ondas 1

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CAPÍTULO 16: ONDAS - I
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
O que é uma onda?
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
O que é uma onda?
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
O que é uma onda?
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-2  Tipos de Ondas
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Ondas Longitudinais:
16-3  Ondas Transversais e Longitudinais
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Ondas Transversais:
16-3  Ondas Transversais e Longitudinais
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Ondas Mistas:
16-3  Ondas Transversais e Longitudinais
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
fv
T
v  Velocidade da onda:
16-4  Comprimento de Onda e Frequência
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-4  Comprimento de Onda e Frequência
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-4  Comprimento de Onda e Frequência
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-4  Comprimento de Onda e Frequência
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
 kxsenyxy m)(
mínima
)]([),( vtxksenytxy m 
aaa
v
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
 11 )0,( kxsenyxy m
)]([)0,( 11   xksenyxy m
)]([)( 11  xksenykxseny mm
)()( 11 kkxsenykxseny mm   2k

2
k
● Sabemos que:
)]([),( vtxksenytxy m 
● Para x = x1 e t = 0, tem-se:
● Para x = x1 +  e t = 0, tem-se:
v
● No entanto:
)0,()0,( 11  xyxy  
 
(número de onda)
16-4  Comprimento de Onda e Frequência
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T
kv




2
● Então:
)]([),( vtxksenytxy m 
● Pode ser escrita, como:
● Mas:
v
● Desse modo, tem-se:
)(),( kvtkxsenytxy m 

T
kv
2


kv
(função de onda senoidal)
16-4  Comprimento de Onda e Frequência
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
O que é constante de fase
)(),( tkxsenytxy m 
)(),(   tkxsenytxy m
16-4  Comprimento de Onda e Frequência
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-5  A Velocidade de uma Onda Progressiva
)(),( tkxsenytxy m 
● Sabemos que:
● Como o ponto A, que pertence à
forma da onda, tem sempre o mesmo
valor y, temos:
constantekx t 
● Para determinar a velocidade v da onda derivamos essa equação em relação ao
tempo, obtendo:
0
dx
k
dt
 

dx
dt k



2
2
Tv



 
v f
T

 
(velocidade da onda)
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Exemplo 16-2: Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação
( , ) 0,00327 (72,1 2,72 )y x t sen x t 
onde as constantes numéricas estão em unidades do SI (0,00327m, 72,1 rad/m e
2,72 rad/s).
a) Qual é a amplitude da onda?
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Exemplo 16-2: Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação
( , ) 0,00327 (72,1 2,72 )y x t sen x t 
onde as constantes numéricas estão em unidades do SI (0,00327m, 72,1 rad/m e
2,72 rad/s).
b) Quais são o comprimento de onda, o período e a frequência da onda?
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Exemplo 16-2: Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação
( , ) 0,00327 (72,1 2,72 )y x t sen x t 
onde as constantes numéricas estão em unidades do SI (0,00327m, 72,1 rad/m e
2,72 rad/s).
c) Qual é a velocidade da onda?
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Exemplo 16-2: Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação
( , ) 0,00327 (72,1 2,72 )y x t sen x t 
onde as constantes numéricas estão em unidades do SI (0,00327m, 72,1 rad/m e
2,72 rad/s).
d) Qual é o deslocamento y para x = 22,5 cm e t = 18,9 s ?
Exemplo 16-3: No Exemplo 16-2d mostramos que em t = 18,9 s o deslocamento
transversal y do elemento da corda situado em x = 22,5cm é 1,92 mm.
a) Qual é a velocidade transversal u desse elemento da corda nesse instante t ?
(Essa velocidade, associada à oscilação transversal de um elemento da corda, é
uma velocidade na direção y que varia com o tempo e não deve ser confundida
com v, a velocidade constante com a qual forma da onda se propaga na direção x.)
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Exemplo 16-3: No Exemplo 16-2d mostramos que em t = 18,9 s o deslocamento
transversal y do elemento da corda situado em x = 22,5cm é 1,92 mm.
b) Qual é a aceleração transversal ay do mesmo elemento nesse instante?
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
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16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
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16-6  Velocidade da Onda em uma Corda Esticada
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda
● Energia Cinética:
Quando produzimos uma onda em uma corda esticada fornecemos energia para que a
corda se mova. Quando a onda se afasta de nós transporta essa energia como
energia cinética e como energia potencial elástica. Vamos examinar essas duas
formas, uma de cada vez.
Um elemento da corda de massa dm, oscilando transversalmente em um movimento
harmônico simples enquanto a onda passa por ele, possui energia cinética associada a
sua velocidade transversal u. Quando o elemento está passando pela posição y = 0,
sua energia cinética é máxima. Quando o elemento está na posição extrema y = ym,
sua energia cinética é nula.
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda
● Energia Potencial Elástica:
Para produzir uma onda senoidal em uma
corda inicialmente reta a onda deve
necessariamente deformar a corda. Quando
um elemento da corda de comprimento dx
oscila transversalmente seu comprimento
aumenta e diminui periodicamente para
assumir a forma da onda senoidal. Como no
caso de uma mola, a energia potencial
elástica está associada a essas variações de
comprimento.
Quando o elemento da corda está na posição
y = ym a energia potencial elástica é nula.
Por outro lado, quando o elemento está
passando pela posição y = 0 possui energia
potencial elástica máxima.
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda
● A Taxa de Transmissão de Energia:
21 
2
dK dm u
 cosm
y
u y kx t
t
    

A energia cinética dK associada a um elemento da corda de
massa dm é dada por:
Para determinar u derivamos a função de onda em relação ao
tempo, mantendo x constante:
Usando essa relação e fazendo dm = µdx, tem-se:
    
2 2
m
1
dx - y cos
2
dK kx t   
Dividindo essa equação por dt obtemos a taxa com a qual a energia cinética passa
por um elemento da corda e, portanto, a taxa com a qual a energia cinética é
transferida pela onda:
   
2 2
m
1 dx
- y cos
2 dt
dK
kx t
dt
     
 
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda
● A Taxa de Transmissão de Energia:
Como a razão dx/dt é a velocidade v da onda, temos:
 2 2 2m
1
y cos
2
dK
v kx t
dt
   
   
2 2
m
1 dx
- y cos
2 dt
dK
kx t
dt
     
 
A taxa média com a qual a energia cinética é transportada é:
 2 2 2m
1
y cos
2 medmed
dK
v kx t
dt
         
 

2 2
m
1
y
4med
dK
v
dt
    
 
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-7  Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda
● A Taxa de Transmissão de Energia:
A energia potencial elástica também é
transportada pela onda, com a mesma taxa média.Não vamos apresentar a demonstração, mas apenas
lembrar que em um sistema oscilatório, como um
pêndulo ou um sistema massa-mola, a energia
cinética média e a energia potencial média são
iguais.
A potência média, que é a taxa média com a qual as
duas formas de energia são transmitidas pela onda,
é, portanto:
2 2
m
1
y
2
medP v 
2med
med
dK
P
dt
 
  
 

CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Exemplo 16-5: Uma corda tem uma massa específica µ = 525 g/m e uma tensão
 = 45 N. Uma onda senoidal de frequência f = 120 Hz e amplitude ym = 8,5 mm é
produzida na corda. Com que taxa média a onda transporta energia?
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Equação de onda linear: Mostre que a equação
satisfaz a equação de onda linear
)(),( tkxsenytxy m 
2 2
2 2 2
1
.
y y
x v t
 

 
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-9  O Princípio da Superposição de Ondas
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-9  O Princípio da Superposição de Ondas
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-9  O Princípio da Superposição de Ondas
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-9  O Princípio da Superposição de Ondas
1 2'( , ) ( , ) ( , )y x t y x t y x t 
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-10  Interferência de Ondas
Fontes em fase e em oposição de fase
● Fontes em fase: fontes que vibram sincronizadamente e que
quando uma produz uma crista a outra também produz uma
crista;
● Fontes em oposição de fase: fontes que vibram
sincronizadamente e que quando uma produz crista a outra
produz vale.
F1 F2
F1 F2
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-10  Interferência de Ondas
Exemplos de Defasamento ()
0
2

   0
o 
ou
1
2

   180
o 
ou
2
2

   360
o 
ou
3
2

   540
o 
ou
ITC
ITD
ITC
ITD
Ondas em fase
Ondas em fase
Ondas em 
oposição de fase
Ondas em 
oposição de fase
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Suponha que uma das ondas que se propagam em uma corda é dada por
Essas ondas têm a mesma frequência angular  (e, portanto, a mesma frequência f),
o mesmo número de onda k (e, portanto, o mesmo comprimento de onda ) e a mesma
amplitude ym. Ambas se propagam no sentido positivo do eixo x, com a mesma
velocidade. Elas diferem apenas de um ângulo constante , a constante de fase.
Dizemos que essas ondas estão defasadas de  ou que sua diferença de fase é .
16-10  Interferência de Ondas
1( , ) ( )my x t y sen kx t 
e que uma outra, deslocada em relação à primeira, é dada por
2( , ) ( ).my x t y sen kx t   
Segundo o princípio de superposição, a onda resultante é a soma algébrica da duas
ondas e tem um deslocamento
1 2'( , ) ( , ) ( , )y x t y x t y x t 

'( , ) ( ) ( )m my x t y sen kx t y sen kx t      
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-10  Interferência de Ondas
       
1 1
2 cos
2 2
sen sen sen              
   
'( , ) ( ) ( )m my x t y sen kx t y sen kx t      
A soma dos senos de dois ângulos  e  obedece à identidade
Aplicando esta relação, temos:
1 1
'( , ) 2 cos .
2 2
my x t y sen kx t            
    
Deslocamento Amplitude Termo oscilatório
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-10  Interferência de Ondas
1 1
'( , ) 2 cos
2 2
my x t y sen kx t            
    
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-12  Ondas Estacionárias
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-12  Ondas Estacionárias
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Para analisar um onda estacionária, representamos as duas ondas pelas equações
1( , ) ( )my x t y sen kx t 
2( , ) ( ).my x t y sen kx t 
16-12  Ondas Estacionárias
       
1 1
2 cos
2 2
sen sen sen              
   
'( , ) ( ) ( )m my x t y sen kx t y sen kx t    
A soma dos senos de dois ângulos  e  obedece à identidade
Aplicando esta relação, temos:
De acordo com o princípio de superposição, a onda resultante é dada por
   '( , ) 2 cos .my x t y sen kx t   
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-12  Ondas Estacionárias
   '( , ) 2 cosmy x t y sen kx t   
O fator 2ymsen(kx) poder ser visto como a amplitude da oscilação do elemento da
onda estacionária localizado na posição x. Entretanto, como uma amplitude é sempre
positiva e sen(kx) pode ser negativo, tomamos o valor absoluto de 2ymsen(kx) como a
amplitude em x.
Em uma onda senoidal progressiva a amplitude da onda é a mesma para todos os
elementos da corda. Isso não é verdade para uma onda estacionária, na qual a
amplitude varia com a posição.
Para a onda estacionária, a amplitude é zero para valores de kx tais que que
sen(kx) = 0. Esses valores são:
, para n = 0,1,2,...kx n
Fazendo k = 2/ nesta equação e reagrupando os termos, obtemos as posições dos
nós:
, para n = 0,1,2,...
2
x n


CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-13  Ondas Estacionárias e Ressonância
CORDAS VIBRANTES
1L 1
2

 
2L 2
2

 
3L 3
2

 

1
L
1
2
 

2
L
2
2
 

3
L
3
2
 
(1º harmônico – som fundamental)
(2º harmônico)
(3º harmônico)
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
nL n
2

  n
L
n
2
 

Conseqüentemente o enésimo modo de vibração será dado por:
CORDAS VIBRANTES
nv f  
n
2L
v f
n
 

e a freqüência do enésimo harmônico será:

nf
2
n
v
L
 
DICA: n é igual ao número de ventres
16-13  Ondas Estacionárias e Ressonância
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
16-13  Ondas Estacionárias e Ressonância
Exemplo 16-8: A figura mostra a oscilação ressonante de uma corda de massa
m = 2,5 g e comprimento L = 0,8 m sob uma tensão  = 325,0 N. Qual é o comprimento de onda
 das ondas transversais responsáveis pela onda estacionária mostrada na figura e qual é o
número harmônico n? Qual é a frequência f das ondas transversais e das oscilações dos
elementos da corda? Qual é o módulo máximo da velocidade um do elemento da corda que oscila
no ponto de coordenada x = 0,18 m ? Para que deslocamento do elemento a velocidade
transversal é máxima?
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
CAPÍTULO 16: ONDAS - I
Não é digno de saborear o mel 
aquele que se afasta da colméia 
por medo das picadas das 
abelhas.
(Anônimo)
Um abraço !