2a lista

Prévia do material em texto

2a lista de exerc´ıcios – MTM 1020
1.Determine se a se´rie converge e, se convergir, encontre sua soma.
a)
∞∑
k=1
(
−3
4
)k−1
b)
∞∑
k=1
(−1)k−1 7
6k−1
c)
∞∑
k=1
1
(k + 2)(k + 3)
d)
∞∑
k=1
4k+2
7k−1
2.Expresse as d´ızimas perio´dicas 0, 4444444... e 5, 3737373737 como uma frac¸a˜o.
3.Uma bola e´ largada de uma altura de 10m. A cada vez que ela bate no cha˜o,
ela repica verticalmente a uma altura que e´ 3
4
da altura precedente. Encontre
a distaˆncia total que a bola percorre, supondo que ela repique indeterminada-
mente.
4.Utilizando as se´ries geome´tricas, mostre que
a)
∞∑
k=0
(−1)k xk = 1
1 + x
, se − 1 < x < 1.
b)
∞∑
k=0
(x− 3)k = 1
4− x, se 2 < x < 4.
c)
∞∑
k=0
(−1)k x2k = 1
1 + x2
, se − 1 < x < 1.
5.Mostre que
∞∑
k=1
(
1
k
− 1
k + 2
)
=
3
2
.
6. Sabendo que
∞∑
k=1
1
k(k + 1)
= 1 e
∞∑
k=1
1
6k
=
1
5
, encontre o valor das seguintes
se´ries
∞∑
k=1
7
6k−1
e
∞∑
k=1
(
1
2k(k + 1)
− 1
6k
)
.
7.Para cada se´rie p, identifique p e determine se a se´rie converge.
a)
∞∑
k=1
1
k3
, b)
∞∑
k=1
1√
k
c)
∞∑
k=0
k−1, d)
∞∑
k=1
k−
2
3
8.Verifique se o teste da integral e´ aplica´vel e use-o para determinar se a se´rie
e´ convergente.
a)
∞∑
k=1
1
5k + 2
, b)
∞∑
k=1
1
1 + 9k2
c)
∞∑
k=−1
k
1 + k2
, d)
∞∑
k=8
1
(3 + 7k)
3
2
2
9.Determine se a se´rie e´ convergente.
a)
∞∑
k=1
1√
k + 5
, b)
∞∑
k=1
k
ln(k + 1)
c)
∞∑
k=1
k2sen2(k−1), d)
∞∑
k=5
7k−1,01.
Sugesta˜o para o item c) recordar que lim
x→0
sen(x)
x
= 1.
10.Atrave´s do Teste de comparac¸a˜o, determine se a se´rie e´ convergente ou
divergente.
a)
∞∑
k=1
1
5k2 − k , b)
∞∑
k=1
3
k − 1
4
c)
∞∑
k=1
1
3k + 5
d)
∞∑
k=1
15sen2(k)
k!
e)
∞∑
k=1
ln(k)
k
f)
∞∑
k=1
k
k
3
2 − 1
2
.
11.Atrave´s de algum me´todo, determine se a se´rie e´ convergente ou divergente.
a)
∞∑
k=1
3k
k!
, b)
∞∑
k=1
1
5k
c)
∞∑
k=1
k!
k3
, d)
∞∑
k=1
(
3k + 2
2k − 1
)k
.
e)
∞∑
k=1
k
5k
, f)
∞∑
k=1
(2− e−k)k g)
∞∑
k=1
k2
5k
, h)
∞∑
k=1
k50e−k.
i)
∞∑
k=1
√
k
k3 + 1
, j)
∞∑
k=1
1√
k(k + 1)
k)
∞∑
k=1
ln(k)
ek
, l)
∞∑
k=0
(k + 4)!
4!k4k
.
m)
∞∑
k=1
(
k
k + 1
)k2
, n)
∞∑
k=1
1
4 + 2−k
o)
∞∑
k=0
(k!)2
(2k)!
, p)
∞∑
k=2
1
kln(k)
.
12.Classifique a se´rie como absolutamente convergente, condicionalmente con-
vergente ou divergente.
a)
∞∑
k=1
(−1)k+1
3k
, b)
∞∑
k=1
(−4)k
k2
c)
∞∑
k=1
cos(kpi)
k
, d)
∞∑
k=1
(−1)k+1 k + 2
k(k + 3)
.
e)
∞∑
k=1
kcos(kpi)
k2 + 1
, f)
∞∑
k=1
(−1)k√
k(k + 1)
g)
∞∑
k=1
( −1
ln(k)
)k
, h)
∞∑
k=1
(−1)k+1k!
(2k − 1)! .