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1 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Bibliografia básica HIBBELER R. C. Mecânica para engenharia - Estática. 10° Edição, São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005 BEER, F. P. Mecânica vetorial para engenheiros - Estática. 5° Edição, São Paulo: Makron Books, 1994 CALLISTER, William D. Jr. Ciência e engenharia de materiais: uma introdução. 6ªedição. Rio de Janeiro: LTC, 2013. Bibliografia Complementar BEER, F. P. Mecânica vetorial para engenheiros – Cinemática e Dinâmica. 5° Edição, São Paulo: Makron Books, 1994 2 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL OBJETIVO O objetivo da disciplina da Estática consiste em desenvolver a capacidade para analisar qualquer problema de um modo simples aplicando princípios básicos para sua resolução. A Mecânica descreve e prevê as condições de repouso ou movimento de corpos sob ação das forças, sendo a disciplina base das Ciências de Engenharia 3 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL OBJETIVO A Mecânica Clássica apresenta dois ramos básicos, que são: • A Mecânica Teórica, ou a Mecânica dos Corpos Rígidos • A Mecânica dos Meios Contínuos ou a Mecânica dos Corpos Deformáveis. 4 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL OBJETIVO A Mecânica Clássica apresenta dois ramos básicos, que são: • A Mecânica Teórica, ou a Mecânica dos Corpos Rígidos • A Mecânica dos Meios Contínuos ou a Mecânica dos Corpos Deformáveis. 5 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL OBJETIVO • A Mecânica Teórica, ou a Mecânica dos Corpos Rígidos apresenta dois ramos básicos, que são: • Estática • Dinâmica 6 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL OBJETIVO • A Mecânica Teórica, ou a Mecânica dos Corpos Rígidos apresenta dois ramos básicos, que são: • Estática • Dinâmica 7 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 8 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Introdução à Estática Conceitos básicos Na Mecânica são utilizados quatro conceitos básicos a serem definidos: • Espaço; • Tempo; • Massa; • Força; 9 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Princípios fundamentais Definições Partícula: uma quantidade muito pequena de matéria que ocupa um único ponto no espaço. Corpo rígido: combinação de um grande numero de partículas que ocupam posições fixas umas em relação aos outras 10 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Sistema de unidades Utiliza-se o Sistema Internacional que desde 1960 que se baseia em três conceitos fundamentais: comprimento, tempo e massa. 11 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 12 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 13 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Classificação dos vetores Os vetores podem ser classificados em: Vetor aplicado: não pode ser movido sem modificarem as condições do problema. Exemplo - peso das várias partículas. Vetor deslizante: o ponto de aplicação pode mover-se ao logo da linha de ação. 14 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Classificação dos vetores Os vetores podem ser classificados em: Vetor aplicado: não pode ser movido sem modificarem as condições do problema. Exemplo - peso das várias partículas. Vetor deslizante: o ponto de aplicação pode mover-se ao logo da linha de ação. 15 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Classificação dos vetores Casos particulares de vetores deslizantes: Vetores iguais: mesma - intensidade, direção e sentido - pode ser diferente o ponto de aplicação. Vetores opostos: mesma - intensidade, direção - sentido oposto - pode ser diferente o ponto de aplicação. 16 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Operações vetoriais básicas Adição de dois vetores concorrentes O resultado é um vetor obtido utilizando a regra do paralelogramo ou regra de triângulo. Adição de vetores - regra de paralelogramo e de triângulo. 17 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL PHR 20° 25° A = 60 N A = 40 N 18 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Noções sobre Vetores 19 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Noções sobre Vetores Espaço Vetorial # Um conjunto E ( ) onde são definidas as seguintes operações: + (x,y) := x + y + : E x E E (x,y) composição interna . : x E E (,y) (,x) := . x composição externa 20 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Espaço Vetorial Para x, y, z E e , , temos as seguintes propriedades: i) x + y = y + x; ii) x + ( y + z ) = ( x + y ) + z; iii) 0 E tal que: x + 0 = x x E; iv) Dado x E, existe (-x) E tal que: x + (-x) = 0; v) (x) = ()x; vi) (x + y) = x + y; vii) (+)x = x + x; viii) 1.x = x x E; Noções sobre Vetores 21 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Espaço Vetorial Um conjunto que satisfaz essas propriedades é chamado de espaço vetorial real. (E, +, , ) é um quatérnio e E pode ser o próprio . Noções sobre Vetores 22 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Espaço Vetorial Qualquer elemento de um espaço vetorial chama-se VETOR. Exemplos de espaços vetoriais: o conjunto os números reais; o conjunto dos números complexos; o conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de segmentos orientados; o conjunto das matrizes Mmxn (), o espaço n; o espaço Cn, o conjunto dos polinômios reais de grau n Pn(); o conjunto dos polinômios complexos Pn(C), etc. Noções sobre Vetores 23 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Espaço Vetorial Para verificar que um determinado conjunto constitui um espaço vetorial devemos verificar se ele satisfaz cada uma das oito propriedades apresentadas. Noções sobre Vetores 24 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Vetores Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever “coisas” no mundo que têm direção e sentido. Que coisas são essas? o vento; o fluxo de H2O de um rio; a emissão puntiformede luz; um campo elétrico; a velocidade de um trem bala; o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não explica por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc. Noções sobre Vetores 25 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Sistema de Coordenadas Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas. Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer. . P(x,y) x y 0 x’ y’ O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y. Noções sobre Vetores 26 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Sistema de coordenadas polares Um sistema de coordenadas polares é definido quando se dá um ponto O, chamado pólo, uma semi-reta OA que parte desse ponto O, chamado eixo polar, e um segmento arbitrário com unidade de comprimento. Convém, nesse sistema, definir o sentido positivo de rotação em redor do ponto O. (Geralmente, é o sentido anti-horário). P O A Chama-se coordenadas polares de um ponto P qualquer aos números =OP e =ang AOP. O símbolo P(, ) significa que o ponto P tem coordenadas polares e . Noções sobre Vetores 27 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Passagem das coordenas polares para as coordenadas cartesianas Sejam (x,y) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas e (, ) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas polares: x = . cos y = . sen Noções sobre Vetores 28 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Representação gráfica A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando para algum lugar. Propriedades - direção; - sentido; - magnitude. Grandezas vetoriais: a aceleração, a velocidade e o deslocamento, força, etc. Grandezas escalares: a massa, o tempo e a temperatura, densidade, etc. Noções sobre Vetores 29 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Representação simbólica Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra. Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por exemplo, um vetor no plano: u Noções sobre Vetores 30 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Representação simbólica A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy. y2 y1 x2 x1 A X Y B Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as coordenadas de B são (x2, y2). Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1) AB Noções sobre Vetores 31 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Exemplo Seja = [2,2]. y2 y1 x2 x1 A X Y B Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,2) e ponto final B(3,4). = B – A = (3-1, 4-2)=(2,2) u (3,4) (1,2) u u Noções sobre Vetores 32 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Operações com vetores Considere 2 vetores: e . u v v u A resultante + é obtida pela chamada “lei do paralelogramo”. Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades. u v u v Noções sobre Vetores 33 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Lei do paralelogramo v u vu A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo. Noções sobre Vetores 34 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Variações v u vu Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo. Noções sobre Vetores 35 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Somando mais que dois vetores a b ba c cba d dcba Noções sobre Vetores 36 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente: Definição:Sejam e dois vetores no plano. A soma dos vetores e é o vetor . Exemplo: Sejam e então, ),( 11 yxu ),( 22 yxv u v ),( 2121 yyxxvu )2,1(u )4,3( v )2,4())4(2,31( vu 1.ª coordenada 2.ª coordenada Noções sobre Vetores 37 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Exemplo: Interpretação geométrica Noções sobre Vetores 38 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Diferença de vetores Representamos o vetor + (-1) por . Esse vetor é a diferença de e . u v vu u v u v v vu Noções sobre Vetores 39 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Produto de um vetor por um escalar Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for 0, caso contrário, o vetor assume a direção oposta. w w w w 2 w 3 Noções sobre Vetores 40 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Exemplo Se a = 2, b = -3 e = (1,-2), então: e w )4,2()2,1(2. wa )6,3()2,1(3. wb Noções sobre Vetores 41 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Produto escalar O produto escalar dos vetores de dimensão n: a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por: a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn = Exemplo Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1). . = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6 n i iiba 1 u v u v Noções sobre Vetores 42 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Ângulo entre dois vetores O produto escalarentre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por: cos... vuvu onde é o ângulo formado por e . u v u v Noções sobre Vetores 43 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Exemplo Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2). cos... vuvu u v . = 2.(-1) + 4.2 = 6 u v 2042 22 u 52)1( 22 v Portanto, 6,0 5.20 6 cos Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º. Noções sobre Vetores 44 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Ângulo entre dois vetores cos... vuvu Se e u v 0. vu 0u 0v então, cosseno 0 Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si. Noções sobre Vetores 45 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Ângulo entre dois vetores vuvu 0cos0. O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares . Exemplo Os vetores = (2,-4) e = (4,2) são ortogonais, já que: u v 02).4(4.2. vu Noções sobre Vetores 46 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Ângulo entre dois vetores Mas, , logo u => u u . cos... uuuu 0 2 . uuu Temos então que: uu uuu 2 2 . Noções sobre Vetores 47 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Comprimento ou norma de um vetor O comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x1,y1) é: u 2 1 2 1 yxu y1 x y u x1 0 Além disso, dado um escalar , pertencente a : uu .. Noções sobre Vetores 48 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Desigualdade triangular A norma da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à soma das normas de cada um dos vetores: Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski Essa desigualdade é conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz em homenagem a Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz. Na realidade é a desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, mas o pobre Bunyakovski foi sendo esquecido com o tempo. vuvu vuvu .. Noções sobre Vetores 49 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Noções sobre Vetores Eis o Bunyakowski, porque aqui todos merecem ser lembrados. 50 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Distância entre dois pontos Além disso, pelo teorema de Pitágoras, podemos obter comprimento do segmento orientado com ponto inicial P(x1,y1) e ponto final P(x2,y2): 212 2 1221 yyxxPP x1 0 y x P1 P2 x2 y1 y2 Noções sobre Vetores 51 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Exemplo-1 Se = (2,-5), então o comprimento de é dado por: Exemplo-2 A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do segmento orientado é dado por: u u 29254)5(2 22 u PQ 5253)4()25()31( 2222 PQ Noções sobre Vetores 52 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Versor ou Vetor unitário Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor: é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que . x x u . 1 x x Noções sobre Vetores 53 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Exemplo Seja x = (-3,4). Então: Logo, o vetor É um vetor unitário, pois: 54)3( 22 x 5 4 5 3 4,3 5 1 . 1 x x u 1 25 169 5 4 5 3 22 u Noções sobre Vetores 54 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Ponto médio de um segmento O ponto médio do segmento de reta P1(x1,y1) a P2(x2,y2) é dado por: 2 , 2 ),( 2121 yyxx yxM P1(x1,y1) P2(x2,y2) M (x,y) Noções sobre Vetores 55 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Exemplo Determine o ponto médio M do segmento P1(-2,3) a P2(4,-2). 2 1 ,1 2 )2(3 , 2 42 ),( yxM Noções sobre Vetores 56 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Produto vetorial Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor. Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por: 222 111 cba cba kji vu Noções sobre Vetores 57 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Produto vetorial A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma: Exemplo: Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então: k ba ba j ca ca i cb cb vu ... 22 11 22 11 22 11 )5,12,1(5121 313 212 kji kji vu Noções sobre Vetores 58 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Produto vetorial O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0 Por outro lado, î x j = k; j x k = î; k x î = j. Noções sobre Vetores 59 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Norma do produto vetorial Vimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramo formado por esses vetores. u v |u x v| = área do paralelogramo u x v sen.. vuvu Noções sobre Vetores 60 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Norma do produto vetorial Quando dois vetores forem paralelos no plano, então não há ângulo entre eles. Neste caso, em que = λ. , o produto vetorial x = 0. Já que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor perpendicular aos vetores originais, como saber a orientação desse vetor? Em outras palavras:para onde ele aponta?! u v v u Uma regra prática conhecida como “regra da mão direita” estabelece que se posicionarmos o indicador da mão direita na direção e sentido do vetor u e o dedo médio na direção e sentido de v , o polegar apontará o sentido do terceiro vetor. Noções sobre Vetores 61 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Exemplo-1 Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e AD=(2,1,4). Área = || AB x AD || AB x AD = B C D A )1,6,5(65)21()24()14( 412 111 kjikji kji Noções sobre Vetores 62 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Exemplo-1) continuação || AB x AD || = Exemplo-2 A medida em radianos do ângulo entre e é . Sendo || ||=1 e || ||=7, calcule || x ||. || x || = || ||.|| ||. sen = 1 . 7 . sen = 1 . 7 . 0,5 = 3,5 87,76213625 u 6 v u v v u u v u v 6 Noções sobre Vetores 63 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Produto misto Considere os vetores , e . O produto misto é o número real obtido como resultado da seguinte operação: O volume do paralelepípedo é dado por : v u w wvu . wvuV . Noções sobre Vetores 64 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Exemplo Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos seguintes vetores: = (2,2,0); = (0,1,0) e = (-2,-1,-1) mas, h=||proj || u v w hvuV . w wvuV . )2,0,0(200 010 022 kji kji vu 22 200)1,1,2).(2,0,0().( V wvu Noções sobre Vetores 65 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics. Dover, 1990. 66 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Medidas e Conversões 67 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL HISTÓRICO As unidades de medição primitivas estavam baseadas em partes do corpo humano, que eram referências universais. 68 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 69 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL O sistema inglês No século XII, em conseqüência da sua grande utilização, esse padrão foi oficializado pelo rei Henrique I. 70 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL O sistema inglês A jarda teria sido definida, então, como a distância entre a ponta do nariz do rei e a de seu polegar, com o braço esticado. 71 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL A exemplo dos antigos bastões de um cúbito, foram construídas e distribuídas barras metálicas para facilitar as medições. 72 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Apesar da tentativa de uniformização da jarda na vida prática, não se conseguiu evitar que o padrão sofresse modificações. 73 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL As relações existentes entre a jarda, o pé e a polegada também foram instituídas por leis, nas quais os reis da Inglaterra fixaram que: 1 pé = 12 polegadas 1 jarda = 3 pés 1 milha terrestre = 1.760 jardas 74 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Leitura de medida em polegada A polegada divide-se em frações ordinárias de denominadores iguais a: 2, 4, 8,16, 32, 64, 128... Temos, então, as seguintes divisões da polegada: 75 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL LEITURA DE MEDIDA EM POLEGADA 76 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL LEITURA DE MEDIDA EM POLEGADA 77 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL SISTEMA INGLÊS - FRAÇÃO DECIMAL Para facilitar os cálculos na Indústria criou-se a divisão decimal da polegada. 78 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL A polegada subdivide-se em milésimo e décimos de milésimo. 1.003" = 1 polegada e 3 milésimos 1.1247" = 1 polegada e 1 247 décimos de milésimos .725" = 725 milésimos de polegada 79 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CONVERSÕES Para converter polegada fracionária em milímetro, deve-se multiplicar o valor em polegada fracionária por 25,4. 80 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 81 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL EXERCÍCIOS Converter polegada fracionária em milímetro 82 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL A CONVERSÃO DE MILÍMETRO EM POLEGADA FRACIONÁRIA Divide-se o valor em milímetro por 25,4 e multiplica-se e dividi-se por 128. 83 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 84 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Regra prática - Para converter milímetro em polegada ordinária, basta multiplicar o valor em milímetro por 5,04, mantendo-se 128 como denominador.Arredondar, se necessário. REGRA PRÁTICA 85 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL REGRA PRÁTICA 86 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL EXERCÍCIOS a) 1,5875 mm = b) 19,05 mm = c) 25.00 mm = d) 31,750 mm = e) 127,00 mm = f) 9,9219 mm = g) 4,3656 mm = h) 10,319 mm = i) 14.684 mm = j) 18,256 mm = l) 88,900 mm = m) 133,350 mm = 87 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CONVERSÃO DE POLEGADA MILESIMAL EM POLEGADA FRACIONÁRIA 88 2015Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CONVERTER POLEGADA MILESIMAL EM MILÍMETRO a) .6875" = b) .3906" = c) 1.250" = d) 2.7344" = 89 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CONVERSÃO DE POLEGADA FRACIONÁRIA EM POLEGADA MILESIMAL divide-se o numerador da fração pelo seu denominador. 90 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CONVERTER POLEGADA FRACIONÁRIA EM POLEGADA MILESIMAL 91 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Medidas de pressão 92 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 93 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 94 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 95 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 96 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 97 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 98 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 99 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 100 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 101 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 102 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 103 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL LEI DO SENO E COSSENO 104 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL O parafuso tipo gancho está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o modulo a direção e o sentido. 105 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 106 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Vamos resolver utilizando a metodologia aplicada em sala de aula. 107 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Vamos resolver utilizando uma nova metodologia. 108 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Calculo da força resultante utilizando a lei do cosseno. 109 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL LEI DO COSSENO Fr b a Fr 150 100 115° 110 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Fr b a Fr 150 100 115° 𝐹𝑟 = 1002 + 1502 − 2 × 100 × 150 × 𝑐𝑜𝑠115° 𝐹𝑟 = 212,6 𝑁 111 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL E qual o ângulo da força resultante? Fr PHR 112 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Fr PHR LEI DO SENO A B C a c b 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐶 113 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Fr = 212,6N 150 100 𝐹𝑟 = 212,6 𝑁 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝐴 = 𝑏 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝐶 LEI DO SENO 114 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Fr = 212,6N 150 100 𝐹𝑟 = 212,6 𝑁 LEI DO SENO 150 𝑁 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 212,6 𝑠𝑒𝑛115° 115° 𝜃 = 39,8° 115 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Fr = 212,6N 150 100 𝐹𝑟 = 212,6 𝑁 LEI DO SENO 150 𝑁 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 212,6 𝑠𝑒𝑛115° 115° 𝜃 = 39,8° 𝜃 = 39,8° + 15° 𝜃 = 54,8° PHR 15° 116 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES FORÇA COMO VETOR CARTESIANO 117 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre o componente mecânico mostrado na figura e expresse cada força como vetor cartesiano. 118 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre o componente mecânico mostrado na figura e expresse cada força como vetor cartesiano. 𝐹1𝑋 = - 200 × sen30° N 𝐹1𝑋 = - 100 N 𝐹1𝑋 = 100 N ← 119 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre o componente mecânico mostrado na figura e expresse cada força como vetor cartesiano. 𝐹1𝑋 = - 200 × sen30° N 𝐹1𝑋 = - 100 N 𝐹1𝑋 = 100 N ← 120 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre o componente mecânico mostrado na figura e expresse cada força como vetor cartesiano. 𝐹1𝑦 = 200 × cos30° N 𝐹1𝑦 = 173 N 𝐹1𝑦 = 173 N ↑ 121 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre o componente mecânico mostrado na figura e expresse cada força como vetor cartesiano. 𝐹1𝑦 = 200 × cos30° N 𝐹1𝑦 = 173 N 𝐹1𝑦 = 173 N ↑ 122 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre o componente mecânico mostrado na figura e expresse cada força como vetor cartesiano. 𝐹2𝑦 = -100 N 𝐹2𝑦 = 100 N ↓ 𝐹2𝑥 = 240 N 𝐹2𝑥 = 240 N → 123 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre o componente mecânico mostrado na figura e expresse cada força como vetor cartesiano. 𝐹2𝑦 = -100 N 𝐹2𝑦 = 100 N ↓ 𝐹2𝑥 = 240 N 𝐹2𝑥 = 240 N → 124 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre o componente mecânico mostrado na figura e expresse cada força como vetor cartesiano. 𝐹2𝑦 = 100 N ↓ 𝐹2𝑥 = 240 N → 𝐹1𝑦 = 173 N ↑ 𝐹1𝑋 = 100 N ← Como escrever a notação vetorial cartesiana? 125 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine os componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre o componente mecânico mostrado na figura e expresse cada força como vetor cartesiano. 𝐹2𝑦 = 100 N ↓ 𝐹2𝑥 = 240 N → 𝐹1𝑦 = 173 N ↑ 𝐹1𝑋 = 100 N ← i j 𝐹1 = { - 100i + 173j } N 𝐹2 = { 240i - 100j} N 𝐹𝑟 = { 140i + 73j} N 126 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES FORÇA COMO VETOR CARTESIANO FORÇA COMOVETOR ESCALAR DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ÂNGULO DIRETOR VETOR UNITÁRIO 127 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Expresse a força F como um vetor cartesiano 128 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Regra dos cossenos 𝑪𝒐𝒔𝟐𝜶 + 𝑪𝒐𝒔𝟐𝜷 + 𝑪𝒐𝒔𝟐𝜸 = 𝟏 𝐶𝑜𝑠2𝛼 + 𝐶𝑜𝑠260° + 𝐶𝑜𝑠245° = 1 𝐶𝑜𝑠2𝛼 = 1 − 𝐶𝑜𝑠260° − 𝐶𝑜𝑠245° 𝐶𝑜𝑠𝛼 = 1 − 𝐶𝑜𝑠260° − 𝐶𝑜𝑠245° 129 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Regra dos cossenos 𝑪𝒐𝒔𝟐𝜶 + 𝑪𝒐𝒔𝟐𝜷 + 𝑪𝒐𝒔𝟐𝜸 = 𝟏 𝐶𝑜𝑠𝛼 = 1 − (0,52) − (0,7072) 𝐶𝑜𝑠𝛼 = 1 − 0,25 − 0,50 𝐶𝑜𝑠𝛼 = 0,25 𝐶𝑜𝑠𝛼 = ± 0,5 130 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Regra dos cossenos 𝐶𝑜𝑠𝛼 = ± 0,5 𝛼 = 𝐶𝑜𝑠−10,5 = 60° ou 𝛼 = 𝐶𝑜𝑠−1(−0,5) = 120° Como Fx está na direção +x o ângulo será 60°, logo temos: 𝐹𝑟 = 𝐹𝑐𝑜𝑠60° 𝑖 + 𝐹𝑐𝑜𝑠60° 𝑗 + 𝐹𝑐𝑜𝑠45° 𝑘 𝐹𝑟 = 200𝑐𝑜𝑠60° 𝑁 𝑖 + 200𝑐𝑜𝑠60° 𝑁 𝑗 + 200𝑐𝑜𝑠45° 𝑘 𝐹𝑟 = {100𝑖 + 100𝑗 + 141,4𝑘} N 131 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Regra dos cossenos 𝐹𝑟 = 𝐹𝑐𝑜𝑠60° 𝑖 + 𝐹𝑐𝑜𝑠60° 𝑗 + 𝐹𝑐𝑜𝑠45° 𝑘 𝐹𝑟 = 200𝑐𝑜𝑠60° 𝑁 𝑖 + 200𝑐𝑜𝑠60° 𝑁 𝑗 + 200𝑐𝑜𝑠45° 𝑘 𝐹𝑟 = {100𝑖 + 100𝑗 + 141,4𝑘} N 132 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Regra dos cossenos 𝐹𝑟 = {100𝑖 + 100𝑗 + 141,4𝑘} N Vamos calcular a prova real? 𝐹𝑟2 = 1002 + 1002 + 141,42 𝐹𝑟 = 1002 + 1002 + 141,42 𝐹𝑟 = 200 𝑁 133 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o parafuso olhal. 134 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o parafuso olhal. Como as forças estão representadas como vetor cartesiano, a força resultante será: 𝐹𝑟 = 𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 𝐹1= 60𝑗 + 80𝑘 𝐹2 = 50𝑖 − 100𝑗 + 100𝑘 𝐹𝑟 = 50𝑖 − 40𝑗 + 180𝑘 + 135 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o parafuso olhal. 𝐹𝑟 = 𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 𝐹1= 60𝑗 + 80𝑘 𝐹2 = 50𝑖 − 100𝑗 + 100𝑘 𝐹𝑟 = 50𝑖 − 40𝑗 + 180𝑘 + 136 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o parafuso olhal. 𝐹1= 60𝑗 + 80𝑘 𝐹2 = 50𝑖 − 100𝑗 + 100𝑘 𝐹𝑟 = 50𝑖 − 40𝑗 + 180𝑘 + 𝐹𝑟2 = (50)2+(−40)2+(180)2 A intensidade (escalar) da força resultante é calculada pela equação: 𝐹𝑟2 = 2500 + 1600 + 32400 𝐹𝑟 = 36500 𝐹𝑟 ≅ 191 𝑙𝑏 137 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o parafuso olhal. 𝐹𝑟2 = (50)2+(−40)2+(180)2 A intensidade (escalar) da força resultante é calculada pela equação: 𝐹𝑟2 = 2500 + 1600 + 32400 𝐹𝑟 = 36500 𝐹𝑟 ≅ 191 𝑙𝑏 138 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o parafuso olhal. 𝐹𝑟 = 50𝑖 − 40𝑗 + 180𝑘 𝑙𝑏 − 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝐹𝑟 = 191 𝑙𝑏 − 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 Os ângulos das coordenadas α, β, γ são determinados pelos componentes do vetor unitário que atua na direção de Fr, logo: 𝑈𝐹𝑟 = 𝐹𝑟 (𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙) 𝐹𝑟 (𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟) 𝑈𝐹𝑟 = 50 191 𝑖 − 40 191 𝑗 + 180 191 𝑘 𝑈𝐹𝑟 = 0,2617𝑖 − 0,2094𝑗 + 0,9422𝑘 139 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o parafuso olhal. 𝐹𝑟 = 50𝑖 − 40𝑗 + 180𝑘 𝑙𝑏 − 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝐹𝑟 = 191 𝑙𝑏 − 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 Os ângulos das coordenadas α, β, γ são determinados pelos componentes do vetor unitário que atua na direção de Fr, logo: 𝑈𝐹𝑟 = 𝐹𝑟 (𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙) 𝐹𝑟 (𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟) 𝑈𝐹𝑟 = 50 191 𝑖 − 40 191 𝑗 + 180 191 𝑘 𝑈𝐹𝑟 = 0,2617𝑖 − 0,2094𝑗 + 0,9422𝑘 140 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o parafuso olhal. 𝑈𝐹𝑟 = 0,2617𝑖 − 0,2094𝑗 + 0,9422𝑘 Logo, para calcular o ângulo diretor: cos 𝛼 = 0,2617 𝛼 = cos−1 0,2617 𝛼 = 74,8° cos𝛽 = −0,2094 𝛽 = cos−1(−0,2094) 𝛽 = 102° cos𝛾 = 0,9422 𝛾 = cos−1 0,9422 𝛾 = 19,6° 141 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 𝐹𝑟 = 50𝑖 − 40𝑗 + 180𝑘 𝑙𝑏 𝐹2 = 50𝑖 − 100𝑗 + 100𝑘 𝑙𝑏 𝐹1= 60𝑗 + 80𝑘 𝑙𝑏 𝛽 = 102° 𝛼 = 74,8° 𝛾 = 19,6° x y z 𝐹𝑟 = 191 𝑙𝑏 142 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL INTRODUÇÃO À RESISTENCIA DOS MATERIAIS MOMENTO, TENSÃO ADIMISSIVEL 143 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL COMPORTAMENTO DO MATERIAL Quando uma força age sobre um corpo, produz neste uma tensão, que pode ser de tração, compressão, cisalhamento, flambagem, flexão ou torção. 144 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL COMPORTAMENTO DO MATERIAL Todas as tensões produzidas no corpo causa a este uma deformação. Se a tensão é pequena, o corpo volta ao seu estado, ou tamanho normal assim que a força deixa de existir sobre o mesmo. Esta propriedade é chamada de elasticidade. 145 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL COMPORTAMENTO DO MATERIAL Todas as tensões produzidas no corpo causa a este uma deformação. Se a tensão é pequena, o corpo volta ao seu estado, ou tamanho normal assim que a força deixa de existir sobre o mesmo. Esta propriedade é chamada de elasticidade. 146 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL COMPORTAMENTO DO MATERIAL Porém, se a tensão for muito grande, poderá causar no corpo uma deformação permanente, isto é, o corpo poderá ficar permanentemente deformado mesmo após cessada a ação da força. 147 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL COMPORTAMENTO DO MATERIAL Por outro lado, se a tensão for ainda maior, poderá causar até uma ruptura do corpo. A maior tensão que o corpo pode suportar é definida como sendo o limite de resistência ou tensão de ruptura 148 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL GRÁFICO TENSÃODEFORMAÇÃO Para melhor caracterizar o comportamento de um material submetido às tensões progressivas, será reproduzido na figura a seguir o gráfico tensão x deformação. 149 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL GRÁFICO TENSÃO DEFORMAÇÃO 150 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL GRÁFICO TENSÃO DEFORMAÇÃO 151 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL GRÁFICO TENSÃO DEFORMAÇÃO Pela análise do gráfico verifica-se que o comportamento do material se subdivide em duas fases distintas, ou seja, fase elástica e fase plástica. A separação destas fases se faz na transição entre o limite de elasticidade e o início do fenômeno de escoamento. 152 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL GRÁFICO TENSÃO DEFORMAÇÃO É necessário observar que para os cálculos de peças que devem suportar os esforços sem provocar as deformações permanentes, o material deverá trabalhar dentro do seu limite de elasticidade, numa faixa assinalada no gráfico como tensão admissível. 153 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS Dentre as propriedades mecânicas dos materiais, as de maior interesse para os cálculos de resistência são: Limite de resistência ou tensão de ruptura, tensão de escoamento ou limite de escoamento, alongamento, módulo de elasticidade e a dureza. Para estas propriedades, serão adotados os seguintes símbolos: 154 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS σr = Tensão de ruptura em kgf/cm² - Os valores para os diferentes materiais se obtém através de ensaio de tração, dividindo-se a maior carga suportada pelo corpo de prova pela área da seção original do mesmo. 155 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 2 max cm kgf S P o R onde Pmax = carga máxima em kgf e So = seção original em cm² (Tensão de ruptura em kgf/cm²) 156 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Pesc = carga que produz o escoamento em kgf e So = seção original em cm². 2cm kgf S P o esc esc (Tensão de escoamento em kgf/cm²) 157 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Lo = comprimento inicial do corpo de prova em mm e L = comprimento final após o rompimento do corpo de prova, em mm % emoAlongament % 100*)( 0 0 0 L LL mm mm L L 158 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL E = Módulo de elasticidade, em kgf/cm² é a relação existente entre a tensão e o alongamento do material observado dentro de seus limites de propriedade elástica. O módulo de elasticidade caracteriza a rigidez do material, isto é, sua habilidade de resistir a deformação. MÓDULO DE ELASTICIDADE 2mm kgf E 2kgf/cmtensão em σ 2cm kgf S P o esc esc % 100*)( 0 0 0 L LL mm mm L L % emoAlongament 159 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL H = Número de Dureza Brinnel, que é a relação aproximada entre a dureza e a tensão de ruptura do material. DUREZA BRINNEL 2 36 mm kgf HR para aços carbono 2 34 mm kgf HR ara aços de liga 160 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL TENSÃO ADMISSÍVEL X FATOR DE SEGURANÇA. Para dimensionar um elemento metálico, o engenheiro deverá primeiramente definir em qual regime de tensão admite-se o trabalho desta peça, e por conseguinte, determinar o fator de segurança. 161 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL TENSÃO ADMISSÍVEL Na resistência de materiais, onde as peças calculadas deverão suportar as cargas com segurança, isto é, sem provocar a deformação permanente, terá que ser considerada nos cálculos uma tensão menor do que a de escoamento. 162 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL TENSÃO ADMISSÍVEL Esta tensão que oferece à peça uma condição de trabalho sem perigo é chamada de tensão admissível (σadm). Todavia, deve-se ter em mente que as peças estruturais podem trabalhar em condições adversas sujeitas a cargas estáticas, cargas intermitentes, alternadas ou mesmo a choques. 163 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL TENSÃO ADMISSÍVEL Desta forma, ao calcular um elemento estrutural, faz-se necessário conhecer a condição de trabalho da peça, a fim de poder estabelecer uma tensão admissível compatível com o tipo de carga a suportar. 164 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL TENSÃO ADMISSÍVEL Conhecendo a condição de trabalho da peça e o tipo de material mais apropriado para a construção desta peça, pode-se estabelecer a tensão admissível atribuindo-se ao valor de sua tensão de ruptura um coeficiente que é denominado fator de segurança. 165 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 2cm kgf F R RF TENSÃO ADMISSÍVEL σ = Tensão admissível, em kgf/cm² σR = Tensão de ruptura, em kgf/cm² 166 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL FATOR DE SEGURANÇA O fator de segurança é uma relação entre as tensões de ruptura e admissível do material. Os valores aqui adotados serão baseados na qualidade do material e no tipo de carga aplicada à peça. Pode-se distinguir quatro tipos de carga, a saber: 167 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL FATOR DE SEGURANÇA - Carga Estática – Quando uma peça está sujeita a uma carga constante e invariável ao decorrer do tempo. Um deck de transportador de correias pode ser enquadrado nesta categoria. 168 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL FATOR DE SEGURANÇA - Carga Intermitente – Peça sujeita a uma carga pulsante, isto é, variável de zero a um valor máximo permitido, por exemplo, a lança de um Descarregador de Navios. 169 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL FATOR DE SEGURANÇA - Carga Alternada – Quando uma peça está sujeita a uma carga variável nos dois sentidos, por exemplo, a biela de um cilindro hidráulico de dupla ação. 170 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL FATOR DE SEGURANÇA - Carga Brusca ou a Choque – Peça sujeita a variação brusca ou a choque, por exemplo, componentes de prensas hidráulicas. 171 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERALFATOR DE SEGURANÇA 172 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Fator de segurança (F) Material Carga Estática Intermitente Alternada Brusca Ferro fundido 6 10 15 20 Aço mole 5 6 8 12 Aço duro 4 6 8 12 Madeira 8 10 15 20 FATOR DE SEGURANÇA 173 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CLASSE DE RESISTENCIA É de fundamental importância conhecer o tipo de esforço a que o elemento estrutural está ou estará submetido, pois terá enorme influência nos cálculos. Cabe ao engenheiro determinar a classe de resistência à que a estrutura estará submetida. 174 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CLASSE DE RESISTENCIA - RESISTÊNCIA À TRAÇÃO - Quando uma barra for submetida a uma força (P), atuando no sentido do seu eixo, isto é, perpendicular a sua secção transversal, estará sofrendo uma tração e uma deformação que será a de acréscimo de comprimento. 175 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CLASSE DE RESISTENCIA - RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO - Quando uma força (P), agir no sentido longitudinal da peça, isto é, perpendicular a sua secção transversal, esta sofrerá uma compressão e um achatamento. 176 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CLASSE DE RESISTENCIA - RESISTÊNCIA À CISALHAMENTO - Quando duas forças (P) atuam sobre uma peça (ex: rebite), transversalmente ao seu eixo, sofrerá um cisalhamento, isto é, a peça tenderá a ser cortada. 177 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CLASSE DE RESISTENCIA - RESISTÊNCIA À FLEXÃO - Quando uma força (P), atua sobre uma barra, perpendicularmente ao seu eixo, produzirá a flexão do referido eixo. 178 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CLASSE DE RESISTENCIA - RESISTÊNCIA À TORÇÃO - Quando uma força (P), agindo no plano perpendicular ao eixo da barra tenderá a girar cada secção transversal em relação às demais secções, torcendo-a. Resistência à torção será estudado no curso de resistência dos materiais. 179 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CLASSE DE RESISTENCIA - RESISTÊNCIA A FLAMBAGEM - Se a barra submetida a compressão for de comprimento muito grande em relação a sua secção, ela se dobrará sob a ação da força (P), produzindo a flambagem. Resistência à flambagem será estudado no curso de resistência dos materiais. 180 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL CLASSE DE RESISTENCIA - RESISTÊNCIA COMPOSTA - Quando uma peça estiver sujeita a mais de uma classe de resistência, a mesma terá que ser calculada pela resistência composta. Resistência composta será estudado no curso de resistência dos materiais. 181 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL RESISTENCIA À TRAÇÃO Inúmeros elementos metálicos estão submetidos às forças de tração, dentre as quais podemos citar colunas de apoio e barras de tração (tirantes) de lanças de empilhadeiras, recuperadoras, descarregadores de navios e parafusos. 182 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 1 – Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE-1020, determinar o diâmetro que deve ter para suportar com segurança uma carga “P” de 5000 kg estática à tração. 183 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 1 – Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE 1020, determinar o diâmetro que deve ter para suportar com segurança uma carga “P” de 5000 kg estática à tração. 184 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 185 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 186 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 1 – Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE 1020, determinar o diâmetro que deve ter para suportar com segurança uma carga “P” de 5000 kg estática à tração. 5 Para o SAE1020, os valores são: σR = 4200kgf/cm² Fator de Segurança =5 187 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 1 – Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE 1020, determinar o diâmetro que deve ter para suportar com segurança uma carga “P” de 5000 kg estática à tração. 5 A tensão admissível será: 5 4200 2 cm kgf F R 2 840 cm kgf 188 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 1 – Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE 1020, determinar o diâmetro que deve ter para suportar com segurança uma carga “P” de 5000 kg estática à tração. 5 A tensão admissível é 𝟖𝟒𝟎 𝒌𝒈𝒇/𝒄𝒎𝟐 Então, a área da seção necessária para suportar a carga com segurança será de: 840 50002 cm P S 26 cmS 189 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 1 – Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE 1020, determinar o diâmetro que deve ter para suportar com segurança uma carga “P” de 5000 kgf estática à tração. 5 26 cmS Isto significa que para suportar a carga de 5000kgf esta barra deve possuir no mínimo 6cm² de área na seção metálica. 190 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 1 – Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE 1020, determinar o diâmetro que deve ter para suportar com segurança uma carga “P” de 5000 kgf estática à tração. 5 26 cmS Para o cálculo o diâmetro da barra a partir de sua seção, será necessário: 4 6 4 2 2 2 d cm d S 242 d cmd d 76,2 639,7 191 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 1 – Considerando que a barra seja de seção circular e de aço SAE 1020, determinar o diâmetro que deve ter para suportar com segurança uma carga “P” de 5000 kgf estática à tração. 5 Isto significa que para suportar a carga de 5000kgf esta barra deve possuir no mínimo 2,76cm ou 27,6mm de diâmetro. 192 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 2 – A peça mostrada na figura abaixo é constituída de uma parte com diâmetro maior de 30mm e outra com diâmetro de 20mm. Calcular a carga “P”, intermitente, que poderá ser aplicada à peça, considerando que a mesma é feita de aço estrutural. 5 193 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 3 – No sistema representado na figura abaixo, determinar: a) O diâmetro “d” da peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça. 5 194 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 3 – No sistema representado nafigura abaixo, determinar: a) O diâmetro “d” da peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça. 5 a) Cálculo do diâmetro “d” da peça: kgftfP 75005,7 Para o SAE1020, os valores de σR = 4200kgf/cm² Fator de Segurança =5 A tensão admissível será: 5 4200 2 cm kgf F R 2 840 cm kgf kgftfP 75005,7 195 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 3 – No sistema representado na figura abaixo, determinar: a) O diâmetro “d” da peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça. 5 A tensão admissível será: 2 840 cm kgf Significa que a tensão admissível para o material neste caso será de 840kgf/cm² 196 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 3 – No sistema representado na figura abaixo, determinar: a) O diâmetro “d” da peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça. 5 2 840 cm kgf Então, a área da seção necessária para suportar a carga com segurança será de: 840 75002 cm P S kgfP 7500 293,8 cmS 197 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 3 – No sistema representado na figura abaixo, determinar: a) O diâmetro “d” da peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça. 5 2 840 cm kgf kgfP 7500 293,8 cmS Isto significa que para suportar a carga de 7.500 kgf esta barra deve possuir no mínimo 8,93cm² de área na seção metálica. Para o cálculo do diâmetro da barra: 4 93,8 2d 271,35 d 71,352d cmd 37,3 198 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 3 – No sistema representado na figura abaixo, determinar: a) O diâmetro “d” da peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça. 5 cmd 37,3 Significa que para suportar a carga de 7500kgf esta barra deve possuir no mínimo 3,37cm ou 33,7mm de diâmetro. 199 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 3 – No sistema representado na figura abaixo, determinar: a) O diâmetro “d” da peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça. 5 Cálculo da quantidade de parafusos Diâmetro interno di = 15mm = 1,5cm kgfP 7500 Para o SAE1040, os valores de σR = 5800kgf/cm² Fator de Segurança =4 A tensão admissível será 2 1450 cm kgf 4 5800 2 cm kgf F R 200 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 3 – No sistema representado na figura abaixo, determinar: a) O diâmetro “d” da peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça. 5 A tensão admissível será 2 1450 cm kgf A área total da seção metálica a ser distribuída pelos parafusos necessária para suportar a carga com segurança será de: tS P 2cmPSt 217,5 cmSt 2 1450 7500 cmSt 201 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 3 – No sistema representado na figura abaixo, determinar: a) O diâmetro “d” da peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça. 5 Isto significa que para suportar a carga de 7500kgf a área total a ser distribuída entre os parafusos deve possuir no mínimo 5,17cm² de área na seção metálica. 217,5 cmSt 202 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 3 – No sistema representado na figura abaixo, determinar: a) O diâmetro “d” da peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça. 5 217,5 cmSt Para o cálculo a área de cada parafuso: 2 2 4 cm d Sp 2767,1 cmSp 4 5,1 2 Sp 203 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 3 – No sistema representado na figura abaixo, determinar: a) O diâmetro “d” da peça; b) A quantidade de parafusos necessários para a fixação da peça. 5 217,5 cmSt 2767,1 cmSp Isto significa que cada parafuso possui 1,767cm² de área metálica. Como a área total a ser distribuída entre os parafusos é de 5,17cm² então: Sp St Qt 767,1 17,5 Qt parafusosQt 3...93,2 204 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar: a) O diâmetro das barras; b) O deslocamento do ponto “0” ao ser aplicada a carga. 5 205 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar: a) O diâmetro das barras; 5 Inicialmente, é necessário traçar o Diagrama de Corpo Livre do sistema: Para calcular as forças “P1”, será necessário calcular a resultante da somatória das forças no eixo “Y”, que é o eixo de interesse: 206 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar: a) O diâmetro das barras; 5 Inicialmente, é necessário traçar o Diagrama de Corpo Livre do sistema: kgfPP P P P PP PPP Fy 2000 5,0 1000 10005,0 2 2000 5,0 0)5,0(22000 060cos*2 060cos60cos 0 11 1 1 1 0 1 0 1 0 1 kgfPP P P P PP PPP Fy 2000 5,0 1000 10005,0 2 2000 5,0 0)5,0(22000 060cos*2 060cos60cos 0 11 1 1 1 0 1 0 1 0 1 kgfPP P P P PP PPP Fy 2000 5,0 1000 10005,0 2 2000 5,0 0)5,0(22000 060cos*2 060cos60cos 0 11 1 1 1 0 1 0 1 0 1 kgfPP P P P PP PPP Fy 2000 5,0 1000 10005,0 2 2000 5,0 0)5,0(22000 060cos*2 060cos60cos 0 11 1 1 1 0 1 0 1 0 1 kgfPP P P P PP PPP Fy 2000 5,0 1000 10005,0 2 2000 5,0 0)5,0(22000 060cos*2 060cos60cos 0 11 1 1 1 0 1 0 1 0 1 kgfPP P P P PP PPP Fy 2000 5,0 1000 10005,0 2 2000 5,0 0)5,0(22000 060cos*2 060cos60cos 0 11 1 1 1 0 1 0 1 0 1 kgfPP P P P PP PPP Fy 2000 5,0 1000 10005,0 2 2000 5,0 0)5,0(22000 060cos*2 060cos60cos 0 11 1 1 1 0 1 0 1 0 1 kgfPP P P P PP PPP Fy 2000 5,0 1000 10005,0 2 2000 5,0 0)5,0(22000 060cos*2 060cos60cos 0 11 1 1 1 0 1 0 1 0 1 207 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar: a) O diâmetro das barras; 5 Inicialmente, é necessário traçar o Diagrama de Corpo Livre do sistema: Isto significa que a força P1 exercida em cada uma das barras será de 2000kgf. 208 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar: a) O diâmetro das barras; 5 a) Cálculo do diâmetro das barras “P1”: P1 = 2000 kgf Para o SAE1020 temos: σR =4200kgf/cm² Fator de Segurança =5 209 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 5 210 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 5 Aço macio 211 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar: a) O diâmetro das barras; 5 a) Cálculo do diâmetro das barras “P1”: P1 = 2000 kgf Para o SAE1020 temos: σR =4200kgf/cm² Fator de Segurança =5 A tensão admissível será: 2 2 840 5 4200 cm kgf cm kgf F R Isto significa que a tensão admissível para o material neste caso será de 840kgf/cm². 212 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar: a) O diâmetro das barras; 5 a) Cálculo do diâmetro das barras “P1”: P1 = 2000 kgf Para o SAE1020 temos: σR =4200kgf/cm² Fator de Segurança =5 A área da seção necessária para suportar a carga com segurança será de: Isto significa que para suportar a carga de 2.000 kgf esta barra deve possuir no mínimo 2,38cm² de área na seção metálica. 21 21 38,2 840 2000 cmS S cm P S 213 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar: a) O diâmetro das barras; 5 a) Cálculo do diâmetro das barras “P1”: P1 = 2000 kgf Para o SAE1020 temos: σR =4200kgf/cm² Fator de Segurança =5 cálculo do diâmetro das barras “P1”: 52,9 52,9 4 38,2 4 2 2 2 2 2 d d d cm d S 214 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar: a) O diâmetro das barras; 5 a) Cálculo do diâmetro das barras “P1”: P1 = 2000 kgf Para o SAE1020 temos: σR =4200kgf/cm² Fator de Segurança =5 cálculo do diâmetro das barras “P1”: Isto significa que para suportar a carga de 2.000 kgf esta barra deve possuir no mínimo 2,38cm² de área na seção metálica. cmd d d d 74,1 03,3 03,3 52,9 2 2 215 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar: a) O deslocamento do ponto “0” ao ser aplicada a carga. 216 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar: a) O deslocamento do ponto “0” ao ser aplicada a carga. Inicialmente, será necessário calcular o alongamento das barras: 2 6101,2 cm kgf E ( Para o aço, o valor de cmLcm E L L 08,0 101,2 200840 6 Significa que o alongamento em cada barra “P1” provocado pela força foi de 0,08cm ou 0,8mm. 217 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL 4 – Na figura abaixo, duas barras de aço SAE-1020, de 2m de comprimento cada e articuladas nas extremidades deverão suportar com segurança uma carga estática de 2tf. Considerando que o ângulo älfa” seja de 120 graus, determinar: a) O deslocamento do ponto “0” ao ser aplicada a carga. Agora é possível calcular o deslocamento no ponto “0”: ( cmhcm sen L h 16,0 5,0 08,0 300 ou cmhcmLh 16,0 5,0 08,0 60cos 0 218 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Na figura abaixo, determinar o diâmetro da barra “1” de aço SAE1020 sujeita a compressão e o diâmetro do tirante “2” do mesmo material, sujeito a tração, para suportar com segurança uma carga estática de 5tf. O ângulo entre as barras “1”e “2” é de 30 graus. 219 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Na figura abaixo, determinar o diâmetro da barra “1” de aço SAE1020 sujeita a compressão e o diâmetro do tirante “2” do mesmo material, sujeito a tração, para suportar com segurança uma carga estática de 5tf. O ângulo entre as barras “1”e “2” é de 30 graus. Inicialmente, é necessário traçar o Diagrama de Corpo Livre do sistema 220 2015 Prof. MSc. Wandercleiton da Silva Cardoso wandercleitom@yahoo.com.br MECÂNICA GERAL Na figura abaixo, determinar o diâmetro da barra “1” de aço SAE1020 sujeita a compressão e o diâmetro do tirante “2” do mesmo material, sujeito a tração, para suportar com segurança uma carga estática de 5tf. O ângulo entre as barras “1”e “2” é de 30 graus. kgfP PPPPPPFy 10000
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