PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM

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PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT
	Dado um espaço vetorial euclidiano V e uma base não ortogonal A = {v1, v2,..., vn} desse espaço, é possível, a partir dessa base, determinar uma base ortogonal B de V.
	De fato, sabendo que v1, v2,..., vn não são ortogonais, considere-se:
	(1)
Assim, os vetores são ortogonais.
Considere-se o vetor e determinem-se os valores de a2 e a1 de maneira que o vetor w3 seja ortogonal aos vetores w1 e w2:
Tendo em vista que w2 . w1 = w1 . w2 = 0, vem:
	e	, isto é,
 .		(3)
Assim, os vetores w1 e w2 são ortogonais. Procedendo-se de modo análogo, obtêm-se os demais vetores ortogonais da base B sendo:
		(4)
Assim, a partir da base não ortogonal A = {v1, v2,..., vn} se obteve a base ortogonal B = {w1, w2,..., wn}, como se desejava.
	O processo que permite a determinação de uma base ortogonal B a partir de uma base qualquer A chama-se processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.
OBS.: Se se desejar uma base ortonormal C = basta normalizar cada vetor wi de B. Assim, fazendo , tem-se a base C que é uma base ortonormal obtida por meio da base ortogonal B, a partir da base inicial não ortogonal.
Os nomes de Jorgen Pederson Gram, um atuário dinamarquês, e Edhart Schmidt, um matemático alemão, estão tão estreitamente ligados no mundo da Matemática como o de Lennon e McCartney no mundo da música popular. Contudo Gram e Schmidt provavelmente nunca se encontraram e o processo que leva seus nomes não foi descoberto por nenhum dos dois. O nome de Gram está ligado ao processo por causa de sua tese de doutorado, na qual o utilizou para resolver problemas de mínimos quadrados e o nome de Schmidt está relacionado ao processo por consequência de seus estudos de certos tipos de espaços vetoriais.
Gram amava a interação da teoria matemática com suas aplicações, tendo escrito quatro tratados sobre administração florestal, enquanto que Schmidt foi principalmente um teórico cujo trabalho influenciou significativamente a direção da Matemática no século XX. Durante a Segunda Guerra Mundial Schmidt manteve posições de chefia na Universidade de Berlim e precisou cumprir várias resoluções nazistas contra os judeus, uma missão em que aparentemente não se saiu muito bem, pois acabou sendo criticado pelos nazistas por não entender a “questão judia”.
Em 1951, durante as comemorações de 75 anos de Schmidt, um famoso matemático judeu que sobrevivera ao regime nazista falou sem críticas das dificuldades que Schmidt teve que superar durante aquele período.