AP1-PC-2014-1-gabarito

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AP 01 – 2014-1 – Gabarito Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 1 
Pré-Cálculo 
_______________________________________________________________________________ 
1ª. Questão [2,5 pontos]: Considere as funções: 
 
 ; ; ; . 
 
(a) [0,5] Dê o domínio da função e da função . Dê a resposta na forma de intervalo. 
(b) [1,0] Se possível, calcule os valores: ; , se não for possível calcular, justifique. 
Encontre a expressão de em sua forma mais simples possível. Encontre e dê a 
resposta na forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos. 
(c) [1,0] Se possível, calcule os valores: ; ; , se não for possível calcular, 
justifique. Encontre a expressão de em sua forma mais simples possível. Encontre 
 e dê a resposta na forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos. 
Resolução 
(a) Domínio de : 
O radicando deve ser positivo ou nulo, logo, 
 . Portanto, . 
Domínio de : trocar por 
A função é um polinômio de grau 2 e qualquer polinômio pode ser calculado em qualquer número real. 
 Portanto, . 
 
(b) . 
 . 
 
Expressão: 
 
Uma forma de encontrar o domínio: 
 
 , pois qualquer número real ao quadrado é positivo ou nulo. 
 
Outra forma de encontrar o domínio: 
 
O domínio da expressão é . 
Portanto, . 
 
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(c) 
 
 . 
 
 
 . 
 , impossível de calcular, pois não existe raiz de número negativo. 
 
Expressão: 
 
 . 
 
Uma forma de encontrar o domínio: 
 . 
 
Portanto, . 
 
Outra forma de encontrar o domínio: 
 
O domínio da expressão é . 
Portanto, 
 
 
2ª. Questão [2,5 pontos] 
Considere a função partida definida por: 
 
 
 
 
(a) [1,9] Esboce o gráfico da função e identifique no gráfico os pontos onde o gráfico 
encontra com os eixos coordenados. No eixo escreva a abscissa do ponto e no eixo escreva a 
ordenada do ponto. Dê a imagem da função . 
Para esboçar o gráfico da função faça o que se pede a seguir: 
 esboce o gráfico da função e considere a parte desse gráfico correspondente 
ao intervalo . Identifique nesse gráfico as raízes e o vértice da parábola. 
 esboce o gráfico da função e considere a parte desse gráfico correspondente 
ao intervalo O gráfico da função deve ser explicado a partir de 
possíveis transformações (translações, reflexões,...) no gráfico da função . Esboce o 
gráfico de . Descreva em palavras essa transformação. 
(b) [0,6] Dê os intervalos onde a função é crescente e os intervalos onde a função 
 é decrescente. 
Resolução: 
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Esboçando o gráfico da função 
 
 
 
 
 
 Vamos esboçar o gráfico da função e considerar a parte desse gráfico correspondente 
ao intervalo 
Buscando as raízes do trinômio de 2º grau : 
 
A abscissa do vértice é o ponto médio entre as raízes, assim 
 
 
 . Substituindo em 
 encontramos o ordenada do vértice, 
 . Logo, o vértice é o ponto 
A equação nos informa que a parábola tem concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente 
do termo é negativo ( . 
 
O gráfico da função é: O gráfico da função restrita ao 
 intervalo é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vamos esboçar o gráfico de e considerar a parte desse gráfico correspondente ao 
intervalo 
Vamos fazer a seguinte sequência de transformação em gráficos: 
 
 
 
 
 
 
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o gráfico da função 
 
 
 
 é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico da função encontra o eixo nos pontos e e o eixo no ponto . 
Do gráfico concluímos que a 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) Do gráfico, concluímos que: 
 A função é crescente nos intervalos 
 A função é decrescente no intervalo . 
 
 
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3ª. Questão [3,0 pontos]: 
(a) [0,7] Considere o polinômio . Sabendo que esse polinômio só tem raiz 
racional, não inteira, fatore , isto é, escreva como produto de fatores lineares (tipo ) 
e/ou quadráticos irredutíveis (tipo , que não possui raízes reais). Justifique sua fatoração. 
Apresente as contas que o levou a fatoração apresentada. Sem isso, a questão não será considerada. 
(b) [0,5] Analise o sinal do polinômio do item (a). Faça essa análise usando o polinômio fatorado! 
(c) [1,0] 
Seja , a função de domínio real, 
crescente no intervalo , crescente no 
intervalo e cujo gráfico é dado a seguir: 
 
Observando o gráfico da função , analise o sinal 
da função . 
 
(d) [0,8] Considere a função 
 
 
 
 
 
 . Encontre o domínio da função . 
Responda na forma de união de pontos ou na forma de união de intervalos disjuntos 
(intervalos disjuntos não têm nenhum ponto em comum). 
Resolução: 
(a) As possíveis raízes racionais não inteiras de um polinômio são os divisores do termo independente 
(nesse caso é ) divididos pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau (nesse caso é ) 
diferentes de e . Logo, são os quocientes dos números: pelos números: . Portanto, as 
possíveis raízes racionais não inteiras são: 
 
 
 . 
Para saber se uma possível raiz é de fato uma raiz, basta calcular o valor de nessa possível raiz. Se 
 , então é uma raiz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . Logo, 
 
 
 é raiz de . 
Para achar , resultado da divisão de por 
 
 
 , vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini:Portanto . 
Buscando as raízes do trinômio de 2º grau : 
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. 
Logo, esse trinômio não possui raízes reais, isto é, é irredutível nos reais. 
Portanto, a fatoração do polinômio é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) Para analisar o sinal do polinômio do item (a), vamos usar a fatoração 
 e fazer uma tabela de sinais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: O trinômio do segundo grau, , irredutível, é positivo para todo real, porque o 
coeficiente do termo de grau , é positivo, igual a . 
Portanto, 
 em 
 
 
 
 em 
 
 
 
 em 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) Observando o gráfico da função , vamos 
analisar o sinal da função . 
 
 
 
 
 
 . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
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(d) Encontrando o domínio da função 
 
 
 
 
 
. 
Para que a raiz quadrada 
 
 
 possa ser calculada é preciso que 
 
 
 e , ou seja, 
 
 
 
 e . 
Fazendo a tabela de sinais da expressão 
 
 
 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vemos, portanto que, 
 
 
 
 e 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
4ª. Questão [2,0 pontos]: Considere a função . 
(a) [1,3] Encontre os valores de que resolvem a equação para . 
(b) [0,7] Identifique qual dos três gráficos abaixo representa o gráfico da função . Apresente uma 
justificativa que apenas o gráfico escolhido satisfaz a sua justificativa. 
 
 Figura 1 Figura 2 
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Figura 3 
Resolução: 
(a) . Resolvendo a equação 
 
 
 
 
Para , 
 
 
 
 
 
 . 
Como queremos , 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
(b) O gráfico da função é o da figura 2. 
Há muitas justificativas, algumas delas são: 
 É o único gráfico que tem 2 soluções de , , encontradas no item (a). 
 O período da função é e o gráfico 2 é o único que tem esse período. 
 
 
 
 é diferente nos três gráficos, calculando, 
 
 
 
 
 
 . 
 No gráfico 1, para 
 
 
 claramente . No gráfico 3, para 
 
 
 claramente . 
 Temos que e no gráfico 2, para 
 
 
 claramente . 
 Portanto o gráfico só pode ser o gráfico 2. 
 Argumento análogo ao anterior é válido se calculado em outros valores diferentes de 
 
 
. 
 O gráfico 2 é o resultado da seguinte transformações em gráfico: