Resumo de matrizes e exercícios

Prévia do material em texto

1 
 
DEFINIÇÕES 
 
1. O que é uma matriz? 
 
Resposta: É uma tabela contendo mn elementos, com 
Nn,m 
, 
dispostos em linhas e colunas. 
 Exemplo: 










4
1
10
121
A
. 
2. Como se representa uma matriz? 
 Resposta: entre parênteses 
 A
 ou entre colchetes 
 A
. 
 Exemplo: 










4
1
10
121
A
 ou 










4
1
10
121
A
. 
3. Usualmente, como se indica uma matriz? 
Resposta: com uma letra latina maiúscula, como
 jiaA 
, onde o 
primeiro índice indica a linha e o segundo índice a coluna em que 
se encontra o elemento. É necessário colocar a informação 
mi1 
e 
nj1 
. 
 Exemplo: A matriz
 jiaA 
; 
2i1 
e 
3j1 
 é: 
 







232221
131211
aaa
aaa
A
. 
4. Quando uma matriz é chamada quadrada? 
Resposta: quando 
nm 
, ou seja, o número de linhas é igual ao 
número de colunas. 
Exemplo: 







40
31
A
 
5. Quando uma matriz é chamada retangular? 
 Resposta: Resposta: quando 
nm 
, ou seja, o número de linhas é 
diferente do número de colunas. 
 Exemplo: 










4
1
10
121
A
. 
6. Quando uma matriz é nula? 
 Resposta: quando todos os seus elementos são nulos. 
 Exemplo: 







000
000
a
. 
7. Quando uma matriz é a identidade? 
 Resposta: quando é quadrada, os elementos da diagonal principal 
são unitários e os demais elementos são nulos, ou seja: 
1a ij 
 se 
ji 
 e 
0a ij 
 se 
ji 
. 
 Exemplos: 







10
01
I 2
; 











100
010
001
I 3
. 
8. Quando uma matriz é chamada diagonal? 
 MATRIZES – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS MATRIZES – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS 
 
2 
 
 Resposta: quando é quadrada, os elementos da diagonal principal 
não são nulos e os demais elementos são nulos, ou seja: 
0a ij 
 se 
ji 
 e 
0a ij 
 se 
ji 
. 
 Exemplos: 







50
02
D2
; 











400
050
003
D3
. 
 
OPERAÇÕES COM AS MATRIZES 
 
9. Como se define a adição de duas matrizes de mesmo formato? 
 
 Resposta: dadas duas matrizes 
 ijaA 
 e 
 ijbB 
; 
mi1 
e 
nj1 
, a sua soma é a matriz 
 ijij baBA 
. 
 Exemplos: 

















 
87
13
34
21
57
12
; 



































015
371
353
402
821
540
413
550
213 . 
10. Quais são as propriedades da adição de duas matrizes: 
 Resposta: 
C,B,A
, tem-se: 
 
a) 
ABBA 
(comutativa) 
b) 
    CBACBA 
; A, B e C do mesmo formato. 
c) 
AOA 
(existência do elemento neutro) 
d) 
  OAA 
(existência do elemento oposto) 
11. Como se define o produto de um número real por uma matriz? 
 Resposta: Dado um número real λ e uma matriz 
 ijaA 
 , do tipo 
mxn, indica-se o produto por 
  ijij aλaλAλ 
. 
Exemplo: Se 







46
32
A
, então 







2030
1510
A5
. 
12. Quais são as propriedades do produto de um número real por uma 
matriz? 
 Resposta: 
C,B,A
 de mesmo formato e 
 μ,λ
B tem-se: 
a) 
   AμλμAλ 
 
b) 
  BλAλBAλ 
 
c) 
  AμAλAμλ 
 
d) 
AA1 
(elemento neutro). 
13. Como se define o produto de duas matrizes? 
 Resposta: Dadas duas matrizes 
 ijaA 
 e 
 jkbB 
; 
mi1 
, 
nj1 
 e 
pk1 
, o produto de A por B é a matriz 
 ikcC 
, de 
 MATRIZES – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS MATRIZES – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS 
3 
 
formato nxp, onde 
jk
n
1
ijik bac 
. Note que esse produto somente é 
definido se o número de colunas matriz A for igual ao número de 
 linhas da matriz B. Uma maneira prática para calcular os 
elementos da matriz produto é multiplicar os elementos das 
linhas pelas colunas, da esquerda para a direita, como ilustra o 
 exemplo seguinte. 
 Exemplo: 











51
30
21
A
 de formato 3x2; B = 








131
452
B
 de 
formato 2x3. 
 O produto BA é a seguinte matriz do tipo 2x2: 
 















120
396
5x13x32x11x10x31x1
5x43x52x21x40x51x2
BA
. 
14) O produto de duas matrizes é comutativo, ou seja, AB=BA? 
Resposta: Não, esse produto na ordem contrária pode nem existir, e 
caso exista, o formato da matriz produto poderá ser diferente. 
Exemplo: se calcularmos o produto AB, com os dados anteriores, até o 
formato será diferente, 3x3. Calcule essa matriz! 
15) A propriedade (A+B).C=AC+BC é válida? 
Resposta: sim, desde que existam esses produtos. 
 
TRANSPOSIÇÃO DE MATRIZES 
 
16. Como se define a matriz transposta? 
Resposta: dada a matriz 
 ijaA 
 ; 
mi1 
, 
nj1 
, a sua 
transposta, que se indica 
t
A
, é a matriz 
 jibB 
, onde 
ijji ab 
. 
Exemplo: Se 







654
321
A
 então 











63
52
41
A
t
. 
17. Quais são as propriedades da matriz transposta? 
Resposta: dadas as matrizes A e B de mesmo formato, tem-se: 
a) 
  ttt BABA 
 
b) 
  ttt ABBA 
 (decorar esta propriedade!) 
c) 
  AA tt 
 
d) 
  tt AλAλ 
; 
λ
 
 
MATRIZES SIMÉTRICAS E ANTISSIMÉTRICAS 
 
18. Quando uma matriz quadrada é simétrica? 
 Resposta: A matriz quadrada A é simétrica se A = At. 
 MATRIZES – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS MATRIZES – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS 
4 
 
 Exemplo 











067
613
732
A
, pois A= At. 
19. Quando uma matriz quadrada é antissimétrica? 
 Resposta: A matriz quadrada A é simétrica se A = - At . 
 Exemplo 














034
302
420
A
, pois A= - At. 
 
MATRIZES INVERSAS 
 
20. Se a matriz A é quadrada, quem é a sua inversa? 
 Resposta: É outra matriz quadrada, indicada por A-1, que satisfaz a 
condição A-1 A = A. A-1=In, 
 sendo In a matriz unidade de ordem n. 
 Exemplo: se 











11-3
131-
112
A
 então 











758-
3-1-4
2-2-4
4
1
A
1
, pois A-1 
A= I3. Verifique! 
21. Toda matriz quadrada A é invertível? 
 Resposta: Não, a matriz é invertível se o seu determinante não é 
nulo. 
22. Quais são as propriedades da matriz inversa? 
 Resposta: Sendo A uma matriz quadrada, com determinante 
diferente de zero, tem-se: 
a) 
  AA 11 
 
b) 
  111 ABBA  
 (decorar esta propriedade!) 
c) 
  11 AλAλ  
; 
λ
 
23. Existe um processo prático para a inversão de matrizes? 
 Resposta: sim, a fórmula de Binet é a seguinte: 
t
M).(cof
Δ
11
M 
, onde 
Δ
 é o determinante da matriz e 
cofM
é 
a matriz dos cofatores dos elementos da matriz M. 
 Exemplo: inverter a matriz 









11-3
131-
112 
Matriz M 
MdetΔ 
 
cofM
 
 tcofMMAdj 
 
t
M).(cof
Δ
11
M 
 










11-3
131-
112
 
 
4 










73-2-
51-2-
8-44 










758-
3-1-4
2-2-4 










758-
3-1-4
2-2-4
4
1 
 
 
 
 MATRIZES – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS MATRIZES – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS 
5 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Escrever a matriz 
 ijaA 
 nos seguintes casos: 
a) A é do tipo 2x3, com 
0a ij 
 para 
ji 
 e 
1a ij 
 para 
ji 
; R: 







101
110
A
. 
b) A é do tipo 3x2, com 
2a ij 
para 
1ji 
 e 
0a ij 
para 
1ji 
; R: 











00
00
20
A
. 
c) A é quadrada de ordem 3, com 
1j3i2a ij 
. R: 











14118
1296
1074
A
. 
 
2. Dadas as matrizes A=










54
13
21
, B = 










32
11
00
 e C = 









 
31
20
11
, calcular: 
a) 
BA
; R: 











86
24
21
BA
. 
b) 
CBA 
; R: 











117
44
12
CBA
. 
c) 
BACX 
; R: 














11
22
30
X
. 
3) Dadas as matrizes do tipo 2x3, A= 






152
132
, B = 








121
431
 e C = 






100
211
, calcular: 
 a ) 
CB3A2 
; R: 





 
441
828
 
 b) A matriz X, tal que 
C
3
BX3
2
AX4




; R: 













6
1
6
11
3
2
6
7
2
3
3
7
. 
4) Dadas as matrizes A = 










45
23
01
 e B = 





 
431
012
, calcular: 
a) 
AB
; R: 









 
16714
838
012
. 
b) 
BA
; R: 





 
2230
21
. 
 MATRIZES – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS MATRIZES – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS 
6 
 
c) 
t
B3A2 
; R: 













410
59
34
. 
d) 
   BABA tt 
; R: 













251213
1037
15114 . 
5) Dadas as matrizes quadradas 








61
12
A
 e 








32
51
B
, calcular 
2
A
 e 3
B
. R: 








358
83
A
2
; 









7734
859
B
3
. 
6) Dada a matriz 







41
32
A
, calcular 
2
2
I5A6A 
. R: 







00
00
A
. 
7) Dadas as matrizes












001
120
110
A
 e 









 

115
203
141
B
, calcular: 
a) 
AB
 ; R: 










 141
5111
318
. 
b) 
BA
; R:












671
332
591
. 
c) A matriz X tal que 
BXA 
. R: 













501
324
156
. 
8) Determinar x para que exista a inversa da matriz 











x10
110
101
A
. R: 
1x 
. 
9) Determinar m para que exista a inversa da 
matriz











121
0m211
312
M
. R: 
3m 
. 
 
10) Determinar os valores reais de x para que exista a inversa da matriz 










x21
xxx
xx5
. R: 
5x e 2x 0,x 
. 
 
 MATRIZES – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS MATRIZES – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS