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Ca´lculo I - Integral
Definida
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Somas Finitas
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Ca´lculo I - Integral Definida
Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista
Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN
8 de dezembro de 2009
Ca´lculo I - Integral
Definida
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Somas Finitas
A´rea
Aproximac¸a˜o do
ponto me´dio
Notac¸a˜o Sigma e
Limites de Somas
Finitas
Regras Alge´bricas
de Somas Finitas
Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
A´rea
Qual a a´rea da regia˜o sombreada R que se encontra acima do eixo
x , abaixo da curva de y = 1− x2, e entre as retas verticais x = 0 e
x = 1?
Ca´lculo I - Integral
Definida
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Somas Finitas
A´rea
Aproximac¸a˜o do
ponto me´dio
Notac¸a˜o Sigma e
Limites de Somas
Finitas
Regras Alge´bricas
de Somas Finitas
Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Como na˜o ha´ uma fo´rmula geome´trica simples para calcular a
a´rea exata de R, vamos aproxima´-la utilizando a aproximac¸a˜o
da soma superior:
A ≈ 1.1
2
+
3
4
.
1
2
=
7
2
= 0, 875 (1)
Dividindo em 4 partes:
A ≈ 1.1
4
+
15
16
.
1
4
+
3
4
.
1
4
+
7
16
.
1
4
=
25
32
= 0, 78125 (2)
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Definida
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Somas Finitas
A´rea
Aproximac¸a˜o do
ponto me´dio
Notac¸a˜o Sigma e
Limites de Somas
Finitas
Regras Alge´bricas
de Somas Finitas
Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Ca´lculo I - Integral
Definida
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Somas Finitas
A´rea
Aproximac¸a˜o do
ponto me´dio
Notac¸a˜o Sigma e
Limites de Somas
Finitas
Regras Alge´bricas
de Somas Finitas
Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Por outro lado, se utilizarmos a aproximac¸a˜o por soma inferior
A ≈ 15
16
.
1
4
+
3
4
.
1
4
+
7
16
.
1
4
+ 0.
1
4
=
17
32
= 0, 53125
I A conclusa˜o e´ que 0, 53125 < A < 0, 78125.
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A´rea
Aproximac¸a˜o do
ponto me´dio
Notac¸a˜o Sigma e
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Finitas
Regras Alge´bricas
de Somas Finitas
Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Por fim, utilizamos a aproximac¸a˜o do ponto me´dio:
A ≈ 63
64
.
1
4
+
55
64
.
1
4
+
39
64
.
1
4
+
15
64
.
1
4
= 0, 671875.
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Simone Batista
Somas Finitas
A´rea
Aproximac¸a˜o do
ponto me´dio
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Finitas
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importantes
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Aproximac¸a˜o do ponto me´dio
Se o intervalo [a, b] for subdividido em n subintervalos de igual
largura ∆x ,
∆x =
b − a
n
(3)
e se, f (ck) for o valor de f em dado ponto ck no k-e´simo
subintervalo, esse processo resultara´ em uma soma finita com a
seguinte forma
f (c1)∆x + f (c2)∆x + f (c3)∆x + ...+ f (cn)∆x . (4)
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Aproximac¸a˜o do
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Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
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A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas
A notac¸a˜o sigma expressa uma soma com muitos termos em forma
compacta:
n∑
k=1
ak = a1 + a2 + a3 + ...+ an, (5)
onde
I Σ significa soma
I k e´ o ı´ndice do somato´rio (pode ser outra letra).
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Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Exemplo 1:
1.
5∑
k=1
k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (6)
2.
3∑
k=1
(−1)k = (−1)1 + (−1)2 + (−1)3 = −2 (7)
3.
2∑
k=1
k
k + 1
=
1
1 + 1
+
2
2 + 1
=
1
2
+
1
3
=
7
6
(8)
4.
5∑
k=4
k2
k − 1 =
42
4− 1 +
52
5− 1 =
16
3
+
25
4
=
139
12
(9)
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Exemplo 2: Expressar a soma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 em notac¸a˜o sigam
1. Comec¸ando com k = 0,
4∑
k=0
(2k + 1). (10)
2. Comec¸ando com k = 1,
5∑
k=1
(2k − 1). (11)
3. Comec¸ando com k = 2,
6∑
k=2
(2k − 3). (12)
4. Comec¸ando com k = −3,
1∑
k=−3
(2k + 7). (13)
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Regras Alge´bricas de Somas Finitas
I Regra da Soma/Diferenc¸a:
n∑
k=1
(ak ± bk) =
n∑
k=1
ak ±
n∑
k=1
bk (14)
I Regra da Multiplicac¸a˜o:
n∑
k=1
c ak = c
n∑
k=1
ak (15)
para qualquer constante c .
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Exemplos:
1.
n∑
k=1
(3k − k2) = 3
n∑
k=1
k −
n∑
k=1
k2 (16)
2.
n∑
k=1
(−ak) = −1
n∑
k=1
ak = −
n∑
k=1
ak (17)
3.
3∑
k=1
(k+4) =
3∑
k=1
k+
3∑
k=1
4 = (1+2+3)+(4+4+4) = 18 (18)
4.
n∑
k=1
1
n
= n
1
n
= 1 (19)
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Limites de Somas
Finitas
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Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Algumas somas importantes
1. A soma dos primeiros n inteiros:
n∑
k=1
k =
n(n + 1)
2
(20)
2. A soma dos primeiros n quadrados:
n∑
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
(21)
3. A soma dos primeiros n cubos:
n∑
k=1
k3 =
(
n(n + 1)
2
)2
(22)
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Soma de Riemann
Consideremos uma func¸a˜o arbitra´ria f definida em um intervalo
fechado [a, b],
I Definimos os subintervalos de [a, b], na˜o necessariamente da
mesma largura.
I Escolhemos n − 1 pontos {x1, x2, x3, ..., xn−1} entre a e b:
x0 = a ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn−1 ≤ xn = b. (23)
I O conjunto P = {x0, x1, x2, ..., xn−1, xn} e´ chamado partic¸a˜o de
[a, b].
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I A partic¸a˜o P divide [a, b] em n subintervalos fechados:
[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], ..., [xn−1, xn] (24)
I O k-e´simo subintervalo de P e´ [xk−1, xk ], onde k e´ um inteiro
entre 1 e n.
I A largura do primeiro intervalo [x0, x1] e´ ∆x1, e a largura do
k-e´simo subintervalo e´ ∆xk , onde
∆xk = xk − xk−1 (25)
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Definida
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