cos
3
(2x + 1) + c
d) − 1
3
[ sen (3 − 3x) − 2
3
sen 3(3 − 3x) + 1
5
sen 5(3 − 3x)] + c
e)
3x2
8
− sen (2x
2 − 2)
4
+
sen (4x2 − 4)
32
+ c
f)
sen 4x
4
+ c
g)
1
4
[
3x
2
+ sen (2x) +
sen (4x)
8
] + c
h)
1
3
tg 3x− tg x + x + c
i)
1
3
tg
3
x + c
j)
1
2
[− cos (8x)
8
+
cos (2x)
2
] + c
k)
cos (θ)
2
[t− sen (2ωt)
2ω
] +
sen (θ)
2ω
sen 2(ωt) + c
l) − 1
3
cossec
3
x + cossec x + c
Questão 7
a)
3
2
ln | 4√x + 3| − 1
2
ln | 4√x + 1| + c
b)
4
3
4
√
x3 − 8 4√x + 8
√
2 arctg
�
4
√
x√
2
�
+ c
c) x− 4√x + 1 + 8 ln |√x + 1 + 2| + c
d) ln
�
�
�
1 −√1 − x
1 +
√
1 − x
�
�
�
+ c
e) −x + 4√x− 4 ln |√x + 1| + c
f) x−2√x− 1+ ln |x+√x− 1|+ 2
√
3
3
arctg
�
2
√
x− 1 + 1√
3
�
+c
g)
1
3
ln
�
�
�
3 −√9 − x
x
�
�
�
+ c
h) ln
�
�x +
√
x2 − 16
�
�−
√
x2 − 16
x
+ c
i)
3
2
arcsen (x− 1) −
√−x2 + 2x
2
− (x− 5) + c
j) − 1
9
√
x2 + 9
x
+ c
k) ln |x− 1 + √x2 − 2x− 8| + c
l) ln |√x2 + 2x + 10 + x + 1| + c
m) arcsen
€
2x + 3
5
Š
+ c
n) ln
�
�
�
√
x2 − x + 2 +
€
x− 1
2
Š
�
�
�
+ c
o)
√
x2 − 4x + 1 + 3 ln |x− 2 + √x2 − 4x + 1|+ c
p)
√
x2 − 2x + 3 − ln |√x2 − 2x + 3 + x− 1| + c
r) arccos
€
1
x
Š
+ c
Questão 8
a) − 1
2
cos (x2 + 4x− 6) + c
b)
2
3
( ln |x|) 32 + ln |x|+ c
c) ( ln |x|)2 + c
d)
2
3
x
3
2 [ ln |x| − 2
3
] + c
e)
x
3
3
arctg |x| − x
2
6
+
1
6
ln |x2 + 1| + c
f) x · ln |x + √x2 + 1| − √x2 + 1 + c
g) x · tg x + ln | cos x| + c
h)
1
4
ln |x2 + 2x + 10| − 1
3
arctg (
x + 1
3
) + c
i) ln |x + 1 + √x2 + 2x| + c
j)
11 −√11
22
ln |x + 2 −
√
11| + 11 +
√
11
22
ln |x + 2 +
√
11| + c
k) arcsen (x− 1) + c
l) 2 ln
�
�
�
x + 1
x
�
�
�
− 1
x
+ c
m) x arcsen x +
√
1 − x2 + c
n) x ln (x2 + 2x− 8) − 2x− 2 ln |x− 2| + 4 ln |x + 4| + c
o) − 1
2
[ ln (cosx)]2 + c
p) x ln (
√
x2 + 2x) − x + ln |x + 2| + c
q) −
√
1 − x2
x
− arcsen x + c
r) − cossec x + cotg x + c
Cláudio Vivas, Elias Santiago, Érica Macedo, Fábio Rodrigues, Heliacy Sousa,Magnus Pereira, Maurício Brandão, Reinaldo LimaPágina 5
Cálculo Diferencial e Integral II: 1a Lista de Exercícios (Atualizada em 25 de julho de 2007)
s)
1
6
sen 3(2x) + c
Questão 9
a)
1
4
tg 2
€
x
2
Š
+ tg
€
x
2
Š
+
1
2
ln
�
�
�
tg (
x
2
)
�
�
�
+ c
b) ln
�
�
�
tg
€
x
2
Š
�
�
�
− 1
2
tg 2
€
x
2
Š
+ c
c) −2 ln
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�
�
tg
€
x
2
Š
− 1
�
�
�
− 2
tg
€
x
2
Š
− 1
+ ln
€
tg 2
€
x
2
Š
+ 1
Š
+ c
d)
√
2
4
arctg
�
3 tg x + 1
2
√
2
�
+ c
e) ln
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�
�
tg
€
x
2
Š
+ 1
�
�
�
+ c
f)
1
5
ln
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�
�
�
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tg
�
e
x
2
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tg
�
e
x
2
+ 3
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�
�
�
�
�
�
+ c
g) − tg
€
x
2
Š
+ 2 arctg
€
tg
€
x
2
ŠŠ
+ c
h)
2√
14
arctg
 
3 tg
€
x
2
Š
− 1
√
14
!
+ c
Cláudio Vivas, Elias Santiago, Érica Macedo, Fábio Rodrigues, Heliacy Sousa,Magnus Pereira, Maurício Brandão, Reinaldo LimaPágina 6