Aplicações das Integrais definidas

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Ca´lculo I -
Aplicac¸o˜es das
Integrais Definidas
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Volumes por
fatiamento e
rotac¸a˜o em torno
de um eixo
So´lidos de
Revoluc¸a˜o: o
me´todo do disco
Comprimento de
Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Ca´lculo I - Aplicac¸o˜es das Integrais Definidas
Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista
Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN
6 de dezembro de 2009
Ca´lculo I -
Aplicac¸o˜es das
Integrais Definidas
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Volumes por
fatiamento e
rotac¸a˜o em torno
de um eixo
So´lidos de
Revoluc¸a˜o: o
me´todo do disco
Comprimento de
Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Volumes por fatiamento e rotac¸a˜o em torno de
um eixo
Uma sec¸a˜o transversal de um so´lido S e´ a regia˜o plana formada
pela intersec¸a˜o entre S e um plano.
I Em cada ponto x no intervalo [a, b], a sec¸a˜o transversal e´ uma
regia˜o R(x) de a´rea A(x), sendo A uma func¸a˜o cont´ınua de x .
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Volumes por
fatiamento e
rotac¸a˜o em torno
de um eixo
So´lidos de
Revoluc¸a˜o: o
me´todo do disco
Comprimento de
Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I O volume do so´lido e´ uma integral definida:
1. dividimos [a, b] em subintervalos de largura ∆xk ,
2. fatiamos o so´lido por planos perpendiculares ao eixo x nos
pontos
3. aproximamos a fatia entre os planos xk−1 e xk usando um
so´lido cil´ındrico com a´rea da base A(xk) e altura
∆xk = xk − xk−1,
4. o volume dete so´lido cil´ındrico e´ A(xk).∆xk ,
5. o volume do so´lido inteiro e´
V ≈
nX
k=1
Vk =
nX
k=1
A(xk)∆xk (1)
que e´ a soma de Riemann para A(x) em [a, b].
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So´lidos de
Revoluc¸a˜o: o
me´todo do disco
Comprimento de
Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I Tomamos o limite n→ 0:
V =
∫ b
a
A(x) dx (2)
que e´ o volume do so´lido compreendido entre os planos x = a e
x = b e cuja a´rea da sec¸a˜o transversal A(x) e´ integra´vel.
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Revoluc¸a˜o: o
me´todo do disco
Comprimento de
Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I Exemplo: uma piraˆmide com 3m de altura tem uma base
quadrada com 3m de lado. A sec¸a˜o transversal da piraˆmide,
perpendicular a` altura x metros abaixo do ve´rtice, e´ um
quadrado com x metros de lado. Determinar o volume da
piraˆmide.
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So´lidos de
Revoluc¸a˜o: o
me´todo do disco
Comprimento de
Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
1. A sec¸a˜o transversal possui a´rea A(x) = x2 pois e´ um quadrado
com x metros de lado.
2. Os limites de integrac¸a˜o sa˜o x = 0 e x = 3.
3. O volume e´ a integral
V (x) =
∫ 3
0
x2 dx =
x3
3
]3
0
= 9m2 (3)
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Revoluc¸a˜o: o
me´todo do disco
Comprimento de
Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I Exemplo: uma cunha curva foi obtida por meio de um cilindro
de raio 3, cortado por dois planos. Um dos planos
perpendicular ao eixo do cilindro e o segundo formando um
aˆngulo de 45 graus no centro do cilindro. Determinar o volume
da cunha.
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So´lidos de
Revoluc¸a˜o: o
me´todo do disco
Comprimento de
Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
1. A sec¸a˜o transversal da cunha em x e´ um retaˆngulo de a´rea:
A(x) = (2
√
9− x2).x = 2x
√
9− x2 (4)
2. Os limites de integrac¸a˜o sa˜o x = 0 e x = 3.
3. O volume e´ a integral
V (x) =
∫ 3
0
2 x
√
9− x2 dx = −2
3
(9−x2) 32 ]3
0
= 0+
2
3
(9)
3
2 = 18
(5)
onde fizemos a substituic¸a˜o u = 9− x2.
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Revoluc¸a˜o: o
me´todo do disco
So´lidos de
Revoluc¸a˜o: o
me´todo do anel
Comprimento de
Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do disco
Um so´lido de revoluc¸a˜o e´ gerado pela rotac¸a˜o de uma regia˜o plana
em torno de um eixo no plano desse eixo.
I A a´rea de sec¸a˜o transversal A(x) e´ um disco de raio R(x), ou
seja,
A(x) = pi [R(x)]2 (6)
I O volume e´ a integral:
V (x) =
∫ b
a
pi [R(x)]2 dx (7)
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me´todo do disco
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Revoluc¸a˜o: o
me´todo do anel
Comprimento de
Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Exemplo: Um so´lido de revoluc¸a˜o e´ formado pela rotac¸a˜o da regia˜o
entre a curva y =
√
x , 0 ≤ x ≤ 4 e o eixo x . Qual seu volume?
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Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I O volume do so´lido e´
V =
∫ 4
0
pi [
√
x ]2 dx = pi
∫ 4
0
x dx (8)
= pi
x2
2
]4
0
= 8pi (9)
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Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Exemplo: O c´ırculo x2 + y2 = a2 e´ girado em torno do eixo x para
gerar uma esfera. Qual seu volume?
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Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I A a´rea da sec¸a˜o transversal e´
A(x) = piy2 = pi(a2 − x2) (10)
I O volume e´
V =
∫ a
−a
pi (a2 − x2) dx (11)
= pi
[
a2 x − x
3
3
]a
−a =
4
3
pi a3. (12)
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A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Exemplo: Determinar o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido com a
rotac¸a˜o em torno da reta y = 1, da regia˜o definida por y =
√
x e
pelas retas y = 1 e y = 4.
I A a´rea da sec¸a˜o transversal e´
A(x) = pi(
√
x − 1)2 (13)
I O volume e´
V =
∫ 4
1
pi (
√
x − 1)2 dx =
∫ 4
1
pi (x − 2√x + 1) dx(14)
= pi
[x2
2
− 3 x 32 + x]4
1
=
7pi
6
. (15)
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Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Exemplo: Determinar o volume do so´lido obtido com a rotac¸a˜o em
torno do eixo y , da regia˜o compreendida entre o eixo y e a curva
x = 2y , com 1 ≤ y ≤ 4.
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rotac¸a˜o em tornode um eixo
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A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I A a´rea da sec¸a˜o transversal e´
A(x) = pi
(
2
y
)2
dy (16)
I O volume e´
V =
∫ 4
1
pi
(
2
y
)2
dx (17)
=
∫ 4
1
pi
4
y2
dx (18)
= 4pi
[− 1
y
]4
1
= 3pi. (19)
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Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
So´lidos de Revoluc¸a˜o: o me´todo do anel
Se ao rodarmos a regia˜o geramos um so´lido que possui um orif´ıcio
no meio, as sec¸o˜es transversais sa˜o ane´is.
I A a´rea de sec¸a˜o transversal A(x) do anel e´
A(x) = pi [R(x)2 − r(x)2] (20)
onde R(x) e´ o raio maior e r(x) e´ o raio menor.
I O volume e´ a integral:
V (x) =
∫ b
a
pi [R(x)2 − r(x)2] dx (21)
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Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Exemplo: A regia˜o limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta
y = −x + 3 gira em torno do eixo x para gerar um so´lido. Qual seu
volume?
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Curvas Planas
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I Raio externo: R(x) = −x + 3.
I Raio interno: r(x) = x2 + 1.
I Os limites de integrac¸a˜o sa˜o os pontos de intersec¸a˜o entre as
curvas:
x2 + 1 = −x + 3 (22)
que nos da´ x = −2 e x = 1.
I O volume e´
V =
∫ 1
−2
pi [(−x + 3)2 − (x2 + 1)2] dx (23)
= pi (8− 6x − x2 − x4) dx (24)
= pi
[
8x − 3x2 − x
3
3
− x
5
5
]1
−2 =
117pi
5
. (25)
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Curvas Planas
Comprimento de
uma curva f (x)
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Comprimento de Curvas Planas
Seja C uma curva dada parametricamente por x = f (t), y = g(t),
sendo a ≤ t ≤ b.
I Assumindo que f ′ e g ′ sa˜o cont´ınuas e na˜o sa˜o
simultaneamente nulas em [a, b] e C e´ percorrida exatamente
uma vez, quanto t avanc¸a de t = a para t = b, enta˜o o
comprimento de C e´ a integral definida
L =
∫ b
a
√
[f ′(t)]2 + [g ′(t)]2 dt (26)
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Comprimento de
uma curva f (x)
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Comprimento de
uma curva f (x)
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I Prova
1. Unimos os pontos de A ate´ B com segmentos de reta.
2. O comprimento de cada segmento de reta sera´
Lk =
p
[f (tk)− f (tk−1)]2 + [g(tk)− g(tk−1)]2 (27)
3. Se ∆ tk e´ pequeno, o comprimento de Lk e´ aproximadamente
igual ao arco Pk−1Pk.
4. De acordo com o Teorema do Valor Me´dio, existem nu´meros
t∗k e t ∗ ∗k em [tk−1, tk ] tais que
∆xk = f (tk)− f (tk−1) = f ′(t∗k) ∆tk (28)
∆yk = g(tk)− g(tk−1) = g ′(t ∗ ∗k) ∆tk (29)
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uma curva f (x)
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Comprimento de
uma curva f (x)
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I O comprimento da curva e´ enta˜o
L = lim
n→∞
n∑
k=1
Lk = lim
n→∞
n∑
k=1
√
(∆xk)2 + (∆yk)2 (30)
= lim
n→∞
n∑
k=1
√
[f ′(t∗k)]2 + [g ′(t ∗ ∗k)]2 ∆tk (31)
=
∫ b
a
√
[f ′(t)]2 + [g ′(t)]2 dt (32)
=
∫ b
a
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt. (33)
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uma curva f (x)
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Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I A Fo´rmula Diferencial Resumida para o comprimento da curva
e´ dada por (
dx
dt
)2
dt2 =
(
dx
dt
dt
)2
= dx2 (34)(
dy
dt
)2
dt2 =
(
dy
dt
dt
)2
= dy2 (35)
(36)
ou seja,
L =
∫ b
a
√
dx2 + dy2 =
∫ b
a
ds (37)
onde
ds =
√
dx2 + dy2. (38)
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Comprimento de
uma curva f (x)
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Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Exemplo: o comprimento do c´ırculo de raio r definido
parametricamente por x = r cos t, y = r sen t, com 0 ≤ t ≤ 2pi, e´
dado por
I
L =
∫ 2pi
0
√
r2 sen2 t + r2 cos2 t dt (39)
=
∫ 2pi
0
√
r2 dt =
∫ 2pi
0
r dt (40)
= r t
]2pi
0
= 2pi r . (41)
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uma curva f (x)
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Exemplo: o comprimento do astro´ide dado pela parametrizac¸a˜o
x = cos3 t e y = sen3 t, com 0 ≤ t ≤ 2pi, e´ dado por
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Revoluc¸a˜o
I (
dx
dt
)2
= [3 cos2 t(− sen t)]2 = 9 cos4 t sen2 t (42)(
dy
dt
)2
= [3 sen2 t(cos t)]2 = 9 sen4 t cos2 t (43)
I √(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
=
√
9 cos2 t sen2 t(cos2 t + sen2 t)
=
√
9 cos2 t sen2 t
= 3| cos t sen t| = 3 cos t sen t.
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uma curva f (x)
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I O comprimento da curva e´
L =
∫ 2pi
−2pi
3 cos t sen t dt. (44)
I Usando a simentria da curva em relac¸a˜o ao paraˆmetro t, temos:
L = 4
∫ pi
2
0
3 cos t sen t dt
= 4
(
3
2
∫ pi
2
0
sen(2t) dt
)
= −3 cos(2t) ] 32
0
= 6.
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Comprimento de
Curvas Planas
Comprimento de
uma curva f (x)
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Comprimento de uma curva f(x)
Se f for continuamente deriva´vel no intervalo fechado [a, b], enta˜o
o comprimento da curva y = f (x), de x = a ate´ x = b, sera´
L =
∫ b
a
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx (45)
=
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2 dx (46)
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Comprimento de
uma curva f (x)
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Exemplo: o comprimento da curva y = 12 (e
x + e−x), onde
0 ≤ x ≤ 2.
I
dy
dx
=
1
2
(ex − e−x) (47)(
dy
dx
)2
=
1
4
(e2x − 2 + e−2x) (48)
I
1 +
(
dy
dx
)2
=
1
4
(e2x + 2 + e−2x) (49)
=
(
1
2
(ex + e−x)
)2
(50)
I
L =
∫ 2
0
1
2
(ex − e−x) dx (51)
=
1
2
(ex − e−x)]2
0
=
1
2
(e2 − e−2) ≈ 3, 63. (52)
Ca´lculo I -
Aplicac¸o˜es das
Integrais Definidas
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Volumes por
fatiamento e
rotac¸a˜o em torno
de um eixo
So´lidos de
Revoluc¸a˜o: o
me´todo do disco
Comprimento de
Curvas Planas
Comprimento de
uma curva f (x)
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Exemplo: o comprimento da curva y =
(
x
2
) 2
3 , de x = 0 ate´ x = 2.
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Revoluc¸a˜o: o
me´todo do disco
Comprimento de
Curvas Planas
Comprimento de
uma curva f (x)
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I A derivada de y com relac¸a˜o a x e´:
dy
dx
=
2
3
x−
1
3
1
2
=
1
3
(
2
x
) 1
3
(53)
que na˜o e´ definida em x = 0.
I Reescrevemos y =
(
x
2
) 2
3 como x = 2 (y)
3
2 , desde x(y = 0) = 0
ate´ x(y = 2) = 1. Assim,
dx
dy
= 2
(
3
2
)
y
1
2 = 3
√
y . (54)
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Revoluc¸a˜o: o
me´todo do disco
Comprimento de
Curvas Planas
Comprimento de
uma curva f (x)
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I O comprimento da curva e´
L =
∫ 1
0
√
1 + 9 y dy (55)
Utilizamos a substituic¸a˜o u = 1 + 9 y , com du = 9 dy .
L =
∫ u(y=1)=1+9.1=10
u(y=0)=1+9.0=1
√
u
(
du
9
)
(56)
=
1
9
∫ 10
1
u
1
2 du (57)
=
1
9
u
3
2
]10
1
(58)
=
1
9
[10
√
10− 1] ≈ 2, 27. (59)
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A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o em
torno do eixo y
A´rea de Superf´ıcies
de Revoluc¸a˜o para
Curvas
Parametrizadas
Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o em Torno do
Eixo x
Se a func¸a˜o f (x) ≥ 0 e´ continuamente deriva´vel em [a, b], a a´rea da
superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da curva y = f (x) em torno do eixo
x e´
S =
∫ b
a
2piy
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx (60)
=
∫ b
a
2pif (x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx (61)
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Revoluc¸a˜o
A´reas de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o em
torno do eixo y
A´rea de Superf´ıcies
de Revoluc¸a˜o para
Curvas
Parametrizadas
Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
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A´reas de
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Revoluc¸a˜o em
torno do eixo y
A´rea de Superf´ıcies
de Revoluc¸a˜o para
Curvas
Parametrizadas
Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Exemplo: a a´rea de superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o em torno do eixo
x , da curva y = 2
√
x , 1 ≤ x ≤ 2:
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torno do eixo y
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Curvas
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Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I A derivada de y em relac¸a˜o a x e´
dy
dx
=
1√
x
. (62)
I Assim, √
1 +
(
dy
dx
)2
=
√
1 +
1
x
(63)
=
√
x + 1
x
(64)
=
√
x + 1√
x
. (65)
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Curvas
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Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I A a´rea da superf´ıcie e´:
S =
∫ 2
1
2pi 2
√
x
√
x + 1√
x
dx (66)
= 4pi
∫ 2
1
√
x + 1 dx . (67)
Usando a substituic¸a˜o u = x + 1, com du = dx , temos que a
integrac¸a˜o vai desde u = 2 ate´ u = 3. Assim,
S = 4piu
1
2 du = 4pi
[
u
3
2
3
2
]3
2
(68)
= 4pi
2
3
(
3
3
2 − 2 32
)
=
8pi
3
(
3
√
3− 2
√
2
)
. (69)
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Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
A´reas de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o em Torno do
Eixo y
Se x = f (y) ≥ 0 e´ continuamente deriva´vel em [c , d ], a a´rea da
superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da curva x = g(y) em torno do eixo
y e´
S =
∫ d
c
2pix
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy (70)
=
∫ d
c
2pig(y)
√
1 + [g ′(y)]2 dy (71)
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Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Exemplo: A a´rea da superf´ıcie lateral do cone formado pela rotac¸a˜o
do segmento de reta x = 1− y , 0 ≤ y ≤ 1 em torno do eixo y :
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Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I A derivada de x em relac¸a˜o a y e´
dx
dy
= −1. (72)
I Assim, √
1 +
(
dx
dy
)2
=
√
1 + 1 =
√
2 (73)
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torno do eixo y
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Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
A a´rea da superf´ıcie e´:
S =
∫ 1
0
2pi 2 (1− y)
√
2 dy (74)
= 2
√
2pi∫ 2
1
(1− y) dy = 2
√
2pi
[
y − y
2
2
]1
0
(75)
= 2
√
2pi
(
1− 1
2
)
=
√
2pi. (76)
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Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
A´rea de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o para Curvas
Parametrizadas
Se a curva lisa x = f (y) e y = g(t), a ≤ t ≤ b, e´ percorrida
exatamente uma vez quando t aumenta de a para b, enta˜o a a´rea
das superf´ıcies geradas pela rotac¸a˜o da curva em torno dos eixos de
coordenadas e´ calculada como se segue:
1. Rotac¸a˜o em torno do eixo x (y ≥ 0):
S =
∫ b
a
2pi y
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt (77)
2. Rotac¸a˜o em torno do eixo y (x ≥ 0):
S =
∫ b
a
2pi x
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt (78)
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Parametrizadas
Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Exemplo: Usando a parametrizac¸a˜o do c´ırculo de raio 1 e centrado
no ponto (0, 1), dada por x = cos t e y = 1 + sen t com
0 ≤ t ≤ 2pi, para determinar a a´rea da superf´ıcie gerada pela
rotac¸a˜o do c´ırculo ao redor do eixo x .
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torno do eixo y
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Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
A a´rea da superf´ıcie e´
I
S =
∫ 2pi
0
2pi (1 + sen t)
√
(− sen t)2 + (cos t)2) dt (79)
= 2pi
∫ 2pi
0
(1 + sen t) dt (80)
= 2pi [t − cos t]2pi0 (81)
= 4pi2. (82)
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torno do eixo y
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de Revoluc¸a˜o para
Curvas
Parametrizadas
Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Forma Diferencial para a A´rea de Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
A forma diferencial para a a´rea de superf´ıcies de revoluc¸a˜o e´
S =
∫
2pi ρ ds = 2pi
∫
ρ ds. (83)
onde ρ e´ o raio (x ou y) e
ds =
√
(dx)2 + (dy)2. (84)
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torno do eixo y
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Curvas
Parametrizadas
Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
Exemplo: A a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da curva y = x3,
0 ≤ x ≤ 12 em torno do eixo x e´ dada por
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torno do eixo y
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Forma Diferencial
para a A´rea de
Superf´ıcies de
Revoluc¸a˜o
I O elemento de linha ds e´ dado por
ds =
√
(dx)2 + (dy)2 =
√
(dx)2 + (3x2 dx)2 (85)
=
√
(1 + 9 x4) (dx)2 =
√
1 + 9 x4 dx (86)
I A a´rea da superf´ıcie e´
S = 2pi
∫
ρ ds = 2pi
∫
y
√
(dx)2 + (dy)2 (87)
= 2pi
∫ 1
2
0
x3
√
1 + 9 x4 dx . (88)
I Usando a substituic¸a˜o u = 1 + 9 x4 e du = 36 x3 dx , e
integrando desde u(x = 0) = 1 + 9 x4 ate´ u(x = 1/2) = 25/16,
temos
S =
2pi
36
∫ 25/16
0
u
1
2 du =
pi
8
2
3
[
u
3
2
] 25
16
0
(89)
=
pi
27
(
25
16
) 3
2
=
61pi
1728
. (90)
	Volumes por fatiamento e rotação em torno de um eixo
	Sólidos de Revolução: o método do disco
	Sólidos de Revolução: o método do anel
	Comprimento de Curvas Planas
	Comprimento de uma curva f(x)
	Áreas de Superfícies de Revolução
	Áreas de Superfícies de Revolução em torno do eixo y
	Área de Superfícies de Revolução para Curvas Parametrizadas
	Forma Diferencial para a Área de Superfícies de Revolução