Aula - Derivadas

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Ca´lculo I -
Derivadas
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Ca´lculo I - Derivadas
Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista
Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN
18 de fevereiro de 2010
Ca´lculo I -
Derivadas
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Limites Laterais
Uma func¸a˜o f (x) tera´ um limite quando x se aproximar de c se e
somente se tiver um limite lateral a` direita e um limite lateral a`
esquerda, e os dois limites laterais forem iguais:
lim
x→c f (x) = L
se e somente se
lim
x→c−
f (x) = lim
x→c+
f (x) = L
Ca´lculo I -
Derivadas
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Simone Batista
Limites Laterais
Uma func¸a˜o f (x) tera´ um limite quando x se aproximar de c se e
somente se tiver um limite lateral a` direita e um limite lateral a`
esquerda, e os dois limites laterais forem iguais:
lim
x→c f (x) = L
se e somente se
lim
x→c−
f (x) = lim
x→c+
f (x) = L
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Limites Laterais
Uma func¸a˜o f (x) tera´ um limite quando x se aproximar de c se e
somente se tiver um limite lateral a` direita e um limite lateral a`
esquerda, e os dois limites laterais forem iguais:
lim
x→c f (x) = L
se e somente se
lim
x→c−
f (x) = lim
x→c+
f (x) = L
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Limites Laterais
Uma func¸a˜o f (x) tera´ um limite quando x se aproximar de c se e
somente se tiver um limite lateral a` direita e um limite lateral a`
esquerda, e os dois limites laterais forem iguais:
lim
x→c f (x) = L
se e somente se
lim
x→c−
f (x) = lim
x→c+
f (x) = L
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Limites Laterais
Uma func¸a˜o f (x) tera´ um limite quando x se aproximar de c se e
somente se tiver um limite lateral a` direita e um limite lateral a`
esquerda, e os dois limites laterais forem iguais:
lim
x→c f (x) = L
se e somente se
lim
x→c−
f (x) = lim
x→c+
f (x) = L
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Exemplo: a func¸a˜o f (x) =
√
4− x2, cujo dom´ınio e´ [−2, 2], na˜o
tem limites bilaterais em x = ±2, pois
I na˜o tem limite pela esquerda em x = −2, apenas pela direita
lim
x→−2+
√
4− x2 = 0
I na˜o tem limite pela direita em x = 2, apenas pela esquerda
lim
x→2−
√
4− x2 = 0
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Exemplo: a func¸a˜o f (x) =
√
4− x2, cujo dom´ınio e´ [−2, 2], na˜o
tem limites bilaterais em x = ±2, pois
I na˜o tem limite pela esquerda em x = −2, apenas pela direita
lim
x→−2+
√
4− x2 = 0
I na˜o tem limite pela direita em x = 2, apenas pela esquerda
lim
x→2−
√
4− x2 = 0
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Exemplo: a func¸a˜o f (x) =
√
4− x2, cujo dom´ınio e´ [−2, 2], na˜o
tem limites bilaterais em x = ±2, pois
I na˜o tem limite pela esquerda em x = −2, apenas pela direita
lim
x→−2+
√
4− x2 = 0
I na˜o tem limite pela direita em x = 2, apenas pela esquerda
lim
x→2−
√
4− x2 = 0
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Exemplo: a func¸a˜o f (x) =
√
4− x2, cujo dom´ınio e´ [−2, 2], na˜o
tem limites bilaterais em x = ±2, pois
I na˜o tem limite pela esquerda em x = −2, apenas pela direita
lim
x→−2+
√
4− x2 = 0
I na˜o tem limite pela direita em x = 2, apenas pela esquerda
lim
x→2−
√
4− x2 = 0
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Exemplo: a func¸a˜o f (x) =
√
4− x2, cujo dom´ınio e´ [−2, 2], na˜o
tem limites bilaterais em x = ±2, pois
I na˜o tem limite pela esquerda em x = −2, apenas pela direita
lim
x→−2+
√
4− x2 = 0
I na˜o tem limite pela direita em x = 2, apenas pela esquerda
lim
x→2−
√
4− x2 = 0
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Exemplo: a func¸a˜o f (x) =
√
4− x2, cujo dom´ınio e´ [−2, 2], na˜o
tem limites bilaterais em x = ±2, pois
I na˜o tem limite pela esquerda em x = −2, apenas pela direita
lim
x→−2+
√
4− x2 = 0
I na˜o tem limite pela direita em x = 2, apenas pela esquerda
lim
x→2−
√
4− x2 = 0
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Alguns Limites
I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ
= −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0)
= 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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Alguns Limites
I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1)
=
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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Alguns Limites
I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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Alguns Limites
I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0
= 5
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Alguns Limites
I Limites envolvendo sen θθ :
a) limh→0
(
cos h−1
h
)
= lim
h→0
(
−2 sen
2(h/2)
h
)
= − lim
h→0
(
sen θ
θ
)
sen θ = −1(0) = 0
b) limx→0 sen 2x5x
= lim
x→0
2
5
sen 2x
2x
=
2
5
(1) =
2
5
I Limites finitos quando x → ±∞.
a) limx→∞
(
5 + 1x
)
= lim
x→∞ 5 + limx→∞
1
x
= 5 + 0 = 5
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
a) limx→∞
(
5x2+8x−3
3x2+2
)
= lim
h→∞
(
5 + 8x − 3x2
3 + 2x
)
=
5 + 0 + 0
3 + 0
=
5
3
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
a) limx→∞
(
5x2+8x−3
3x2+2
)
= lim
h→∞
(
5 + 8x − 3x2
3 + 2x
)
=
5 + 0 + 0
3 + 0
=
5
3
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
a) limx→∞
(
5x2+8x−3
3x2+2
)
= lim
h→∞
(
5 + 8x − 3x2
3 + 2x
)
=
5 + 0 + 0
3 + 0
=
5
3
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
a) limx→∞
(
5x2+8x−3
3x2+2
)
= lim
h→∞
(
5 + 8x − 3x2
3 + 2x
)
=
5 + 0 + 0
3 + 0
=
5
3
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(
5x2+8x−3
3x2+2
)
= lim
h→∞
(
5 + 8x − 3x2
3 + 2x
)
=
5 + 0 + 0
3 + 0
=
5
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
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(
5x2+8x−3
3x2+2
)
= lim
h→∞
(
5 + 8x − 3x2
3 + 2x
)
=
5 + 0 + 0
3 + 0
=
5
3
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
b) limx→∞
(
11x+2
2x3−1
)
= lim
h→∞
(
11
x2 +
2
x3
2− 1x3
)
=
0 + 0
2− 0 = 0
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
b) limx→∞
(
11x+2
2x3−1
)
= lim
h→∞
(
11
x2 +
2
x3
2− 1x3
)
=
0 + 0
2− 0 = 0
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b) limx→∞
(
11x+2
2x3−1
)
= lim
h→∞
(
11
x2 +
2
x3
2− 1x3
)
=
0 + 0
2− 0 = 0
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b) limx→∞
(
11x+2
2x3−1
)
= lim
h→∞
(
11
x2 +
2
x3
2− 1x3
)
=
0 + 0
2− 0
= 0
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
b) limx→∞
(
11x+2
2x3−1
)
= lim
h→∞
(
11
x2 +
2
x3
2− 1x3
)
=
0 + 0
2− 0 = 0
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
b) limx→∞
(
11x+2
2x3−1
)
= lim
h→∞
(
11
x2 +
2
x3
2− 1x3
)
=
0 + 0
2− 0 = 0
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
c) limx→∞ sen 1x
= lim
t→0+
sen t = 0, t =
1
x
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
c) limx→∞ sen 1x
= lim
t→0+
sen t = 0, t =
1
x
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c) limx→∞ sen 1x
= lim
t→0+
sen t
= 0, t =
1
x
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c) limx→∞ sen 1x
= lim
t→0+
sen t = 0,
t =
1
x
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c) limx→∞ sen 1x
= lim
t→0+
sen t = 0, t =
1
x
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c) limx→∞ sen 1x
= lim
t→0+
sen t = 0, t =
1
x
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
d) limx→0− e
1
x
= lim
t→−∞ e
t = 0, t =
1
x
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I Limites no infinito de func¸o˜es racionais
d) limx→0− e
1
x
= lim
t→−∞ e
t = 0, t =
1
x
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d) limx→0− e
1
x
= lim
t→−∞ e
t
= 0, t =
1
x
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d) limx→0− e
1
x
= lim
t→−∞ e
t = 0,
t =
1
x
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d) limx→0− e
1
x
= lim
t→−∞ e
t = 0, t =
1
x
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d) limx→0− e
1
x
= lim
t→−∞ e
t = 0, t =
1
x
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I Limites infinitos
a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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I Limites infinitos
a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2)
= lim
x→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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I Limites infinitos
a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2)
= lim
x→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2)
= −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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I Limites infinitos
a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b)limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2)
=∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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I Limites infinitos
a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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I Limites infinitos
a) limx→2
(x−2)2
x2−4
= lim
x→2
(x − 2)(x − 2)
(x − 2)(x + 2) = limx→2
x − 2
x + 2
=
0
4
= 0
b) limx→2 x−2x2−4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2) = limx→2
1
x + 2
=
1
4
c) limx→2+ x−3x2−4
= lim
x→2+
x − 3
(x − 2)(x + 2) = −∞
d) limx→2− x−3x2−4
= lim
x→2−
x − 3
(x − 2)(x + 2) =∞
d) limx→2 x−3x2−4 na˜o existe.
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Ilustrando a continuidade de uma func¸a˜o
Consideremos a func¸a˜o descrita na fugura abaixo.
I f e´ cont´ınua em todos os pontos do dom´ınio [0, 4], exceto em
x = 1, x = 2 e x = 4.
I f e´ cont´ınua em x = 0, onde limx→0+ f (x) = f (0).
I f e´ cont´ınua em x = 3, onde limx→3 f (x) = f (3).
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Ilustrando a continuidade de uma func¸a˜o
Consideremos a func¸a˜o descrita na fugura abaixo.
I f e´ cont´ınua em todos os pontos do dom´ınio [0, 4], exceto em
x = 1, x = 2 e x = 4.
I f e´ cont´ınua em x = 0, onde limx→0+ f (x) = f (0).
I f e´ cont´ınua em x = 3, onde limx→3 f (x) = f (3).
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Ilustrando a continuidade de uma func¸a˜o
Consideremos a func¸a˜o descrita na fugura abaixo.
I f e´ cont´ınua em todos os pontos do dom´ınio [0, 4], exceto em
x = 1, x = 2 e x = 4.
I f e´ cont´ınua em x = 0, onde limx→0+ f (x) = f (0).
I f e´ cont´ınua em x = 3, onde limx→3 f (x) = f (3).
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Ilustrando a continuidade de uma func¸a˜o
Consideremos a func¸a˜o descrita na fugura abaixo.
I f e´ cont´ınua em todos os pontos do dom´ınio [0, 4], exceto em
x = 1, x = 2 e x = 4.
I f e´ cont´ınua em x = 0, onde limx→0+ f (x) = f (0).
I f e´ cont´ınua em x = 3, onde limx→3 f (x) = f (3).
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Ilustrando a continuidade de uma func¸a˜o
Consideremos a func¸a˜o descrita na fugura abaixo.
I f e´ cont´ınua em todos os pontos do dom´ınio [0, 4], exceto em
x = 1, x = 2 e x = 4.
I f e´ cont´ınua em x = 0, onde limx→0+ f (x) = f (0).
I f e´ cont´ınua em x = 3, onde limx→3 f (x) = f (3).
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Ilustrando a continuidade de uma func¸a˜o
Consideremos a func¸a˜o descrita na fugura abaixo.
I f e´ cont´ınua em todos os pontos do dom´ınio [0, 4], exceto em
x = 1, x = 2 e x = 4.
I f e´ cont´ınua em x = 0, onde limx→0+ f (x) = f (0).
I f e´ cont´ınua em x = 3, onde limx→3 f (x) = f (3).
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I para 0 < c < 4, c 6= 1, 2, temos que limx→c f (x) = f (c).
I f e´ descont´ınua em x = 1, onde na˜o existe limx→1 f (x).
I f e´ descont´ınua em x = 2, onde limx→2 f (x) = 1, mas
f (2) 6= 1.
I f e´ descont´ınua em x = 4, onde limx→4− f (x) = 1, mas
f (4) 6= 1.
I c < 0 e c > 4 na˜o esta˜o no dom´ınio de f .
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I para 0 < c < 4, c 6= 1, 2, temos que limx→c f (x) = f (c).
I f e´ descont´ınua em x = 1, onde na˜o existe limx→1 f (x).
I f e´ descont´ınua em x = 2, onde limx→2 f (x) = 1, mas
f (2) 6= 1.
I f e´ descont´ınua em x = 4, onde limx→4− f (x) = 1, mas
f (4) 6= 1.
I c < 0 e c > 4 na˜o esta˜o no dom´ınio de f .
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I para 0 < c < 4, c 6= 1, 2, temos que limx→c f (x) = f (c).
I f e´ descont´ınua em x = 1, onde na˜o existe limx→1 f (x).
I f e´ descont´ınua em x = 2, onde limx→2 f (x) = 1, mas
f (2) 6= 1.
I f e´ descont´ınua em x = 4, onde limx→4− f (x) = 1, mas
f (4) 6= 1.
I c < 0 e c > 4 na˜o esta˜o no dom´ınio de f .
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I para 0 < c < 4, c 6= 1, 2, temos que limx→c f (x) = f (c).
I f e´ descont´ınua em x = 1, onde na˜o existe limx→1 f (x).
I f e´ descont´ınua em x = 2, onde limx→2 f (x) = 1, mas
f (2) 6= 1.
I f e´ descont´ınua em x = 4, onde limx→4− f (x) = 1, mas
f (4) 6= 1.
I c < 0 e c > 4 na˜o esta˜o no dom´ınio de f .
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I para 0 < c < 4, c 6= 1, 2, temos que limx→c f (x) = f (c).
I f e´ descont´ınua em x = 1, onde na˜o existe limx→1 f (x).
I f e´ descont´ınua em x = 2, onde limx→2 f (x) = 1, mas
f (2) 6= 1.
I f e´ descont´ınua em x = 4, onde limx→4− f (x) = 1, mas
f (4) 6= 1.
I c < 0 e c > 4 na˜o esta˜o no dom´ınio de f .
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Continuidade de pontos interiores e extremos
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua em um ponto interior c de
seu dom´ınio quando
lim
x→c f (x) = f (c).
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua na extremidade esquerda a
ou e´ cont´ınua na extremidade direita b de seu dom´ınio quando
lim
x→a+
f (x) = f (a)
ou
lim
x→b−
f (x) = f (b)
respectivamente.
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Continuidade de pontos interiores e extremos
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua em um ponto interior c de
seu dom´ınio quando
lim
x→c f (x) = f (c).
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua na extremidade esquerda a
ou e´ cont´ınua na extremidade direita b de seu dom´ınio quando
lim
x→a+
f (x) = f (a)
ou
lim
x→b−
f (x) = f (b)
respectivamente.
Ca´lculo I -
Derivadas
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Continuidade de pontos interiores e extremos
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua em um ponto interior c de
seu dom´ınio quando
lim
x→c f (x) = f (c).
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua na extremidade esquerda a
ou e´ cont´ınua na extremidade direita b de seu dom´ınio quando
lim
x→a+
f (x) = f (a)
ou
lim
x→b−
f (x) = f (b)
respectivamente.
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Continuidade de pontos interiores e extremos
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua em um ponto interior c de
seu dom´ınio quando
lim
x→c f (x) = f (c).
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua na extremidade esquerda a
ou e´ cont´ınua na extremidade direita b de seu dom´ınio quando
lim
x→a+
f (x) = f (a)
ou
lim
x→b−
f (x) = f (b)
respectivamente.
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Continuidade de pontos interiores e extremos
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua em um ponto interior c de
seu dom´ınio quando
lim
x→c f (x) = f (c).
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua na extremidade esquerda a
ou e´ cont´ınua na extremidade direita b de seu dom´ınio quando
lim
x→a+
f (x) = f (a)
ou
lim
x→b−
f (x) = f (b)
respectivamente.
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Continuidadede pontos interiores e extremos
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua em um ponto interior c de
seu dom´ınio quando
lim
x→c f (x) = f (c).
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua na extremidade esquerda a
ou e´ cont´ınua na extremidade direita b de seu dom´ınio quando
lim
x→a+
f (x) = f (a)
ou
lim
x→b−
f (x) = f (b)
respectivamente.
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Continuidade de pontos interiores e extremos
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua em um ponto interior c de
seu dom´ınio quando
lim
x→c f (x) = f (c).
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua na extremidade esquerda a
ou e´ cont´ınua na extremidade direita b de seu dom´ınio quando
lim
x→a+
f (x) = f (a)
ou
lim
x→b−
f (x) = f (b)
respectivamente.
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Continuidade de pontos interiores e extremos
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua em um ponto interior c de
seu dom´ınio quando
lim
x→c f (x) = f (c).
I Uma func¸a˜o y = f (x) e´ cont´ınua na extremidade esquerda a
ou e´ cont´ınua na extremidade direita b de seu dom´ınio quando
lim
x→a+
f (x) = f (a)
ou
lim
x→b−
f (x) = f (b)
respectivamente.
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Temos enta˜o que,
I Se f na˜o e´ cont´ınua em c , ela e´ descont´ınua em c , que e´
chamado ponto de descontinuidade.
I f e´ cont´ınua a` direita em c se
lim
x→c+
f (x) = f (c).
I f e´ cont´ınua a` esquerda em c se
lim
x→c−
f (x) = f (c)
I f e´ cont´ınua em c interior se e somente se for cont´ınua a`
direita e a` esquerda de c.
I f e´ cont´ınua em uma extremidade esquerda a de seu dom´ınio
se for cont´ınua a` direita de a e vice-versa.
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Temos enta˜o que,
I Se f na˜o e´ cont´ınua em c , ela e´ descont´ınua em c , que e´
chamado ponto de descontinuidade.
I f e´ cont´ınua a` direita em c se
lim
x→c+
f (x) = f (c).
I f e´ cont´ınua a` esquerda em c se
lim
x→c−
f (x) = f (c)
I f e´ cont´ınua em c interior se e somente se for cont´ınua a`
direita e a` esquerda de c.
I f e´ cont´ınua em uma extremidade esquerda a de seu dom´ınio
se for cont´ınua a` direita de a e vice-versa.
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Temos enta˜o que,
I Se f na˜o e´ cont´ınua em c , ela e´ descont´ınua em c , que e´
chamado ponto de descontinuidade.
I f e´ cont´ınua a` direita em c se
lim
x→c+
f (x) = f (c).
I f e´ cont´ınua a` esquerda em c se
lim
x→c−
f (x) = f (c)
I f e´ cont´ınua em c interior se e somente se for cont´ınua a`
direita e a` esquerda de c.
I f e´ cont´ınua em uma extremidade esquerda a de seu dom´ınio
se for cont´ınua a` direita de a e vice-versa.
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Temos enta˜o que,
I Se f na˜o e´ cont´ınua em c , ela e´ descont´ınua em c , que e´
chamado ponto de descontinuidade.
I f e´ cont´ınua a` direita em c se
lim
x→c+
f (x) = f (c).
I f e´ cont´ınua a` esquerda em c se
lim
x→c−
f (x) = f (c)
I f e´ cont´ınua em c interior se e somente se for cont´ınua a`
direita e a` esquerda de c.
I f e´ cont´ınua em uma extremidade esquerda a de seu dom´ınio
se for cont´ınua a` direita de a e vice-versa.
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Temos enta˜o que,
I Se f na˜o e´ cont´ınua em c , ela e´ descont´ınua em c , que e´
chamado ponto de descontinuidade.
I f e´ cont´ınua a` direita em c se
lim
x→c+
f (x) = f (c).
I f e´ cont´ınua a` esquerda em c se
lim
x→c−
f (x) = f (c)
I f e´ cont´ınua em c interior se e somente se for cont´ınua a`
direita e a` esquerda de c.
I f e´ cont´ınua em uma extremidade esquerda a de seu dom´ınio
se for cont´ınua a` direita de a e vice-versa.
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Temos enta˜o que,
I Se f na˜o e´ cont´ınua em c , ela e´ descont´ınua em c , que e´
chamado ponto de descontinuidade.
I f e´ cont´ınua a` direita em c se
lim
x→c+
f (x) = f (c).
I f e´ cont´ınua a` esquerda em c se
lim
x→c−
f (x) = f (c)
I f e´ cont´ınua em c interior se e somente se for cont´ınua a`
direita e a` esquerda de c.
I f e´ cont´ınua em uma extremidade esquerda a de seu dom´ınio
se for cont´ınua a` direita de a e vice-versa.
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Temos enta˜o que,
I Se f na˜o e´ cont´ınua em c , ela e´ descont´ınua em c , que e´
chamado ponto de descontinuidade.
I f e´ cont´ınua a` direita em c se
lim
x→c+
f (x) = f (c).
I f e´ cont´ınua a` esquerda em c se
lim
x→c−
f (x) = f (c)
I f e´ cont´ınua em c interior se e somente se for cont´ınua a`
direita e a` esquerda de c .
I f e´ cont´ınua em uma extremidade esquerda a de seu dom´ınio
se for cont´ınua a` direita de a e vice-versa.
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Temos enta˜o que,
I Se f na˜o e´ cont´ınua em c , ela e´ descont´ınua em c , que e´
chamado ponto de descontinuidade.
I f e´ cont´ınua a` direita em c se
lim
x→c+
f (x) = f (c).
I f e´ cont´ınua a` esquerda em c se
lim
x→c−
f (x) = f (c)
I f e´ cont´ınua em c interior se e somente se for cont´ınua a`
direita e a` esquerda de c .
I f e´ cont´ınua em uma extremidade esquerda a de seu dom´ınio
se for cont´ınua a` direita de a e vice-versa.
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Exerc´ıcios
1. Estude a continuidade da func¸a˜o f (x) =
√
4− x2 com dom´ınio
[−2, 2].
2. Em que pontos a func¸a˜o salto unita´rio U(x), dada na figura
abaixo, e´ cont´ınua?
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Exerc´ıcios
1. Estude a continuidade da func¸a˜o f (x) =
√
4− x2 com dom´ınio
[−2, 2].
2. Em que pontos a func¸a˜o salto unita´rio U(x), dada na figura
abaixo, e´ cont´ınua?
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Exerc´ıcios
1. Estude a continuidade da func¸a˜o f (x) =
√
4− x2 com dom´ınio
[−2, 2].
2. Em que pontos a func¸a˜o salto unita´rio U(x), dada na figura
abaixo, e´ cont´ınua?
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Exerc´ıcios
1. Estude a continuidade da func¸a˜o f (x) =
√
4− x2 com dom´ınio
[−2, 2].
2. Em que pontos a func¸a˜o salto unita´rio U(x), dada na figura
abaixo, e´ cont´ınua?
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Exerc´ıcios
1. Estude a continuidade da func¸a˜o f (x) =
√
4− x2 com dom´ınio
[−2, 2].
2. Em que pontos a func¸a˜o salto unita´rio U(x), dada na figura
abaixo, e´ cont´ınua?
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Teste de Continuidade
Uma func¸a˜o f (x) sera´ cont´ınua em x = c se e somente se ela
obedecer a`s treˆs condic¸o˜es:
1. f (c) existe → c esta´ no dom´ınio de f .
2. limx→c f (x) existe → f tem um limite quando x → c .
3. limx→c f (x) = f (c) → o limite e´ igual ao valor da func¸a˜o.
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Teste de Continuidade
Uma func¸a˜o f (x) sera´ cont´ınua em x = c se e somente se ela
obedecer a`s treˆs condic¸o˜es:
1. f (c) existe → c esta´ no dom´ınio de f .
2. limx→c f (x) existe → f tem um limite quando x → c .
3. limx→c f (x) = f (c) → o limite e´ igual ao valor da func¸a˜o.
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Teste de Continuidade
Uma func¸a˜o f (x) sera´ cont´ınua em x = c se e somente se ela
obedecer a`s treˆs condic¸o˜es:
1. f (c) existe → c esta´ no dom´ınio de f .
2. limx→c f (x) existe → f tem um limite quando x → c .
3. limx→c f (x) = f (c) → o limite e´ igual ao valor da func¸a˜o.
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Teste de Continuidade
Uma func¸a˜o f (x) sera´ cont´ınua em x = c se e somente se ela
obedecer a`s treˆs condic¸o˜es:
1. f (c) existe → c esta´ no dom´ınio de f .
2. limx→c f (x) existe → f tem um limite quando x → c .
3. limx→c f (x) = f (c) → o limite e´ igual ao valor da func¸a˜o.
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Teste de Continuidade
Uma func¸a˜o f (x) sera´ cont´ınua em x = c se e somente se ela
obedecer a`s treˆs condic¸o˜es:
1. f (c) existe → c esta´ no dom´ınio de f .
2. limx→c f (x) existe → f tem um limite quando x → c .
3. limx→c f (x) = f (c) → o limite e´ igual ao valor da func¸a˜o.
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Exemplo: a func¸a˜o maior inteiro contido y = int x
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Exemplo: a func¸a˜o maior inteiro contido y = int x
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I e´ descont´ınua em todo inteiro porque na˜o existe limite em
qualquer inteiro n:
lim
x→n−
int x = n − 1 6= lim
x→n+
int x = n
I quando int x = n existe apenas continuidade a` direita
I f e´ cont´ınua em cada nu´mero c na˜o inteiro, pois
lim
x→c int x = n − 1 = int c
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I e´ descont´ınua em todo inteiro porque na˜o existe limite em
qualquer inteiro n:
lim
x→n−
int x = n − 1 6= lim
x→n+
int x = n
I quando int x = n existe apenas continuidade a` direita
I f e´ cont´ınua em cada nu´mero c na˜o inteiro, pois
lim
x→c int x = n − 1 = int c
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I e´ descont´ınua em todo inteiro porque na˜o existe limite em
qualquer inteiro n:
lim
x→n−
int x = n − 1 6= lim
x→n+
int x = n
I quando int x = n existe apenas continuidade a` direita
I f e´ cont´ınua em cada nu´mero c na˜o inteiro, pois
lim
x→c int x = n − 1 = int c
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I e´ descont´ınua em todo inteiro porque na˜o existe limite em
qualquer inteiro n:
lim
x→n−
int x = n − 1 6= lim
x→n+
int x = n
I quando int x = n existe apenas continuidade a` direita
I f e´ cont´ınua em cada nu´mero c na˜o inteiro, pois
lim
x→c int x = n − 1 = int c
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I e´ descont´ınua em todo inteiro porque na˜o existe limite em
qualquer inteiro n:
lim
x→n−
int x = n − 1 6= lim
x→n+
int x = n
I quando int x = n existe apenas continuidade a` direita
I f e´ cont´ınua em cada nu´mero c na˜o inteiro, pois
lim
x→c int x = n − 1 = int c
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I e´ descont´ınua em todo inteiro porque na˜o existe limite em
qualquer inteiro n:
lim
x→n−
int x = n − 1 6= lim
x→n+
int x = n
I quando int x = n existe apenas continuidade a` direita
I f e´ cont´ınua em cada nu´mero c na˜o inteiro, pois
lim
x→c int x = n − 1 = int c
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Func¸o˜es Cont´ınuas
I Uma func¸a˜o e´ cont´ınua em um intervalo se e somente se for
cont´ınua em cada ponto do intervalo.
I Uma func¸a˜o e´ cont´ınua se for cont´ınua em cada ponto de seu
dom´ınio.
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Func¸o˜es Cont´ınuas
I Uma func¸a˜o e´ cont´ınua em um intervalo se e somente se for
cont´ınua em cada ponto do intervalo.
I Uma func¸a˜o e´ cont´ınua se for cont´ınua em cada ponto de seu
dom´ınio.
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Func¸o˜es Cont´ınuas
I Uma func¸a˜o e´ cont´ınua em um intervalo se e somente se for
cont´ınua em cada ponto do intervalo.
I Uma func¸a˜o e´ cont´ınua se for cont´ınua em cada ponto de seu
dom´ınio.
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Propriedades das Func¸o˜es Cont´ınuas
Se as func¸o˜es f (x) e g(x) sa˜o cont´ınuas em x = c , enta˜o as
seguintes combinac¸o˜es sa˜o cont´ınuas:
1. Soma: f + g
2. Diferenc¸a: f − g .
3. Produto: fg .
4. Multiplicac¸a˜o por constante: kf , para qualquer k real.
5. Quocientes: fg , para g(c) 6= 0.
6. Potenciac¸o˜es: f
r
s , r e s inteiros.
7. Func¸a˜o composta: se f e´ cont´ınua em c e g e´ cont´ınua em
f (c), enta˜o a composta g ◦ f e´ cont´ınua em c .
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Propriedades das Func¸o˜es Cont´ınuas
Se as func¸o˜es f (x) e g(x) sa˜o cont´ınuas em x = c , enta˜o as
seguintes combinac¸o˜es sa˜o cont´ınuas:
1. Soma: f + g
2. Diferenc¸a: f − g .
3. Produto: fg .
4. Multiplicac¸a˜o por constante: kf , para qualquer k real.
5. Quocientes: fg , para g(c) 6= 0.
6. Potenciac¸o˜es: f
r
s , r e s inteiros.
7. Func¸a˜o composta: se f e´ cont´ınua em c e g e´ cont´ınua em
f (c), enta˜o a composta g ◦ f e´ cont´ınua em c .
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Propriedades das Func¸o˜es Cont´ınuas
Se as func¸o˜es f (x) e g(x) sa˜o cont´ınuas em x = c , enta˜o as
seguintes combinac¸o˜es sa˜o cont´ınuas:
1. Soma: f + g
2. Diferenc¸a: f − g .
3. Produto: fg .
4. Multiplicac¸a˜o por constante: kf , para qualquer k real.
5. Quocientes: fg , para g(c) 6= 0.
6. Potenciac¸o˜es: f
r
s , r e s inteiros.
7. Func¸a˜o composta: se f e´ cont´ınua em c e g e´ cont´ınua em
f (c), enta˜o a composta g ◦ f e´ cont´ınua em c .
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Propriedades das Func¸o˜es Cont´ınuas
Se as func¸o˜es f (x) e g(x) sa˜o cont´ınuas em x = c , enta˜o as
seguintes combinac¸o˜es sa˜o cont´ınuas:
1. Soma: f + g
2. Diferenc¸a: f − g .
3. Produto: fg .
4. Multiplicac¸a˜o por constante: kf , para qualquer k real.
5. Quocientes: fg , para g(c) 6= 0.
6. Potenciac¸o˜es: f
r
s , r e s inteiros.
7. Func¸a˜o composta: se f e´ cont´ınua em c e g e´ cont´ınua em
f (c), enta˜o a composta g ◦ f e´ cont´ınua em c .
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Propriedades das Func¸o˜es Cont´ınuas
Se as func¸o˜es f (x) e g(x) sa˜o cont´ınuas em x = c , enta˜o as
seguintes combinac¸o˜es sa˜o cont´ınuas:
1. Soma: f + g
2. Diferenc¸a: f − g .
3. Produto: fg .
4. Multiplicac¸a˜o por constante: kf , para qualquer k real.
5. Quocientes: fg , para g(c) 6= 0.
6. Potenciac¸o˜es: f
r
s , r e s inteiros.
7. Func¸a˜o composta: se f e´ cont´ınua em c e g e´ cont´ınua em
f (c), enta˜o a composta g ◦ f e´ cont´ınua em c .
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Se as func¸o˜es f (x) e g(x) sa˜o cont´ınuas em x = c , enta˜o as
seguintes combinac¸o˜es sa˜o cont´ınuas:
1. Soma: f + g
2. Diferenc¸a: f − g .
3. Produto: fg .
4. Multiplicac¸a˜o por constante: kf , para qualquer k real.
5. Quocientes: fg , para g(c) 6= 0.
6. Potenciac¸o˜es: f
r
s , r e s inteiros.
7. Func¸a˜o composta: se f e´ cont´ınua em c e g e´ cont´ınua em
f (c), enta˜o a composta g ◦ f e´ cont´ınua em c .
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Propriedades das Func¸o˜es Cont´ınuas
Se as func¸o˜es f (x) e g(x) sa˜o cont´ınuas em x = c , enta˜o as
seguintes combinac¸o˜es sa˜o cont´ınuas:
1. Soma: f + g
2. Diferenc¸a: f − g .
3. Produto: fg .
4. Multiplicac¸a˜o por constante: kf , para qualquer k real.
5. Quocientes: fg , para g(c) 6= 0.
6. Potenciac¸o˜es: f
r
s , r e s inteiros.
7. Func¸a˜o composta: se f e´ cont´ınua em c e g e´ cont´ınua em
f (c), enta˜o a composta g ◦ f e´ cont´ınua em c .
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Se as func¸o˜es f (x) e g(x) sa˜o cont´ınuas em x = c , enta˜o as
seguintes combinac¸o˜es sa˜o cont´ınuas:
1. Soma: f + g
2. Diferenc¸a: f − g .
3. Produto: fg .
4. Multiplicac¸a˜o por constante: kf , para qualquer k real.
5. Quocientes: fg , para g(c) 6= 0.
6. Potenciac¸o˜es: f
r
s , r e s inteiros.
7. Func¸a˜o composta: se f e´ cont´ınua em c e g e´ cont´ınua em
f (c), enta˜o a composta g ◦ f e´ cont´ınua em c .
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Se as func¸o˜es f (x) e g(x) sa˜o cont´ınuas em x = c , enta˜o as
seguintes combinac¸o˜es sa˜o cont´ınuas:
1. Soma: f + g
2. Diferenc¸a: f − g .
3. Produto: fg .
4. Multiplicac¸a˜o por constante: kf , para qualquer k real.
5. Quocientes: fg , para g(c) 6= 0.
6. Potenciac¸o˜es: f
r
s , r e s inteiros.
7. Func¸a˜o composta: se f e´ cont´ınua em c e g e´ cont´ınua em
f (c), enta˜o a composta g ◦ f e´ cont´ınua em c .
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Exerc´ıcios
Estude a continuidade das seguintes func¸o˜es:
1. f (x) = 1x
2. f (x) = |x |
3. f (x) =
√
x2 − 2x − 5
4. f (x) = x
2
3
1+x4
5. f (x) =
∣∣ x−2
x2−2
∣∣
6. f (x) =
∣∣ x sen x
x2+2
∣∣
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Derivadas
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Menezes e Profa.
Simone Batista
Exerc´ıcios
Estude a continuidade das seguintes func¸o˜es:
1. f (x) = 1x
2. f (x) = |x |
3. f (x) =
√
x2 − 2x − 5
4. f (x) = x
2
3
1+x4
5. f (x) =
∣∣ x−2
x2−2
∣∣
6. f (x) =
∣∣ x sen x
x2+2
∣∣
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Estude a continuidade das seguintes func¸o˜es:
1. f (x) = 1x
2. f (x) = |x |
3. f (x) =
√
x2 − 2x − 5
4. f (x) = x
2
3
1+x4
5. f (x) =
∣∣ x−2
x2−2
∣∣
6. f (x) =
∣∣ x sen x
x2+2
∣∣
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1. f (x) = 1x
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√
x2 − 2x − 5
4. f (x) = x
2
3
1+x4
5. f (x) =
∣∣ x−2
x2−2
∣∣
6. f (x) =
∣∣ x sen x
x2+2
∣∣
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4. f (x) = x
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∣∣ x−2
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∣∣ x sen x
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√
x2 − 2x − 5
4. f (x) = x
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∣∣ x−2
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∣∣ x sen x
x2+2
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1. f (x) = 1x
2. f (x) = |x |
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√
x2 − 2x − 5
4. f (x) = x
2
3
1+x4
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∣∣ x−2
x2−2
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1. f (x) = 1x
2. f (x) = |x |
3. f (x) =
√
x2 − 2x − 5
4. f (x) = x
2
3
1+x4
5. f (x) =
∣∣ x−2
x2−2
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6. f (x) =
∣∣ x sen x
x2+2
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Teorema do Valor Intermedia´rio para Func¸o˜es
Cont´ınuas
Uma func¸a˜o y = f (x) que e´ cont´ınua em um intervalo fechado
[a, b] assume cada valor entre f (a) e f (b). Em outras palavras, se
y0 for qualquer valor entre f (a) e f (b), enta˜o y0 = f (c) para algum
valor c em [a, b].
I Qualquer reta horizontal y = y0 cruzando o eixo y entre os
valores f (a) e f (b) cruzara´ a curva y = f (x) pelo menos uma
vez no intervalo [a, b].
I Se f for descont´ınua em um ponto de [a, b], o teorema pode
falhar.
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Teorema do Valor Intermedia´rio para Func¸o˜es
Cont´ınuas
Uma func¸a˜o y = f (x) que e´ cont´ınua em um intervalo fechado
[a, b] assume cada valor entre f (a) e f (b). Em outras palavras, se
y0 for qualquer valor entre f (a) e f (b), enta˜o y0 = f (c) para algum
valor c em [a, b].
I Qualquer reta horizontal y = y0 cruzando o eixo y entre os
valores f (a) e f (b) cruzara´ a curva y = f (x) pelo menos uma
vez no intervalo [a, b].
I Se f for descont´ınua em um ponto de [a, b], o teorema pode
falhar.
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Teorema do Valor Intermedia´rio para Func¸o˜es
Cont´ınuas
Uma func¸a˜o y = f (x) que e´ cont´ınua em um intervalo fechado
[a, b] assume cada valor entre f (a) e f (b). Em outras palavras, se
y0 for qualquer valor entre f (a) e f (b), enta˜o y0 = f (c) para algum
valor c em [a, b].
I Qualquer reta horizontal y = y0 cruzando o eixo y entre os
valores f (a) e f (b) cruzara´ a curva y = f (x) pelo menos uma
vez no intervalo [a, b].
I Se f for descont´ınua em um ponto de [a, b], o teorema pode
falhar.
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Teorema do Valor Intermedia´rio para Func¸o˜es
Cont´ınuas
Uma func¸a˜o y = f (x) que e´ cont´ınua em um intervalo fechado
[a, b] assume cada valor entre f (a) e f (b). Em outras palavras, se
y0 for qualquer valor entre f (a) e f (b), enta˜o y0 = f (c) para algum
valor c em [a, b].
I Qualquer reta horizontal y = y0 cruzando o eixo y entre os
valores f (a) e f (b) cruzara´ a curva y = f (x) pelo menos uma
vez no intervalo [a, b].
I Se f for descont´ınua em um ponto de [a, b], o teorema pode
falhar.
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Retas Tangentes
Passos para encontrar a reta tangente a uma curva:
1. Calculamos o coeficiente angular da secante PQ.
2. Encontramos o limite do coeficiente angular da curva quando
Q se aproxima de P ao longo da curva.
3. Se o limite existe, definimos a tangente a` curva em P como a
reta atrave´s de P com esse coeficiente angular.
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Retas Tangentes
Passos para encontrar a reta tangente a uma curva:
1. Calculamos o coeficiente angular da secante PQ.
2. Encontramos o limite do coeficiente angular da curva quando
Q se aproxima de P ao longo da curva.
3. Se o limite existe, definimos a tangente a` curva em P como a
reta atrave´s de P com esse coeficiente angular.
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Retas Tangentes
Passos para encontrar a reta tangente a uma curva:
1. Calculamos o coeficiente angular da secante PQ.
2. Encontramos o limite do coeficiente angular da curva quando
Q se aproxima de P ao longo da curva.
3. Se o limite existe, definimos a tangente a` curva em P como a
reta atrave´s de P com esse coeficiente angular.
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Retas Tangentes
Passos para encontrar a reta tangente a uma curva:
1. Calculamos o coeficiente angular da secante PQ.
2. Encontramos o limite do coeficiente angular da curva quando
Q se aproxima de P ao longo da curva.
3. Se o limite existe, definimos a tangente a` curva em P como a
reta atrave´s de P com esse coeficiente angular.
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Retas Tangentes
Passos para encontrar a reta tangente a uma curva:
1. Calculamos o coeficiente angular da secante PQ.
2. Encontramos o limite do coeficiente angular da curva quando
Q se aproxima de P ao longo da curva.
3. Se o limite existe, definimos a tangente a` curva em P como a
reta atrave´s de P com esse coeficiente angular.
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Retas Tangentes
Passos para encontrar a reta tangente a uma curva:
1. Calculamos o coeficiente angular da secante PQ.
2. Encontramos o limite do coeficiente angular da curva quando
Q se aproxima de P ao longo da curva.
3. Se o limite existe, definimos a tangente a` curva em P como a
reta atrave´s de P com esse coeficiente angular.
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Exemplo: o coeficiente angular da para´bola y = x2 no ponto
P(2, 4) e´
lim
h→0
∆y
∆x
= lim
h→0
(2 + h)2 − 22
2 + h − 2
= lim
h→0
h2 + 4h
h
= lim
h→0
(h + 4) = 4
e a equac¸a˜o para a reta tangente a` para´bola nesse ponto e´
y = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4.
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Exemplo: o coeficiente angular da para´bola y = x2 no ponto
P(2, 4) e´
lim
h→0
∆y
∆x
= lim
h→0
(2 + h)2 − 22
2 + h − 2
= lim
h→0
h2 + 4h
h
= lim
h→0
(h + 4) = 4
e a equac¸a˜o para a reta tangente a` para´bola nesse ponto e´
y = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4.
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Exemplo: o coeficiente angular da para´bola y = x2 no ponto
P(2, 4) e´
lim
h→0
∆y
∆x
= lim
h→0
(2 + h)2 − 22
2 + h − 2
= lim
h→0
h2 + 4h
h
= lim
h→0
(h + 4) = 4
e a equac¸a˜o para a reta tangente a` para´bola nesse ponto e´
y = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4.
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Exemplo: o coeficiente angular da para´bola y = x2 no ponto
P(2, 4) e´
lim
h→0
∆y
∆x
= lim
h→0
(2 + h)2 − 22
2 + h − 2
= lim
h→0
h2 + 4h
h
= lim
h→0
(h + 4) = 4
e a equac¸a˜o para a reta tangente a` para´bola nesse ponto e´
y = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4.
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Exemplo: o coeficiente angular da para´bola y = x2 no ponto
P(2, 4) e´
lim
h→0
∆y
∆x
= lim
h→0
(2 + h)2 − 22
2 + h − 2
= lim
h→0
h2 + 4h
h
= lim
h→0
(h + 4)
= 4
e a equac¸a˜o para a reta tangente a` para´bola nesse ponto e´
y = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4.
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Exemplo: o coeficiente angular da para´bola y = x2 no ponto
P(2, 4) e´
lim
h→0
∆y
∆x
= lim
h→0
(2 + h)2 − 22
2 + h − 2
= lim
h→0
h2 + 4h
h
= lim
h→0
(h + 4) = 4
e a equac¸a˜o para a reta tangente a` para´bola nesse ponto e´
y = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4.
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P(2, 4) e´
lim
h→0
∆y
∆x
= lim
h→0
(2 + h)2 − 22
2 + h − 2
= lim
h→0
h2 + 4h
h
= lim
h→0
(h + 4) = 4
e a equac¸a˜o para a reta tangente a` para´bola nesse ponto e´
y = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4.
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P(2, 4) e´
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h→0
∆y
∆x
= lim
h→0
(2 + h)2 − 22
2 + h − 2
= lim
h→0
h2 + 4h
h
= lim
h→0
(h + 4) = 4
e a equac¸a˜o para a reta tangente a` para´bola nesse ponto e´
y = 4 + 4(x − 2) = 4x − 4.
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Coeficiente Angular e Reta Tangente
I O coeficiente angular da curva y = f (x) em um ponto
P0(x0, f (x0)) e´ o nu´mero
m = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
desde que o limite existe.
I A reta tangente a` curva y = f (x) em P0 e´ a reta que passa por
P e tem esse coeficiente angular.
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I O coeficiente angular da curva y = f (x) em um ponto
P0(x0, f (x0)) e´ o nu´mero
m = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
desde que o limite existe.
I A reta tangente a` curva y = f (x) em P0 e´ a reta que passa por
P e tem esse coeficiente angular.
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I O coeficiente angular da curva y = f (x) em um ponto
P0(x0, f (x0)) e´ o nu´mero
m = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
desde que o limite existe.
I A reta tangente a` curva y = f (x) em P0 e´ a reta que passa por
P e tem esse coeficiente angular.
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Coeficiente Angular e Reta Tangente
I O coeficiente angular da curva y = f (x) em um ponto
P0(x0, f (x0)) e´ o nu´mero
m = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
desde que o limite existe.
I A reta tangente a` curva y = f (x) em P0 e´ a reta que passa por
P e tem esse coeficiente angular.
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I O coeficiente angular da curva y = f (x) em um ponto
P0(x0, f (x0)) e´ o nu´mero
m = lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
desde que o limite existe.
I A reta tangente a` curva y = f (x) em P0 e´ a reta que passa por
P e tem esse coeficiente angular.
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Para achar a tangente a` curva y = f (x) em (x0, y0):
1. Calcular f (x0) e f (x0 + h).
2. Calcular o coeficiente angular m = limh→0
f (x0+h)−f (x0)
h .
3. Se o limite existe, enta˜o determine a reta tangente como
y = y0 + m(x − x0).
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Para achar a tangente a` curva y = f (x) em (x0, y0):
1. Calcular f (x0) e f (x0 + h).
2. Calcular o coeficiente angular m = limh→0
f (x0+h)−f (x0)
h .
3. Se o limite existe, enta˜o determine a reta tangente como
y = y0 + m(x − x0).
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Para achar a tangente a` curva y = f (x) em (x0, y0):
1. Calcular f (x0) e f (x0 + h).
2. Calcular o coeficiente angular m = limh→0
f (x0+h)−f (x0)
h .
3. Se o limite existe, enta˜o determine a reta tangente como
y = y0 + m(x − x0).
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Para achar a tangente a` curva y = f (x) em (x0, y0):
1. Calcular f (x0) e f (x0 + h).
2. Calcular o coeficiente angular m = limh→0
f (x0+h)−f (x0)
h .
3. Se o limite existe, enta˜o determine a reta tangente como
y = y0 + m(x − x0).
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Taxa de Variac¸a˜o: Derivada em um ponto
A expressa˜o
f (x0 + h)− f (x0)
h
e´ a raza˜o incremental ou diferenc¸as dividida de f em x0 com
incremento h.
I Se ha´ um limite desta expressa˜o quando h→ 0, esselimite e´
chamado derivada de f em x0:
lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
I Como a raza˜o incremental e´ o coeficiente angular da secante, a
derivada e´ o coeficiente angular da tangente a` curva no ponto
x = x0.
I Se a raza˜o incremental e´ vista como a taxa me´dia de variac¸a˜o,
a derivada e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em relac¸a˜o a
x no ponto x = x0.
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Taxa de Variac¸a˜o: Derivada em um ponto
A expressa˜o
f (x0 + h)− f (x0)
h
e´ a raza˜o incremental ou diferenc¸as dividida de f em x0 com
incremento h.
I Se ha´ um limite desta expressa˜o quando h→ 0, esse limite e´
chamado derivada de f em x0:
lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
I Como a raza˜o incremental e´ o coeficiente angular da secante, a
derivada e´ o coeficiente angular da tangente a` curva no ponto
x = x0.
I Se a raza˜o incremental e´ vista como a taxa me´dia de variac¸a˜o,
a derivada e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em relac¸a˜o a
x no ponto x = x0.
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Taxa de Variac¸a˜o: Derivada em um ponto
A expressa˜o
f (x0 + h)− f (x0)
h
e´ a raza˜o incremental ou diferenc¸as dividida de f em x0 com
incremento h.
I Se ha´ um limite desta expressa˜o quando h→ 0, esse limite e´
chamado derivada de f em x0:
lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
I Como a raza˜o incremental e´ o coeficiente angular da secante, a
derivada e´ o coeficiente angular da tangente a` curva no ponto
x = x0.
I Se a raza˜o incremental e´ vista como a taxa me´dia de variac¸a˜o,
a derivada e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em relac¸a˜o a
x no ponto x = x0.
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A expressa˜o
f (x0 + h)− f (x0)
h
e´ a raza˜o incremental ou diferenc¸as dividida de f em x0 com
incremento h.
I Se ha´ um limite desta expressa˜o quando h→ 0, esse limite e´
chamado derivada de f em x0:
lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
I Como a raza˜o incremental e´ o coeficiente angular da secante, a
derivada e´ o coeficiente angular da tangente a` curva no ponto
x = x0.
I Se a raza˜o incremental e´ vista como a taxa me´dia de variac¸a˜o,
a derivada e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em relac¸a˜o a
x no ponto x = x0.
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A expressa˜o
f (x0 + h)− f (x0)
h
e´ a raza˜o incremental ou diferenc¸as dividida de f em x0 com
incremento h.
I Se ha´ um limite desta expressa˜o quando h→ 0, esse limite e´
chamado derivada de f em x0:
lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
I Como a raza˜o incremental e´ o coeficiente angular da secante, a
derivada e´ o coeficiente angular da tangente a` curva no ponto
x = x0.
I Se a raza˜o incremental e´ vista como a taxa me´dia de variac¸a˜o,
a derivada e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em relac¸a˜o a
x no ponto x = x0.
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A expressa˜o
f (x0 + h)− f (x0)
h
e´ a raza˜o incremental ou diferenc¸as dividida de f em x0 com
incremento h.
I Se ha´ um limite desta expressa˜o quando h→ 0, esse limite e´
chamado derivada de f em x0:
lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
I Como a raza˜o incremental e´ o coeficiente angular da secante, a
derivada e´ o coeficiente angular da tangente a` curva no ponto
x = x0.
I Se a raza˜o incremental e´ vista como a taxa me´dia de variac¸a˜o,
a derivada e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em relac¸a˜o a
x no ponto x = x0.
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f (x0 + h)− f (x0)
h
e´ a raza˜o incremental ou diferenc¸as dividida de f em x0 com
incremento h.
I Se ha´ um limite desta expressa˜o quando h→ 0, esse limite e´
chamado derivada de f em x0:
lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
I Como a raza˜o incremental e´ o coeficiente angular da secante, a
derivada e´ o coeficiente angular da tangente a` curva no ponto
x = x0.
I Se a raza˜o incremental e´ vista como a taxa me´dia de variac¸a˜o,
a derivada e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em relac¸a˜o a
x no ponto x = x0.
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f (x0 + h)− f (x0)
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e´ a raza˜o incremental ou diferenc¸as dividida de f em x0 com
incremento h.
I Se ha´ um limite desta expressa˜o quando h→ 0, esse limite e´
chamado derivada de f em x0:
lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h
I Como a raza˜o incremental e´ o coeficiente angular da secante, a
derivada e´ o coeficiente angular da tangente a` curva no ponto
x = x0.
I Se a raza˜o incremental e´ vista como a taxa me´dia de variac¸a˜o,
a derivada e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em relac¸a˜o a
x no ponto x = x0.
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Exerc´ıcios
Seja a func¸a˜o y = 1x
1. Determinar o coeficiente angular da curva y em x = a 6= 0.
2. Onde o coeficiente angular e´ − 14 ?
3. O que acontece com a tangente a` curva no ponto (a, 1a )
quando a varia?
Ca´lculo I -
Derivadas
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Exerc´ıcios
Seja a func¸a˜o y = 1x
1. Determinar o coeficiente angular da curva y em x = a 6= 0.
2. Onde o coeficiente angular e´ − 14 ?
3. O que acontece com a tangente a` curva no ponto (a, 1a )
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Seja a func¸a˜o y = 1x
1. Determinar o coeficiente angular da curva y em x = a 6= 0.
2. Onde o coeficiente angular e´ − 14 ?
3. O que acontece com a tangente a` curva no ponto (a, 1a )
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1. Determinar o coeficiente angular da curva y em x = a 6= 0.
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3. O que acontece com a tangente a` curva no ponto (a, 1a )
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1. Determinar o coeficiente angular da curva y em x = a 6= 0.
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3. O que acontece com a tangente a` curva no ponto (a, 1a )
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1. Determinar o coeficiente angular da curva y em x = a 6= 0.
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3. O que acontece com a tangente a` curva no ponto (a, 1a )
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A Derivada como uma func¸a˜o
A derivada de uma func¸a˜o f (x) em relac¸a˜o a` varia´vel x e´ a func¸a˜o
f ′ cujo valor em x e´
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
I O dom´ınio de f ′(x) e´ o conjunto de pontos no dom´ınio de f
para o qual o limite existe.
I Se f ′ existe para qualquer ponto no dom´ınio de f , dizemos que
f e´ deriva´vel.
I Exemplo: a derivada de f (x) = xx−1 e´
f ′(x) = lim
h→0
x+h
x+h−1 − xx−1
h
= lim
h→0
1
h
−h
(x + h − 1)(x − 1)
= − 1
(x − 1)2 .
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A Derivada como uma func¸a˜o
A derivada de uma func¸a˜o f (x) em relac¸a˜o a` varia´vel x e´ a func¸a˜o
f ′ cujo valor em x e´
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
I O dom´ınio de f ′(x) e´ o conjunto de pontos no dom´ınio de f
para o qual o limite existe.
I Se f ′ existe para qualquer ponto no dom´ınio de f , dizemos que
f e´ deriva´vel.
I Exemplo: a derivada de f (x) = xx−1 e´
f ′(x) = lim
h→0
x+h
x+h−1 − xx−1
h
= lim
h→0
1
h
−h
(x + h − 1)(x − 1)
= − 1
(x − 1)2 .
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A Derivada como uma func¸a˜o
A derivada de uma func¸a˜o f (x) em relac¸a˜o a` varia´vel x e´ a func¸a˜o
f ′ cujo valor em x e´
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
I O dom´ınio de f ′(x) e´ o conjunto de pontos no dom´ınio de f
para o qual o limite existe.
I Se f ′ existe para qualquer ponto no dom´ınio de f , dizemos que
f e´ deriva´vel.
I Exemplo: a derivada de f (x) = xx−1 e´
f ′(x) = lim
h→0
x+h
x+h−1 − xx−1
h
= lim
h→0
1
h
−h
(x + h − 1)(x − 1)
= − 1
(x − 1)2 .
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A Derivada como uma func¸a˜o
A derivada de uma func¸a˜o f (x) em relac¸a˜o a` varia´vel x e´ a func¸a˜o
f ′ cujo valor em x e´
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
I O dom´ınio de f ′(x) e´ o conjunto de pontos no dom´ınio de f
para o qual o limite existe.
I Se f ′ existe para qualquer ponto no dom´ınio de f , dizemos que
f e´ deriva´vel.
I Exemplo: a derivada de f (x) = xx−1 e´
f ′(x) = lim
h→0
x+h
x+h−1 − xx−1
h
= lim
h→0
1
h
−h
(x + h − 1)(x − 1)
= − 1
(x − 1)2 .
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A derivada de uma func¸a˜o f (x) em relac¸a˜o a` varia´vel x e´ a func¸a˜o
f ′ cujo valor em x e´
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
I O dom´ınio de f ′(x) e´ o conjunto de pontos no dom´ınio de f
para o qual o limite existe.
I Se f ′ existe para qualquer ponto no dom´ınio de f , dizemos que
f e´ deriva´vel.
I Exemplo: a derivada de f (x) = xx−1 e´
f ′(x) = lim
h→0
x+h
x+h−1 − xx−1
h
= lim
h→0
1
h
−h
(x + h − 1)(x − 1)
= − 1
(x − 1)2 .
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f ′ cujo valor em x e´
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
I O dom´ınio de f ′(x) e´ o conjunto de pontos no dom´ınio de f
para o qual o limite existe.
I Se f ′ existe para qualquer ponto no dom´ınio de f , dizemos que
f e´ deriva´vel.
I Exemplo: a derivada de f (x) = xx−1 e´
f ′(x) = lim
h→0
x+h
x+h−1 − xx−1
h
= lim
h→0
1
h
−h
(x + h − 1)(x − 1)
= − 1
(x − 1)2 .
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f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
I O dom´ınio de f ′(x) e´ o conjunto de pontos no dom´ınio de f
para o qual o limite existe.
I Se f ′ existe para qualquer ponto no dom´ınio de f , dizemos que
f e´ deriva´vel.
I Exemplo: a derivada de f (x) = xx−1 e´
f ′(x) = lim
h→0
x+h
x+h−1 − xx−1
h
= lim
h→0
1
h
−h
(x + h − 1)(x − 1)
= − 1
(x − 1)2 .
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f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
I O dom´ınio de f ′(x) e´ o conjunto de pontos no dom´ınio de f
para o qual o limite existe.
I Se f ′ existe para qualquer ponto no dom´ınio de f , dizemos que
f e´ deriva´vel.
I Exemplo: a derivada de f (x) = xx−1 e´
f ′(x) = lim
h→0
x+h
x+h−1 − xx−1
h
= lim
h→0
1
h
−h
(x + h − 1)(x − 1)
= − 1
(x − 1)2 .
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f ′ cujo valor em x e´
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
I O dom´ınio de f ′(x) e´ o conjunto de pontos no dom´ınio de f
para o qual o limite existe.
I Se f ′ existe para qualquer ponto no dom´ınio de f , dizemos que
f e´ deriva´vel.
I Exemplo: a derivada de f (x) = xx−1 e´
f ′(x) = lim
h→0
x+h
x+h−1 − xx−1
h
= lim
h→0
1
h
−h
(x + h − 1)(x − 1)
= − 1
(x − 1)2 .
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f ′ cujo valor em x e´
f ′(x) = lim
h→0
f (x + h)− f (x)
h
desde que o limite exista.
I O dom´ınio de f ′(x) e´ o conjunto de pontos no dom´ınio de f
para o qual o limite existe.
I Se f ′ existe para qualquer ponto no dom´ınio de f , dizemos que
f e´ deriva´vel.
I Exemplo: a derivada de f (x) = xx−1 e´
f ′(x) = lim
h→0
x+h
x+h−1 − xx−1
h
= lim
h→0
1
h
−h
(x + h − 1)(x − 1)
= − 1
(x − 1)2 .
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Forma Alternativa para a Derivada
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Forma Alternativa para a Derivada
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I Uma forma alternativa para a derivada e´
f ′(x) = lim
z→x
f (z)− f (x)
(z − x)
desde que o limite exista.
I Exemplo: A derivada da func¸a˜o y =
√
x para x > 0 e sua reta
tangente para x = 4 e´ encontrada fazendo-se
f ′(x) = lim
z→x
√
z −√x
z − x
= lim
z→x
√
z −√x
(
√
z −√x)(√z +√x)
= lim
z→x
1√
z +
√
x
=
1
2
√
x
.
Assim, a reta tangente que passa por (4, 2) e´ y = 14x + 1.
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I Uma forma alternativa para a derivada e´
f ′(x) = lim
z→x
f (z)− f (x)
(z − x)
desde que o limite exista.
I Exemplo: A derivada da func¸a˜o y =
√
x para x > 0 e sua reta
tangente para x = 4 e´ encontrada fazendo-se
f ′(x) = lim
z→x
√
z −√x
z − x
= lim
z→x
√
z −√x
(
√
z −√x)(√z +√x)
= lim
z→x
1√
z +
√
x
=
1
2
√
x
.
Assim, a reta tangente que passa por (4, 2) e´ y = 14x + 1.
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I Uma forma alternativa para a derivada e´
f ′(x) = lim
z→x
f (z)− f (x)
(z − x)
desde que o limite exista.
I Exemplo: A derivada da func¸a˜o y =
√
x para x > 0 e sua reta
tangente para x = 4 e´ encontrada fazendo-se
f ′(x) = lim
z→x
√
z −√x
z − x
= lim
z→x
√
z −√x
(
√
z −√x)(√z +√x)
= lim
z→x
1√
z +
√
x
=
1
2
√
x
.
Assim, a reta tangente que passa por (4, 2) e´ y = 14x + 1.
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f ′(x) = lim
z→x
f (z)− f (x)
(z − x)
desde que o limite exista.
I Exemplo: A derivada da func¸a˜o y =
√
x para x > 0 e sua reta
tangente para x = 4 e´ encontrada fazendo-se
f ′(x) = lim
z→x
√
z −√x
z − x
= lim
z→x
√
z −√x
(
√
z −√x)(√z +√x)
= lim
z→x
1√
z +
√
x
=
1
2
√
x
.
Assim, a reta tangente que passa por (4, 2) e´ y = 14x + 1.
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z→x
f (z)− f