Técnicas de integração - Substituicao

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Técnicas de integração:
Vamos aprender diversas técnicas de integração.
A primeira pergunta que surge é "Qual a técnica devemos usar?"
Costumo dizer que as técnicas de integração não resolvem a integral, elas mudam a integral, ou seja,
temos uma integral para resolver, aplicamos uma técnica de integração e passamos a ter outra integral para resolver!
Se nossa nova integral é, em algum sentido, mais fácil que a anterior, foi uma boa escolha da técnica de integração.
Mas, se a nova integral �cou pior, devemos tentar outra técnica de integração.
Inicialmente, estamos tentando fazer nossa integral �car "igual" a alguma integral de nossa tabela.
Na verdade, devemos treinar muito, ou seja, fazer muitos exercícios e muitas integrais,
assim quando tivermos uma integral para resolver:
• Se ela for parecida com alguma que já �zemos e, é claro,
tentaremos usar a mesma (ou mesmas) técnicas para resolver a nossa integral.
• Se ela for totalmente "nova" , ou seja, totalmente diferente das integrais resolvidas anteriormente,
aplicamos uma técnica de integração e observamos se a nova integral é "parecida"
com alguma integral resolvida anteriormente, se isto ocorrer já sabemos o que fazer,
se isto não ocorrer, aplicamos outra técnica de integração e continuamos o processo.
Não sei se �cou claro, mas podemos ter que usar mais de uma técnica para resolver uma integral!
É Garotada, integral não é fácil precisa muito treino, muitos exercícios. Muito suor!
Então vamos a nossa primeira técnica de integração: Integração por substituição.
Das técnicas de integração ela é a mais simples, mas é também a mais usada!
Portanto, esta é a mais importante técnica de integração.
Substituição:
Sustituição nada mais é que uma mudança de variável na integral.
Esta técnica "vem" da regra da cadeia, (dos "monstrinhos", lembra?)
Como
[
f
(
g(x)
) ]′
= f ′
(
g(x)
)
g′(x) temos:
∫
f ′
(
g(x)
)
g′(x) dx = f
(
g(x)
)
+ C
Na prática, dada a integral
∫
f ′
(
g(x)
)
g′(x) dx, vamos chamar g(x) = u Obs1,
vamos calcular a diferencial da equação anterior, ou seja, g(x) = u ⇒ g′(x) dx = 1 du , substituir estas informações
na integral, resolver a integral e voltar para a variável x:
Ou seja,
∫
f ′
(
g(x)︸ ︷︷ ︸
u
)
g′(x) dx︸ ︷︷ ︸
du
=
∫
f ′(u) du = f (u )︸︷︷︸
g(x)
+C = f
(
g(x)
)
+ C
Não entendeu nada! Não se preocupe, nos exemplos a seguir tudo �cará mais claro!
1
Ou outra letra conveniente.
1
Exemplos:
1. Calcular as integrais:
(a)
∫
cos(2x+ 5) dx
Resolução:∫
cos(2x+ 5) dx chamando 2x+ 5 = u, temos:
2x+ 5 = u ⇒ 2 dx = 1 du, ou seja, 2x+ 5 = u ⇒ 2 dx = 1 du ⇒ dx = 12 du,
Assim, temos o direito de trocar 2x+ 5 por u e dx por
1
2
dx
∫
cos (2x+ 5)︸ ︷︷ ︸
u
dx︸︷︷︸
1
2 du
=
∫
cos(u)
1
2
du =
1
2
∫
cos(u) du =
1
2
sen (u) + C =
1
2
sen (2x+ 5) + C
∫
cos(2x+ 5) dx =
1
2
sen (2x+ 5) + C
(b)
∫ (
5− 7x
3
)10
dx
Resolução:∫ (
5− 7x
3
)10
dx chamando
5− 7x
3
= t, temos:
5
3
− 7
3
x = t ⇒ −7
3
dx = 1 dt, ou seja, dx = −3
7
dt,
Assim, temos:
5
3
− 7
3
x = t e dx = −3
7
dt,
∫ (
5− 7x
3
)10
dx =
∫
t10
(
−3
7
)
dt = −3
7
∫
t10 dt = −3
7
t11
11
+ C = − 3
77
t11 + C = − 3
77
(
5− 7x
3
)11
+ C
∫ (
5− 7x
3
)10
dx = − 3
77
(
5− 7x
3
)11
+ C
(c)
∫
x cos
(
x2
)
dx
Resolução:∫
x cos
(
x2
)
dx chamando x2 = t, temos:
x2 = t ⇒ 2x dx = 1 dt ⇒ x dx = 1
2
dt∫
x cos
(
x2
)
dx =
∫ [
cos
(
x2)︸︷︷︸
t
]
x dx︸︷︷︸
1
2 dt
=
∫
cos(t)
1
2
dt =
1
2
∫
cos(t) dt =
1
2
sen (t) + C =
1
2
sen (x2) + C
∫
x cos
(
x2
)
dx =
1
2
sen (x2) + C
2
(d)
∫
e3x dx
Resolução:∫
e3x dx chamando 3x = t, temos:
3x = t⇒ 3 dx = dt⇒ dx = 1
3
dt
∫
e3x dx =
∫
et
1
3
dt =
1
3
∫
et dt =
1
3
et + C =
1
3
e3x + C
∫
e3x dx =
1
3
e3x + C
(e)
∫ √
7− 3x dx
Resolução:∫ √
7− 3x dx chamando 7− 3x = t, temos:
7− 3x = t ⇒ −3 dx = dt ⇒ dx = −1
3
dt
∫ √
7− 3x dx =
∫ √
t
(
−1
3
)
dt = −1
3
∫ √
t dt = −1
3
∫
t
1
2 dt = −1
3
t
3
2
3
2
+ C =
= −1
3
2
3
t
3
2 + C = −2
9
(7− 3x) 32 + C = −2
9
√
(7− 3x)3 + C
∫ √
7− 3x dx = −2
9
√
(7− 3x)3 + C
(f)
∫
x
1 + x2
dx
Resolução:∫
x
1 + x2
dx chamando 1 + x2 = t, temos:
1 + x2 = t⇒ 2x dx = dt⇒ x dx = 1
2
dt
∫
x
1 + x2
dx =
∫
1
1 + x2
x dx =
∫
1
t
1
2
dt =
1
2
∫
1
t
dt =
1
2
ln(t) + C =
1
2
ln(1 + x2) + C
∫
x
1 + x2
dx =
1
2
ln(1 + x2) + C
(g)
∫
x
1 + x4
dx
Resolução:∫
x
1 + x4
dx chamando 1 + x4 = t, temos:
1 + x4 = t⇒ 4x3 dx = dt⇒ x3 dx = 1
4
dt
3
∫
x
1 + x4
dx = . . . Ops! Não temos x3 dx para aparecer dt !
Ou teremos que usar outra técnica de integração
(o que é improvável, pois ainda não aprendemos outras técnicas de integração!)
Ou nossa escolha de t ("monstrinho") não foi boa, ou seja, devemos fazer outra escolha para t.∫
x
1 + x4
dx =
x
1 + (x2)2
dx chamando x2 = t, temos:
x2 = t⇒ 2x dx = dt⇒ x dx = 1
2
dt∫
x
1 + (x2)2
dx =
∫
1
1 + (x2)2
x dx =
∫
1
1 + (t)2
1
2
dt =
1
2
∫
1
1 + t2
dt =
1
2
arctg (t) + C =
1
2
arctg
(
x2
)
+ C
∫
x
1 + (x2)2
dx =
1
2
arctg
(
x2
)
+ C
(h)
∫
x ex
2
dx
Resolução 1:∫
x ex
2
dx chamando x2 = t, temos:
x2 = t ⇒ 2x dx = dt ⇒ x dx = 1
2
dt∫
x ex
2
dx =
∫
ex
2
x dx =
∫
et
1
2
dt =
1
2
∫
et dt =
1
2
et + C =
1
2
ex
2
+ C
∫
x ex
2
dx =
1
2
ex
2
+ C
Resolução 2:∫
x ex
2
dx chamando ex
2
= t, temos:
ex
2
= t ⇒ 2x ex2dx = dt ⇒ x ex2dx = 1
2
dt∫
x ex
2
dx =
∫
1
2
dt =
1
2
∫
dt =
1
2
t+ C =
1
2
ex
2
+ C
∫
x ex
2
dx =
1
2
ex
2
+ C
Neste exemplo, �zemos duas escolhas para t ("monstrinho") e as duas funcionaram!
Quando utilizamos integração por substituição, alguns exemplos tem muitas escolhas para t que resolvem,
outros exemplos só tem uma escolha para t que resolve!
Em geral, o conselho seria nem tanto, nem tão pouco!
Ou seja, quando escolhemos o que vamos chamar de t, se escolhemos algo muito grande, temos duas
desvantagens uma é que a derivada �ca difícil
2
e a outra é a di�culdade de aparecer dt na "nova" integral!
Já, se escolhemos algo muito pequeno temos a desvantagem de talvez não simpli�car a integral o su�ciente,
sendo obrigados a aplicar outra técnica de integração.
2
Apesar, é claro, de nenhuma derivada ser difícil para estes alunos que estudaram muito e sabem derivar qualquer função!
4
(i)
∫
x3
√
1 + x2 dx
Resolução:∫
x3
√
1 + x2 dx chamando 1 + x2 = t, temos:
1 + x2 = t⇒ 2x dx = dt⇒ x dx = 1
2
dt
∫
x3
√
1 + x2 dx temos x dx para aparecer dt ?
Temos, mas está disfarçado:∫
x3
√
1 + x2 dx =
∫
x2
√
1 + x2 x dx =
∫
x2︸︷︷︸
?
√
1 + x2︸ ︷︷ ︸√
t
x dx︸︷︷︸
1
2 dt
=?
Observamos que: 1 + x2 = t⇒ x2 = t− 1∫
x3
√
1 + x2 dx =
∫
x2
√
1 + x2 x dx =
∫
x2︸︷︷︸
(t−1)
√
1 + x2︸ ︷︷ ︸√
t
x dx︸︷︷︸
1
2 dt
=
∫
(t− 1)√t1
2
dt =
=
1
2
∫
(t− 1)√t dt = 1
2
∫
(t− 1) t 12 dt =
∫ (
t
3
2 − t 12
)
dt =
1
2
(∫
t
3
2 dt−
∫
t
1
2 dt
)
=
=
1
2
(
t
5
2
5
2
− t
3
2
3
2
)
+ C =
1
2
(
2
5
t
5
2 − 2
3
t
3
2
)
+ C =
1
5
t
5
2 − 1
3
t
3
2 + C =
=
1
5
(
1 + x2
) 5
2 − 1
3
(
1 + x2
) 3
2 + C =
15
√
(1 + x2)
5 − 1
3
√
(1 + x2)
3
+ C
∫
x3
√
1 + x2 dx =
1
5
√
(1 + x2)
5 − 1
3
√
(1 + x2)
3
+ C
(j)
∫
sen
3 x cosx dx
Resolução:∫
sen
3 x cosx dx chamando senx = t, temos:
senx = t⇒ cosx dx = dt∫
sen
3 x cosx dx =
∫
t3 dt =
t4
4
+ C =
1
4
t4 + C =
1
4
sen
4 x+ C
∫
sen
3 x cosx dx =
1
4
sen
4 x+ C
5
Exercícios:
1. Calcular as integrais:
(a)
∫
senx sec3 x dx
(b)
∫
sen
4 x cos3 x dx
(c)
∫
7
5x− 2 dx
(d)
∫ √
7− 13x dx
(e)
∫
x2
1 + x3
dx
(f)
∫
x2
(1 + x3)2
dx
(g)
∫
5
4 + x2
dx
(h)
∫
2
3 + 2x2
dx
(i)
∫
1
ex + e−x
dx
(j)
∫
lnx2
x
dx
6
Respostas dos exercícios (e dicas de resolução):
1. Calcular as integrais:
(a)
∫
senx sec3 x dx =
1
2
sec2 x+ C
Dica:
∫
senx sec3 x dx =
∫
senx
1
cos3 x
dx, e cosx = t.
(b)
∫
sen
4 x cos3 x dx =
1
5
sen
5x− 1
7
sen
7x+ C
Dica:
∫
sen
4 x cos3 x dx =
∫
sen
4 x cos2 x cosx dx =
∫
sen
4 x (1− sen2x) cosx dx e senx = t
(c)
∫
7
5x− 2 dx =
7
5
ln(5x− 2) + C
(d)
∫ √
7− 13x dx = − 2
39
√
(7− 13x)3 + C
(e)
∫
x2
1 + x3
dx =
1
3
ln(1 + x3) + C
(f)
∫
x2
(1 + x3)2
dx = − 1
3 (1 + x3)
+ C
(g)
∫
5
4 + x2
dx =
5
2
arctg
(x
2
)
+ C
Dica:
∫
5
4 + x2
dx = 5
∫
1
4
(
1 + x
2
4
) dx = 5
4
∫
1[
1 +
(
x
2
)2] dx e x2 = t
(h)
∫
2
3 + 2x2
dx =
2
√
3
3
√
2
arctg
( √
2x√
3
)
+ C =
√
3
3
arctg
( √
2x√
3
)
+ C
Dica:
∫
2
3 + 2x2
dx = 2
∫
1
3
(
1 + 2x
2
3
) dx = 2
3
∫
1[
1 +
( √
2 x√
3
)2] dx = e
√
2x√
3
= t
(i)
∫
1
ex + e−x
dx = arctg (ex) + C
Dica:
∫
1
ex + e−x
dx =
∫
1
ex + 1ex
dx =
∫
1
ex ex+1
ex
dx =
∫
1
e2xx+1
ex
dx =
∫
ex
e2x + 1
dx =
∫
ex
(ex)
2
+ 1
dx
e ex = t
(j)
∫
lnx2
x
dx = ln(lnx)2 + C
Dica:
∫
lnx2
x
dx =
∫
2 lnx
x
dx = e lnx = t
7