02 Leis de Kirchhoff

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Leis de Kirchhoff
Introdução ao estudo em eletricidade aplicada para análise de circuitos elétricos em corrente contínua
(CC), com base na lei de Kirchhoff das correntes (LKC) e na lei de Kirchhoff das tensões (LKT).
Profa. Isabela Oliveira Guimarães
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender os conceitos fundamentais de grandezas elétricas em CC e das leis básicas de Kirchhoff, assim
como a aplicação dessas leis na solução de problemas com circuitos elétricos.
Preparação
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta para anotações e, se possível, uma calculadora
científica para facilitar seus cálculos na solução das equações de circuitos elétricos.
Objetivos
Analisar circuitos elétricos por meio da lei de Kirchhoff das correntes.
Analisar circuitos elétricos por meio da lei de Kirchhoff das tensões.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo a seguir e compreenda os conceitos das leis de Kirchhoff.
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1. Primeira lei de Kirchhoff
Lei de Kirchhoff das correntes
Neste vídeo, você entenderá melhor sobre os conceitos da lei de Kirchhoff para o uso em correntes elétricas.
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Os conceitos básicos envolvidos na teoria de circuitos elétricos são essenciais em cursos de engenharia.
Dificilmente alguma área técnica não abordará grandezas e leis que regem os princípios da eletricidade
básica, já que os circuitos elétricos também são de utilidade para a modelagem de sistemas diversos de
energia em virtude das técnicas matemáticas aplicadas e de suas configurações físicas envolvidas.
Isso ocorre a partir dos seguintes fatores:
Modelagem
Modelagem dos componentes, como:
resistores
indutores
capacitores
resistores
indutores
capacitores
Conhecimento
Conhecimento das principais grandezas
envolvidas em circuitos elétricos, como:
tensão
corrente
potência elétrica
tensão
corrente
potência elétrica
É possível analisar o comportamento desses elementos tendo como suporte as leis básicas que regem o
funcionamento dos circuitos elétricos.
A primeira lei estudada em eletricidade básica é a de Ohm, que permite relacionar a tensão e a corrente
elétrica em um elemento do circuito; ainda por meio dessa lei, é possível derivar outras relações essenciais,
como as de potência elétrica dissipada pelos elementos.
No entanto, nem sempre a lei de Ohm é suficiente para solucionar completamente as grandezas de um
circuito elétrico – principalmente no caso de circuitos que contêm diversos componentes interligados.
O comportamento dos elementos de um circuito elétrico é regido por duas relações algébricas muito
importantes entre as grandezas tensão e corrente (conhecidas na teoria de circuitos como leis de Kirchhoff).
Tensão
Lei de Kirchhoff das tensões (LKT)
Corrente
Lei de Kirchhoff das correntes (LKC)
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Essas duas leis, enunciadas por Gustav Kirchhoff em 1848, são nada mais que a aplicação do princípio de
conservação da energia presente em um circuito elétrico, como será demonstrado ao longo deste material.
Para compreender as leis de Kirchhoff e suas aplicações na solução de circuitos, é necessário entender
alguns conceitos básicos relacionados à topologia de redes elétricas, ou seja, a forma como os elementos são
conectados entre si. Dessa forma, é fundamental que sejam definidos os seguintes conceitos:
Ramo
Representação de um elemento único
conectado entre dois nós. Um exemplo de ramo
pode ser um resistor, um indutor ou uma fonte
de tensão a ser conectada entre dois nós.
Nó
É o ponto de conexão entre ramos, ou seja, a
junção de dois ou mais ramos (elementos) do
circuito. Se um fio (condutor) ideal conecta dois
nós, esses nós constituem um único nó (curto-
circuito).
Laço
É o caminho fechado em um circuito (circuito
fechado). Um laço inicia-se em um nó, percorre
uma série de outros nós e retorna ao nó de
partida sem passar por qualquer outro mais de
uma vez. O laço também é conhecido por malha
de um circuito.
A quantidade de nós e laços (malhas) de um circuito depende de sua topologia, de modo que é possível
estabelecer uma relação entre tais quantidades e o número de ramos presentes. Essa relação é o teorema
fundamental da topologia de rede descrito pela equação 1:
A equação 1 relaciona a quantidade de b ramos, n nós e l laços independentes que devem satisfazer ao
teorema da topologia de rede.
A partir da topologia de rede, pode-se dizer que:
Dois ou mais componentes da rede são ligados em série se eles compartilham exclusivamente um
único nó e, portanto, estão submetidos à mesma corrente elétrica.
Dois ou mais componentes da rede são ligados em paralelo se eles estão conectados aos mesmos dois
nós e, desse modo, estão submetidos à mesma tensão elétrica entre eles.
Exemplo 1
O circuito da imagem demonstra visualmente a presença de três laços (malhas). Com base na equação do
teorema fundamental da topologia de rede, encontre o número de laços a partir da identificação dos ramos e
dos nós presentes nesse circuito.
Eq. 1
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Imagem 1: Ilustração de um circuito elétrico com três malhas.
Solução
Análise de três malhas
Neste vídeo, você verá a solução de um exemplo da aplicação da Lei de Kirchhoff para a corrente elétrica, em
um circuito com três malhas.
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Lei de Kirchhoff das correntes (LKC)
A primeira lei de Kirchhoff, direcionada à relação de correntes no circuito (LKC), também conhecida como lei
dos nós, diz que a soma algébrica das correntes que entram em um nó deve ser zero, ou seja, a soma
daquelas que entram em um nó deve ser igual à soma das correntes que saem dele, conforme ilustra a
imagem a seguir. Normalmente, consideram-se as correntes que chegam a um nó como positivas e as que
saem dele como negativas.
Imagem 2: Lei de Kirchhoff das correntes.
Matematicamente, a LKC pode ser descrita pela equação 2:
Em que N é o número de ramos conectados ao nó e In é a enésima corrente que entra (ou sai) desse nó. Na
imagem 2, a corrente está entrando no nó (sinal positivo), enquanto as correntes e estão saindo
dele (sinal negativo).
Portanto:
É importante destacar que a lei de Kirchhoff das correntes também pode ser aplicada a um segmento fechado
de circuito, conforme ilustra a imagem 3, pois um nó genericamente é uma superfície fechada reduzida a um
ponto. Dessa forma, de acordo com a equação 2, a corrente total que entra pela superfície fechada é igual à
corrente total que sai dessa superfície.
Imagem 3: Correntes em uma superfície fechada.
Divisor de corrente
Sabe-se que a corrente elétrica sempre buscará o caminho de menor resistência para percorrer. No entanto,
quando o circuito apresenta vários caminhos com resistência, a corrente se divide entre esses ramos.
Evidentemente, pela lei de Ohm, os caminhos com menor resistência apresentarão as maiores parcelas da
corrente dividida. Pelo mesmo raciocínio, se os ramos apresentarem resistências iguais, a corrente elétrica se
dividirá igualmente entre os elementos.
Eq. 2
Eq. 3
Resumindo
Pode-se dizer, portanto, que a razão entre os valores das correntes em dois ramos será inversamente
proporcional àquela entre suas resistências. 
Considere o circuito ilustrado na imagem 4 composto por uma fonte de tensão e dois resistores ligados em
paralelo: e . Por estarem ligados em paralelo, os resistores estão submetidos à mesma tensão.
Imagem 4: Circuito divisor de corrente.
Em que:
Aplicando a LKC no nó a, obtém-se a corrente total que vem da fonte:
Substituindo a equação 4 na 5, tem-se:
Eq. 4
Eq. 5
Eq. 6
Em que é denominada resistência equivalente dos resistores ligados em paralelo.
A resistência equivalente de dois resistores ligados em paralelo é dada pelo produto dessas resistências
dividido pela sua soma. 
Geralmente, é mais conveniente utilizar a condutância do elemento em vez da resistência para se lidar com
componentesligados em paralelo a fim de evitar operações matemáticas com frações. A partir da equação 7,
a condutância equivalente para um circuito com N resistores ligados em paralelo é dada por:
Em que:
A condutância equivalente de resistores ligados em paralelo é dada pela soma de suas condutâncias
individuais.
Dessa forma, a condutância equivalente dos resistores ligados em paralelo pode ser encontrada da mesma
forma que a resistência equivalente para aqueles ligados em série. Analogamente, a condutância equivalente
para os ligados em série pode ser encontrada da mesma forma que a resistência equivalente para os ligados
em paralelo.
Uma forma genérica de encontrar a condutância equivalente é dada pela equação 10:
A partir da corrente total que entra no nó , é possível obter as correntes e .
Eq. 7
Eq. 8
Eq. 9
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Eq. 10
Ao combinar as equações 4 e 8, vê-se que:
Percebe-se, portanto, que a corrente total é compartilhada pelos resistores de forma inversamente
proporcional às resistências. Esse comportamento ilustra o princípio denominado divisão de corrente. O
circuito da imagem 4 é conhecido por circuito divisor de corrente.
Exemplo 2
Considere o circuito ilustrado na imagem 5 composto por uma fonte de corrente e dois resistores ligados em
paralelo. Determine o valor da corrente elétrica que circula pelos resistores R1 e R2.
Imagem 5: Circuito do exemplo 2.
Solução
Circuito - resistores em paralelo
Neste vídeo, você verá a solução de um exemplo que analisa a corrente elétrica total de um circuito, em que
existem dois resistores em paralelo.
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Método dos nós para circuitos com fonte de corrente
A partir dos conceitos fundamentais sobre o comportamento de circuitos elétricos com base na lei de
Kirchhoff das correntes (LKC) e da lei de Ohm, apresentaremos nesta seção uma importante técnica para a
resolução de circuitos elétricos.
O método dos nós, também conhecido por lei dos nós ou análise nodal, baseia-se na LKC para
formular o problema a ser resolvido matematicamente, o que permite sua solução por programas
computacionais de simulação.
É importante destacar que são duas as leis de Kirchhoff: de correntes (LKC) e tensões (LKT). No entanto, o
objetivo deste módulo concentra-se nos estudos da primeira lei, a LKC, de modo que as análises referentes à
segunda lei (LKT) serão feitas mais adiante.
Eq. 11
Eq. 12
A aplicação do método dos nós permite a solução de qualquer circuito linear a partir da resolução simultânea
de um conjunto de equações lineares. Tendo em vista o princípio de conservação de energia regido pela lei de
Kirchhoff das correntes e das relações da lei de Ohm, esse método utiliza as tensões nodais como variáveis
do problema e determina as equações para a solução dos circuitos.
Dica
A utilização de tensões nodais é conveniente, pois reduz o número de equações que devem ser
resolvidas. 
Para iniciar o método dos nós, é necessário adotar um nó de referência no circuito. Apesar de não ser uma
regra, normalmente adota-se o nó de terra (GND) como referência, que é designado com potencial zero.
A imagem a seguir ilustra as simbologias tradicionalmente utilizadas para indicar um nó de referência:
Imagem 6: Simbologia comum para nó de referência.
Quando o potencial da terra é usado como referência, utiliza-se a simbologia de (a) e (b). Se o potencial de
referência for a carcaça de um equipamento, por exemplo, será utilizada a simbologia de (c).
Dessa forma, em um circuito contendo nós, ao definir um como referência, tem-se nós cujas
tensões são variáveis do problema a serem determinadas, ou seja, equações devem ser escritas para
a solução do circuito.
Os passos para aplicação do método dos nós são:
Passo 1
Determinar um nó como referência e atribuir a variável de tensão (v1,v2,…vn−1) para os N−1 nós
restantes.
Passo 2
Aplicar a lei de Kirchhoff das correntes em cada um dos N−1 nós, exceto o de referência. Utilize a lei
de Ohm para expressar as correntes nos ramos em termos de tensões nodais.
Passo 3
Resolver as equações simultâneas para obter as tensões nodais.
O exemplo a seguir ilustra a aplicação do método dos nós em um circuito elétrico.
Exemplo 3
Considere o circuito da imagem a seguir. Utilizando o método dos nós, encontre as equações necessárias para
determinar as tensões nodais no circuito.
Imagem 7: Circuito para o exemplo 3.
Solução
O método de nós
Neste vídeo, você verá a utilização do método dos nós como solução para encontrar as tensões nos nós do
circuito.
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Método dos nós para circuitos com fontes de tensão
Em circuitos elétricos contendo fontes de tensão, a aplicação do método dos nós requer uma atenção
especial. Das duas possibilidades que podem ocorrer, uma delas pode facilitar a análise. São elas:
Possibilidade 1
Circuitos em que a fonte de tensão está conectada entre o nó de referência e outro nó qualquer (que não seja
de referência).
Na imagem a seguir, por exemplo:
Imagem 9: Circuito com supernó.
Percebe-se, portanto, que, nesse caso, a tensão do nó 1 já é automaticamente conhecida. Isso facilita a
análise e reduz o número de equações a serem solucionadas.
Possibilidade 2
Circuitos em que a fonte de tensão está conectada entre dois nós que não são de referência. Nesses casos,
em que se denomina a existência de um supernó, também é necessária a aplicação da lei de Kirchhoff das
tensões (LKT), a qual, como frisamos, será detalhada no módulo 2. É importante retornar a esta seção ao final
dos estudos das duas leis de Kirchhoff para um melhor entendimento.
Um supernó ocorre quando uma fonte de tensão é conectada entre dois nós que não são nós de
referência e quaisquer elementos ligados em paralelo com ele.
Na imagem 9, os nós 2 e 3 formam um supernó. Com base nos mesmos passos demonstrados para o método
dos nós para circuitos com fontes de corrente, é possível solucionar o circuito.
Deve-se observar que, para aplicar a lei de Kirchhoff das correntes, é necessário conhecer as correntes em
cada elemento do circuito; no entanto não é possível, a princípio, conhecer a corrente que circula por uma
tensão nodal.
Eq. 13
Assim, a partir do conceito de supernó, tem-se o seguinte:
Com auxílio da lei de Kirchhoff das tensões para o supernó, o circuito da figura 9 pode ser redesenhado
conforme a imagem a seguir.
Imagem 10: Aplicação da LKT em um supernó.
Assim, a partir das equações 13, 14 e 15, é possível obter as tensões nodais.
Em um supernó, a fonte de tensão fornece uma equação de restrição necessária para encontrar as tensões
nodais.
Um supernó não possui tensão própria.
Na análise de circuitos com supernó, deve-se aplicar tanto a LKC como a LKT.
Mão na massa
Questão 1
A imagem a seguir ilustra parte de um circuito elétrico em que diversas correntes circulam pelos ramos.
Considerando os conceitos relacionados à primeira lei de Kirchhoff (LKC), as correntes e valem
respectivamente:
Eq. 14
Eq. 15
Imagem 11: Mão na massa - exercício 1.
A
3 A e 5 A
B
6 A e 2 A
C
7 A e 8 A
D
5 A e 7 A
E
4 A e 8 A
A alternativa C está correta.
O segmento de circuito ilustrado possui duas junções representadas pelos nós a e b. É possível encontrar
as correntes incógnitas com apenas uma equação por nó aplicando a lei de Kirchhoff das correntes:
Para o nó a:
Para o nó b:
Questão 2
Para o circuito da imagem a seguir, que contém uma fonte de tensão e três elementos resistivos ligados em
paralelo, é possível encontrar as correntes nos ramos a partir da lei de Kirchhoff das correntes. Com base nos
conceitos dessa lei e nos valores de corrente apresentados na imagem, a resistência de é de:
Imagem 12: Mão na massa - exercício 2.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
Questão 3
A partir da primeira lei de Kirchhoff e do circuito divisor de corrente, o valor da corrente que circula pelo
resistor, ilustrado na imagem a seguir, é de:
Imagem 13: Mão na massa - exercício 3.
A
3,48 mA
B
5,24 mA
C
6,38 mA
D
4,84 mA
E
7,36 mA
A alternativa D está correta.
A resistência equivalente do circuito é dada por:
Aplicando a regra do divisor de corrente no resistor , sabe-se que:
Questão 4
Com base nas regras do circuito divisor de corrente, o valor da potência elétrica dissipada pelo resistor de 
 da imagem é de:
Imagem 14: Mão na massa - exercício 4.
A
1,84 watts
B
2,56 watts
C
3,45 watts
D
2,35 watts
E
3,86 watts
A alternativa A está correta.
Os resistores de e estão em paralelo. Sua resistência equivalente é de:
É possível obter a tensão no resistor de aplicando a lei de Ohm:
Então
Utilizando o circuito divisor de corrente, é possível encontrar a corrente no resistor de :
Portanto, a potência dissipada pelo resistor de será de:
Questão 5
Utilizando a análise nodal e a lei de Kirchhoff das correntes, as tensões nos nós 1 e 2 ilustrados na imagem a
seguir valem respectivamente:
Imagem 15: Mão na massa - exercício 5.
A
1,5 V e 4,0 V
B
2,0 V e 3,5 V
C
3,0 V e 4,0 V
D
3,5 V e 4,5 V
E
2,5 V e 5,0 V
A alternativa D está correta.
Para o nó 1, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes e da Lei de Ohm, tem-se:
Manipulando a expressão acima, é possível encontrar a primeira equação do problema:
Ou:
Para o nó 2, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes e da Lei de Ohm, sabe-se que:
Manipulando a expressão acima, é possível encontrar a segunda equação do problema:
Ou:
Aplicando uma técnica matemática para a solução de sistemas lineares (exemplo: eliminação, regra de
Cramer), as tensões e são respectivamente:
Questão 6
O circuito da imagem apresenta um supernó. Com base na lei de Kirchhoff das correntes e utilizando o
método dos nós, as tensões e valem respectivamente:
Imagem 15: Mão na massa - exercício 6.
A
-4,5 V e -5,0 V
B
4,5 V e -5,0 V
C
-4,5 V e 5,0 V
D
7,3 V e 5,3 V
E
-7,3 V e -5,3 V
A alternativa E está correta.
Considerando o supernó, tem-se:
Utilizemos a Lei de Kirchhoff das tensões, que é necessária para estabelecer a relação entre e :
Teoria na prática
Considere o circuito da imagem 17, que contém três fontes de corrente ligadas em direções distintas entre si.
Com base na lei de Kirchhoff das correntes, a expressão que melhor representa o valor da corrente elétrica
resultante total a circular pelos nós ab será de:
Imagem 17: Circuito elétrico para a teoria na prática.
Imagem 17: Circuito elétrico para a teoria na prática.
Chave de resposta
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
A imagem ilustra um circuito integrado (CI) com oito terminais e suas respectivas correntes elétricas. Com
base na Lei de Kirchhoff das correntes, é possível afirmar que a corrente tem módulo:
Imagem 18: Atividade - exercício 1.
A
20 mA saindo do CI.
B
15 mA entrando no CI.
C
20 mA entrando no CI.
D
15 mA saindo do CI.
E
10 mA saindo do CI.
A alternativa D está correta.
A lei de Kirchhoff das correntes diz que:
Isso significa que a corrente tem módulo saindo do Cl.
Questão 2
Para o circuito da imagem, o valor da tensão é: Sugestão: Utilize o método dos nós para solucionar o
problema.
Imagem 19: Atividade - exercício 2.
A
5 V
B
25 V
C
20 V
D
15 V
E
10 V
A alternativa C está correta.
O circuito possui apenas dois nós: o nó e o referência. Pela Lei de Ohm, sabe-se que:
Pela Lei de Kirchhoff das correntes, vemos que:
Substituindo I , a tensão será:
2. Segunda lei de Kirchhoff
Lei de Kirchhoff para as tensões
Neste vídeo, você entenderá como é possível utilizar a lei de Kirchhoff para encontrar tensões no circuito
elétrico.
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Conforme destacamos anteriormente, as leis de Kirchhoff são essenciais para representar o comportamento
de circuitos elétricos e estabelecer relações entre correntes e tensões nos diversos elementos de rede, como,
por exemplo, resistores, capacitores, indutores e até mesmo fontes de alimentação, como as fontes de tensão
e as de corrente.
Inicialmente, apresentamos a primeira lei de Kirchhoff, conhecida como lei de Kirchhoff das correntes (LKC).
Agora, falaremos sobre a segunda: a lei de Kirchhoff das tensões (LKT).
Os conceitos de ramo, nó e laço (malha) são igualmente importantes e necessários para o entendimento da
segunda lei de Kirchhoff.
Lei de Kirchhoff das tensões (LKT)
A partir do conceito de laço ou malha, a segunda lei de Kirchhoff permite avaliar as variáveis de um circuito a
partir de caminhos fechados, ou seja, a análise começa em determinado ponto, desloca-se pelos elementos
presentes na malha e retorna ao ponto de partida original.
Por exemplo, na imagem a seguir, um caminho fechado será observado se a corrente elétrica deixar o ponto d
até o ponto a percorrendo a fonte de tensão e, em seguida, seguindo de b até c através do resistor até
retornar ao ponto d. Percebe-se que a soma resultante de elevações e quedas de tensão será igual a zero.
Imagem 20: Lei de Kirchhoff das tensões.
Considerando que as elevações de tensão sejam representadas por um sinal positivo e as quedas de tensão,
por um negativo, a sequência da imagem 20 resulta matematicamente na equação 16:
A equação 16 deixa evidente que a tensão aplicada em um circuito de CC em série é igual à soma das quedas
de tensão nos elementos conectados ao longo do circuito. A lei de Kirchhoff das tensões (LKT) expressa que
a soma algébrica das tensões ao longo de um caminho fechado, ou malha, é zero.
Matematicamente, a LKT pode ser representada pela equação 17:
Na equação 17, M é o número de tensões na malha e vm, a m-ésima tensão.
Exemplo 1
Considere o circuito da imagem 21. Os sinais nas tensões de cada elemento dizem respeito à polaridade do
terminal encontrado quando a corrente elétrica percorre a malha independentemente de tal circulação se dar
no sentido horário ou no anti-horário.
Imagem 21: Circuito de um laço ilustrando a LKT.
Solução
Soma das quedas de tensão
Neste vídeo, você entenderá a aplicação da lei de Kirchhoff para determinar os pontos de tensão no circuito.
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Quando um circuito contiver fontes de tensão conectadas em série, a lei de Kirchhoff das tensões poderá ser
utilizada para encontrar a tensão total equivalente mediante a soma algébrica de cada tensão individual. No
circuito da imagem 22, por exemplo, as três fontes e podem ser substituídas por uma fonte
equivalente Vab após a aplicação da LKT no trecho ab.
Eq. 16
Eq. 17
Imagem 22: Fontes de tensão em série e circuito equivalente.
Divisor de tensão
A lei de Kirchhoff das tensões demonstra que a soma das tensões por meio dos elementos do circuito será
sempre igual à soma das tensões aplicadas, ou seja, das fontes de alimentação. Além disso, essa tensão será
dividida entre os resistores do circuito de forma proporcional à sua respectiva resistência ao longo de todo o
circuito em série. Desse modo, quanto maior for a resistência do elemento, maior será a tensão à qual estará
submetido.
O circuito ilustrado na imagem 23 representa um circuito com uma fonte de tensão e dois resistores ligados
em série, de modo que apenas a corrente i circula por ambos (uma única corrente de malha).
Imagem 23: Circuito de uma malha com dois resistores em série.
Ao aplicar a lei de Ohm para cada um dos resistores, obtém-se o seguinte:
Eq. 18
Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões à malha e arbitrando que a corrente circule no sentido horário, vê-se
que:
Relacionando as equações 18 e 19:
A equação 20 pode ser modificada, pois os dois resistores podem ser substituídos por um resistor
equivalente:
Em que:
A resistência equivalente em um circuito com N resistores ligados em série é a soma algébrica das
resistências individuais desses elementos.Para N resistores:
As tensões individuais em cada resistor podem ser encontradas substituindo a equação 18 na 20:
É importante observar que a tensão da fonte v foi dividida entre as resistências de forma proporcional à sua
resistência conforme demonstramos anteriormente. Esse equacionamento é conhecido como divisão de
tensão, de modo que o circuito da imagem 23 é conhecido como circuito divisor de tensão.
Se o circuito tiver N resistores ligados em série, a tensão sob o n-ésimo resistor será dada genericamente por:
Eq. 19
Eq. 20
Eq. 21
Eq. 22
Eq. 23
Eq. 24
Exemplo 2
Considere o circuito ilustrado na imagem a seguir composto por uma fonte de tensão e dois resistores ligados
em série. Determine o valor da queda de tensão nos resistores e .
Imagem 24: Circuito em série do exemplo 2.
Solução
Queda de tensão em resistores
Neste vídeo, você verá como é possível usar a lei de Kirchhoff, para determinar a queda de tensão em
resistores.
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Método das malhas para circuitos com fontes de tensão
De modo semelhante ao método dos nós demonstrado anteriormente, o método das malhas é outra maneira
de solucionar circuitos elétricos a partir da segunda lei de Kirchhoff. No método das malhas, utilizam-se as
correntes circulantes como variáveis do problema.
Como as variáveis são as correntes de malha, e não as correntes dos elementos, o número de equações a ser
resolvido torna-se substancialmente menor, facilitando a análise do circuito elétrico.
Método dos nós
Utiliza-se a lei de Kirchhoff das correntes para
encontrar as varáveis de tensão nodal.
Método das malhas
Emprega-se a lei de Kirchhoff das tensões para
determinar as variáveis de correntes de malha.
É importante destacar que, para que o método agora apresentado possa ser efetivamente aplicado, o circuito
elétrico não deverá ter cruzamento de ramos entre si, configurando-se como um circuito denominado planar.
Eq. 25
A imagem a seguir ilustra dois circuitos, sendo que o primeiro é caracterizado como planar e o segundo, por
sua vez, como não planar.
Imagem 25: Circuito planar e não planar.
No segundo circuito, percebe-se que não existe uma maneira de redesenhá-lo sem que haja um cruzamento
de ramos, o que faz com que ele seja configurado como não planar. Apesar de não ser possível utilizar o
método de malhas, os circuitos não planares podem ser solucionados normalmente mediante o emprego do
método dos nós.
No Método das Malhas, o interesse está em aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões em circuitos planares sem a
presença de fontes de corrente. Casos especiais em que o circuito pode conter essas fontes serão tratados
mais adiante.
Para um circuito contendo N malhas, são necessários os seguintes passos:
Passo 1
Atribuir as correntes de malha i1,i2,i3,… in para todas as n malhas do circuito.
Passo 2
Aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) para cada malha n.
Passo 3
Utilizar a Lei de Ohm para expressar as tensões nos elementos em termos da corrente de malha.
Passo 4
Resolver as n equações simultâneas para obter as correntes de malha.
Para entender o método das malhas, considere o exemplo a seguir.
Exemplo 3
0 circuito da imagem a seguir contém duas fontes de tensão e e e três resistores 
alocados em duas malhas. Aplique o método das malhas para encontrar as correntes de malha e 
Imagem 26: Circuito do exemplo 3.
Solução
Método das malhas
Neste vídeo, você entenderá como é possível encontrar o valor de correntes em determinada parte do circuito
com o método das malhas.
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Método das malhas para circuitos com fontes de corrente
Apesar de, a princípio, parecer uma análise mais difícil, aplicar o método das malhas a circuitos contendo
fontes de corrente poderá ser mais fácil que na forma anteriormente demonstrada.
A análise contendo esse tipo de fonte pode ser feita para duas situações distintas:
Situação 1
Circuitos em que existe fonte de corrente em apenas uma malha.
Imagem 27: Circuito com fonte de corrente.
Ao atribuir as correntes de malha, percebe-se que diretamente tem-se a corrente . As equações
das malhas são facilmente obtidas. Por substituição, a corrente pode ser encontrada.
Situação 2
Circuitos em que a fonte de corrente está presente em duas malhas. Nesse caso, tem-se a chamada 
supermalha.
Uma supermalha ocorre quando duas malhas possuem uma fonte de corrente em comum.
Imagem 28: Circuito com: (a) duas malhas e fonte de corrente comum; (b)
supermalha.
A supermalha ocorre a partir do compartilhamento do ramo que contém a fonte de corrente das malhas 1 e 2.
A análise de malhas requer o conhecimento da tensão em cada ramo; no entanto, não é possível, a princípio,
conhecer a tensão em uma fonte de corrente.
Desse modo, aplicando a lei de Kirchhoff das tensões (LKT) na supermalha, sabe-se que:
Com o auxílio da lei de Kirchhoff das correntes (LKC) aplicada ao nó de interseção das malhas, tem-se:
Resolvendo as equações 26 e 27, obtém-se o seguinte resultado:
Em uma supermalha, a fonte de corrente fornece uma equação de restrição necessária para encontrar as
correntes de malha.
Uma supermalha não possui corrente própria.
Na análise de circuitos com supermalha, deve-se aplicar tanto a LKT como a LKC.
Eq. 25
Eq. 26
Eq. 27
Eq. 28
Mão na massa
Questão 1
Considere o circuito da imagem. Com base na lei de Kirchhoff das tensões (LKT), os valores das quedas de
tensão nos resistores e são respectivamente de:
Imagem 29: Mão na massa - exercício 1.
A
-8 V e -12 V
B
8 V e 12 V
C
-8 V e 12 V
D
-12 V e 8 V
E
8 V e -12 V
A alternativa E está correta.
Para encontrar as tensões em e , basta aplicar a lei de Ohm nos resistores e a LKT na malha do
circuito. Considerando que a corrente I flua pela malha no sentido horário, tem-se:
Pela lei de Ohm
Pela LKT
Substituindo nas expressões de tensão, encontra-se o seguinte:
Questão 2
Para o circuito da imagem, a tensão à qual o resistor está submetido é de:
Imagem 30: Mão na massa - exercício 2.
A
8 V
B
10 V
C
12 V
D
15 V
E
6 V
A alternativa C está correta.
O circuito contém uma fonte de tensão em série com os resistores e . Dessa forma, trata-se de
um circuito com apenas uma malha, o que permite encontrar a tensão em apenas aplicando a lei de
Kirchhoff das tensões:
Considerando o sentido horário para a corrente de malha:
Isolando a tensão 
Perceba que o valor da resistência de não foi importante no cálculo da tensão pela LKT, já que as
outras tensões eram conhecidas.
Questão 3
Com base na lei de Kirchhoff das tensões e no princípio de divisão de tensão, as tensões nos resistores e 
 da imagem são respectivamente de:
Imagem 31: Mão na massa - exercício 3.
A
5 V e 12 V
B
8 V e 16 V
C
10 V e 6 V
D
4 V e 8 V
E
15 V e 9 V
A alternativa B está correta.
Primeiramente, deve-se encontrar a resistência total do circuito série:
Com base no circuito divisor de tensão, as tensões e são:
Questão 4
A imagem ilustra simplificadamente um circuito com uma fonte de tensão de 12 volts e dois resistores (de 
 e 1Q) ligados em série. A partir da regra de divisão de tensão, o valor da tensão em relação à
referência é de:
Imagem 32: Mão na massa - exercício 4.
A
4 volts
B
6 volts
C
8 volts
D
5 volts
E
3 volts
A alternativa A está correta.
Caso seja necessário, a figura 33 pode ser redesenhada no formato de uma malha fechada utilizando o
símbolo de uma fonte de tensão. Ao aplicar o princípio de divisão de tensão, vê-se que a tensão é a
tensão sob o resistor :
Questão 5
O método das malhas, que é um dos métodos mais utilizados para a solução de variáveis em circuitos
elétricos, dispõe que o somatório das tensões em um caminho fechado deve ser nulo. Com base nos
conceitos do método descrito, as correntes e a circular nas malhas 1 e 2 do circuito da imagem são
respectivamente de:
Imagem 33: Mão na massa - exercício 5.
A
4 A e 1 A
B
3 A e 2 A
C
1 Ae 2 A
D
2 A e 3 A
E
3 A e 1 A
A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
Questão 6
A partir da aplicação do método das malhas e da lei de Kirchhoff das tensões para a solução de circuitos, as
correntes e do circuito ilustrado na imagem valem respectivamente:
Imagem 34: Mão na massa - exercício 6.
A
3 A, 2 A e 1 A.
B
2 A, 1 A e 1 A.
C
0 A, 1 A e 2 A.
D
1 A, 1 A e 0 A.
E
2 A, 0 A e 3 A.
A alternativa D está correta.
Para a solução, as correntes de malha serão adotas como e .
Aplicando-se inicialmente a LKT na malha 1:
Aplicando-se agora a LKT na malha 2:
Aplicando, por fim, o método da substituição para a solução de sistemas lineares, tem-se que:
Consequentemente:
Teoria na prática
Considere o circuito da imagem. Com o auxílio da lei de Kirchhoff das tensões, o valor da tensão no resistor 
 é de:
Imagem 35: Circuito elétrico para a teoria na prática.
Imagem 35: Circuito elétrico para a teoria na prática.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere o circuito da imagem. Com base na lei de Kirchhoff das tensões (LKT), o valor da tensão Vx é de:
Imagem 36: Atividade - exercício 1.
A
20 V
B
15 V
C
12 V
D
18 V
E
24 V
A alternativa A está correta.
A tensão Vx no circuito não é de apenas um elemento resistivo, e sim entre dois pontos distintos. Basta
aplicar a lei de Kirchhoff das tensões na malha:
Questão 2
O circuito da imagem pode ser solucionado por meio do método das malhas. As correntes e , referentes
às correntes de malha, são:
Imagem 37: Atividade - exercício 2.
A
2,25 A e 0,41 A
B
3,33 A e -0,67 A
C
-3,45 A e 1,28 A
D
1,85 A e -0,67 A
E
-3,33 A e 2,45 A
A alternativa B está correta.
Inicialmente, deve-se arbitrar o sentido das correntes de malha, como, por exemplo, o sentido horário. É
possível perceber que a fonte de corrente no meio do circuito fornece uma supermalha.
Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões, tem-se:
Relacionando as correntes de malha e a fonte de corrente, verifica-se que:
Por fim, aplicando o método da substituição para resolver o sistema com as duas equações encontradas,
obtém-se isto:
3. Conclusão
Considerações finais
A solução de circuitos elétricos é essencial para o entendimento de diversas disciplinas de engenharia. A
aplicação da eletricidade em circuitos parte essencialmente das leis básicas de circuito, como a lei de Ohm e
as leis de Kirchhoff.
Tendo isso em vista, apresentamos neste conteúdo os conceitos básicos relacionados à lei de Kirchhoff das
correntes (LKC) e à lei de Kirchhoff das tensões (LKT). A partir do conhecimento dessas leis elementares,
salientamos que é possível equacionar os circuitos elétricos para o cálculo de grandezas de interesse, como
tensão, corrente elétrica e potência elétrica nos elementos.
Demonstramos ainda a aplicação das leis de Kirchhoff na solução de circuitos por meio dos métodos de
análise que se baseiam nas correntes dos nós e tensões de malhas. A análise nodal tem como princípio básico
a lei de Kirchhoff das correntes e dispõe que o somatório das correntes em um nó de circuito deve ser zero.
De forma semelhante, a de malhas tem como princípio a lei de Kirchhoff das tensões e estabelece que o
somatório das tensões em uma malha precisa ser zero.
Por fim, observamos que, com base no princípio de conservação de energia e desses métodos de análise,
formulam-se as equações lineares dos circuitos que podem ser matematicamente solucionadas para a
obtenção das variáveis do circuito.
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Para se aprofundar no assunto aqui abordado, leia a obra Eletricidade básica – circuitos em corrente contínua
(2014), de Eduardo C. A. Cruz.
Referências
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: AMGH, 2013.
 
BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do. Introdução à análise de circuitos. São Paulo: Pearson Education,
2004.
 
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Pearson Education, 2010.
 
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. . Fundamentos de análise de circuitos elétricos. Rio de
Janeiro: LTC, 1994.
 
NILSSON, J. W., RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: Pearson Education, 2008.
	Leis de Kirchhoff
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Primeira lei de Kirchhoff
	Lei de Kirchhoff das correntes
	Conteúdo interativo
	Modelagem
	Conhecimento
	Tensão
	Corrente
	Ramo
	Nó
	Laço
	Exemplo 1
	Solução
	Análise de três malhas
	Conteúdo interativo
	Lei de Kirchhoff das correntes (LKC)
	Divisor de corrente
	Resumindo
	Exemplo 2
	Solução
	Circuito - resistores em paralelo
	Conteúdo interativo
	Método dos nós para circuitos com fonte de corrente
	Dica
	Passo 1
	Passo 2
	Passo 3
	Exemplo 3
	Solução
	O método de nós
	Conteúdo interativo
	Método dos nós para circuitos com fontes de tensão
	Possibilidade 1
	Possibilidade 2
	Mão na massa
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Questão 2
	2. Segunda lei de Kirchhoff
	Lei de Kirchhoff para as tensões
	Conteúdo interativo
	Lei de Kirchhoff das tensões (LKT)
	Exemplo 1
	Solução
	Soma das quedas de tensão
	Conteúdo interativo
	Divisor de tensão
	Exemplo 2
	Solução
	Queda de tensão em resistores
	Conteúdo interativo
	Método das malhas para circuitos com fontes de tensão
	Método dos nós
	Método das malhas
	Passo 1
	Passo 2
	Passo 3
	Passo 4
	Exemplo 3
	Solução
	Método das malhas
	Conteúdo interativo
	Método das malhas para circuitos com fontes de corrente
	Situação 1
	Situação 2
	Mão na massa
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Questão 2
	3. Conclusão
	Considerações finais
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	Referências