Lista de Exercícios - LI e LD e subespaços gerados (UFSM, LAZZARIN)

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L4P2 - UFSM - Linear - Telecomunicações - LAZZARIN
1. Veri…que se o vetor dado é combinação linear dos vetores
(a) u = (1; 2; 3) dos vetores v1 = (1; 0; 0); v2 = (0;�1;�1) e v3 = (0; 2;�1) R:é C. L.
(b) u = (1; 2; 3) dos vetores v1 = (1; 1; 5); v2 = (1; 0; 3) e v3 = (0; 1; 2): R: ñ é C. L.
(c) u = (2; 2; 3; 3) dos vetores v1 = (1; 1; 0; 1); v2 = (2; 2; 6; 2); v3 = (1; 0; 3; 0) e v4 = (0; 1; 3; 1); R: é C. L.
(d) u =
24 9 60 6
6 24
35 dos vetores v1 =
24 1 00 0
0 1
35 ; v2 =
24 1 10 0
1 1
35, v3 =
24 1 20 1
2 1
35 e v4 =
24 0 �10 1
�1 5
35 : R: é C. L.
(e) u = 3 + x + 4x2 é combinação linear dos vetores f1(x) = 1 + x; f2(x) = 1 � x e f3(x) = 3x2 no espaço vetorial das
funções. (Dica: u = af1 + bf2 + cf3 , 3:1 + 1:x+ 4:x2 = a (1 + x) + b (1� x) + c3x2
= (a+ b):1 + (a� b):x+ 3c:x2 comparando, devemos ter 3 = a+ b; 1 = a� b e 4 = 3c, se este sistema tiver solução para
a; b e c então é C. L..
(f) u = 2 + 2x+ 4x2 � x3 é combinação linear dos vetores f1(x) = x; f2(x) = 1� x , f3(x) = x2 e f4(x) = 1+ x3 no espaço
vetorial das funções. (Dica: a mesma ideia da letra e).
2. Seja V o espaço vetorial dos números complexos (ver exercício 2 da lista L2P2).
V = fa+ bi : a; b 2 R e i = p�1g
Mostre que os vetores v1 = 1 + i e v2 = 1� i são linearmente independentes em V .
DICA: lembre-se que aqui o vetor nulo é
�!
0 = 0 + 0i. Agora veri…que que o sistema x(1 + i) + y(1� i) = 0 + 0i tem solução
única para x e y reais.
3. Veri…que se o conjunto de vetores dado é LI ou LD no espaço indicado.
(a) fv1 = 1; v2 = 5g no espaço vetorial R; (Dica: você pode enxergar R como sendo o espaço vetorial V = f(x; 0) : x 2 Rg
(que é o eixo X no plano) e neste caso v1 = 1 = (1; 0) e v2 = 5 = (5; 0), como v2 = 5:v1 , então eles são LD).
(b) fv1 = (1; 1); v2 = (�1;�1)g no R2;
(c) fv1 = (1; 0); v2 = (0;�1)g no R2;
(d) fv1 = (1; 0; 0); v2 = (0;�1;�1); v3 = (0; 2;�1)g no R3; R: L.I.
(e) fv1 = (1; 1; 0); v2 = (1;�1;�1); v3 = (1; 2; 0)g no R3; R:L.I.
(f) fv1 = (1; 1; 0; 1); v2 = (1;�1;�1; 1); v3 = (1; 2; 0; 2)g no R4; R:L.I.
(g) fv1 = (1; 0; 0; 1); v2 = (0;�1;�1;�2); v3 = (0; 0; 1; 1); v4 = (0; 2; 1; 3)g no R4;R: L. D.
(h) fv1 =
�
3 0
0 0
�
; v2 =
�
2 �1
1 0
�
; v3 =
�
0 1
0 1
�
; v4 =
�
5 0
1 1
�
g no espaço vetorial M2(R) das matrizes 2� 2: R:
L.D.
(i) fv1 =
�
1 �1 3
0 0 1
�
; v2 =
�
0 0 1
0 0 0
�
; v3 =
�
0 0 0
0 1 2
�
; v4 =
�
0 1 0
0 0 0
�
;
v5 =
�
1 0 0
0 0 1
�
; v6 =
�
0 1 0
1 0 0
�
g no espaço vetorial M2�3(R) das matrizes 2 � 3. R: Isto pode ser visto
calculando o determinante da matriz
26666664
1 �1 3 0 0 1
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 2
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1
0 1 0 1 0 0
37777775 que é 0: Isto indica que o sistema será L.D. porque o
sistema associado terá in…nitas solução. Este método nem sempre pode ser aplicado para veri…car que um conjunto
de vetores é L.I. ou L.D. a não ser que o sistema seja quadrado, isto é, número de incógnitas = número de linhas. Por
exemplo, na letra f. acima não daria certo.
(j) f1(x) = x; f2(x) = 1�x , f3(x) = x2 e f4(x) = 1+ x3 no espaço vetorial V = ff : R! R : f é uma funçãog das funções.
(DICA: Como na letra e) do exercício 1 acima, temos que a: (1 + x) + b: (1� x) + c: �3x2� = �!0 = 0:1 + 0:x + 0:x2 ,8<: a+ b = 0a� b = 0
3c = 0
;
4. Encontre o subespaço gerado pelos vetores dados.
(a) W = [v1 = (1; 1); v2 = (�1;�1)] no R2; R: reta y = x:
1
(b) W = [v1 = (1; 0; 1); v2 = (�1;�1;�2); v3 = (0; 2; 2)] no R3: (identi…que se é um plano ou uma reta); R: plano
cuja equação geral é z � y � x = 0:
(c) W = [v1 = (1; 1; 1); v2 = (2; 2; 3); v3 = (3; 3; 4)] no R3: R: plano cuja equação geral é x� y = 0: (com z livre).
(d) W = [(1; 0; 0; 1); v2 = (0;�1;�1; 0); v3 = (0; 0; 1; 1); v4 = (0; 2; 1; 2)] no R4;
R: W = f(x; y; z; t) : t = 3z � 2y; com x; y e z livresg (é um subespaço 3-dimensional dentro do R4).
(e) W = [v1 =
�
3 0
0 0
�
; v2 =
�
2 �1
1 0
�
; v3 =
�
0 1
0 1
�
; v4 =
�
5 0
1 1
�
] no espaço vetorial M2(R) das matrizes 2 � 2:
W = f
�
x y
z t
�
: t = y + z : com x; y e z livres para escolher nos reaisg
(f) W = [v1 =
�
1 �1 3
0 0 1
�
; v2 =
�
0 0 1
0 0 0
�
; v3 =
�
0 0 0
0 1 2
�
; v4 =
�
0 1 0
0 0 0
�
;
v5 =
�
1 0 0
0 0 1
�
; v6 =
�
0 1 0
1 0 0
�
] no espaço vetorial M2�3(R) das matrizes 2� 3.
R: W = f
�
x y z
t r s
�
: s = x+ 2r; onde x; y; z; t e r são livres para escolher dentre os reaisg:
(g) W = [f1(x) = x; f2(x) = 1� x , f3(x) = x2; f4(x) = 1+ x3] no espaço vetorial V = ff : R ! R : f é uma funçãog das
funções.
DICA: como todas estas funções são polinomiais então qualquer combinação entre elas será uma nova função polinomial
e ainda, como o maior grau que aparece é na f4 que tem grau 3, então qualquer combinação destas funções será do tipo
a:1 + b:x+ c:x2 + d:x3
o problema é saber para quais valores de a; b; c e d a combinação funcionará. Então devemos a:1 + b:x+ c:x2 + d:x3 =
a1(x) + a2(1 � x) + a3
�
x2
�
+ a4
�
1 + x3
�
que fornece o sistema
8>><>>:
a = a2 + a4
b = a1 � a2
c = a3
d = a4
. Escalone e descubra a relação entre
a; b; c e d.
2