Exame de Doutorado em Eletrodinâmica Clássica

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VIRTUSIMPAVIDA
Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de F´ısica
Programa de Po´s-Graduac¸a˜o
Exame Geral de Doutorado
ELETRODINAˆMICA CLA´SSICA
Segunda-feira 24/02/2014 - 09h00 a`s 12h00
(Escolha treˆs dentre as quatro questo˜es)
1a Questa˜o: Eletrosta´tica
Uma esfera meta´lica descarregada de raio R e´ colocada em um campo
ele´trico uniforme ~E = E0zˆ.
a) (40%) Determine o potencial ele´trico no exterior da esfera.
b) (40%) Encontre a densidade de carga induzida na superf´ıcie da
esfera.
c) (20%) Em que regia˜o do espac¸o esta´ o maior valor de campo
ele´trico total ? Explique.
Dados:
V (r, θ) =
∑∞
l=0 (Alr
l + Blrl+1 )Pl(cos θ)
P0(cos θ) = 1
P1(cos θ) = cos θ
2a Questa˜o: Dipolo em Campo Eletrosta´tico
Um dipolo ele´trico, formado por duas cargas −q e +q separadas pela
distaˆncia d, de forma r´ıgida, encontra-se numa regia˜o do espac¸o com
campo ele´trico dado pela expressa˜o :
~E(x, y, z) = E0{(1 + az)zˆ−(ay/2)yˆ−(ax/2)xˆ}
a) (30%) Suponha que a = 0 e portanto o campo e´ uniforme. Deter-
mine as forc¸as e o torque sobre o dipolo quando ele encontra-se com seu
centro na origem e alinhado com o eixo xˆ .
b) (30%) Considere agora que a > 0 e que o dipolo encontra-se com
seu centro na origem e orientado na direc¸a˜o positiva do eixo zˆ. Calcule
a forc¸a resultante atuando sobre o dipolo.
c) (20%) Obtenha a expressa˜o para o torque e a forc¸a resultante sobre
um dipolo ~p= q~d, numa direc¸a˜o qualquer, em um campo ele´trico na˜o
uniforme ~E(x, y, z) qualquer.
d) (20%) Considere uma mole´cula real com dipolo de cargas (−e) e
(+e) separadas por uma distaˆncia de 1 nanometro. Estime a maior forc¸a
sobre este dipolo num campo ele´trico com gradiente de 1010 V/m2 ( Tais
gradientes ocorrem em interfaces dentro de meios materiais da natureza).
Compare com a forc¸a gravitacional na superf´ıcie da terra atuando sobre
tal mole´cula se ela tem massa equivalente a 50 a´tomos de carbono.
Dados: e = 1.6× 10−19 C mCarbono = 2.0× 10−27 Kg
3a Questa˜o: Equac¸o˜es de Maxwell na Forma de Integrais
a) (20%) Enuncie as leis de Gauss da eletrosta´tica e da magnetosta´tica
para campos Ele´trico e Magne´tico no va´cuo (auseˆncia de cargas e cor-
rentes) na forma de integrais sobre volumes e suas superfi
b) (20%) Considere correntes ele´tricas e enuncie as leis de Ampe`re e
de Faraday na forma de integrais sobre areas e suas linhas de contorno.
c) (30%) Explique, baseado na Lei de Ampe`re, a origem das “correntes
de deslocamento” associadas a campos ele´tricos variando no tempo entre
as placas de um capacitor.
c) (30%) Escreva as Equac¸o˜es de Maxwell na forma de integrais e
deduza a forma diferencial destas equac¸o˜es.
4a Questa˜o: Circuitos e Corrente Ele´trica
Uma bateria com forc¸a eletromotriz ε e resisteˆncia interna r0 e´ ligada
a um circuito com uma resisteˆncia R em paralelo com um capacitor C,
conforme a figura.
a) (20%) Estabelec¸a as equac¸o˜es para as correntes ele´tricas do circuito
apo´s a chave S ser fechada.
b) (40%) Encontre a expressa˜o para a corrente em cada elemento do
circuito sabendo que em t = 0 o circuito foi fechado com o capacitor
descarregado. A bateria tem ε = 12 Volts e r0 = 0.02 Ω. Qual o valor
ma´ximo da corrente instantaˆnea que percorre a bateria ?
c) (40%) O capacitor e´ retirado do circuito. Com a mesma bateria e
em regime permanente calcule o valor para R de modo que este resistor
externo receba poteˆncia maxima da bateria. Quanto vale esta poteˆncia
em Watts ?