1a lista mtm1020

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1a lista de exerc´ıcios – MTM 1020–
1.Em cada parte, encontre a fo´rmula para o termo geral da sequeˆncia, comec¸ando
com n = 1.
a) 1,
1
3
,
1
9
,
1
27
, ... b)
1√
pi
,
4
3
√
pi
,
9
4
√
pi
,
16
5
√
pi
, ...
c) 1
2
,−3
4
, 5
6
,−7
8
, ... d)1, 1,
6
8
,
8
16
,
10
32
,
12
64
, ...
2.Em cada parte, encontre duas fo´rmulas para o termo geral da sequeˆncia,
uma comec¸ando com n = 1 e a outra com n = 0.
a) 1,−r, r2,−r3, ... b)r,−r2, r3,−r4, ...
3.Escreva os cinco primeiros termos da sequeˆncia, determine se ela converge,
e se isso acontecer, encontre o limite.
a)
{
n
n+ 2
}∞
n=1
b){2}∞n=1
c)
{
lnn
n
}∞
n=1
d)
{
(−1)n+1
n2
}∞
n=1
e)
{
(n+ 1)(n+ 2)
2n2
}∞
n=1
f)
{
n2e−n
}∞
n=1
g)
(
1− 1
2
)
,
(
1
3
− 1
2
)
,
(
1
3
− 1
4
)
,
(
1
5
− 1
4
)
, ...
4. Seja
f(x) =
 2x, se 0 ≤ x < 0, 52x− 1 se 0, 5 ≤ x < 1
A sequeˆncia f(0, 2), f(f(0, 2)), f(f(f(0, 2))), ... converge? Justifique sua res-
posta.
5.Analise se a sequeˆncia {an} dada e´ crescente ou decrescente.
a)
{
n
2n+ 1
}∞
n=1
b){n− 2n}∞n=1
c)
{
ne−n
}∞
n=1
d)
{
nn
n!
}∞
n=1
2
6.a) Suponha que {an} seja uma sequeˆncia mono´tona tal que 1 ≤ an ≤ 2 para
cada n. A sequeˆncia deve necessariamente convergir? Caso afirmativo,
o que pode ser dito sobre o limite?
b) Suponha que {an} seja uma sequeˆncia mono´tona tal que an ≤ 2 para cada
n. A sequeˆncia deve necessariamente convergir? Caso afirmativo, o que
pode ser dito sobre o limite?
7. Seja an =
|x|n
n!
7.a) Mostre que a sequeˆncia {an} e´ estritamente decrescente a partir de um
certo termo.
b) Mostre que a sequeˆncia {an} converge.
c) Use os resultados das partes a) e b) para mostrar que an → 0 quando
n→ +∞.
(Sugesta˜o: siga o exemplo da sequeˆncia {10n
n!
} feito no caderno).