matematica básica

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RICARDINHOMATEMATICAX.COM.BR 36 
 
VÍDEO AULA 09 
RAZÃO E PROPORÇÃO – PARTE II 
CLIQUE NO LINK ABAIXO E ASSISTA À VÍDEO AULA 
 
 
1. Proporção 
 
A igualdade entre duas razões é uma proporção. 
Representação: 
d
c
b
a
 
onde: a, d = extremos 
 b, c = meios 
A expressão 
d
c
b
a
 lê-se assim: a está para b assim como c está 
para d 
 
Propriedade Fundamental das Proporções 
d
c
b
a
  a . d = b . c 
 
Demais Propriedades 
d
dc
b
ba
d
c
b
a 


 
d
c




b
a
db
ca
d
c
b
a
 
 
2. Grandezas diretamente proporcionais 
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando 
aumentando uma delas implicar o aumento da outra na mesma 
razão. 
Genericamente: 
Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas sucessões 
numéricas dadas nessa ordem. 
 A e B são diretamente proporcionais se: k
f
c
e
b
d
a
 , onde k 
é a constante de proporção. 
Propriedade: 
fed
cba
f
c
e
b
d
a


 
 
Exemplo: 
Seja um carro que se desloca com velocidade constante em 
trajetória retilínea. A tabela mostra o deslocamento do carro em 
função do tempo. 
 
Chamando de x o deslocamento e t o tempo, observa-se que a 
razão 
x
t
 é constante. 
0
3
180
2
120
1
60
t
x
6 
Assim x e t são grandezas diretamente proporcionais e a 
constante de proporcionalidade vale 60 (que é a velocidade do 
carro). 
3. Grandezas inversamente proporcionais 
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando 
aumentando uma delas implicar a diminuição da outra na mesma 
razão. 
Genericamente: 
Considere os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e, f} duas sucessões 
numéricas dadas nessa ordem. 
 
 A e B são inversamente proporcionais se: a 
. d = b . e = c . f = k 
Propriedade: 
  
f
a . d = b . e = c 
a b c
1 1
.
e
 
1
d
f 
Exemplo: 
Seja um carro que se desloca com velocidade constante em 
trajetória retilínea. A tabela mostra a velocidade do carro em 
função Note que Velocidade x Tempo é constante. 
 
 
240120.280.340.6V.t  
Assim: Velocidade e Tempo são grandezas inversamente 
proporcionais com constante de proporcionalidade igual a 240 
que é a distância percorrida. 
 
 
 
 
 
 37 RICARDINHOMATEMATICAX.COM.BR 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01) André, Júlio e Mateus ganharam 120 bombos que serão 
distribuídos entre eles em partes diretamente 
proporcionais a 3, 4 e 5 respectivamente. Determine a 
quantia de bombons que cada um irá receber. 
 
Solução: 
 
A J M
k
3 4 5
   
 André = 3k 
Júlio = 4k 
Mateus = 5k 
Se A + J + M = 120 então: 
3k + 4k + 5k = 120 
3k + 4k + 5k = 120, 
12k = 120  k = 10 
Assim: André: 3 x 10 = 30 bombons Júlio: 4 x 10 = 40 
bombons 
Mateus: 5 x 10 = 50 bombons 
 
02) Um pai doou para seus 3 filhos André, Júlio e Mateus uma 
quantia de de R$10.000,00 de maneira inversamente 
proporcional às respectivas idades 10, 15 e 18 anos. A 
quantia, em reais, que André recebeu foi: 
Solução: 
 
A.10 J.15 M.18 k
Logo:
k k k
A ; J ; M
10 15 18
  
  
 
 
Se A + J + M = 120; então: 
k k k
10000
10 15 18
9k 6k 5k
10000
90
20k 900000
k 45000
Valor à receber por André:
k 45000
4500
10 10
  
 


 
 
 
André recebeu, portanto, R$ 4500,00 
 
03) ( ENEM ) Uma equipe de ambientalistas apresentou um mapa 
de uma reserva ambiental em que faltava a especificação 
da escala utilizada para a sua confecção. O problema foi 
resolvido, pois um dos integrantes da equipe lembrava-se 
de que a distância real de 72 km, percorrida na reserva, 
equivalia a 3,6 cm no mapa. 
Qual foi a escala utilizada na confecção do mapa? 
 a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Solução: 
 
Desde que 72km = 7.200.000cm, temos: temos 
 
 
04) ( ENEM ) Um motorista partiu da cidade A em direção à cidade 
B por meio de uma rodovia retilínea localizada em uma 
planície. Lá chegando, ele percebeu que a distância 
percorrida nesse trecho foi de 25 km Ao consultar um mapa 
com o auxílio de uma régua, ele verificou que a distância 
entre essas duas cidades, nesse mapa, era de 5cm
.
 A escala 
desse mapa é 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Solução: 
 [E] 
 
05) ( PUC – RS ) Três supermercados participaram de uma 
pesquisa de preços em que os seguintes dados foram 
levantados: no supermercado X é possível comprar 
farelo de aveia no valor de R$ 21,00 o quilograma; o 
supermercado Y vende embalagens de farelo de aveia com 
250 gramas a R$ 4,50; já o supermercado Z vende farelo de 
aveia a R$ 3,00 cada 200 gramas. A sequência dos 
supermercados, de acordo com a ordem decrescente do 
preço do quilo do produto pesquisado, é 
a) X, Y, Z 
b) Y, X, Z 
c) Y, Z, X 
d) Z, X, Y 
e) Z, Y, X 
 
Solução: [A] 
 
Supermercado X 
1kg do produto pesquisado é vendido por R$21,00 
 
Supermercado Y 
Como 250g do produto pesquisado é vendido por R$ 4,50 é 
vendido por 4.4,50 = R$ 18,00 
 
Supermercado Z 
Como 200 g do produto pesquisado é vendido por R$ 3,00, 
5.200g = 1kg é vendido por 
Assim, a sequência dos supermercados, de acordo com a 
ordem decrescente do preço do quilograma do produto 
pesquisado, é X, Y, Z. 
 
 
 
 
 
 
1: 20
1: 2.000
1: 20.000
1: 200.000
1: 2.000.000
3,6 1
1: 2.000.000.
7200000 2000000
 
1: 5
1:1000
1: 5000
1:100000
1: 500000
5 cm 5 cm 1
escala
25 km 2.500.000 cm 500.000
  
X
 5 3,00 R$ 15,00
 
 
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Exercícios 
 
 
 
01) (Enem) A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em 
forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente 
proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura 
(d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância 
entre os suportes da viga, que coincide com o seu 
comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de 
proporcionalidade k é chamada de resistência da viga. 
 
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira 
é 
 
2
k.b.d
a)S 
2
x
k.b.d
b)S
2
x
2
k.b.d
c)S
x
2
k.b .d
d)S
x
k.b.2d
e)S
2x





 
 
02) (Enem) A resistência das vigas de dado comprimento é 
diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da 
altura (d), conforme a figura. A constante de 
proporcionalidade k varia de acordo com o material utilizado 
na sua construção. 
 
Considerando-se S como a resistência, a representação 
algébrica que exprime essa relação é 
 
 
a)S k.b.d
2
b)S b.d
2
c)S k.b.d
k.b
d) S
2
d
2
k.d
e) S
b





 
 
 
 
 39 RICARDINHOMATEMATICAX.COM.BR 
 
03) (Enem) Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais 
como batimentos cardíacos e taxa de respiração, 
apresentam escalas construídas a partir da relação entre 
superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas 
escalas, por exemplo, considera que ”o cubo da área S da 
superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de 
sua massa M“. 
Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a 
área S pode ser escrita em função de M por meio da 
expressão: 
 
a) S k M  
b) 
1
3S k M  
c) 
1 1
3 3S k M  
d) 
1 2
3 3S k M  
 e) 
1
23S k M  
 
04) (Enem) Para se construir um contrapiso, é comum, na 
constituição do concreto, se utilizar cimento,areia e brita, 
na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia 
e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma 
garagem, uma construtora encomendou um caminhão 
betoneira com 14m3 de concreto. 
 
Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto 
trazido pela betoneira? 
 
a) 1,75 
b) 2,00 
c) 2,33 
d) 4,00 
e) 8,00 
 
05) (Modelo Enem) João e Pedro são dois meninos que recolhem 
latinhas de cerveja e refrigerante para ajudar no orçamento 
familiar. Enquanto João trabalha 4 horas por dia, Pedro 
trabalha 5 horas por dia. Ao final do dia recolhem 180 
latinhas. Se a divisão das latinhas for feita 
proporcionalmente às horas trabalhadas, então João ficará 
com quantas latinhas? 
 
a) 100 
b) 80 
c) 60 
d) 120 
e) 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06) (Modelo Enem) Uma empresa distribuiu um lucro de 
R$ 30.000,00 a seus três sócios. A porção do lucro recebido 
pelo sócio de maior participação na empresa, se a 
participação nos lucros for diretamente proporcional aos 
números 2, 3 e 5, é: 
a) R$ 22.000,00 
b) R$ 6.000,00 
c) R$ 9.000,00 
d) R$ 15.000,00 
e) R$ 24.000,00 
 
 
07) (Modelo Enem) Um pai doou para seus 3 filhos André, Júlio e 
Mateus uma quantia de R$10.000,00 de maneira 
inversamente proporcional às respectivas idades 10, 15 e 18 
anos. A quantia, em reais, que André recebeu foi: 
a) R$ 4200,00 
b) R$ 4400,00 
c) R$ 4500,00 
d) R$ 4800,00 
e) R$ 5200,00 
 
08) (Enem) Para a construção de isolamento acústico numa 
parede cuja área mede 9m² , sabe-se que, se a fonte 
sonora estiver a 3m do plano da parede, o custo é de 
R$ 500,00. Nesse tipo de isolamento, a espessura do 
material que reveste a parede é inversamente 
proporcional ao quadrado da distância até a fonte 
sonora, e o custo é diretamente proporcional ao 
volume do material do revestimento. 
 
Uma expressão que fornece o custo para revestir uma 
parede de área A (em metro quadrado), situada a D 
metros da fonte sonora, é 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
2
500 81
A D


2
500 A
D

2500 D
A

2500 A D
81
 
2500 3 D
A
 
 
 
RICARDINHOMATEMATICAX.COM.BR 40 
 
 
 
09) (Modelo Enem) Atualmente grande parte dos monitores de 
TV e de computador são feitos no formato widescreen, onde 
a medida da largura da tela é maior do que sua altura. A 
proporção de tela mais usual é de 16 : 9. Sabendo que a 
medida em polegadas de um monitor corresponde à medida 
da diagonal de sua tela, então um monitor de 20 polegadas 
na proporção 16 : 9 tem área, em polegadas quadradas, de 
aproximadamente: 
 
a) 144 
b) 171 
c) 50 
d) 400 
e) 154 
 
10) (Enem) José, Carlos e Paulo devem transportar em suas 
bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram 
dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que 
ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade 
de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço 
de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo 
dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente. 
Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram 
as laranjas na proporção 4: 4 : 2, respectivamente. Sabendo-
se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, 
qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa 
ordem, transportaram na segunda parte do trajeto? 
 
a) 600, 550, 350 
b) 300, 300, 150 
c) 300, 250, 200 
d) 200, 200, 100 
e) 100, 100, 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO – AULA 09 
 
1) a 2) c 3) d 4) b 5) b 
6) d 7) c 8) b 9) b 10) b 
 
VÍDEO AULA 10 
REGRA DE TRÊS – SIMPLES E COMPOSTA 
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REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
 
1. Regra de Três Simples 
 
Regra de Três Simples é um processo Matemático mediante o 
qual podemos resolver problemas do cotidiano envolvendo 
“duas” grandezas, sejam elas direta ou inversamente 
proporcionais. Dito processo consiste no seguinte: 
 
 Identificar as grandezas envolvidas no problema. 
 Nas situações dadas (em relação às mesmas) dispô-las em 
colunas. 
 Verificar se são G.D.P ou G.I.P. 
 Montar a proporção correspondente. 
 Resolver a proporção. 
 
Observe o esquema abaixo: 
Grandeza A Grandeza B 
x z 
y t 
 
 Se A e B forem G.D.P (grandezas diretamente proporcionais), 
temos: 
t
z
y
x
 
 Se A e B forem G.I.P (grandezas inversamente proporcionais), 
temos: 
z
t
y
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 41 RICARDINHOMATEMATICAX.COM.BR 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01) Se 20 metros de tecido custam R$ 120,00, quanto custará 5 
metros desse mesmo tecido? 
 
Solução: 
 
 Devemos organizar os dados num quadro comparativo. Veja: 
 
 Em seguida, devemos analisar a variação das grandezas, 
indicando o sentido da proporção a ser montada. 
 
 As setas acima indicam que as grandezas são diretamente 
proporcionais, portanto: 
 20 120
20x 600 x 30
5 x
     
Logo, cinco metros desse mesmo tecido custará R$ 30,00 
 
 
 
02) Sabendo que 36 operários conseguem construir uma casa em 
30 dias, se dispomos apenas de 12 desses operários, em 
quanto tempo será construída a mesma casa? 
 
Solução: 
 
Se o número de operários aumenta, o número de dias para 
realizar o mesmo trabalho diminui. Logo, as grandezas são 
inversamente proporcionais. 
36 x
30.36 12.x x 90
12 30
     
Logo, doze operários construirão a mesma casa em 90 dias 
 
2. Regra de Três Composta 
 
Regra de três composta é um processo matemático mediante o 
qual podemos resolver problemas do cotidiano, envolvendo três 
ou mais grandezas. O processo é semelhante ao caso anterior 
(Regra de três simples), levando em consideração apenas o item 
da verificação quanto a GDP ou GIP, que deve ser feito assim: 
analisar as grandezas duas a duas, sempre em relação à que 
possui a variável. A montagem e resolução da proporção segue o 
mesmo roteiro do caso anterior (Regra de Três Simples). 
Observe o esquema abaixo: 
 
 
 Se A é diretamente proporcional a B e diretamente 
proporcional a C, temos: 
v
w
.
t
z
y
x
 
 Se A é diretamente proporcional a B e inversamente 
proporcional a C, temos: 
w
v
.
t
z
y
x
 
 Se A é inversamente proporcional a B e inversamente 
proporcional a C, temos: 
w
v
.
z
t
y
x
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
03) Se 20 homens, trabalhando durante 15 dias, constroem 500 
m de uma estrada, quantos homens seriam necessários para 
construir 900 metros dessa estrada em 30 dias? 
 
Solução: 
 
 Devemos identificar as grandezas em inversamente ou 
diretamente proporcionais. A indicação das setas será feita 
comparando-se cada uma das grandezas com a que 
apresenta o termo desconhecido. 
 Se o número de homens aumenta, podemos diminuir o 
número de dias para realizar um trabalho. Ou seja, essas 
duas grandezas são inversamente proporcionais. Assim, as 
setas apontam em direções opostas. 
 Quando o tamanho da estrada aumenta, precisamos de 
mais homens para essa produção. Por isso, as grandezas 
“metros de uma estrada” e homens são diretamente 
proporcionais. Assim, as setas apontam para a mesma 
direção. 
 
 
   
20 30 500 20 5
= . = 2. x 18
x 15 900 x 9
 
 Logo, serão necessários 18 operários para efetuar a obra. 
 
04) Em uma indústria metalúrgica, 4 equipamentos operando 8 
horas por dia durante 5 dias, produzem 4 toneladas de certo 
produto. O número de dias necessários para produzir 3 
toneladas do mesmo produto por 5 equipamentos do mesmo 
tipo, operando 6 horas por dia é 
 
Solução: 
 
Observe a tabela com os dados: 
 
 
Note que: 
 
 
 
RICARDINHOMATEMATICAX.COM.BR42 
 
1) O número de equipamentos é inversamente proporcional 
ao número de dias, pois, quanto maior o número de 
equipamentos na produção, menor o número de dias para 
realizar a produção; 
2) O número de horas é inversamente proporcional ao 
número de dias, pois, quanto maior o número de dias a ser 
utilizado na produção, pode-se diminuir o número de horas 
de produção por dias; 
3) A quantidade de toneladas do produto produzido é 
diretamente proporcional ao número de dias, ou seja, quanto 
mais dias operando, maior a produção. 
Logo, aplicando a regra de três composta: 
  toneladas. 
 
05) Em uma fábrica, quatro máquinas empacotam 10.000 balas 
por hora. Se quisermos empacotar 50.000 balas em meia 
hora, é CORRETO afirmar que o número de máquinas 
necessárias para executar esse trabalho será exatamente 
 
Solução: 
Considerando que a quantidade de máquinas é diretamente 
proporcional à quantidade de balas e inversamente 
proporcional ao tempo (em horas), temos: 
 
 
 
Portanto, serão necessárias 40 máquinas. 
 
06) ( PUC – PR ) Considere as informações a seguir. 
Uma máquina automática produz um único tipo de peças, 
idênticas, de um determinado produto, operando sempre, 
por motivos de segurança, apenas e exatamente 12 horas a 
cada dia, ininterruptamente, todos os dias da semana, 
inclusive aos sábados, domingos e feriados. Essa máquina 
será substituída por outra, mais moderna, que tem a 
capacidade de produzir o quádruplo da quantidade de peças 
(do mesmo tipo) que produz a atual, em um mesmo período 
de tempo. A nova máquina vai operar, ininterruptamente, 
por 21 horas a cada dia, todos os dias da semana. 
Durante quantos dias, no mínimo, a nova máquina precisará 
operar para produzir o triplo do que a antiga produz em uma 
semana? 
 
Solução: 
Utilizando regra de três composta, temos: 
 
 
Temos, então a seguinte equação: 
 
 
Portanto, a nova máquina precisará operar por, no mínimo, 3 
dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 5 6 4 5 120
X 4 8 3 x 96
     120x 480 x 4  
40x
2
1
5
1
x
4
1
2
1
50000
10000
x
4

Horas por dia Dias Capacidade (k) Produção (p)
12 7 k p
21 x 4k 3p
7 21 4k p 7 7
x 3
x 12 k 3p x 3
      
 
 
 43 RICARDINHOMATEMATICAX.COM.BR 
Exercícios 
 
 
 
01) (Enem) Uma televisão pode ser posicionada de modo que se 
consiga enxergar os detalhes de uma imagem em alta 
definição. Considere que a distância ideal, com conforto 
visual, para se assistir à televisão de 32 polegadas é de 1,8 
metros. Suponha que haja uma relação de proporcionalidade 
direta entre o tamanho da tela (medido em polegada) e a 
distância ideal. Considere que um espectador dispõe de uma 
televisão de 60 polegadas e que ele deseja se posicionar em 
frente a ela, com conforto visual. 
 
A distância da televisão, em metro, em que o espectador deve 
se posicionar para que tenha conforto visual é mais próxima 
de 
 
a) 0,33 
b) 0,96 
c) 1,57 
d) 3,37 
e) 3,60 
 
02) Sabendo que 48 operários conseguem construir uma casa em 
24 dias, se dispomos apenas de 12 desses operários, em 
quantos dias será construída a mesma casa? 
 
a) 96 
b) 12 
c) 48 
d) 24 
e) 36 
 
03) (Modelo Enem) Quatro pedreiros trabalhando 30 horas por 
semana pintam uma superfície de área igual 3000m2. É 
correto afirmar que a área pintada por 6 pedreiros, 
trabalhando 40 horas semanais, seria: 
 
a) 4000 m2 
b) 8000 m2 
c) 6000 m2 
d) 9000 m2 
 
04) (Modelo Enem) Se 20 homens, trabalhando durante 15 dias, 
constroem 500 m de uma estrada, quantos homens seriam 
necessários para construir 900 metros dessa estrada em 30 
dias? 
a) 14 
b) 15 
c) 16 
d) 17 
e) 18 
 
 
 
 
 
05) (Enem) Um dos grandes problemas da poluição dos 
mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de 
jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão 
interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 
10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (107) de 
litros de água potável. Suponha que todas as famílias de uma 
cidade descartem os óleos de frituras através dos 
encanamentos e consomem 1000 litros de óleo em frituras 
por semana. Qual seria, em litros, a quantidade de água 
potável contaminada por semana nessa cidade? 
 
a) 10-2 
b) 103 
c) 104 
d) 106 
e) 109 
 
06) (Enem) Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de 
um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, 
recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg 
de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou 
corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, 
então a massa corporal dele é de 
 
a) 12 kg. 
b) 16 kg. 
c) 24 kg. 
d) 36 kg. 
e) 75 kg. 
 
07) (Enem) Há, em virtude da demanda crescente de economia 
de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as 
bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por 
descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias 
não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de 
Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de 
água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária 
não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a 
descarga, por uma bacia sanitária ecológica? 
 
a) 24 litros 
b) 36 litros 
c) 40 litros 
d) 42 litros 
e) 50 litros 
 
08) (Modelo Enem) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens 
gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por dia. Vinte homens, 
para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas 
por dia gastarão: 
 
a) 6 dias 
b) 12 dias 
c) 24 dias 
d) 28 dias 
e) 30 dias 
 
 
RICARDINHOMATEMATICAX.COM.BR 44 
 
 
09 (Enem) Uma escola lançou uma campanha para seus 
alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não 
perecíveis para doar a uma comunidade carente da 
região. 
Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias 
trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de 
alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 
novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a 
trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o 
término da campanha. 
 
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido 
constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do 
prazo estipulado seria de 
 
a) 920 kg. 
b) 800 kg. 
c) 720 kg. 
d) 600 kg. 
e) 570 kg. 
 
10) (Enem) Uma indústria tem um setor totalmente 
automatizado. São quatro máquinas iguais, que trabalham 
simultânea e ininterruptamente durante uma jornada de 6 
horas. Após esse período, as máquinas são desligadas por 
30 minutos para manutenção. Se alguma máquina precisar 
de mais manutenção, ficará parada até a próxima 
manutenção. 
 
Certo dia, era necessário que as quatro máquinas 
produzissem um total de 9.000 itens. O trabalho começou 
a ser feito às 8 horas. Durante uma jornada de 6 horas, 
produziram 6.000 itens, mas na manutenção observou-se 
que uma máquina precisava ficar parada. Quando o serviço 
foi finalizado, as três máquinas que continuaram operando 
passaram por uma nova manutenção, chamada de 
manutenção de esgotamento. 
 
Em que horário começou a manutenção de esgotamento? 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
GABARITO – AULA 10 
 
1) d 2) a 3) c 4) e 5) e 
6) a 7) b 8) c 9) a 10) b 
 
VÍDEO AULA 11 
PORCENTAGEM 
CLIQUE NO LINK ABAIXO E ASSISTA À VÍDEO AULA 
 
 
PORCENTAGEM 
 
1.Noção Intuitiva 
 
Brasil ainda tem 11,8 milhões de analfabetos, segundo IBGE 
O Brasil ainda tem cerca de 11,8milhões de analfabetos, o que 
corresponde aproximadamente 7% da população de 15 anos ou 
mais. 
Esse valor nos indica que, em média, 7 de cada 100 habitantes 
são analfabetos. 
As razões cujos denominadores são iguais a 100 são chamadas 
razões centesimais. 
Exemplo: etc. 
2. Definição 
Porcentagem é uma razão centesimal que é representada pelo 
símbolo % que significa “por cento”. 
 
 
 
 
 
16h 45 min
18h 30 min
19h 50 min
21h15 min
22h 30 min
;
100
27
;
100
13
100
x
x% 
 
 
 45 RICARDINHOMATEMATICAX.COM.BR 
 
3. Cálculo de uma porcentagem 
Exemplo: 
25% de R$ 80,00 é R$ 20,00” pois 25% = = 0,25 
Exemplo: 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00 pois 25% = = 0,25 
Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00 
 
Outros Exemplos: 
a) 54% = = 0,54 
b) 542% = = 5,42 
c) (40%)2 = = 16% 
 
4. Nomenclatura Usual 
 
Em 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00” 
Temos: 
5. Acréscimos ou decréscimos 
 Sendo M (M > 0) o valor inicial de uma quantia, após um 
aumento de x% o valor final será 
 Sendo M (M > 0) o valor inicial de uma quantia, após uma 
redução de x% o valor final será 
Exemplos: 
 
a) Aumentar 20% de um valor x equivale a multiplicá-lo por 1,2. 
 
b) Diminuir 20% de um valor x equivale a multiplicá-lo por 0,8. 
 
c) Dois aumentos sucessivos um de 10% e outro de 20% 
equivalem a um único aumento de 32% (e não de 30%). Veja a 
explicação: 
Indicando genericamente o valor de um produto por x, temos: 
(1,1) . (1,2)x = 1,32x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01) Visando economizar energia elétrica, uma pessoa substituiu 
lâmpadas fluorescentes de 25W por lâmpadas LED de 16W 
Em termos percentuais, a economia de energia elétrica, em 
cada troca de lâmpada, será de 
 
Solução: 
 
Para obtermos o percentual economizado, devemos calcular 
qual a porcentagem que 16W representa dentro dos 25W 
Logo, temos a seguinte proporção: 
 
 onde x representa a porcentagem procurada. 
Resolvendo a equação: 
Nesse sentido, 16W representa 64% dos 25W. Logo, devemos 
apenas subtrair as porcentagens para obter o percentual 
relativo à economia: 
 
 
02) Nos anos de 2008, 2009 e 2010, um trabalhador recebeu um 
total de rendimentos de R$66.200,00 . Se a renda do 
trabalhador, em 2010, foi 10% superior à renda de 2009, e a 
renda em 2009 foi 10% superior à renda de 2008, calcule o 
total de rendimentos do trabalhador em 2010 e indique a 
soma de seus dígitos. 
 
 
Solução: 
 
Seja r a renda do trabalhador em 2008. Sabemos que a renda 
em 2009 foi de 1,1r e que a renda em 2010 foi de 
1,1 1,1r 1,21r.  Além disso, temos que 
r 1,1r 1,21r 66200
3,31r 66200
r R$ 20.000,00.
   
 

 
Portanto, o total de rendimentos do trabalhador em 2010 foi 
de 1,21 20000 R$ 24.200,00.  
 
03) A diferença entre um desconto de 50% e dois descontos 
sucessivos de 30% e 20% sobre o valor de R$ 40.000 é um 
valor inteiro: 
 
 a) múltiplo de 7. 
 b) múltiplo de 9. 
 c) múltiplo de 12. 
 d) ímpar. 
 
Solução: 
 
Sejam 1d o desconto obtido, em reais, correspondente a 
50% sobre R$ 40.000,00 e 2d o desconto obtido, 
também em reais, correspondente a sucessivos descontos de 
30% e 20% sobre R$ 40.000,00. Logo, 
   1d (1 0,5) 40000 20000 e 
100
25
100
25
100
54
100
542
100
16
2
100
40














20 p é mporcentage a
25(%) i é taxa a
80 P é principal ou todo o
.M
100
x
1 






.M
100
x
1 






25 W 16 W
,
100% x%

25 x 16 100
16 100
x x 64%
25
  

  
100% 64% 36%. 
 
 
RICARDINHOMATEMATICAX.COM.BR 46 
 
2
2
d (1 0,3) (1 0,2) 40000 .
d 0,7 0,8 40000 22400
     
   
Desse modo, o módulo da 
diferença pedida é: 
1 2| d d |
| 20000 22400 | 2400 12 200,
 
   
que é um múltiplo de 12. 
Portanto, a resposta é a letra [C]. 
 
 
Você sabe a diferença entre Percentual e Pontos 
percentuais? 
A diferença entre esses dois termos é de fácil entendimento a 
partir de alguns exemplos: 
 Se a inflação subiu de 6% para 12%, podemos tanto dizer que 
houve um aumento de 100% na inflação como dizer que a 
inflação subiu seis pontos percentuais. 
 Numa pesquisa eleitoral o candidato João Silva possuía 30% 
das intensões de voto no mês de agosto e passou para 45% 
no mês de setembro. Subir de 30% para 45%, é a mesma coisa 
dizer que o aumento foi de 50% ou dizer que o aumento foi 
de quinze pontos percentuais. 
 Se a taxa de juros passou de 20% para 50%, esse aumento 
pode ser descrito como sendo um aumento de 150% ou como 
sendo um aumento de trinta pontos percentuais.