Notas de Aula sobre Tecnica de integração substituição

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Técnica de Integração 
Integral por Substituição 
Professor Luiz Fernando 
www.solucaomatematica.com.br 
Integral Indefinida 
Técnicas de Integração (Primitivação) 
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) – 
conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou: 
  F(x)dx f(x)
As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL são: 
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL 
– INTEGRAÇÃO POR PARTES 
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS 
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE 
 IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS 
Integral Indefinida 
Integral Indefinida 
Integral Indefinida 
EXEMPLO 01 
Calcular 
  dx2x1)(x
502
Solução 
Seja u = x2 + 1 
Logo: 2x dx = du 
Assim, a integral dada pode ser escrita como: 
 du(u)
50
C
51
1)(x
C
51
u
du(u)
51251
50 


INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
2x
dx
du

Integral Indefinida 
EXEMPLO 02 
Calcular 
  dx9)sen(x
Solução 
Seja u = x + 9 
Logo: dx = du 
Assim, a integral dada pode ser escrita como: 
 dusen(u)
C9)cos(xCcos(u)dusen(u) 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
1
dx
du

Integral Indefinida 
EXEMPLO 03 
Calcular 
 dxcos(x)(x)sen
2
Solução 
Seja u = sen(x) 
Logo: cos(x) dx = du 
Assim, a integral dada pode ser escrita como: 
 duu
2
C
3
(x)sen
C
3
u
duu
33
2 
cos(x)
dx
du

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
Integral Indefinida 
EXEMPLO 04 
Calcular 
 dx
x
e x
Solução 
Então 
x2
1
x
1
2
1
x
2
1
x
dx
d
dx
du
2
1
2
1
2
1











Seja u = 
x
Logo: = du 
dx
x2
1
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma. 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
Integral Indefinida 
Assim, a integral dada pode ser escrita como: 
Ce2Ce2due2du2e xuuu  
  dx
x2
1
2edx
x2
2
1
e
dx
x
e x
xx
  du2edx
x2
1
2e ux
Ou seja: 
Ce2dx
x
e x
x

du2dx
x
1
dudx
x2
1

outra maneira de chegar aqui 
sem manipular a função 
dada é fazendo (página 08): 
Integral Indefinida 
EXEMPLO 05 
Calcular 
  dx1xx
2
Solução 
Seja u = x – 1 
Logo: dx = du 
Se u = x – 1 
 
Então x = u + 1 
 
 x2 = (u+1)2 
 
 x2 = u2 + 2u + 1 
Assim, a integral dada pode ser escrita como: 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
Integral Indefinida 
  duu1)2u(u
2
ou: 




















duu2uu
du1uu2uuuduu1)2u(u
2
1
2
3
2
5
2
1
2
1
2
1
22
1
2
Portanto: 
C
1
2
1
u
1
2
3
u
2
1
2
5
u
duu2uu
1
2
1
1
2
3
1
2
5
2
1
2
3
2
5


















Integral Indefinida 
Cu
3
2
u
5
4
u
7
2
duu2uu 2
3
2
5
2
7
2
1
2
3
2
5










Finalmente: 
Escrevendo em termos de x: 
C)1(x
3
2
)1(x
5
4
)1(x
7
2
dx1xx 2
3
2
5
2
7
2 
• Técnicas de Integração 
– Método da Substituição: A chave do método da substituição é dividir a 
função em partes e depois encontrar uma parte da função cuja derivada 
também faça parte dela. 
• Exemplo 
 
 
– Podemos dividir a equação acima em duas partes: 
• sen x.dx e 
• cos x. 
– Repare que a derivada do cos x é -sen x, portanto, 
 a derivada do cosseno faz parte da função. 
dx
x
x
 cos
sen
Integral Indefinida 
• Passos: 
– Procure na função pela parte cuja derivada esteja na função. Se 
você estiver em dúvida, tente usar a que está no denominador 
ou alguma expressão que esteja sendo elevada a uma 
potência; 
– Chame-a de “u” e tome sua derivada com relação ao diferencial 
(dx, dy, dt, etc.). Acrescentando esse diferencial; 
– Use as expressões “u” e “du” para substituir as partes da 
integral original; 
– A sua nova integral será mais fácil de ser calculada, mas não 
esqueça de, ao final, desfazer a substituição. 
Integral Indefinida 
 Exemplo 06: 
 Use o método de substituição para encontrar a integral: 
 Solução 
– Devemos escolher parte da função cuja derivada esteja na função, como a 
derivada de sen x = cos x e a derivada do cos x = -sen x, e, ambas estão na 
função, na dúvida... selecionamos a parte que está no denominador, isto é, cos 
x. 
– Chamamos u = cos x; 
– Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = -sen x.dx; 
– Como na função original a função seno é positiva, basta multiplicar ambos os 
lados por –1 para que ela fique positiva; 
dx
x
x
 cos
sen
dxxdu .sen
Integral Indefinida 
• Solução 
– Basta re-escrever a integral original com as expressões 
“u” e “du”; 
 
– Integral original: 
 
 
– Nova integral: 
 
– Que também pode ser re-escrito como: 
 x
dxx
cos
.sen


u
du
 u
du
Integral Indefinida 
• Solução 
– Basta calcular: ; 
 
– O passo final é desfazer a substituição de u pelo o 
valor da original: 
 
 
Cu
u
du
  ||ln
Cx
u
du
  |cos|ln
Integral Indefinida 
 Exemplo 07 
– Use o método de substituição para encontrar a integral: 
 Solução 
– Chamamos u = 3x; 
– Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = 3.dx; 
– Basta re-escrever a integral original com as expressões 
“u” e “du”; 
– Note que 3.dx não está na equação original, apenas dx. 
Para ficar apenas com dx, fazemos: 
 dxx).3cos(
dx
du

3
Integral Indefinida 
 Solução 
– Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e 
“du”; 
 
– Integral original: 
 
– Nova integral: 
 
– Que também pode ser re-escrita: 
 dxx).3cos(
 3
.cos
du
u
 duu.cos3
1
Integral Indefinida 
Solução 
– Calculando , temos: 
 
– Substituindo u pelo seu valor original, teremos: 
 duu.cos3
1 Cuduu  sen.3
1
.cos
3
1
Cxduu  3sen.3
1
.cos
3
1
Integral Indefinida 
Integral Indefinida 
Sejam as identidades trigonométricas: 
2
cos2x1
xcos
2
cos2x1
xsen 22




Assim, 
 

 dxcos2x
2
1
dx
2
1
dx
2
cos2x1
dxxsen2















2
sen2x
2
1
10
x
2
1 10
Cusen
2
1
duucos
2
1
dxcos2x
dx
2
du
2
dx
du
2xu
dxcos2x






C
4
2xsen
2
x
xsen2 
EXEMPLO 08 
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X) 
Integral Indefinida 
Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica: 
C
4
2xsen
2
x
xcos2 
A integral 
dxxcosxsen 22
pode ser resolvida fazendo: 
    dxcos2x1
2
1
cos2x1
2
1
 
 dx2xcos1
4
1 2
 
dx
2
cos2x1
2
cos2x1
dxxcosxsen 22  




 





 

Integral Indefinida 
 dx2xcos1
4
1 2
 
dx2xcos
4
1
dx1
4
1 2
 
8
4xsen
2
x
8
2usen
4
u
4
2usen
2
u
2
1
duucos
2
1
dx2xcos
dx
2
du
2xu
dx2xcos
22
2

















8
sen4x
2
x
4
1
4
x
C
32
sen4x
8
x
Integral Indefinida 
Solução 
EXEMPLO 09 
Determinar 
  dx 6)4xsen(x 2)(x
2
Seja u = x2 + 4x – 6 
Então: 
42x
dx
du

dx 2)(x 2 dx 4)(2xdu 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
Integral Indefinida 
Logo, seja: 
dx 2)(x 
2
du

Assim, 
  du sen(u)2
1
2
du
sen(u)dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Sabe-se que: 
Ccos(u)du sen(u) 
TABELA 
Mas: 
  dx 6)4xsen(x 2)(x
2
Integral Indefinida 
Então: 
C)cos(u)(
2
1
dx 6)4xsen(x 2)(x 2 
C6)4xcos(x
2
1
dx 6)4xsen(x 2)(x 22 
Portanto: 
Integral Indefinida 
Solução 
EXEMPLO 10 
Determinar 


dx 
1xx
x
2
Seja u = x2 + x + 1 
Então: 
12x
dx
du

dx 1)(2xdu 
Na integral original, fazer: 







dx 
1xx
112x
2
1
dx 
1xx
2x
2
1
dx 
1xx
x
222
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
Integral Indefinida 
Mas: 








dx 
1xx
1
2
1
dx 
1xx
12x
2
1
dx 
1xx
112x
2
1
222
1 2 
uu
2
1
u
2
1
1
2
1
u
2
1
du u
2
1
du 
u
1
2
1
2
12
1
1
2
1
2
1



























C1xxdx 
1xx
12x
2
1 2
2




1 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
 


du 
u
1
2
1
dx 
1xx
12x
2
1
2
ver detalhes na página anterior 
Integral Indefinida 
A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada) 
na forma acima: 
2 TABELA 
Cuaulndu
ua
1 22
22























du 
au
1
2
1
dx 
2
3
2
1
x
1
2
1
dx 
1xx
1
2
1
22222
onde: 
2
3
a dx du 
2
1
xu 
Integral Indefinida 
Portanto: 
C
2
1
x
4
3
2
1
xln
2
1
dx 
1xx
1
2
1
2
2









Então, finalmente: 
C
2
1
x
4
3
2
1
xln
2
1
1xxdx 
1xx
x
2
2
2









• Bibliografia utilizada: 
– Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São 
Paulo, 1992. 
– Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 
2006. 
– Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. 
– Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New 
York, 1979. 
– Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. 
Dover, 1990. 
 
 
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