Aula integral definida

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Ca´lculo I - Integral
Definida
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Somas Finitas
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Ca´lculo I - Integral Definida
Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista
Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN
8 de dezembro de 2009
Ca´lculo I - Integral
Definida
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Somas Finitas
A´rea
Aproximac¸a˜o do
ponto me´dio
Notac¸a˜o Sigma e
Limites de Somas
Finitas
Regras Alge´bricas
de Somas Finitas
Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
A´rea
Qual a a´rea da regia˜o sombreada R que se encontra acima do eixo
x , abaixo da curva de y = 1− x2, e entre as retas verticais x = 0 e
x = 1?
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A´rea
Aproximac¸a˜o do
ponto me´dio
Notac¸a˜o Sigma e
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Finitas
Regras Alge´bricas
de Somas Finitas
Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Como na˜o ha´ uma fo´rmula geome´trica simples para calcular a
a´rea exata de R, vamos aproxima´-la utilizando a aproximac¸a˜o
da soma superior:
A ≈ 1.1
2
+
3
4
.
1
2
=
7
2
= 0, 875 (1)
Dividindo em 4 partes:
A ≈ 1.1
4
+
15
16
.
1
4
+
3
4
.
1
4
+
7
16
.
1
4
=
25
32
= 0, 78125 (2)
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ponto me´dio
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importantes
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
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Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Por outro lado, se utilizarmos a aproximac¸a˜o por soma inferior
A ≈ 15
16
.
1
4
+
3
4
.
1
4
+
7
16
.
1
4
+ 0.
1
4
=
17
32
= 0, 53125
I A conclusa˜o e´ que 0, 53125 < A < 0, 78125.
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Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
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A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Por fim, utilizamos a aproximac¸a˜o do ponto me´dio:
A ≈ 63
64
.
1
4
+
55
64
.
1
4
+
39
64
.
1
4
+
15
64
.
1
4
= 0, 671875.
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Aproximac¸a˜o do
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Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
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A´rea sob uma curva
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Aproximac¸a˜o do ponto me´dio
Se o intervalo [a, b] for subdividido em n subintervalos de igual
largura ∆x ,
∆x =
b − a
n
(3)
e se, f (ck) for o valor de f em dado ponto ck no k-e´simo
subintervalo, esse processo resultara´ em uma soma finita com a
seguinte forma
f (c1)∆x + f (c2)∆x + f (c3)∆x + ...+ f (cn)∆x . (4)
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importantes
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas
A notac¸a˜o sigma expressa uma soma com muitos termos em forma
compacta:
n∑
k=1
ak = a1 + a2 + a3 + ...+ an, (5)
onde
I Σ significa soma
I k e´ o ı´ndice do somato´rio (pode ser outra letra).
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Exemplo 1:
1.
5∑
k=1
k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (6)
2.
3∑
k=1
(−1)k = (−1)1 + (−1)2 + (−1)3 = −2 (7)
3.
2∑
k=1
k
k + 1
=
1
1 + 1
+
2
2 + 1
=
1
2
+
1
3
=
7
6
(8)
4.
5∑
k=4
k2
k − 1 =
42
4− 1 +
52
5− 1 =
16
3
+
25
4
=
139
12
(9)
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Exemplo 2: Expressar a soma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 em notac¸a˜o sigam
1. Comec¸ando com k = 0,
4∑
k=0
(2k + 1). (10)
2. Comec¸ando com k = 1,
5∑
k=1
(2k − 1). (11)
3. Comec¸ando com k = 2,
6∑
k=2
(2k − 3). (12)
4. Comec¸ando com k = −3,
1∑
k=−3
(2k + 7). (13)
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Regras Alge´bricas de Somas Finitas
I Regra da Soma/Diferenc¸a:
n∑
k=1
(ak ± bk) =
n∑
k=1
ak ±
n∑
k=1
bk (14)
I Regra da Multiplicac¸a˜o:
n∑
k=1
c ak = c
n∑
k=1
ak (15)
para qualquer constante c .
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Soma de Riemann
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Exemplos:
1.
n∑
k=1
(3k − k2) = 3
n∑
k=1
k −
n∑
k=1
k2 (16)
2.
n∑
k=1
(−ak) = −1
n∑
k=1
ak = −
n∑
k=1
ak (17)
3.
3∑
k=1
(k+4) =
3∑
k=1
k+
3∑
k=1
4 = (1+2+3)+(4+4+4) = 18 (18)
4.
n∑
k=1
1
n
= n
1
n
= 1 (19)
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Algumas somas
importantes
Soma de Riemann
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Algumas somas importantes
1. A soma dos primeiros n inteiros:
n∑
k=1
k =
n(n + 1)
2
(20)
2. A soma dos primeiros n quadrados:
n∑
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
(21)
3. A soma dos primeiros n cubos:
n∑
k=1
k3 =
(
n(n + 1)
2
)2
(22)
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Soma de Riemann
Consideremos uma func¸a˜o arbitra´ria f definida em um intervalo
fechado [a, b],
I Definimos os subintervalos de [a, b], na˜o necessariamente da
mesma largura.
I Escolhemos n − 1 pontos {x1, x2, x3, ..., xn−1} entre a e b:
x0 = a ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn−1 ≤ xn = b. (23)
I O conjunto P = {x0, x1, x2, ..., xn−1, xn} e´ chamado partic¸a˜o de
[a, b].
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I A partic¸a˜o P divide [a, b] em n subintervalos fechados:
[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], ..., [xn−1, xn] (24)
I O k-e´simo subintervalo de P e´ [xk−1, xk ], onde k e´ um inteiro
entre 1 e n.
I A largura do primeiro intervalo [x0, x1] e´ ∆x1, e a largura do
k-e´simo subintervalo e´ ∆xk , onde
∆xk = xk − xk−1 (25)
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Selecionamos um ponto em cada subintervalo, sendo ck o
ponto escolhido no k-e´simo subintervalo.
I Cosntruimos um retaˆngulo em cada subintervalo com base no
eixo x e que toca a curva em (ck , f (ck)).
I Em cada subintervalo tomamos o produto f (ck ,∆xk), que
pode ser negativo, positivo ou nulo. O mo´dulodo valor
encontrado e´ a a´rea do retaˆngulo desenhado em cada
subintervalo.
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Somamos todos esses produtos e obtemos
SP =
n∑
k=1
f (ck) ∆xk (26)
que e´ uma soma de Riemann para f no intervalo [a, b].
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Soma de Riemann
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Outras escolhas de partic¸a˜o da˜o-nos outras somas de Riemann.
I Definimos a norma de uma partic¸a˜o P, que chamamos ||P||,
como a maior de todas as larguras dos subintervalos.
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Exemplo: O conjunto P = {0; 0, 2; 0, 6; 1; 1, 5; 2} e´ uma partic¸a˜o de
[0, 2].
I Os subintervalos sa˜o: [0; 0, 2], [0, 2; 0, 6], [0, 6; 1], [1; 1, 5] e
[1, 5; 2].
I Os comprimentos deles sa˜o: ∆x1 = 0, 2, ∆x2 = 0, 4,
∆x3 = 0, 4, ∆x4 = 0, 5 e ∆x5 = 0, 5.
I A partic¸a˜o tem norma ||P|| = 0, 5.
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Integral definida -
Limites da Soma
de Riemann
Notac¸a˜o da
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Propriedades das
Integrais Definidas
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Integral definida - Limites da Soma de Riemann
Seja f (x) uma func¸a˜o definida em um intervalo fechado [a, b].
Dizemos que um nu´mero I e´ a integral definida de f em [a, b] e que
I e´ o limite das somas de Riemann
n∑
k=1
f (ck)∆xk (27)
se a seguinte condic¸a˜o e´ satisfeita:
I Dado qualquer nu´mero � ≥ 0, existe um nu´mero
correspondente δ ≥ 0, tal que, para qualquer partic¸a˜o
P = {x0, x1, ..., xn} de [a, b] com ||P|| ≤ δ e qualquer escolha
de ck em [xk−1, xk ], temos
|
n∑
k=1
f (ck) ∆xk − 1| ≤ �. (28)
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Integral definida -
Limites da Soma
de Riemann
Notac¸a˜o da
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Propriedades das
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Integral definida - Notac¸a˜o
O s´ımbolo para a integral definida e´∫ b
a
f (x) dx (29)
onde
I a e´ o limite inferior de integrac¸a˜o
I b e´ o limite superior de integrac¸a˜o
I f (x) e´ o integrando
I dx indica que a varia´vel de integrac¸a˜o e´ x .
I
∫
e´ o sinal de integral.
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Integral definida -
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Notac¸a˜o da
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Propriedades das
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
As somas de Riemann de f em [a, b] convergem para a integral
definida
I =
∫ b
a
f (x) dx . (30)
Assim, f e´ integra´vel no intervalo [a, b].
I Quando o limite existe,
lim
||P||→0
n∑
k=1
f (ck) ∆xk = I =
∫ b
a
f (x) dx . (31)
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Se pensarmos em termos do nu´meros de subintervalos n, temos
lim
n→∞
n∑
k=1
f (ck) ∆xk = I =
∫ b
a
f (x) dx . (32)
I A integral depende da func¸a˜o e na˜o da letra que usamos para a
varia´vel, sendo chamada de varia´vel artificial.
I Uma func¸a˜o cont´ınua e´ integra´vel. Isto e´, se uma func¸a˜o f e´
cont´ınua em um intervalo [a, b], enta˜o sua integral definida em
[a, b] existe.
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Integral definida -
Limites da Soma
de Riemann
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Integrais Definidas
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Propriedades das Integrais Definidas
Quando f e g sa˜o integra´veis no intervalo [a, b], a integral definida
satisfaz as regras:
I Ordem de integrac¸a˜o:∫ b
a
f (x) dx = −
∫ a
b
f (x) dx (33)
I Intervalo de largura zero:∫ a
a
f (x) dx = 0 (34)
I Multiplicac¸a˜o por constante:∫ b
a
k f (x) dx = k
∫ b
a
f (x), dx (35)
para qualquer constante k .
I Soma e Subtrac¸a˜o:∫ b
a
[f (x)± g(x)] dx =
∫ b
a
f (x) dx ±
∫ b
a
g(x) dx . (36)
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Propriedades das
Integrais Definidas
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Aditividade∫ b
a
f (x) dx +
∫ c
b
f (x) dx =
∫ c
a
f (x) dx . (37)
I Desigualdade max −min:
(min f ).(b − a) ≤
∫ b
a
f (x) dx ≤ (max f ).(b − a) (38)
I Dominac¸a˜o
1. Se f (x) ≥ g(x) em [a, b], enta˜oZ b
a
f (x) dx ≥
Z b
a
g(x) dx . (39)
2. Se f (x) ≥ 0 em [a, b], enta˜oZ b
a
f (x) dx ≥ 0. (40)
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O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Exemplo: Suponha que∫ 1
−1
f (x) dx = 5,
∫ 4
1
f (x) = −2,
∫ 1
−1
h(x) dx (41)
Enta˜o,
1. ∫ 1
4
f (x) dx = −
∫ 4
1
f (x) dx = 2 (42)
2. ∫ 1
−1
[2 f (x) + 3 h(x)] dx = 2
∫ 1
−1
f (x) dx + 3
∫ 1
−1
h(x) dx = 31
(43)
3. ∫ 4
−1
f (x) dx =
∫ 1
−1
f (x) dx +
∫ 4
1
f (x) dx = 5− 2 = 3 (44)
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Valor Me´dio de
uma func¸a˜o
cont´ınua
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Ca´lculo
A´rea sob uma curva
Se y = f (x) for na˜o negativa e integra´vel em um intervalo fechado
[a, b], enta˜o a a´rea sob a curva y = f (x) em [a, b] sera´ a integral de
f de a ate´ b:
A =
∫ b
a
f (x) dx . (45)
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Valor Me´dio de
uma func¸a˜o
cont´ınua
O Teorema
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Exemplo: Calcular
∫ b
a
f (x) dx e determinar a a´rea A sob y = x no
intervalo [0, b], sendo b ≥ 0.
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Valor Me´dio de
uma func¸a˜o
cont´ınua
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Consideramos uma partic¸a˜o P que subdivide [0, b] em n
subintervalos de igual largura ∆x , sendo
∆x =
b − 0
n
=
b
n
. (46)
I Situamos ck na extremidade direita de cada subintervalo
P = {0, b
n
,
2b
n
, ...,
nb
n
= b} (47)
onde ck =
k b
n .
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Valor Me´dio de
uma func¸a˜o
cont´ınua
O Teorema
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Ca´lculo
I Assim,
n∑
k=1
f (ck)∆x =
n∑
k=1
kb
n
.
b
n
=
n∑
k=1
kb2
n2
(48)
=
b2
n2
n∑
k=1
k =
b2
n2
.
n(n + 1)
2
(49)
=
b2
2
(
1 +
1
n
)
(50)
I Quando n→∞,∫ b
0
x dx =
b2
2
(51)
I Como a integral, nesse caso, e´ a a´rea, temos que
A =
bh
2
=
b2
2
. (52)
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Valor Me´dio de
uma func¸a˜o
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O Teorema
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Ca´lculo
I Podemos generalizar o exemplo para
∫ b
a
x dx , onde a ≤ 0.∫ b
a
x dx =
∫ 0
a
x dx +
∫ b
0
x dx (53)
= −
∫ a
0
x dx +
∫ b
0
x dx =
−a2 + b2
2
, (54)
onde a ≤ b.
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I Similar ao exemplo anterior, podemos encontrar
1. Z b
a
c dx = c(b − a) (55)
onde c e´ uma constante.
2. Z b
a
x2 dx =
b3
3
− a
3
3
(56)
onde a ≤ b.
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Somas Finitas
Soma de Riemann
Integral Definida
A´rea sob uma curva
Valor Me´dio de
uma func¸a˜o
cont´ınua
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua
Se f for integra´vel em [a, b], enta˜o seu valor me´dio em [a, b] sera´
M(f ) =
1
a− b
∫ b
a
f (x) dx . (57)
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Integral Definida
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Valor Me´dio de
uma func¸a˜o
cont´ınua
O Teorema
Fundamental do
Ca´lculo
I Exemplo: o valor me´dio de f (x) =
√
4− x2 em [−2, 2] e´ dado
por
M(f ) =
1
2− (−2)
∫ 2
−2
√
4− x2 dx = 1
4
.2pi =
pi
2
(58)
onde usamos ∫ 2
−2
√
4− x2 dx = 2pi (59)
que e´ a a´rea do semic´ırculo centrado na origem e com raio 2.
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Ca´lculo - Parte 1
Exerc´ıcios
Teorema
Fundamental do
Ca´lculo - Parte 2
Exerc´ıcios
Integrais Definidas
de Func¸o˜es
Sime´tricas
A´rea entre Curvas
Exerc´ıcios
O Teorema do Valor Me´dio para Integrais
Definidas
Se f for cont´ınua em [a, b], enta˜o em algum ponto c em [a, b],
f (c) =
1
b − a
∫ b
a
f (x) dx . (60)
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Uma func¸a˜o pode na˜o assumir seu valor me´dio. Por exemplo,
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I Exemplo: o valor me´dio de f (x) = 4− x em [0, 3] e´
M(f ) =
1
a− b
∫ b
a
f (x) dx (61)
=
1
3− 0
∫ 3
0
(4− x) dx (62)
=
1
3
(∫ 3
0
4 dx −
∫ 3
0
x dx
)
(63)
=
1
3
[
4(3− 0)−
(
32
2
− 0
2
2
)]
(64)
= 4− 3
2
=
5
2
. (65)
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I O ponto do dom´ınio dado em que f realmente assume esse
valor e´ dado por
4− x = 5
2
(66)
ou seja, x = 32 , que e´ o ponto c do teorema do valor me´dio.
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I Se f (t) for uma func¸a˜o integra´vel em um intervalo finito I , a
integral de a ∈ I ate´ x ∈ I define uma nova func¸a˜o F (x):
F (x) =
∫ x
a
f (t) dt. (67)
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I Se f e´ cont´ınua em [a, b], enta˜o F (x) =
∫ b
a
f (t) dt e´ cont´ınua
em [a, b] e deriva´vel em (a, b) e sua derivada e´ f (x).
F ′(x) =
d
dx
∫ b
a
f (t) dt = f (x) (68)
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Prova:
I Usamos a definic¸a˜o da derivada de F (x), quando x e x + h
esta˜o em (a, b):
F ′(x) = lim
h→0
F (x + h)− F (x)
h
(69)
= lim
h→0
1
h
(∫ x+h
a
f (t) dt −
∫ x
a
f (t) dt
)
(70)
= lim
h→0
1
h
(∫ x+h
a
f (t) dt +
∫ a
x
f (t) dt
)
(71)
= lim
h→0
1
h
(∫ a
x
f (t) dt +
∫ x+h
a
f (t) dt
)
(72)
= lim
h→0
1
h
∫ x+h
x
f (t) dt (73)
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I Usamos o teorema do valor me´dio:
1
x + h − x
∫ x+h
x
f (t) dt =
1
h
∫ x+h
x
f (t) dt = f (c) (74)
I Tomamos o limite h→ 0, que significa x + h→ x e c → x , ou
seja, f (c)→ f (x),
lim
h→0
f (c) = f (x). (75)
I Conclusa˜o:
F ′(x) = lim
h→0
1
h
∫ x+h
x
f (t) dt (76)
= lim
h→0
f (c) = f (x). (77)
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Usar o Teorema Fundamental do Ca´lculo para determinar:
1.
d
dx
∫ x
a
cos t dt = cos x (78)
2.
d
dx
∫ x
0
1
1 + t2
dt =
1
1 + t2
. (79)
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Calcular dy/dx , se
1. y =
∫ 5
x
3t sen t dt:
dy
dx
=
d
dx
∫ 5
x
3t sen t dt =
d
dx
(
−
∫ x
5
3t sen t dt
)
(80)
= − d
dx
(∫ x
5
3t sen t dt
)
= −3x sen x . (81)
2. y =
∫ x3
1
cos dt:
3. y =
∫ 4
1+3x2
1
2+et dt:
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Exerc´ıciosTeorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2
I Se f (t) e´ cont´ınua em qualquer ponto de [a, b] e se F e´
qualquer primitiva de f em [a, b], enta˜o∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (a) (82)
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Prova:
I A parte 1 do Teorema Fundamental do Ca´lculo nos diz que
G (x) =
∫ x
a
f (t) dt (83)
sendo G (x) a primitiva de f .
I Para alguma constante C , temos que F (x) = G (x) + C .
I Assim,
F (b)− F (a) = [G (b) + C ]− [G (a) + C ] (84)
= G (b)− G (a) (85)
=
∫ b
a
f (t) dt −
∫ a
a
f (t) dt (86)
=
∫ b
a
f (t) dt − 0 =
∫ b
a
f (t) dt. (87)
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O Teorema Fundamental do Ca´lculo pode ser reescrito como∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (a) (88)
= F (x)
]b
a
(89)
=
[
F (x)
]b
a
(90)
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Exemplos:
1. ∫ pi
0
cos x dx = sen x
]pi
0
(91)
= senpi − sen 0 = 0− 0 = 0. (92)
2. ∫ 1
2
0
dx√
1− x2 = arcsen x
] 1
2
0
(93)
= arcsen
1
2
− arcsen 0 = pi
6
− 0 = pi
6
. (94)
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1. Usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo, calcule
1.1 Z 4
1
„
3
2
√
x − 2
x
«
dx (95)
1.2 Z 1
−1
3x2
p
x3 − 1 dx (96)
1.3 Z ln 2
0
e3x dx (97)
1.4 Z pi/4
pi/4
tg x dx (98)
2. Determinar a a´rea delimitada pelo eixo x e pela para´bola
y = 6− x − x2.
3. Considere o gra´fico da func¸a˜o f (x) = sen x entre x = 0 e
x = 2pi. Calcular:
3.1 a integral definida de f (x) em [0, 2pi]
3.2 a a´rea entre o gra´fico de f (x) e o eixo x em [0, 2pi].
4. Determinar a a´rea da regia˜o entre o eixo x e o gra´fico de
f (x) = x3 − x2 − 2x , sendo −2 ≤ x ≤ 2.
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Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas
Seja f cont´ınua no intervalo sime´trico [−a, a].
I Se f e´ par, enta˜o∫ a
−a
f (x) dx = 2
∫ a
0
f (x) dx . (99)
I Se f e´ impar, enta˜o ∫ a
−a
f (x) dx = 0. (100)
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Prova:
I ∫ a
−a
f (x) dx =
∫ 0
−a
f (x) dx +
∫ a
0
f (x) dx (101)
= −
∫ −a
0
f (x) dx +
∫ a
0
f (x) dx (102)
=
∫ −a
0
−f (x) dx +
∫ a
0
f (x) dx (103)
I Utilizando a substituic¸a˜o: u = −x e du = −dx ,∫ a
−a
f (x) dx =
∫ a
0
f (−u) du +
∫ a
0
f (x) dx . (104)
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I Se f e´ par, enta˜o f (−x) = f (x),Z a
−a
f (x) dx =
Z a
0
f (u) du +
Z a
0
f (x) dx (105)
= 2
Z a
0
f (x) dx . (106)
I Se f e´ ı´mpar, enta˜o f (−x) = −f (x),Z a
−a
f (x) dx = −
Z a
0
f (u) du +
Z a
0
f (x) dx (107)
= 0. (108)
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I Exemplo: a integral de uma func¸a˜o par∫ 2
−2
(x4 − 4x2 + 6) dx = 2
∫ 2
0
(x4 − 4x2 + 6) dx (109)
= 2
[
x5
5
− 4x
3
3
+ 6x
]2
0
(110)
= 2
(
32
5
− 32
3
+ 12
)
(111)
=
232
15
. (112)
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Se f e g sa˜o cont´ınuas com f (x) ≥ g(x) ao longo de [a, b], enta˜o a
a´rea entre as curvas y = f (x) e y = g(x) de a ate´ b e´ a integral de
(f − g) desde a ate´ b:
A =
∫ b
a
[f (x)− g(x)] dx (113)
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1. Determinar a a´rea da regia˜o compreendida entre a para´bola
y = 2− x2 e a reta y = −x .
2. Calcular a a´rea da regia˜o do primeiro quadrante que e´ limitada
acima por y =
√
x e abaixo pelo eixo x e pela reta y = x − 2.
	Somas Finitas
	Área
	Aproximação do ponto médio
	Notação Sigma e Limites de Somas Finitas
	Regras Algébricas de Somas Finitas
	Algumas somas importantes
	Soma de Riemann
	Integral Definida
	Integral definida - Limites da Soma de Riemann
	Notação da Integral Definida
	Propriedades das Integrais Definidas
	Área sob uma curva
	Valor Médio de uma função contínua
	O Teorema Fundamental do Cálculo
	Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1
	Exercícios
	Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2
	Exercícios
	Integrais Definidas de Funções Simétricas
	Área entre Curvas
	Exercícios