Lista 1 de exercícios Calculo II _parte 2_ Set 2013

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LISTA 1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Prof. Castañon 
 (2ª Parte) – Set 2013 
1) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de 26),( yxyxf −= , nos pontos 
(1, 1, f(1, 1)) e (−1,−1, f(−1,−1)). 
2) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de 2xyez yx += − , no ponto (1, 
1, 2). 
3) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem 2
2
x
f
∂
∂
 , 2
2
y
f
∂
∂
 , yx
f
∂∂
∂2
 e 
xy
f
∂∂
∂2
 das funções 
abaixo listadas: 
a) 32 yxZ = ; b) )22ln(),( yxyxf += ; 
c) zyxzyxf ..),,( = d) )..(),,( zyxsenzyxf = 
4) Empregado o conceito de regra da cadeia, calcule dt
dw
 se zyxzyxfw ..),,( == , 
onde 2)( ttx = , e tty =)( e 4)( ttz = 
5) Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas indicadas: 
a) y
x
z =
 , 
tesx .=
 , e 
tsey −+= 1
 encontre 
s
z
∂
∂
 e 
t
z
∂
∂
 
 b) 324 zyyxu += ; tesrx ..= , tesry −= .. 2 e )(.. 2 tsenrsz = encontre 
s
u
∂
∂
 e 
s
u
∂
∂
. 
6) Considere a curva C parametrizada por )3
2
,3,()(
3
2 tttt +−=α
 
a) Calcule o comprimento do arco da curva C quanto t varia de 0 a 1. 
7) Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície f�x, y, z� = x
 + y
 + z = 9 no ponto 
P��1,2,4�. 
8) Temos ))cos(),(,12()( ttsenttc += e o ponto )2
2
,
2
2
,1
2
(0 +=
piP , 
calcule: a) O comprimento do arco de C(t) entre t = 0 e t = 2pi 
9) Calcule ∫∫
D
xdxdy : na região D compreendida entre as curvas y = x2, y = 0 e x = 1 
10) Calcule ∫∫
D
dxdy
y
x
: onde D é a região limitada pelas retas y = x, y = 2x e x = 1 e x =2 
11) Esboce a região de integração e troque a ordem de integração em : 
a) ∫ ∫
1
0 0
),(
x
dydxyxf
 : b) ∫ ∫
+
−
1
0
),(
y
y
dxdyyxf
 c) ∫ ∫
+1
0
1
2
),(
x
x
dydxyxf