Resolução Lista 02

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FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I 
 
RESOLUÇÃO DA LISTA II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
Departamento de Matemática e Física 
Disciplina: Física Geral e Experimental I (MAF 2201) 
RESOLUÇÃO DA LISTA II 
 
 
1. 
a) 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ(3 1) ( 4 2) (2 ) (6 )F F i j N i N j+ = − + − − = −r r 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
a) como F
r
 é constante ⇒ a
r
 é constante e não nula, somente as funções (2) e (3) tem aceleração constante e não 
nula. 
b) 
2
0 0(2) 4 6 3 8 6 8, 6x t t v t a como v a e v= − + − ⇒ = − + ⇒ = − = ⇒
r r
 têm sentidos opostos. 
 
3. 
No repouso ou movimento com velocidade constante ⇒ 0 0 0 0x ya F F e F= ⇒ = ⇒ = =∑ ∑ ∑
rr
 
a) (02) e (04). Nos outros itens yF∑ nunca será nulo 
b) (02) e (04) 
 
4. 
v
r
 constante ⇒ 1 2cosF Fθ = , se, θ diminui ⇒ cosθ aumenta ⇒ 2F deve aumentar. 
 
5. 
(1) 
5 3 5 0
7 4 3
x
y
F
F N
= − − =
= − =
∑
∑
 (2) 
3 2 1
6 4 2 0
x
y
F N
F
= − =
= − − =
∑
∑
 (3) 
5 4 1
6 3 4 1
x
y
F N
F N
= − =
= − − = −
∑
∑
 
(4) 
3 5 2
3 2 4 5 4
x
y
F N
F N
= − = −
= + − − = −
∑
∑
 
a aceleração têm a mesma direção da força resultante 
a) 2, 3 e 4 
b) 1, 3 e 4 
3
4−
6−
1−
2F
r
1F
r
RF
r
3 
c) (1) ⇒ eixo y 
(2) ⇒ eixo x 
(3) ⇒ 4ª quadrante 
(4) ⇒ 3ª quadrante 
 
6. 
a) a
r
 para baixo ⇒ mg > T ⇒ menor 
b) a
r
 para cima ⇒ T > mg ⇒ maior 
 
 
 
 
7. 
F ⇒ aumenta 
a) n mg F= + ⇒ aumenta 
b) n mg F= − ⇒ diminui 
 
8. 
a) 10 + 3 + 5 + 2 = 20 kg 
b) 10 + 3 + 5 = 18 kg 
c) 10 kg 
d) todos os blocos têm a mesma velocidade sempre ⇒ todos os blocos têm a mesma aceleração. 
e) 3 18T a= , 2 13T a= , 1 10T a= ⇒ 3 2 1T T T> > 
 
9. 
a) m = 1 kg 
x
m.a . cos 20º 1.2.cos20ºxR m a= = = 
1,88xR N= 
b) . 20º 1.2. 20º 0,68y y yR ma m a sen sen R N= = = ⇒ = 
c) ˆ ˆ(1,88 ) (0,68 )R N i N j= +r 
 
10. 
2m kg= , 1 ˆ ˆ(3 4 )F i j N= +
r
 
a) 2
ˆ ˆ( 3 4 )F i j N= − −r 
T
r
v
r
(75 )mg Nr
n
r
mgr
4 
ˆ ˆ
. (3 3) (4 4) . 0F m a i j m a a= ⇒ − + − = ⇒ =∑
r r r r
 
b) 
2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 4 ) (3 3) (4 4) 2. (4 ) /F i j i j a a j m s= − + ⇒ − + + = ⇒ =r r r 
c) 
2
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(3 4 ) (3 3) (4 4) 2. (3 ) /F i j i j a a i m s= − ⇒ + + − = ⇒ =r r r 
 
11. 
v
r
 � constante ⇒ 0 0a F= ⇒ =∑
rr
, 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ(2 ) ( 6 ) ( 2 ) (6 )F N i N j F N i N j= + − ⇒ = − +r r 
 
12. 
v →
r
 constante ⇒ 0 0a F= ⇒ =∑
rr
, 1
ˆˆ ˆ(2 3 2 ) ,F i j k N= + −r 
2 3
ˆˆ ˆ ˆ ˆ( 5 8 2 ) (3 11 4 )F i j k N F i j k N= − + − ⇒ = − +r r 
 
13. 
x xF ma=∑ ⇒ 32 cos30º 55 41cos60º 120. xa+ + = 
a) 
20,86 /xa m s= 
32 30º 41 60º 120.y yF ma sen sen ay= ⇒ − =∑ 
20,162 /ay m s= − 
2
ˆ ˆ(0,86 0,162 ) /a i j m s= −r 
b) 
2 2 2 2 2(0,86) (0,162) 0,87 /x ya a a m s= + = + = 
c) 
0,162 10,67º
0,86
tgθ θ= ⇒ = 
 
14. 
2 ,m kg= 1 ˆ(20 )F N i=
r
, 
a) 
2
ˆ ˆ ˆ ˆ30 cos30º ( 6 10,39 ) /a a sen i a j a i j m s= − ° − ⇒ = − −r r
 1 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
. . 20 2( 6 10,39 ) ( 32 20,78 )F m a F F m a i F i j F i j N= ⇒ + = ⇒ + = − − ⇒ = − −∑
r r r r rr r
 
b) 
2 2
2 232 (20,78) 38,15F F N= + ⇒ = 
 
c) 
20,78 33º
32
tgθ θ= ⇒ = 
θ
y 
x 
a
r
y 
x θ
2F
r
5 
 
15. 
 
Em todos os casos o salame está em repouso 0 11.98 107,8F T mg T N⇒ = ⇒ = = ⇒ =∑
r
 
 
16. 
3 ,bP N= 1T N= 
0 0 3 1 2y bF T N P n N para cima= ⇒ + − = ⇒ = − = →∑ 
2n N=r , na direção vertical e sentido para baixo. 
 
17. 
 1 22P N= , 
2
1 9,8 /g m s= ⇒ 1
1
22 2,24
9,8
P
m kg
g
= = = 
a) 2 2 22,24.4,9 11P mg P N= = ⇒ = 
b) A massa permanece sempre a mesma 2,24m kg⇒ = 
c) 3 3 32,24.0 0P mg P= = ⇒ = 
d) 2,24m kg= 
 
18. 
75m kg= 
a) . 75.9,8 735T T TP m g P N= = ⇒ = 
b) . 75.3,8 285M M MP m g P N= = ⇒ = 
c) 75.0 0P mg P= = ⇒ = 
d) a massa permanecerá a mesma em todos os locais 75m kg⇒ = . 
 
19. 
29 ,cm kg= 4,5 29 4,5 33,5mm kg m kg= ⇒ = + = 33,5 . 9,8 328,3P mg N⇒ = = = 
a) 328,3 ,N na direção vertical e sentido para baixo 
b) zero, não há contato 
c) a força gravitacional é uma força de campo ⇒ 328,3, na direção vertical para cima. 
d) 328,3 N, na direção vertical para cima. 
 
 
 
Leitura da 
Balança 
T
r
bP
r
n
r T
r
6 
 
 
20. 
8,5m kg= 
a) 0 30º 0xF T mg sen= ⇒ − =∑ 
8,50 . 9,8. 30º 41,65T sen T N⇒ = ⇒ = 
 
b) 0 cos30º 0yF n mg= ⇒ − =∑ 8,5 . 9,8 . cos30º 72,14n n N⇒ = ⇒ = 
c) 
2
. 30º . 9,8 . 30º 4,9 /x xF m a mg sen m a a sen a m s= ⇒ = ⇒ = ⇒ =∑ 
 
21. 
8585 8,67
9,8
P N m kg= ⇒ = = , 0
2,8 / , 0
11 0,11
V m s V
x cm m
= =
∆ = =
 
Cálculo da Aceleração 
2 2 2 2
0 2 0 (2,8) 2. 0,11 35,64 /V V a X a a m s= + ∆ ⇒ = + ⇒ = − 
min min. . 8,67.35,64 309RF m a T m a T N= ⇒ = = ⇒ = 
 
22. 
O valor da força resultante na garota e no tremo é a mesma 5,2F T N= = 
a) 
25,2 0,65 /
8,4
R
t t
t
F
a a m s
m
= = ⇒ = 
b) 
25,2 0,13 /
40
R
g g
g
F
a a m s
m
= = ⇒ = 
para a garota temos que: 0 00, 0gx v= = 
2 2
0 0
1 0,13
2 2g g g g g
x x V t a t x t= + + ⇒ = 
para o trenó temos que: 0 0,tV = 0 15tx m= 
2 2
0 0
1 0,6515
2 2t t t t t
x x V t a t x t= + − ⇒ = − 
na posição de encontro, temos que: 
2 20,13 0,6515 6,2
2 2g t
x x t t t s= ⇒ = − ⇒ = 
20,13
.(6,2) 2,5
2g g
x x m⇒ = ⇒ = 
30º 
T
r xy
n
r
30ºmg
r
7 
 
23. 
712P N= 23 /a m s= 
a) 
712
. 712 .3 494
9,8
P F m a F P ma N− = ⇒ = − = − = 
494F N=
r
 para cima 
b) 494F N=
r
 para baixo � lei da ação e reação. 
 
24. 
m = 3 . 10-4 kg 
a) 
 
0 37º
37º
0 cos37º
x
y
F T sen F F
tg
mgF T mg
= ⇒ = 
⇒ =
= ⇒ = 
∑
∑
 
4 337º. 37º. 3.10 .9,8 2,21.10F tg mg tg N− −⇒ = = = 
b) 
3
32,21.10 3,68.10
37º 37º
FT N
sen sen
−
−
= = = 
 
25. 
considerando os dois blocos, temos que: 
2
1 2
1 2
3,2
. ( ). 0,91 /
2,3 1,2
FF m a F m m a a m s
m m
= ⇒ = + ⇒ = = =
+ +
∑
r r
 
a) isolando o bloco m2, temos que: 
12 2. . 1,2.0,91 1,1x xF m a F m a N= ⇒ = = =∑ 
b) com a força atuando em m2, a aceleração terá o mesmo valor 
isolando o bloco m1, temos que: 
21 1. . 2,3.0,91 2,1x xF m a F m a N= ⇒ = = =∑ 
 
26. 
1600m kg= , 0 12 / ,v m s= − 00, 42 , 0v y m y= = = 
cálculo da aceleração 
2 2 2 2
0 2 0 12 2 (0 42) 1,71 /v v a y a a m s= + ∆ ⇒ = + − ⇒ = 
.Fy m a=∑ 
( )
1600(9,8 1,71) 18416
T mg ma T m g a
T T N
⇒ − = ⇒ = +
⇒ = + ⇒ =
 
37º 
37º 
T
r
F
r
mgr
a
r
mgr
T
r
8 
 
27. 
1 2 3 420 , 15 , ?, 12m kg m kg m m kg= = = = 
isolando os 2 primeiros pingüins, temos que: 
2
. 222 111 (20 15). 3,17 /x xF m a a a m s= ⇒ − = + ⇒ =∑ 
isolando os dois últimos pingüins, temos que: 
3 3. 111 ( 12).3,17 23x xF m a m m kg= ⇒ = + ⇒ =∑ 
 
28. 
considerando os 3 blocos, temos que: 
a) 
3 1 2 3. ( ).x xF m a T m m m a= ⇒ = + +∑ 
265 (12 24 31). 0,97 /a a m s⇒ = + + ⇒ = 
b) isolando m1, temos que: 
1 1 1max . 12.0,97 11,64xF T m a T N= ⇒ = = ⇒ =∑ 
c) isolando m2, temos que: 
2 1 2 2 1 2
2
. . .
11,64 24.0,97 34,92
x xF m a T T m a T T m a
T N
= ⇒ − = ⇒ = +
⇒ = + =
∑
 
 
29. 
a) 
2
. cos38º .
450 cos38º 125 310. 0,74 /
x x atF m a T F m a
a a m s
= ⇒ − =
⇒ − = ⇒ =
∑
 
b) 
 2
310 31,63
450 cos38º 125 31,63. ' ' 7,26/
P N m kg
a a m s
= ⇒ =
⇒ − = ⇒ =
 
 
30. 
20,1 , 2,5 /m kg a m s= = 
a) isolando o elo 1, temos que: 
21 1 1 21 1. ( ) 0,1(9,8 2,5) 1,23yF m a F m g m a F m g a N= ⇒ − = ⇒ = + = + =∑ 
b) isolando os elos 1 e 2, temos que: 
32 1 2 1 2 32 1 2
32
. ( ) ( ) ( )( )
(0,1 0,1).(2,5 9,8) 2,46
yF m a F m m g m m a F m m a g
F N
= ⇒ − + = + ⇒ = + +
= + + =
∑
 
9 
c) isolando os elos 1, 2 e 3, temos que: 
43 1 2 3 1 2 3
43 43
. ( ) ( )
(0,1 0,1 0,1).(0,98 2,5) 3,69
yF m a F m m m g m m m a
F F N
= ⇒ − + + = + +
⇒ = + + + ⇒ =
∑
 
d) isolando os elos 1,2, 3 e 4, temos que: 
 53 1 2 3 4 53( )( ) 0,4.(9,8 2,5) 4,92F m m m m a g F N= + + + + = + ⇒ = 
 e) considerando os cinco elos temos que: 
 1 2 3 4 5( )( ) 0,5(9,8 2,5) 6,15F m m m m m a g F N= + + + + + = + ⇒ = 
 f) para cada elo, temos que: . 0,1.2,5 0,25R RF m a F N= = ⇒ = 
 
31. 
1
2
30º 3,7.9,8. 30º 18,13
2,3.9,8 22,54
m g sen sen N
m g N
= =
= =
 
 
 
a) considerando os dois blocos, temos que: 2 1 1 230º ( ).m g m g sen m m a− = + 
222,54 18,13 (3,7 2,3). 0,735 /a a m s⇒ − = + ⇒ = 
b) 2 1 30ºm g m g sen> ⇒ a2 é para baixo 
c) isolando m2, temos que: 
2 2 2. . ( ) 2,3(9,8 0,735) 20,85yF m a m g T m a T m g a T N= ⇒ − = ⇒ = − = − ⇒ =∑ 
 
32. 
10 , 15m cm kg m kg= = 
 a) mina = o caixote deve estar subindo com velocidade constante ⇒ min cT m g= 
 isolando o macaco, temos que: 
 min. . .y m mF m a T m g m a= ⇒ − = ⇒∑ 
2
min
( ) 9,8(15 10) 4,9 /
10
c m
c m m
m
g m m
m g m g m a a a m s
m
− −
− = ⇒ = = ⇒ = 
 b) considerando o macaco e o caixote, temos que: 
 
29,8(15 10)( ). 1,96 /
15 10c m c m
m g m g m m a a m s−− = + ⇒ = =
+
 
c) na direção vertical para cima. 
d) isolando o macaco, temos que: 
30º
T
ry
30º
r
m g1
T
r
r
m g2
10 
. ( ) 10(9,8 1,96) 117,6m m mT m g m a T m g a T N− = ⇒ = + = + ⇒ = 
 
33. 
3 227,8 27,8.10 , 1, 22 /m kN N a m s= = = 
a) 
3 5
( )
27,8.10 (9,8 1, 22) 3,06.10
yF ma T mg ma T m g a
T T N
= ⇒ − = ⇒ = +
⇒ = + ⇒ =
∑
 
b) aceleração para baixo 
'
.mg T m a⇒ − = 
' 3 ' 5( ) 27,8.10 (9,8 1,22) 2,38.10T m g a T N= − = − ⇒ = 
 
34. 
a) 
22, 4 /a m s= para cima, 89T N= 
89
. 7,29
9,8 2,4y
TF m a T mg ma m m kg
g a
= ⇒ − = ⇒ = = ⇒ =
+ +
∑ 
b) como a aceleração é para cima a tração é a mesma do item (a) 
' 89T T N⇒ = = 
 
35. 
com o bloco em repouso, temos que: sF F= 
 a) 1 1 2 2 3 3 1 2 3,s s s s s sF F F F e F F F F F= = = ⇒ > > 
b) max .s sF nµ= ⇒ são todos iguais. 
 
36. 
a) para a direita ; b) para a esquerda; c) reduz d) para a esquerda; e) para a direita; 
f) aumenta ; g) não 
 
 
37. 
 
a) 1s sF F F= ⇒ → permanece constante 
b) 2n F mg n= + ⇒ → aumenta 
c) max max.s e sF n Fµ= ⇒ → aumenta 
d) 1 maxsF F< → não 
 
mgr
T
r
T
r
mgr
11 
 
 
38. 
a) vertical para cima. 
b) horizontal em sentido contrário à sua força. 
c) sF mg= → permanecerá a mesma 
d) n F n= ⇒ → aumentará 
e) max max.s e sF n Fµ= ⇒ → aumentará 
 
39. 
θ → aumenta 
a) cosx xF F Fθ= ⇒ → diminuirá 
b) s x sF F F= ⇒ → diminuirá 
c) n F sen mg nθ= + ⇒ → aumentará 
d) max maxs s sF n Fµ= ⇒ → aumentará 
e) .k k kF n Fµ= → → aumentará 
 
40. 
a) cosx xF F Fθ= ⇒ → diminuirá 
b) s x sF F F= ⇒ → diminuirá 
c) sen mg F n nθ= − ⇒ → diminuirá 
d) max max.s s sF n Fµ= ⇒ → diminuirá 
e) .k k kF n Fµ= ⇒ → diminuirá 
 
41. 
a) . .k k nF u n mg mµ= = ⇒ 
b) igual (3º Lei de Newton) 
c) sobre o bloco → para a direita e sobre a placa para a esquerda. 
d) M. 
 
42. 
max
0,04
0 cos cos
0 se 0 .
s
y
x s s
F n mg n mg
F mg n F mg sen n
µ
θ θ
θ θ µ
=
= ⇒ − ⇒ =
= ⇒ − = ⇒ =
∑
∑
 
r
F
r
n
r
mg
r
F
s
θ
F
r
θ
r
mg
n
r y
x
sF
r
θ
12 
. cos
cos
0,04 2,3º
s s s
mim
sen
mg sen mg tg
tg
θθ µ θ µ µ θ
θ
θ θ
⇒ = ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
 
 
43. 
55 , 220 , 0,35km kg F N µ= = = 
a) 
. . 0,35.55.9,8 188,65k k kF n mg Nµ µ= = = = 
b) 
 
2
. .
220 188,65 55. 0,57 /
x kF m a F F m a
a a m s
= ⇒ − =
⇒ − = ⇒ =
∑
 
 
44. 
0110 0,11 , 15 , 6 /m g kg x m v m s= = ∆ = = 
a) 
 
2 2 2 2
00, 2 0 6 2. .15 1,2 /
. . 0,11.1,2 0,132x x k x k
v v v x a a m s
F m a F m a F N
α= = + ∆ ⇒ = + ⇒ = −
= ⇒ = = ⇒ =∑
 
b) 
. . 0,132 .0,11.9,8
0,122
k k k k k
k
F n F mgµ µ µ
µ
= ⇒ = ⇒ =
⇒ =
 
 
45. 
12 , 5 , 0,6, 0,40s kF N P N µ µ= = = = 
a) max . . . 0,6.12 7,2s s s sF n n F N Pµ µ µ= = = = = > ⇒ o bloco não se move. 
b) 
ˆ
ˆ ˆ ˆ( 12 5 )
s jF ni P F i j N= − + ⇒ = − +
r r
 
 
46. 
no limite de θ , temos que: s
h
tg
R
µ θ= = 
. sh R µ⇒ = (ver exercício 42) 
2
3
max
.
3 3
. .
3
s
s
Ah R RV
R
v
pi µ
pi µ
= =
⇒ =
 
 
r
n
r
mg
r
F
r
F
k
h 
θ
R 
13 
 
 
47. 
35 , 110 , 0,37sm kg F N µ= = = 
a) max . . 0,37.35.9,8s s sF n mgµ µ= = = 
max 126,91sF N F⇒ = > ⇒ o bloco não se move 
110s sF F F N⇒ = ⇒ = 
b) max 126,91sF N= 
c) não. 
d) 
 
'
max
' ' '
max max
'
max' '
110
. .( )
11035.9,8 45,7
0,37
s s s s
s
s
F N
F n F mg F
F
F mg F N
µ µ
µ
=
= ⇒ = −
⇒ = − = − ⇒ =
 
e) 
' '
max max0 126,91 110 16,91s sF F F F F F N+ − = ⇒ = − = − = 
 
48. 
68 , 0,5, 0,35s km kg µ µ= = = 
a) 
 
maxcos15º .
0 15º 0 15º
cos15º .( 15º )
cos15º 15º
0,5.68,98 304,2
cos15º 0,5 15º
s s
y
s
s
s
F F n
F n F sen mg n mg F sen
mgF mg F sen F
sen
F N
sen
µ
µµ
µ
= =
= ⇒ + − = ⇒ = −
= − ⇒ = ⇒
+
= =
+
∑
 
b) 
2
. cos15º .
cos15º . . cos15º .( 15º ) .
304.cos15º 0,35(68.9,8 304 15) 1,3 /
68
x k
k k
F m a F F m a
F n m a F mg F sen m a
sen
a m s
µ µ
= ⇒ − =
⇒ − = ⇒ − − =
− −
⇒ = =
∑
 
 
49. 
44 , 22 , 0,20, 0,15A B s kP N P N µ µ= = = = 
 
14 
a) 
max 0 . ( )
22 0,2(44 ) 66
B s B s s A C
C C
P F P n P P
P P N
µ µ− = ⇒ = = +
⇒ = + ⇒ =
 
b) 
 
2
( ) ( )
22 44
. ( ). 22 0,15.44
9,8
2,29 /
B k A B B k A B
B k A A B
P F m m a P n m m a
P P m m a a
a m s
µ
µ
− = + ⇒ − = +
+ 
⇒ − = + ⇒ − =  
 
⇒ =
 
 
50. 
3,5 , 15 , 0,25km kg F N µ= = = 
a) 
0 sen40º 0 sen40º
. .( sen40º ) 0,25(3,5.9,8 15.sen 40º )
10,98
y
k k k
k
F n mg F n mg F
F n mg F
F N
µ µ
= ⇒ − − = ⇒ = +
= = + = +
⇒ =
∑
 
b) 
2
. cos 40º . 15.cos40º 10,98 3,5. 0,14 /x kF m a F F m a a a m s= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =∑ 
 
51. 
80 , 0,25, 0,15s kP N µ µ= = = 
a) 
( )max para cima sen20º 0 sen20º .
cos 20º sen20º . cos 20º
80(sen20º 0,25cos 20º ) 8,57
s s
s
F F mg F mg n
n mg F mg mg
F F N
µ
µ
+ − = ⇒ = −
= ⇒ = −
⇒ = − ⇒ =
 
b) 
( )' 'max
' '
para baixo sen20º 0 (sen20º cos 20º )
80(sen20º 0,25 cos 20º ) 46,15
s sF F mg F mg
F F N
µ− − = ⇒ = +
⇒ = + ⇒ =
 
c) 
'' ''
''
''
constante = 0
sen20º 0 sen20º
(sen20º cos 20º ) 80(sen20º 0,15cos 20º )
38,64
k k
k
V a
F F mg F n mg
F mg
F N
µ
µ
→ ⇒ =
− − = ⇒ = +
⇒ = + = +
=
 
 
 
15 
 
 
52. 
maxmax
max
0 sen30º
30º
0 cos30º
30º 30º . 30º.0,25.7,11
102,62
y A A
sx s
A s s B
A mim
F T P P
tg
FF T F
P tg F tg P tg
P N
µ
= ⇒ = 
= =
= ⇒ = 
⇒ = = =
⇒ =
∑
∑
 
 
 
53. 
102 10,41 , 32 3,26 , 0,56, 0,25, 40ºA A BB s kP N m kg P N m kg µ µ θ= ⇒ = = ⇒ = = = = a) 
max
sen40º 102, sen40º 32 33,56
. cos40º 0,56.102.cos40º 43,76
0
A B
s s A
P P N
F P N
a
µ
− = − =

= = = 

⇒ = 
 o bloco A permanece em repouso 
b) 
2
2
sen40º ( ).
sen40º . cos40º ( ).
32 102(sen40º 0,25cos40º ) (10,41 3,26). 3,88 /
3,88 / para baixo
B A k A B
B A k A A B
P P F m m a
P P P m m a
a a m s
a m s
µ
− − = +
⇒ − − = +
⇒ − + = + ⇒ = −
⇒ =
 
c) 
2
2
sen40º ( ).
sen40º . cos40º ( ).
102(sen40º 0,25cos40º ) 32 (10,41 3,26). 1,03 /
1,03 / para baixo
A k B A B
A k A B A B
P F P m m a
P P P m m a
a a m s
a m s
µ
− − = +
⇒ − − = +
⇒ − − = + ⇒ =
⇒ =
 
 
54. 
A
10 , 0,2 30º , constante a=0
P sen30º 0 sen30º . cos30º 0
10,98(sen30º 0,2cos30º ) 0 32
A k
k B A k A B
B B
M kg v
F P P P P
P P N
µ θ
µ
= = = → ⇒
− − = ⇒ − − =
⇒ − − = ⇒ =
 
 
55. 
 
 
 
y 
x 
30º 
T
r
AP
r
maxsF
r
θ
mgrθ
n
r
n
r
2 cos45º . cos
. cos
2cos45º
n m g
m g
n
θ
θ
=
⇒ =
cosmg θ
16 
sen 2 .
sen 2 .
cos
sen 2 .
2cos45º
cos
sen 2
2
2
2(sen cos )
2
(sen 2 cos )
k
k
k
k
k
mg fat m a
mg n m a
mg
mg m a
g
g a
a g
θ
θ µ
θθ µ
θθ µ
θ µ θ
θ µ θ
− =
− =
− =
⇒ − =
⇒ − =
⇒ = −
 
 
56. 
3
2 2 2
2 2 3
53 26,5 0,265
250 / , 0,75
1,2 /
1 1
2 2
1
.0,75.1,2 .(0,265) .250 6,2.10
2
d cm R cm m
v m s c
kg m
D c Av c R v
D N
ρ
ρ ρpi
pi
= ⇒ = =
= =
=
= =
⇒ = =
 
 
57. 
2
1 1 1
1 2 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 2
2
2 2 2
2
2 2
.
. . 160 . 310 . 3,75
2 2
.
g g
g g
F F
v v A
c A c
v A v A A A A A
F F
v v A
c A c
ρ ρ
ρ ρ

= ⇒ = 

⇒ = ⇒ = ⇒ =

= ⇒ = 

 
 
58. 
1 0 2 0 3 0 4 0
5 0
2
4 3 2 1 5
3 , 3 , 2 ,
3
.c c
R R R R R R R R
R R
vF m a m
R
F F F F F
= = = =
=
= =
⇒ > > = =
 
 
59. 
 
2 2
max
0,6, 30,5
. . . . .
. . 0,6.9,8.30,5 13,39 /
48,21 /
e
e c e e
e
R m
v vF m a n m mg mg
R R
v g R v m s
v km h
µ
µ µ
µ
= =
= ⇒ = ⇒ =
⇒ = = ⇒ =
⇒ =
 
 
17 
 
60. 
a) 
2
2 2
1200
18
11 /
.
111200(9,8 ) 3693
18
3693 verticalmentepara cima
c
m kg
R m
v m s
vF m a mg n m
R
v
n mg m n N
R
n N
=
=
=
= ⇒ − =
⇒ = − = − ⇒ =
⇒ = →
∑
r
 
b) 
max
2
max
0
18.9,8 13,28 /
V n
v
mg m v Rg V m s
R
⇒ =
⇒ = ⇒ = = ⇒ =
 
 
61. 
2 2 2
max
2 2
29 / 8,05 /
0,32
.
. 20,69
e
e e
e
e
v km h m s
v v vF m F m n m
R R R
v v
mg m R m
R g
µ
µ
µ
µ
= =
=
= ⇒ = ⇒ =
⇒ = ⇒ = =
∑ 
 
62. 
5 510,
10
P kn m kg
R m
= ⇒ =
=
 
a) 
2
2 2
y
510,2.55 / 1275,5 n para cima
10
F .
5000 1275,5 3724,5 verticalpara cima
c
c
v m s F N P
v v
m a mg n m n mg m
R R
n n N
= ⇒ = = < ⇒
= ⇒ − = ⇒ = −
⇒ = − ⇒ = →
∑
r
 
b) 
2
2 2
510,2.1212 / 7346,88 T para baixo
10
.
7346,88 5000 2346,88 verticalpara baixo
c
y c
v m s F P
v mvF m a mg T m T mg
R R
T T N
= ⇒ = = > ⇒
= ⇒ + = ⇒ = −
⇒ = − ⇒ = ⇒
∑
r
 
18 
 
63. 
isolando o bloco m, temos que: 
2
,
vT m
r
= onde T Mg= 
2mv rMgMg v
r m
⇒ = ⇒ = 
 
64. 
a) 1 35 , 1,34T N m kg= = 
b) 
1 2
1
2
2
0 sen30º sen30º 0
sen30º 35.sen30º 1,34.9,8
sen30º 30º
8,74
yF T T mg
T mgT
sen
T N
= ⇒ − − =
− −
⇒ = =
⇒ =
∑
 
c) 
1 2cos30º cos30º (35 8,74).cos30º
37,88
R x
R
F F T T
F N
= = + = +
⇒ =
∑
 
d) 
2
2
, cos30º 1,47
1,7
37,88 1,34. 6,45 /
1,47
R
v RF m R m
R
v
v m s
= = ⇒ =
⇒ = ⇒ =
 
 
65. 
 
1 2 3 32. 4. 7 sen60º 0. cos60º
2.30 4.15 7.20.sen60º 121,25 .
A
A
F F F F
N m
Γ = − − +
⇒ Γ = − − = −
∑
∑
 
 
66. 
 
200
100
?, ?
0
c
b
A B
A
P N
P N
n n
=
=
= =
Γ =∑
 
 
 
 
1T
r
2T
r
mgr
30 cm 
BP
r
CP
r
BA
20 cm 50 cm 20 cm 10 cm 
CAn
r
Bn
r
30º 
30º 
1T
r
2T
r
60º 
60º 
y 
x 
mgr
19 
 
30 50. 70. 0
30.100 50.200 70. 0 185,71
0
0 100 200 185,71 0
114,29
b c B
B B
y
A B c B A
A
P P n
n n N
F
n P P n n
n N
⇒ − − + =
⇒ − − + = ⇒ =
=
⇒ − − + = ⇒ − − + =
⇒ =
∑ 
 
67. 
Usando o cálculo de um determinante 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
x y z x y
i j k i j
x y z x y
F F F F F
 
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )
z x y x y z
z y x z y x
r F yF i zF j xF k yF k zF i xF j
yF zF i zF xF j xF yF k
Γ = × = + + − − −
⇒ Γ = − + − + −
rr r
r 
 
68. 
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ(3 2 4 ) , (3 4 5 )r i j k m F i j k N= − + = − +rr 
a) 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ3 2 4 3 2 10 12 12 15 16 6
3 4 5 3 4
ˆˆ ˆ(6 3 6 ) .
i j k i j
i j k j i k
i j k N m
− − = − + − − + +
− −
Γ = − −
r
 
b) e c) → semelhantes ao item a. 
 
69. 
50
4 53º
3
pm kg
tgθ θ
=
= ⇒ =
 
a) 
0
2. . 3. sen53º 0. cos53º 0
2.50.9,8 3. 53º 0
409
A
pm g T T
T sen
T N
Γ =
⇒ − + + =
⇒ − + =
⇒ =
∑
 
 
 
 
vF
r T
r
hF
r
53º
1m2m
.pm g
A 
20 
b) 
0
cos53º 0 409.cos53º 0 246,14
x
h h h
F
F T F F
=
⇒ − = ⇒ − = ⇒ =
∑
 
c) 
0
53º 0 50.9,8 409. 53º 163,36
y
v p v v
F
F m g T sen F sen F
=
⇒ − + = ⇒ = − ⇒ =
∑
 
 
70. 
1 2 320 , 10 , 5F N F N F N= = = 
a) 
3
0
0 5
x
h h
F
F F F N
=
⇒ − = ⇒ =
∑
 
 
b) 
1 2
0
0 20 10 30
y
v v v
F
F F F F F N
=
⇒ − − = ⇒ = + ⇒ =
∑
 
 
c) 
 
0
1 2 3
0
0. . 0. 3 2. 0
.30 3.10 2.5 0 1,33
v hF d F F F F
d d m
Γ =
⇒ + + − − =
⇒ − − = ⇒ =
∑
 
 
 
 
71. 
222,4 0,914vP N L m= = 
a) 
2 2
0
0. 0. sen60º . sen60º. cos60º. 0
2
sen 60º
. sen 60º . cos30º cos 60º . cos 60º 0
2
sen 60º
.222, 4 ( 60º cos 60º ) 0
2
192,6
A
v n v y x
v
LF F P L T L T
P T T
T sen
T N
Γ =
⇒ + − + − =
⇒ − + − =
⇒ − + − =
=
∑
 
 
1F
r
2F
r
3m 2m
P
vF
r hF
rd0
1m
y
x
3F
r
2m
30º
vF
r
hF
r
60º
vP
r
2
sen60º
L
30º
30ºT
rA
21 
b) 
0
sen30º 0 192,6.sen30º 96,3
x
h h h
F
F T F F N
=
⇒ − = ⇒ = ⇒ =
∑
 
c) 
0
cos30º 0 222,4 192,6.cos30º 55,6
y
v v v v
F
F P T F F N
=
⇒ − + = ⇒ = − ⇒ =
∑
 
 
72. 
225
45v
m kg
m kg
=
=
 
 
 
 
 
 
 
a) 
0
0. 0 cos 45º. cos 45º. cos 45º. sen45º. 0
2
cos 45º
cos 45º cos 45º. 30º 45º. cos30º 0
2
45
.9,8 225.9,8 ( 30º cos30º ) 0 6626,59
2
A
v h v y x
v
L
F F m g L mg L T L T
m g mg Tsen sen T
T sen T N
Γ =
⇒ + − − − + =
⇒ − − − + =
⇒ − − + − + = ⇒ =
∑
 
 
b) 
0 cos30º 0 6626,59.cos30º
5738,79
x h h
h
F F T F
F N
= ⇒ − = ⇒ =
⇒ =
∑
 
 
c) 
0 30º 0
45.9,8 225.9,8 6626,59. 30º
5959,29
y v v
v
v
F F m g mg Tsen
F sen
F N
= ⇒ − − − =
⇒ = + +
⇒ =
∑
 
 
 
 
30º 45º
vF
r
hF
r
mg
vm g
r sen45ºL
30º
T
r
L cos 45º
22 
 
73. 
a) 
0
0. 0. 0. cos . sen 0
.
A
v nF F xP T L T
x PT
L sen
θ θ
θ
Γ =
⇒ + − + + =
⇒ =
∑
 
 
 
b) 
0
. .
cos cos .cos
.sen .
x
h h
F
x P x PF T F T
L L tg
θ θ θ
θ θ
=
⇒ − ⇒ == =
∑
 
 
 
c) 
0
sen 0
.
sen .sen 1
.sen
y
v
v v
F
F P T
x P xF P T P F P
L L
θ
θ θ
θ
=
⇒ − + =
 
⇒ = − = − ⇒ = − 
 
∑
 
θ
T
r
vF
r
x
hF
r
P
L
A