Lista de Exercícios (1)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL – UEMS 
Lista de exercícios de Álgebra Linear 
Profª. Adriana de Fátima Vilela Biscaro 
 
1. Nos problemas abaixo, verificar quais são espaços vetoriais. Para aqueles que não são 
espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam. 
 
a) R3, (x,y,z) + (x’+y’+z’) =(x+x’, y+y’,z+z’) 
k(x,y,z) = (0,0,0) 
 
b) {(x,2x,3x); x∈ R} com as operações usuais. 
 
2. Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes 2x2 com entradas reais. Mostre que W não 
é subespaço de V, onde W consiste de todas as matrizes com determinante zero. 
 
3. Verificar quais dos problemas abaixo são subespaços vetoriais do R2 relativamente com 
as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. 
a) S = {(x, x2)/ y = -x} 
b) S = {(x, y)/ x ∈ R} 
c) S = {(x, y)/ x + 3y = 0} 
d) S = {(x, y)/ y = x +1} 
 
4. Nos problemas abaixo são apresentados subconjuntos de R3. Verificar quais são 
subespaços em relação as operações usuais. Para os que não são, citar um contra-
exemplo. 
a) S = {(x,y,z)/ x = 4y e z = 0} 
b) S = {(x,y,z)/ z = 2x – y} 
c) S = {(x,y,z0/ x = z2} 
d) S = {(x,y,z)/ xy = 0} 
 
5. Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2): 
a) S = 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
 ; 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 𝑒 𝑑 = 0 
 
b) S = 
𝑎 𝑏
0 𝑐
 ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅} (matrizes triangulares superiores) 
 
c) S = 
𝑎 𝑏
𝑏 𝑐
 ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅} (matrizes simétricas) 
 
d) 
𝑎 𝑎 + 𝑏
𝑎 − 𝑏 𝑏𝑐
 ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅} 
 
e) 
𝑎 1
𝑎 𝑏
 ;𝑎, 𝑏, ∈ 𝑅} 
 
f) 
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
 ; 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0}(conjunto de matrizes inversíveis). 
 
6. Sejam os vetores u= (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4) em R3. 
a) Escrever o vetor w = (7, -11, 2) como combinação linear de u e v. 
b) Para que valor de k o vetor (-8, 14, k) é combinação linear de u e v? 
c) Determinar uma condição entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma 
combinação linear de u e v. 
 
7. Consideremos o espaço P2 = {at
2
 + bt + c/ a, b , c ∈ R} os vetores p1 = t
2 – 2t + 1, 
p2 = t + 2, p3 = 2t
2
 – t. 
a) Escrever o vetor p = 5t
2
 – 5t + 7 como combinação linear de p1 , p2 e p3. 
b) Escrever o vetor p = 5t
2
 – 5t + 7 como combinação linear de p1 e p2. 
 
8. Seja o espaço vetorial M(2,2) e os vetores 
V1 = 
1 0
1 1
 , v2 = 
−1 2
0 1
 e v3 = 
0 −1
2 1
 
 
Escrever o vetor v = 
1 8
0 5
 como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3. 
 
9. Seja S o subespaço do R4 definido por: 
S = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x + 2y – z = 0 e t = 0}, Pergunta-se: 
a) (-1, 2, 3, 0) ∈ S? 
b) (3, 1, 4, 0) ∈ 𝑆? 
c) (-1, 1, 1, 1) ∈ S? 
 
10. Determinar os subespaços do R3 gerados pelos seguintes conjuntos; 
a) A = {(2, -1, 3)} 
b) A = {(-1, 3, 2), (2, -2, 1)} 
c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 1, 0)} 
d) A = {(-1, 1, 0), (0, 1, -2), (-2, 3, 1)} 
 
11. Sejam os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0) e v3 = ( !, 3, -1). Se (3, -1, k) ∈ [v1, v2, v3}, 
qual o valor de k? 
 
12. Mostrar que os vetores v1 = (2, 1) e v2 = (1,1) geram o R
2
. 
 
13. Mostrar que os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1) e v3 = (0, 0, 1) geram o R
3
. 
 
14. Classificar os seguintes subconjuntos em LI ou LD. 
a) {(1, 3)} 
b) {(1, 3), (2, 6)} 
c) (2, -1), (3, 5)} 
d) {(1, 0), (-1, 1), (3, 5)} 
e) {(2, -1, 3)} 
f) {(1, -1, 1), (-1, 1, 1)} 
g) {(2,1,3), (0, 0, 00, (1, 5, 2)} 
h) {(1, -1, -2), (2, 1, 1), (-1, 0, 3)} 
 
15. Determinar o valor de k para que seja LI o conjunto {(-1, 0,2), (1,1,1), (k, -2, 0)}.