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Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN 8 de dezembro de 2009 Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas A´rea Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alge´bricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo A´rea Qual a a´rea da regia˜o sombreada R que se encontra acima do eixo x , abaixo da curva de y = 1− x2, e entre as retas verticais x = 0 e x = 1? Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas A´rea Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alge´bricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Como na˜o ha´ uma fo´rmula geome´trica simples para calcular a a´rea exata de R, vamos aproxima´-la utilizando a aproximac¸a˜o da soma superior: A ≈ 1.1 2 + 3 4 . 1 2 = 7 2 = 0, 875 (1) Dividindo em 4 partes: A ≈ 1.1 4 + 15 16 . 1 4 + 3 4 . 1 4 + 7 16 . 1 4 = 25 32 = 0, 78125 (2) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas A´rea Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alge´bricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas A´rea Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alge´bricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Por outro lado, se utilizarmos a aproximac¸a˜o por soma inferior A ≈ 15 16 . 1 4 + 3 4 . 1 4 + 7 16 . 1 4 + 0. 1 4 = 17 32 = 0, 53125 I A conclusa˜o e´ que 0, 53125 < A < 0, 78125. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas A´rea Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alge´bricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Por fim, utilizamos a aproximac¸a˜o do ponto me´dio: A ≈ 63 64 . 1 4 + 55 64 . 1 4 + 39 64 . 1 4 + 15 64 . 1 4 = 0, 671875. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas A´rea Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alge´bricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Se o intervalo [a, b] for subdividido em n subintervalos de igual largura ∆x , ∆x = b − a n (3) e se, f (ck) for o valor de f em dado ponto ck no k-e´simo subintervalo, esse processo resultara´ em uma soma finita com a seguinte forma f (c1)∆x + f (c2)∆x + f (c3)∆x + ...+ f (cn)∆x . (4) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas A´rea Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alge´bricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas A notac¸a˜o sigma expressa uma soma com muitos termos em forma compacta: n∑ k=1 ak = a1 + a2 + a3 + ...+ an, (5) onde I Σ significa soma I k e´ o ı´ndice do somato´rio (pode ser outra letra). Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas A´rea Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alge´bricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Exemplo 1: 1. 5∑ k=1 k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (6) 2. 3∑ k=1 (−1)k = (−1)1 + (−1)2 + (−1)3 = −2 (7) 3. 2∑ k=1 k k + 1 = 1 1 + 1 + 2 2 + 1 = 1 2 + 1 3 = 7 6 (8) 4. 5∑ k=4 k2 k − 1 = 42 4− 1 + 52 5− 1 = 16 3 + 25 4 = 139 12 (9) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas A´rea Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alge´bricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Exemplo 2: Expressar a soma 1 + 3 + 5 + 7 + 9 em notac¸a˜o sigam 1. Comec¸ando com k = 0, 4∑ k=0 (2k + 1). (10) 2. Comec¸ando com k = 1, 5∑ k=1 (2k − 1). (11) 3. Comec¸ando com k = 2, 6∑ k=2 (2k − 3). (12) 4. Comec¸ando com k = −3, 1∑ k=−3 (2k + 7). (13) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas A´rea Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alge´bricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Regras Alge´bricas de Somas Finitas I Regra da Soma/Diferenc¸a: n∑ k=1 (ak ± bk) = n∑ k=1 ak ± n∑ k=1 bk (14) I Regra da Multiplicac¸a˜o: n∑ k=1 c ak = c n∑ k=1 ak (15) para qualquer constante c . Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas A´rea Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alge´bricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Exemplos: 1. n∑ k=1 (3k − k2) = 3 n∑ k=1 k − n∑ k=1 k2 (16) 2. n∑ k=1 (−ak) = −1 n∑ k=1 ak = − n∑ k=1 ak (17) 3. 3∑ k=1 (k+4) = 3∑ k=1 k+ 3∑ k=1 4 = (1+2+3)+(4+4+4) = 18 (18) 4. n∑ k=1 1 n = n 1 n = 1 (19) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas A´rea Aproximac¸a˜o do ponto me´dio Notac¸a˜o Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Alge´bricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Algumas somas importantes 1. A soma dos primeiros n inteiros: n∑ k=1 k = n(n + 1) 2 (20) 2. A soma dos primeiros n quadrados: n∑ k=1 k2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 (21) 3. A soma dos primeiros n cubos: n∑ k=1 k3 = ( n(n + 1) 2 )2 (22) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Soma de Riemann Consideremos uma func¸a˜o arbitra´ria f definida em um intervalo fechado [a, b], I Definimos os subintervalos de [a, b], na˜o necessariamente da mesma largura. I Escolhemos n − 1 pontos {x1, x2, x3, ..., xn−1} entre a e b: x0 = a ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn−1 ≤ xn = b. (23) I O conjunto P = {x0, x1, x2, ..., xn−1, xn} e´ chamado partic¸a˜o de [a, b]. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo I A partic¸a˜o P divide [a, b] em n subintervalos fechados: [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], ..., [xn−1, xn] (24) I O k-e´simo subintervalo de P e´ [xk−1, xk ], onde k e´ um inteiro entre 1 e n. I A largura do primeiro intervalo [x0, x1] e´ ∆x1, e a largura do k-e´simo subintervalo e´ ∆xk , onde ∆xk = xk − xk−1 (25) Ca´lculo I - Integral DefinidaProf. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Selecionamos um ponto em cada subintervalo, sendo ck o ponto escolhido no k-e´simo subintervalo. I Cosntruimos um retaˆngulo em cada subintervalo com base no eixo x e que toca a curva em (ck , f (ck)). I Em cada subintervalo tomamos o produto f (ck ,∆xk), que pode ser negativo, positivo ou nulo. O mo´dulodo valor encontrado e´ a a´rea do retaˆngulo desenhado em cada subintervalo. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Somamos todos esses produtos e obtemos SP = n∑ k=1 f (ck) ∆xk (26) que e´ uma soma de Riemann para f no intervalo [a, b]. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Outras escolhas de partic¸a˜o da˜o-nos outras somas de Riemann. I Definimos a norma de uma partic¸a˜o P, que chamamos ||P||, como a maior de todas as larguras dos subintervalos. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Exemplo: O conjunto P = {0; 0, 2; 0, 6; 1; 1, 5; 2} e´ uma partic¸a˜o de [0, 2]. I Os subintervalos sa˜o: [0; 0, 2], [0, 2; 0, 6], [0, 6; 1], [1; 1, 5] e [1, 5; 2]. I Os comprimentos deles sa˜o: ∆x1 = 0, 2, ∆x2 = 0, 4, ∆x3 = 0, 4, ∆x4 = 0, 5 e ∆x5 = 0, 5. I A partic¸a˜o tem norma ||P|| = 0, 5. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida Integral definida - Limites da Soma de Riemann Notac¸a˜o da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Integral definida - Limites da Soma de Riemann Seja f (x) uma func¸a˜o definida em um intervalo fechado [a, b]. Dizemos que um nu´mero I e´ a integral definida de f em [a, b] e que I e´ o limite das somas de Riemann n∑ k=1 f (ck)∆xk (27) se a seguinte condic¸a˜o e´ satisfeita: I Dado qualquer nu´mero � ≥ 0, existe um nu´mero correspondente δ ≥ 0, tal que, para qualquer partic¸a˜o P = {x0, x1, ..., xn} de [a, b] com ||P|| ≤ δ e qualquer escolha de ck em [xk−1, xk ], temos | n∑ k=1 f (ck) ∆xk − 1| ≤ �. (28) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida Integral definida - Limites da Soma de Riemann Notac¸a˜o da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Integral definida - Notac¸a˜o O s´ımbolo para a integral definida e´∫ b a f (x) dx (29) onde I a e´ o limite inferior de integrac¸a˜o I b e´ o limite superior de integrac¸a˜o I f (x) e´ o integrando I dx indica que a varia´vel de integrac¸a˜o e´ x . I ∫ e´ o sinal de integral. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida Integral definida - Limites da Soma de Riemann Notac¸a˜o da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo As somas de Riemann de f em [a, b] convergem para a integral definida I = ∫ b a f (x) dx . (30) Assim, f e´ integra´vel no intervalo [a, b]. I Quando o limite existe, lim ||P||→0 n∑ k=1 f (ck) ∆xk = I = ∫ b a f (x) dx . (31) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida Integral definida - Limites da Soma de Riemann Notac¸a˜o da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Se pensarmos em termos do nu´meros de subintervalos n, temos lim n→∞ n∑ k=1 f (ck) ∆xk = I = ∫ b a f (x) dx . (32) I A integral depende da func¸a˜o e na˜o da letra que usamos para a varia´vel, sendo chamada de varia´vel artificial. I Uma func¸a˜o cont´ınua e´ integra´vel. Isto e´, se uma func¸a˜o f e´ cont´ınua em um intervalo [a, b], enta˜o sua integral definida em [a, b] existe. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida Integral definida - Limites da Soma de Riemann Notac¸a˜o da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Propriedades das Integrais Definidas Quando f e g sa˜o integra´veis no intervalo [a, b], a integral definida satisfaz as regras: I Ordem de integrac¸a˜o:∫ b a f (x) dx = − ∫ a b f (x) dx (33) I Intervalo de largura zero:∫ a a f (x) dx = 0 (34) I Multiplicac¸a˜o por constante:∫ b a k f (x) dx = k ∫ b a f (x), dx (35) para qualquer constante k . I Soma e Subtrac¸a˜o:∫ b a [f (x)± g(x)] dx = ∫ b a f (x) dx ± ∫ b a g(x) dx . (36) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida Integral definida - Limites da Soma de Riemann Notac¸a˜o da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Aditividade∫ b a f (x) dx + ∫ c b f (x) dx = ∫ c a f (x) dx . (37) I Desigualdade max −min: (min f ).(b − a) ≤ ∫ b a f (x) dx ≤ (max f ).(b − a) (38) I Dominac¸a˜o 1. Se f (x) ≥ g(x) em [a, b], enta˜oZ b a f (x) dx ≥ Z b a g(x) dx . (39) 2. Se f (x) ≥ 0 em [a, b], enta˜oZ b a f (x) dx ≥ 0. (40) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida Integral definida - Limites da Soma de Riemann Notac¸a˜o da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Exemplo: Suponha que∫ 1 −1 f (x) dx = 5, ∫ 4 1 f (x) = −2, ∫ 1 −1 h(x) dx (41) Enta˜o, 1. ∫ 1 4 f (x) dx = − ∫ 4 1 f (x) dx = 2 (42) 2. ∫ 1 −1 [2 f (x) + 3 h(x)] dx = 2 ∫ 1 −1 f (x) dx + 3 ∫ 1 −1 h(x) dx = 31 (43) 3. ∫ 4 −1 f (x) dx = ∫ 1 −1 f (x) dx + ∫ 4 1 f (x) dx = 5− 2 = 3 (44) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua O Teorema Fundamental do Ca´lculo A´rea sob uma curva Se y = f (x) for na˜o negativa e integra´vel em um intervalo fechado [a, b], enta˜o a a´rea sob a curva y = f (x) em [a, b] sera´ a integral de f de a ate´ b: A = ∫ b a f (x) dx . (45) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua O Teorema Fundamental do Ca´lculo Exemplo: Calcular ∫ b a f (x) dx e determinar a a´rea A sob y = x no intervalo [0, b], sendo b ≥ 0. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Consideramos uma partic¸a˜o P que subdivide [0, b] em n subintervalos de igual largura ∆x , sendo ∆x = b − 0 n = b n . (46) I Situamos ck na extremidade direita de cada subintervalo P = {0, b n , 2b n , ..., nb n = b} (47) onde ck = k b n . Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Assim, n∑ k=1 f (ck)∆x = n∑ k=1 kb n . b n = n∑ k=1 kb2 n2 (48) = b2 n2 n∑ k=1 k = b2 n2 . n(n + 1) 2 (49) = b2 2 ( 1 + 1 n ) (50) I Quando n→∞,∫ b 0 x dx = b2 2 (51) I Como a integral, nesse caso, e´ a a´rea, temos que A = bh 2 = b2 2 . (52) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Podemos generalizar o exemplo para ∫ b a x dx , onde a ≤ 0.∫ b a x dx = ∫ 0 a x dx + ∫ b 0 x dx (53) = − ∫ a 0 x dx + ∫ b 0 x dx = −a2 + b2 2 , (54) onde a ≤ b. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Similar ao exemplo anterior, podemos encontrar 1. Z b a c dx = c(b − a) (55) onde c e´ uma constante. 2. Z b a x2 dx = b3 3 − a 3 3 (56) onde a ≤ b. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua O Teorema Fundamental do Ca´lculo Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua Se f for integra´vel em [a, b], enta˜o seu valor me´dio em [a, b] sera´ M(f ) = 1 a− b ∫ b a f (x) dx . (57) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva Valor Me´dio de uma func¸a˜o cont´ınua O Teorema Fundamental do Ca´lculo I Exemplo: o valor me´dio de f (x) = √ 4− x2 em [−2, 2] e´ dado por M(f ) = 1 2− (−2) ∫ 2 −2 √ 4− x2 dx = 1 4 .2pi = pi 2 (58) onde usamos ∫ 2 −2 √ 4− x2 dx = 2pi (59) que e´ a a´rea do semic´ırculo centrado na origem e com raio 2. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios O Teorema do Valor Me´dio para Integrais Definidas Se f for cont´ınua em [a, b], enta˜o em algum ponto c em [a, b], f (c) = 1 b − a ∫ b a f (x) dx . (60) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Uma func¸a˜o pode na˜o assumir seu valor me´dio. Por exemplo, Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios I Exemplo: o valor me´dio de f (x) = 4− x em [0, 3] e´ M(f ) = 1 a− b ∫ b a f (x) dx (61) = 1 3− 0 ∫ 3 0 (4− x) dx (62) = 1 3 (∫ 3 0 4 dx − ∫ 3 0 x dx ) (63) = 1 3 [ 4(3− 0)− ( 32 2 − 0 2 2 )] (64) = 4− 3 2 = 5 2 . (65) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios I O ponto do dom´ınio dado em que f realmente assume esse valor e´ dado por 4− x = 5 2 (66) ou seja, x = 32 , que e´ o ponto c do teorema do valor me´dio. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 I Se f (t) for uma func¸a˜o integra´vel em um intervalo finito I , a integral de a ∈ I ate´ x ∈ I define uma nova func¸a˜o F (x): F (x) = ∫ x a f (t) dt. (67) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios I Se f e´ cont´ınua em [a, b], enta˜o F (x) = ∫ b a f (t) dt e´ cont´ınua em [a, b] e deriva´vel em (a, b) e sua derivada e´ f (x). F ′(x) = d dx ∫ b a f (t) dt = f (x) (68) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Prova: I Usamos a definic¸a˜o da derivada de F (x), quando x e x + h esta˜o em (a, b): F ′(x) = lim h→0 F (x + h)− F (x) h (69) = lim h→0 1 h (∫ x+h a f (t) dt − ∫ x a f (t) dt ) (70) = lim h→0 1 h (∫ x+h a f (t) dt + ∫ a x f (t) dt ) (71) = lim h→0 1 h (∫ a x f (t) dt + ∫ x+h a f (t) dt ) (72) = lim h→0 1 h ∫ x+h x f (t) dt (73) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios I Usamos o teorema do valor me´dio: 1 x + h − x ∫ x+h x f (t) dt = 1 h ∫ x+h x f (t) dt = f (c) (74) I Tomamos o limite h→ 0, que significa x + h→ x e c → x , ou seja, f (c)→ f (x), lim h→0 f (c) = f (x). (75) I Conclusa˜o: F ′(x) = lim h→0 1 h ∫ x+h x f (t) dt (76) = lim h→0 f (c) = f (x). (77) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Exerc´ıcios Usar o Teorema Fundamental do Ca´lculo para determinar: 1. d dx ∫ x a cos t dt = cos x (78) 2. d dx ∫ x 0 1 1 + t2 dt = 1 1 + t2 . (79) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Calcular dy/dx , se 1. y = ∫ 5 x 3t sen t dt: dy dx = d dx ∫ 5 x 3t sen t dt = d dx ( − ∫ x 5 3t sen t dt ) (80) = − d dx (∫ x 5 3t sen t dt ) = −3x sen x . (81) 2. y = ∫ x3 1 cos dt: 3. y = ∫ 4 1+3x2 1 2+et dt: Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıciosTeorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 I Se f (t) e´ cont´ınua em qualquer ponto de [a, b] e se F e´ qualquer primitiva de f em [a, b], enta˜o∫ b a f (x) dx = F (b)− F (a) (82) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Prova: I A parte 1 do Teorema Fundamental do Ca´lculo nos diz que G (x) = ∫ x a f (t) dt (83) sendo G (x) a primitiva de f . I Para alguma constante C , temos que F (x) = G (x) + C . I Assim, F (b)− F (a) = [G (b) + C ]− [G (a) + C ] (84) = G (b)− G (a) (85) = ∫ b a f (t) dt − ∫ a a f (t) dt (86) = ∫ b a f (t) dt − 0 = ∫ b a f (t) dt. (87) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios O Teorema Fundamental do Ca´lculo pode ser reescrito como∫ b a f (x) dx = F (b)− F (a) (88) = F (x) ]b a (89) = [ F (x) ]b a (90) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Exemplos: 1. ∫ pi 0 cos x dx = sen x ]pi 0 (91) = senpi − sen 0 = 0− 0 = 0. (92) 2. ∫ 1 2 0 dx√ 1− x2 = arcsen x ] 1 2 0 (93) = arcsen 1 2 − arcsen 0 = pi 6 − 0 = pi 6 . (94) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Exerc´ıcios 1. Usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo, calcule 1.1 Z 4 1 „ 3 2 √ x − 2 x « dx (95) 1.2 Z 1 −1 3x2 p x3 − 1 dx (96) 1.3 Z ln 2 0 e3x dx (97) 1.4 Z pi/4 pi/4 tg x dx (98) 2. Determinar a a´rea delimitada pelo eixo x e pela para´bola y = 6− x − x2. 3. Considere o gra´fico da func¸a˜o f (x) = sen x entre x = 0 e x = 2pi. Calcular: 3.1 a integral definida de f (x) em [0, 2pi] 3.2 a a´rea entre o gra´fico de f (x) e o eixo x em [0, 2pi]. 4. Determinar a a´rea da regia˜o entre o eixo x e o gra´fico de f (x) = x3 − x2 − 2x , sendo −2 ≤ x ≤ 2. Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas Seja f cont´ınua no intervalo sime´trico [−a, a]. I Se f e´ par, enta˜o∫ a −a f (x) dx = 2 ∫ a 0 f (x) dx . (99) I Se f e´ impar, enta˜o ∫ a −a f (x) dx = 0. (100) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Prova: I ∫ a −a f (x) dx = ∫ 0 −a f (x) dx + ∫ a 0 f (x) dx (101) = − ∫ −a 0 f (x) dx + ∫ a 0 f (x) dx (102) = ∫ −a 0 −f (x) dx + ∫ a 0 f (x) dx (103) I Utilizando a substituic¸a˜o: u = −x e du = −dx ,∫ a −a f (x) dx = ∫ a 0 f (−u) du + ∫ a 0 f (x) dx . (104) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios I Se f e´ par, enta˜o f (−x) = f (x),Z a −a f (x) dx = Z a 0 f (u) du + Z a 0 f (x) dx (105) = 2 Z a 0 f (x) dx . (106) I Se f e´ ı´mpar, enta˜o f (−x) = −f (x),Z a −a f (x) dx = − Z a 0 f (u) du + Z a 0 f (x) dx (107) = 0. (108) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios I Exemplo: a integral de uma func¸a˜o par∫ 2 −2 (x4 − 4x2 + 6) dx = 2 ∫ 2 0 (x4 − 4x2 + 6) dx (109) = 2 [ x5 5 − 4x 3 3 + 6x ]2 0 (110) = 2 ( 32 5 − 32 3 + 12 ) (111) = 232 15 . (112) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios A´rea entre Curvas Se f e g sa˜o cont´ınuas com f (x) ≥ g(x) ao longo de [a, b], enta˜o a a´rea entre as curvas y = f (x) e y = g(x) de a ate´ b e´ a integral de (f − g) desde a ate´ b: A = ∫ b a [f (x)− g(x)] dx (113) Ca´lculo I - Integral Definida Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista Somas Finitas Soma de Riemann Integral Definida A´rea sob uma curva O Teorema Fundamental do Ca´lculo Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 1 Exerc´ıcios Teorema Fundamental do Ca´lculo - Parte 2 Exerc´ıcios Integrais Definidas de Func¸o˜es Sime´tricas A´rea entre Curvas Exerc´ıcios Exerc´ıcios 1. Determinar a a´rea da regia˜o compreendida entre a para´bola y = 2− x2 e a reta y = −x . 2. Calcular a a´rea da regia˜o do primeiro quadrante que e´ limitada acima por y = √ x e abaixo pelo eixo x e pela reta y = x − 2. Somas Finitas Área Aproximação do ponto médio Notação Sigma e Limites de Somas Finitas Regras Algébricas de Somas Finitas Algumas somas importantes Soma de Riemann Integral Definida Integral definida - Limites da Soma de Riemann Notação da Integral Definida Propriedades das Integrais Definidas Área sob uma curva Valor Médio de uma função contínua O Teorema Fundamental do Cálculo Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1 Exercícios Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2 Exercícios Integrais Definidas de Funções Simétricas Área entre Curvas Exercícios
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