Exame de Eletrodinâmica Clássica

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Física
Exame Geral de Doutorado
Segundo Semestre de 2013
Eletrodinâmica Clássica
06/08/2013 - 09:00 às 12:00 h
(Escolha três dentre as quatro questões)
Exame Geral de Doutorado 2013.2 – Eletrodinâmica Clássica 1
Questão 1 — Eletrostática
Um meio dielétrico infinito com permissividade ε possui uma cavidade esférica de raio
a. Duas cargas puntiformes +q e −q são colocadas diametralmente opostas na parede da
cavidade, conforme indicado na figura abaixo.
(a) (20%) Escreva uma expressão para a densidade superficial de carga associada às
cargas +q e −q.
(b) (40%) Obtenha o potencial eletrostático nas regiões r < a e r > a.
(c) (20%) Obtenha a densidade de carga induzida na superfície da cavidade.
(d) (20%) A partir da resposta obtida no item (b), analise o limite a→ 0, q →∞, com
2aq = p = constante e ε = ε0.
Dados:
Φ(r, θ) =
∞∑
l=0
[
Alr
l +Blr
−(l+1)
]
Pl(cos θ)),
P0(x) = 1; P1(x) = x; P2(x) = (3x
2 − 1)/2; P3(x) = (5x3 − 3x)/2;
Pl(1) = 1; Pl(−1) = (−1)l;∫ 1
−1
dxPl(x)Pl′(x) =
2
2l + 1
δl, l′
Exame Geral de Doutorado 2013.2 – Eletrodinâmica Clássica 2
Questão 2 – Magnetostática
Um cilindro muito longo de comprimento L e raio R (R � L) possui magnetização
~M = M0yˆ uniforme (ver figura abaixo). O eixo do cilindro está alinhado ao eixo z.
(a) (30%) Mostre que o potencial escalar magnético ΦM(ρ, φ), em z = 0, pode ser
expresso em coordenadas cilíndricas como
ΦM = −M0
4pi
∫ 2pi
0
dφ′senφ′ ln
[
ρ2 +R2 − 2Rρ cos (φ− φ′)] ,
a menos de uma constante aditiva.
(b) (40%) A partir do item anterior calcule ΦM para (i) ρ < R e (ii) ρ > R.
Sugestão: Expanda o logaritmo no integrando de acordo com o formulário abaixo.
(c) (30%) Obtenha o campo magnético ~H e a indução magnética ~B em todo o espaço.
Verifique que são vetores constantes dentro do cilindro.
Dados:
ln
[
ρ2 + ρ′2 − 2ρρ′ cos(φ− φ′)] = 2 ln ρ> − 2 ∞∑
m=1
cosm(φ− φ′)
m
(
ρ<
ρ>
)m
, onde
{
ρ> = max(ρ, ρ
′)
ρ< = min(ρ, ρ
′)∫ 2pi
0
dφ cosmφ cosnφ =
∫ 2pi
0
dφ senmφ sennφ = piδm,n,
∫ 2pi
0
dφ cosmφ sennφ = 0,
∇ψ = ρˆ ∂ψ
∂ρ
+
φˆ
ρ
∂ψ
∂φ
+ zˆ
∂ψ
∂z
Exame Geral de Doutorado 2013.2 – Eletrodinâmica Clássica 3
Questão 3 – Equações de Maxwell e Leis de Conservação
Um solenóide muito longo de raio R possui n espiras por unidade de comprimento é
percorrido por uma corrente I. Conforme esquematizado na figura abaixo, um anel de
raio a > R, massa m, uniformemente carregado com densidade de carga λ, é colocado
sobre uma superfície plana horizontal (não indicada na figura) perpendicular ao eixo
do solenóide. Inicialmente em repouso, o anel pode girar livremente sobre a superfície
horizontal.
(a) (40%) Para I = I0 = constante, determine o campo magnético e o potencial vetor
em todos os pontos do espaco.
(b) (60%) Suponha agora que a corrente no solenóide é reduzida a uma taxa constante
dI
dt
desde I = I0 até I = 0. Calcule o torque total que atua sobre o anel de carga e
obtenha a velocidade angular final do anel após a corrente ter sido reduzida a zero.
Discuta fisicamente este resultado.
Exame Geral de Doutorado 2013.2 – Eletrodinâmica Clássica 4
Questão 4 – Propagação de Ondas em Meios Contínuos
Uma onda eletromagnética plana de frequência ω propagando-se no vácuo (permissi-
vidade elétrica ε0 e permeabilidade magnética µ0) incide normalmente sobre uma camada
de espessura d de um material não magnético de condutividade muito alta (σ � ωε0),
conforme mostra a figura.
(a) (20%) Mostre que a permissividade elétrica do condutor é complexa e é dada por
ε = ε0 + iσ/ω. Determine o módulo do vetor de onda neste meio.
O comprimento de penetração (skin depth) no condutor, δ =
√
2/µωσ, permite tratar
a camada condutora como uma camada muito delgada ou um meio semi-infinito, depen-
dendo da razão δ/d. Determine as amplitudes das ondas refletida e transmitida em relação
à amplitude da onda incidente nos seguintes casos:
(b) (40%) Meio semi-infinito (δ � d → ∞). Mostre que, neste caso, o coeficiente de
reflexão é dado aproximadamente por R ≈ 1− 2ωδ/c.
(c) (40%) Camada delgada (δ � d→ 0).