Lista - Aplicações de Derivada

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Universidade Federal do Semi-Árido
Departamento de Ciências Exatas e Naturais
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Período: 2012.1
Lista de Exercícios para a 3
a
Avaliação
1. Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por f(t) = 16t + t2,
0 ≤ t ≤ 8, onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros.
a) Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo [b, b+ h], 0 ≤ b < 8.
b) Achar a velocidade média durante os intervalos [3; 3, 1], [3; 3, 01] e [3; 3, 001].
c) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t.
d) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3.
e) Determinar a aceleração no instante t.
2. Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação de seu
movimento retilíneo é y =
b
t
+ ct, onde y é o deslocamento e t o tempo.
a) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2?
b) Qual é a equação da aceleração?
3. A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a equação
x = 3t2 − t3, em que x vem expresso em metros e t em segundos.
a) Qual é o deslocamento depois dos primeiros 4 segundos?
b) Qual a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos?
c) Qual é a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos?
4. Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em desenvolvimento pesa em gramas
W (t) =
{
20 + 12 (t+ 4)
2, 0 ≤ t ≤ 60
24, 4t+ 604, 60 ≤ t ≤ 90,
onde t é medido em dias.
a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando t = 50?
b) Quanto a ave aumentará no 51o dia?
c) Qual a razão de aumento do peso quando t = 80?
5. Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se o seu volume de água inicial era de 90.000 litros e
depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2500t2 litros, determinar:
a) tempo necessário para o esvaziamento da piscina;
b) taxa média de escoamento no intervalo [2, 5];
c) taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.
1
6. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x = 3 + 2t− t2, t ≥ 0.
a) Qual a velocidade no instante t?
b) Qual a aceleração no instante t?
c) Estude a variação do sinal de v(t).
d) Esboce o gráfico da função de posição.
7. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a
equação x = −t3 + 3t2, t ≥ 0.
a) Estude o sinal de v(t).
b) Estude o sinal de a(t).
c) Calcule limt→∞(−t3 + 3t2).
d) Esboce o gráfico da função x = −t3 + 3t2, t ≥ 0.
8. Um ponto P move-se sobre a parábola y = 3x2 − 2x. Suponha que as coordenadas x(t) e y(t) de P
são deriváveis e que
dx
dt 6= 0. Pergunta-se: em que ponto da parábola a velocidade da ordenada y de P é
o triplo da velocidade da abscissa x de P?
9. Um ponto P move-se ao longo do gráfico de y =
1
x2 + 1
de tal modo que a sua abscissa x varia a uma
velocidade constante de 5(m/s). Qual a velocidade de y no instante em que x = 10m?
10. Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes.
a)f(x) = 2x− 1 b)f(x) = 3x2 + 6x+ 7
c)f(x) = (x− 1)(x− 2)(x+ 3) d)f(x) = x2 + sinx
e)f(x) = e−x f)f(x) =
x2
x− 1
g)f(x) = ex sinx, x ∈ [0, 2pi].
11. Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos, caso
existam, das seguintes funções.
a)f(x) = 3x2 + 6x+ 1 b)f(x) = 4x3 − 8x2
c)f(t) =
t− 1
t+ 1
d)f(x) = |2− 6x|
e)f(x) =
{
x+ 4, x ≤ 2
x2 − 2, x > −2 f)f(t) =
{
3− 4t, t > 0
4t+ 3, t ≤ 0
g)f(x) =
{
1 + x, x < −1
1− x2, x ≥ −1 h)f(x) =

10− (x− 3)2, x ≤ −2
5(x− 1), −2 < x ≤ −1
−√91 + (x− 2)2, x > −1
h)f(x) = 7x2 − 6x+ 3 b)f(x) = 13x3 + 3x2 − 7x+ 9
i)f(x) = 14x
4 − 53x3 + 4x2 − 4x+ 8 d)f(t) =
{
t2, t < 0
3t2, t ≥ 0
j)f(x) = 3 + (2x+ 3)
4
3 f)f(x) =
x+ 1
x2 − 2x+ 2
k)f(x) = x2
√
16− x
2
13. Mostrar que y =
logax
x
tem seu valor máximo em x = e (número neperiano) para todos os números
a > 1.
14. Determinar os coeficientes a e b de forma que a função f(x) = x3+ax2+b tenha um extremo relativo
no ponto (−2, 1).
15. Encontrar a, b, c e d tal que a função f(x) = 2ax3 + bx2 − cx + d tenha pontos críticos em x = 0 e
x = 1. Se a > 0, qual deles é de máximo, qual é de mínimo?
16. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções seguintes tem concavidade
voltada para cima ou para baixo.
a)f(x) = −x3 + 5x2 − 6x b)f(x) = 3x4 − 10x3 − 12x2 + 10x+ 9
c)f(x) =
1
x+ 4
d)f(x) = 4
√
x+ 1−
√
2
2 x
2 − 1
e)f(t) =
t2 + 9
(t− 3)2 f)f(t) = e
−t cos t, t ∈ [0, 2pi]
g)f(x) =
{
x2 − 4, x ≤ 2
4− x2, x > 2
18. Esboce o gráfico da seguintes funções utilizando os conhecimentos estudados acerca dos extremos
relativos. Determine, também, os intervalos de crescimento ou decrescimento, sentido da concavidade, os
extremos relativos e pontos de inflexão, caso existam.
a)f(x) = x3 − 3x2 + 1 b)f(x) = x+ 1x c)f(x) = x2 + 1x
d)f(x) =
x
1 + x2
e)f(x) = e2x − ex f)f(x) = e 1x
g)f(x) =
x3 − x2 + 1
x
h)f(x) =
3x2 + 4x
1 + x2
i)f(x) = −x4 + 4x3 − 4x2 + 2
j)f(x) =
x2 − x+ 1
2(x− 1)
19. Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro
um quadrado.
a) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das duas áreas compreendidas pelas figuras seja
mínima?
b) Como devemos cortar o fio a fim de que a soma das áreas compreendidas seja máxima?
20. Um fio de comprimento l é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará um círculo e com o outro
um quadrado.
21. Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado a, deseja-se construir uma caixa sem tampa,
cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o
lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.
22. Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V, de forma que a sua área
total seja mínima.
23. Duas indústrias A e B necessitam de água potável. A figura a seguir esquematiza a posição das in-
dústrias, bem como a posição de um encanamento retilíneo l, já existente. Em que ponto do encanamento
deve ser instalado um reservatório de modo que a metragem de cano a ser utilizada seja mínima?
3
24.Um cone reto é cortado por um plano paralelo à sua base. A que distância da base deve ser feito esse
corte, para que o cone reto de base na seção determinada, e de vértice no centro da base do cone dado,
tenha volume máximo?
25. Uma folha de papel contém 375 cm2 de matéria impressa, com margem superior de 3, 5cm, margem
inferior de 2cm, margem lateral direita de 2 cm e margem lateral esquerda de 2, 5 cm. Determinar quais
devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de papel.
26. Uma pista de atletismo com comprimento total de 400 m, consiste de 2 semi-círculos e dois segmentos
retos, conforme figura a seguir. Determinar as dimensões da pista, de tal forma que a área retangular,
demarcada na figura, seja máxima.
27. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões a e b, com um lado comum a. Se
cada pasto deve medir 400 m2 de área, determinar as dimensões a e b, de forma que o comprimento da
cerca seja mínimo.
28. Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos medindo 9 cm e 12 cm. Encontrar as
dimensões do retângulo com maior área, supondo que sua posição é dada na figura a seguir.
29.Calcule
4
a) limx→−1
4x3 + x2 + 3
x5 + 1
b) limx→1
x100 − x2 + x− 1
x10 − 1 c) limx→0+ xe
1
x
d) limx→+∞
e3x
x2
e) limx→+∞
lnx
e3x
f) limx→0+ sinx lnx
g) limx→0+(1− cosx) lnx h) limx→+∞(x2 + 1) 1ln x i) limx→0+
[
1
x + lnx
]
j) limx→0−(1− cosx) 1x l) limx→0 tg3x− sinx
sin3 x
m) limx→0
sec3 x
1− cosx
n) limx→+∞ x3e−4x o) limx→+∞
[
x− 3√x3 − x] p) limx→1− e 1x2−1x− 1
q) limx→+∞
[
x
x2 + 1
]x
30. Sejam f(x) = x2 sin 1x e g(x) = x. Verifique que limx→0 f(x) = limx→0 g(x) = 0, limx→0
f(x)
g(x)
= 0 e
que limx→0
f
′
(x)
g′(x)
não existe. Há alguma contradição com a 1a regra de L'Hospital?
Os exercícios foram extraídos das seguintes bibliografias:
- GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro:LTC, 2002. v. 01
- FLEMMING, D. GONÇALVES, M. Cálculo A. 6. ed. Editora Pearson, 2006.
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